Bài giảng toán rời rạc chương 5 đại số boole

Chương
Chương
5
5
ĐẠI SỐ BOOLE
ĐẠI SỐ BOOLE
George Boole (1815 - 1864)
Nguyên lý qui nạp toán học
Công thức truy hồi
ĐẠI SỐ BOOLE
I
II
5.1 MỞ ĐẦU
Đại số Boole được xây dựng trên tập hợp {0; 1}
Các phép toán giữa các phần tử 0 và 1:
+ Phép phủ định:
01;10 
+ Phép cộng: ký hiệu là + hoặc OR
0
0
0
;
1
1
0
0
1
;
1
1
1









+ Phép nhân: ký hiệu là . hoặc AND
0
0
.
0
;
0
1
.
0
0
.
1
;
1
1
.
1





Thứ tự thực hiện các phép toán trên đại số Boole:
1. Phép phủ định
2. Phép nhân
3. Phép cộng
Ví dụ
Tìm giá trị của các biểu thức sau:
)11(0)11(1.a 
00.110.1.b 
5.1 HÀM BOOLE VÀ BIỂU THỨC BOOLE
a. Hàm Boole
Cho B = {0; 1}
Một hàm Boole n biến số là một ánh xạ:
)x; ;x;f(x)x; ;x;(x
BB:f
n21n21
n


Với x
i
(i = 1 n)  B
Chú ý:
+ Các hàm Boole còn được gọi là hàm lôgic hay hàm
nhị phân
+ Biến chỉ nhận các giá trị trong B còn được gọi là
biến Boole
+ Một bảng liệt kê hết các giá trị của một hàm Boole
được gọi là bảng giá trị của hàm Boole
Ví dụ
Xét hàm boole:

f: B
2
 B
Với





0
0y,1xkhi1
)y,x(f
Các trường hợp còn lại của x, y
Có bảng giá trị:
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
f(x,y)yx
Định lý:
Số hàm Boole bậc n là
n

2
2
b. Biểu thức Boole
Một biểu thức Boole gồm các số 0, 1 và các biến
Boole liên kết với nhau bằng các phép toán trong đại
số Boole.
Các hàm Boole có thể biểu diễn bởi các biểu thức
Boole.
Ví dụ
zyxyzyxzyxf ),,(
1. Cho biểu thức Boole:
Giá trị của f(1, 0, 1) là:
2. Cho hàm Boole f(x,y) có bảng giá trị như sau:
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
f(x,y)yx
Hỏi hàm Boole f(x,y) có biểu
thức là:
yx.A
yx.B

xy.C
yx.D
5.3 DẠNG CHUẨN CỦA HÀM BOOLE
Một biến Boole hoặc phủ định của nó gọi là một
tục biến.
Cho n biến Boole x
1
, x
2
,…, x
n
. Ta gọi tích:
y
1
.y
2
…y
n
với y
i
bằng x
i
hoặc bằng
i
x
là một tiểu hạng.
Một hàm Boole gọi là ở dạng chuẩn nếu biểu
thức Boole biểu diễn nó là tổng các tiểu hạng.
Các hàm Boole sau đây là có dạng chuẩn tắc
yxyxyxf ),(

zyxzyxxyzzyxg ),,(
Ví dụ
5.4 TỐI THIỂU HÓA HÀM BOOLE
Phương pháp biến đổi đại số:
yxyxyxxy.a 
Ví dụ
Tối thiểu hóa các hàm Boole sau:
zyxzxyxyz.b 