hướng dẫn giải đề đại học môn toán năm 2014

Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014
Môn – Khối

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -


HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1
Câu 1.
a. Khảo sát hàm số
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
2
1
x
x



1. Tập xác định: D = (-

; 1) U (1; +

)
2. Sự biến thiên
a) Đạo hàm
y' =
   
 
2

1 .1 2 .1
1
xx
x
  


y' = 0 <=> vô nghiệm, hàm số không có cực trị
b) Giới hạn và các đường tiệm cận
+ Ta có
lim y (x=>1-) = -


lim y (x=>1+) = +


=> đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
+ Giới hạn tại vô cực
lim y (x=>+

) = 1
lim y (x=>-

) = 1
=> đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
c) Bảng biến thiên

d) Chiều biến thiên và các cực trị
+ Hàm số nghịch biến trên ( -


; 1 )
+ Hàm số nghịch biến trên ( 1 ; +

)
3. Đồ thị
a) Giao điểm của đồ thị hàm số với hệ toạ độ
+ Giao điểm của hàm số đối với trục Ox
y = 0 <=> x = -2
+ Giao điểm của hàm số đối với trục Oy
x = 0 <=> y = -2
Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014
Môn – Khối

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


b) Nhận xét
+ Đồ thị hàm số nhận giao điểm B (1;1) của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
c) Vẽ đồ thị hàm số

b.
Vì M
 
C
nên ta có
0
0
0

3
1,
x
Mx
x






Ta có khoảng cách từ M đến
 
yx  
là
2

 
0
0
0
,
2
0 0 0
0
22
0 0 0 0
22
0 0 0 0 0
0

0
3
1
2
2
3
2
2 3 2 3 0 ( )
2 3 2 4 3 0
1
3
M
x
x
x
d
x x x
x
x x x x vong
x x x x x
x
x



  



    



      









Với
 
0
1 0; 2xM   

Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014
Môn – Khối

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Với
 
0
3 2;0xM   

Vậy có 2 điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán M(0;-2), M(-2;0)
Câu 2
sinx 4 cos x 2 sin 2x.
sinx + 4 cosx 2 2sin x cosx.
sinx 2 2 cosx(s inx 2).
sinx 2 (lo¹i)
1
cosx
2
1
cosx k2 (k )
23
  
  
   










      

Câu 3: Xét phương trình
2
x1

x x 3 2x 1
x2



    



.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính
là
22
2 2 3 2
11
2
11
S (2x 1) (x x 3) dx x 3x 2 dx ( x 3x 2x)
1
36
             



Câu 4.
a.Giả sử số phức
z a bi
(a,b thuộc R)
z a bi  
.

Theo bài ra, ta có
2
z (2 i)z 3 5i
a bi (2 i)(a bi) 5i 3
a bi 2a 2bi ai bi 5i 3
a bi 2a 2bi ai b 5i 3
3a b i(a b) 3i 3
3a b 3
a b 5
a2
b3
   
      
       
       
     






















Vậy số phức phần thực là 2 và phần ảo là -3
b. Số cách chọn 4 thẻ trong 16 thẻ là:
4
16
C

Gọi A = “4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn”
Ta có:
Từ 1 đến 16 tập các số chẵn là: {2,4,6,8,10,12,14,16}
=> Có 8 số chẵn
=> Số cách chọn để cả 4 thẻ đều là số chẵn là
4
8
C

=> Xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là:
4
8
4
16
1
26
C

C


Câu 5. (P) 2x + y – 2z – 1= 0
(d)
23
1 2 3
x y z



Giao điểm d và (P) là nghiệm của hệ:
Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014
Môn – Khối

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


2 2 1
2 2 1 0
20
23
3 2 6 0
1 2 3
x y z
x y z
xyy
x y z

yz
  

   


    




  




2 2 1 7 / 2
23
3 2 6 3/ 2
x y z x
x y y y
y z z
   


      


   


()
(1; 2;3); (2;1; 2)
dP
un   
 

=>
()
2 3 3 1 1 2
, , , (1,8,5)
1 2 2 2 2 1
dP
un
   






 

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là (1,8,5)
=> Mặt phẳng cần tìm là (
73
( ) 8.( 3) 5.( ) 0
22
x y z     
=> x+8y+5z+13=0.

Câu 6

Gọi H là hình chiếu của S lên ABCD.
Ta có ∆ AHD vuông tại A
2
2 2 2
5
42
aa
HD AH AD a     

Xét ∆ SHD vuông tại H
2
2
22
22
3 5 9 5
2 2 4 4
a a a a
SH SD HD a


       






3

2
.
11
. . . .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S a a   
(đvtt)
b. Ta có: AB = 2AH
( ,( )) 2 ( ,( ))d A SBD d H SBD

Từ H kẻ
HE ( )
HE//AC
=> BD (SHE) (SHE) (SBD)
()
24
BD doBD AC
OB BD
E BD
EB EO




   


  





Từ H kẻ HF

SE (F

SE) =>
( ) ( ,( ))HF SBD hay HF d H SBD

Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014
Môn – Khối

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


Xét ∆ABO có HE là đường trung bình
2
22
AO a
HE  

Xét ∆ vuông SHE vuông tại H:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 8 9 2
( ,( ))
33

aa
HF d H SBD
HF HS HE a a a
         


Câu 7
Gọi độ dài cạnh hình vuông là m. E là hình chiếu vuông góc của M lên CD.
Gọi F là giao điểm của MN và CD, theo định lí Talet ta có :
FC NC NF 1
MA NA MN 3.
  

Ta có:
NM 3NF.
 
Gọi
F(x,y)
, ta có:
7
1 2 3(x 2)
x
7
F( ;0)
3
2 ( 1) 3(y 1)
3
y0





  







   






.
Mặt khác:
2
2 2 2
MA 1 m m 16 26
3 FC m EF mà ME = m MF m 4 m
FC 6 3 9 4 5
           

Khi đó ta có

EF 1
osMFD

MF
10
c 

Gọi VTPT của CD là
 
;
CD
n a b

, ta có: phương trình CD:
 
7
20
3
a x b y

   


và
 
3;1
MN
n 


Mặt khác:
 
22

22
0
3
1
os CD,MF 9 6
43
10
. 10
a
ab
c a a ab
ab
ab



     





Với a = 0 chon b = 1 ta có: CD: y = -2
Với 4a = -3b chọn a=3 và b=-4 ta có: CD: 3x – 4y -15 = 0
Vậy phương trình đường thẳng CD là: y = - 2 hoặc 3x – 4y – 15 = 0
Câu 8
) 2 12
12
y
x

  


 
 
 
 
2
2
22
2 2 2
2
2
12 12 12
12 12 12
12 144 24 12 12
12 144 24 12 12
12 24 12 12 12 0
12 0 ( )
12
24
12 12 0
12
12
1
12
x y y x
y x x y
y x y x y x y
y x y x y x x y

x x y y
y x loai
y
x
y
y
x
y
   
    
      
      
     
  

   





Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014
Môn – Khối

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -


 

 
  
2
3
32
32
2
2
2
2
12
) 12 0 10 ( 2 12)
8 1 2 2
8 1 2 10
8 3 2 2 10 0
33
3 3 1 2. 0
1 10
3
3
3
3 1 2. 0
3
10 1
xy
x y x do y
x x y
x x x
x x x
xx

x x x
x
x
x
x
xx
y
x
  
      
   
    
      

     










   







Câu 9
1. Ta có
2
2
11
xx
x yz x x y z

     
(với x, y , z thoả mãn điều kiện bài toán)
Suy ra:
1 1 1
1
1 9 1 9
x y z yz yz
P
x y z x y z

   
    

     


2.Ta cần tìm GTNN của biểu thức:
11
19
yz

Q
x y z


  

Sử dụng BĐT:
   
 
2
2
2 2 1x y z x y z yz      
, ta suy ra
11
9
2 1 1
yz
Q
yz




3. Dễ chứng minh được
2
14
0.
2 1 9 9
t
t

t
   


Suy ra:
45
1
99
P   

Dấu bằng xảy ra khi x = 1, y = 1, z = 0 hoặc x = 1, y = 0, z = 1.

Nguồn: Hocmai.vn