Đề đề nghị Olympic 16 - Toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XVI
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; KHỐI: 10
ĐỀ THI
CÂU HỎI 1: ( 3.0 điểm)
Giải phương trình sau:
25x53x36x85x3
23
3
−+−=−

ĐÁP ÁN CÂU HỎI 1
Phương trình
25x53x36x85x3
23
3
−+−=−


( )
3
3
3 5 2 3 2x x x
⇔ − = − − +
0.5 đ
Đặt
3
5x33y2
−=−

( ) ( )
1 5x33y2
3
−=−⇔
0.25 đ
Suy ra:
( )
3y22x3x2
3
−=+−−

( ) ( )
2 5y2x3x2
3
−+=−⇔
0.5 đ
Lấy
( )
1
trừ
( )
2
:
( ) ( )
223232
33
yxxy
−=−−−
0.25 đ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
y2x23x23x23y23y2x2y2
22
−=−+−−+−−⇔
0.5 đ
Suy ra
xy
=
0.25 đ
Thay
xy
=
vào
( )
1
ta được:
( )
5x33x2
3
−=−

( )
( )
011x20x82x
2
=+−−⇔
. 0.25 đ
Phương trình có ba nghiệm
2x

=
;
4
35
x
±
=
. 0.25 đ
Thử lại nhận thấy cả ba nghiệm đều thỏa. 0.25 đ
Số phách
Số phách
CÂU HỎI 2: (4.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất sau: có thể chia tập hợp 6 số
{ }
2015n 2014;n 2013;n 2012;n 2011;n ;2010n ++++++
thành hai tập hợp, sao cho tích
tất cả các số của tập hợp này bằng tích tất cả các số của tập hợp kia.

ĐÁP ÁN CÂU HỎI 2:
Nhận thấy trong 5 số nguyên liên tiếp phải có một và chỉ một số chia hết cho 5. 0.5 đ
Vì vậy nếu tập hợp 6 số
{ }
2015n 2014;n 2013;n 2012;n 2011;n ;2010 ++++++n
thỏa yêu cầu thì trong tập hợp đó phải có đúng hai số chia hết cho 5, hai số đó chỉ có thể
là
2015n ;2010 ++n
, còn các số
2014n 2013;n 2012;n ;2011 ++++n
không chia hết
cho 5. 0.5 đ

Chý ý rằng: nếu trong 6 số của tập hợp trên có một số chia hết cho số nguyên tố
7≥p
thì trong 5 số còn lại sẽ không chia hết cho p khi đó tập hợp không có tính chất đã
nêu. 0.5đ
Từ đây suy ra các số
2014n 2013;n 2012;n ;2011 ++++n
chỉ chứa thừa số nguyên
tố 2 và 3, 0.5 đ
tức là:
11
3.22011
mk
n =+
;
22
3.22012
mk
n =+
;
33
3.22013
mk
n =+
;
44
3.22014
mk
n =+
trong đó
43214321

;;;;;;; mmmmkkkk
là các số nguyên không âm. 0.5đ
Nếu
32011+n
khi đó
32014+n
thì
2013n 2012;n ++
không chia hết cho 3, do
đó
0
32
== mm
cho ta
3
2
22013n ;22012n
k
k
=+=+
điều này là vô lý vì hai số nguyên
liên tiếp là số chẵn. 0.5đ
Lập luận tương tự, ta thấy nếu n + 2012 chia hết cho 3 hoặc n + 2013 chia hết cho 3
thì ta vẫn gặp điều mâu thuẫn. 0.5đ
Do đó không có số nguyên nào thỏa yêu cầu. 0.5đ
CÂU HỎI 3: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm bất kỳ trên cạnh
BC, AC, AB sao cho các đường thẳng AA’ , BB’ CC’ đồng qui. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: T = AB’.CA’.BC’
ĐÁP ÁN CÂU 3:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm

BC, AC, AB.

Ta có:
2
' '
'. ' '. '
2
AB B C
AB B C AN AB B C AN
+
≤ = ⇔ ≤
0.5 đ
Tương tự ta có:
2
2
'. '
'. '
CA A B CM
BC C A BP
≤
≤
0.5 đ
2
( '. '. ')( ' . ' . ' ) ( . . )AB CA BC B C A B C A AN CM BP⇒ ≤
0.5 đ
Theo định lí Ceva, ta có:
' ' '
. . 1 '. '. ' ' . ' . '
' ' '
AB CA BC

AB CA BC B C A B C A
B C A B CA
= ⇒ =
0.5 đ
Suy ra
'. '. ' . .
8
abc
AB CA BC AN CM BP≤ =
0.5 đ
Vậy T
Max
= (AB’.CA’.BC’ )
Max
=
8
abc
0.5 đ

CÂU HỎI 4: (4.0 điểm)
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:

ba
c
ac
b
cb
a
ac
c

cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<
+
+
+
+
+
ĐÁP ÁN CÂU HỎI 4:
Trước hết ta chứng minh rằng:
cba
ca
ba
a
++
+
<
+

( )
1
0.5đ
Thật vậy, do các số a, b, c đều dương nên

( ) ( ) ( )( )
bacacbaa1 ++<++⇔

bcacabaacaba
22
+++<++⇔

( )
đúng
0.25đ
Tương tự ta có các bất đẳng thức sau:
acb
ab
cb
b
++
+
<
+
,
bac
bc
ac
c
++
+
<
+
0.5đ
Cộng vế theo vế

( )
1
và hai bất đẳng thức trên, ta được:

( )
2
cba
cba2
ac
c
cb
b
ba
a
=
++
++
<
+
+
+
+
+

( )
2
0.5đ
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
( ) ( )
cba

2
1
cba ++≤+
0.5đ

( )
cba
a2
cba
1
a
cb
a
++
≥
+
=
+
⇒

( )
3
0.5đ
Tương tự ta được hai bất đẳng thức sau:

cba
b2
ac
b
++

≥
+
và
cba
c2
ba
c
++
≥
+
0.5đ
Cộng vế theo vế bất đẳng thức
( )
3
và hai bất đẳng thức trên ta được:

( )
2
2
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ cba
cba
ba

c
ac
b
cb
a

( )
4
0.5đ
Từ
( )
2
,
( )
4
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 0.25đ
CÂU HỎI 5: (3.0 điểm)
Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý
giống nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp
thành một dãy sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp như vậy ?
ĐÁP ÁN CÂU 5:
Gọi A là tập hợp các cách xếp 12 bộ thành một dãy tùy ý.
Gọi
1
A
là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Toán đứng kề nhau.
Gọi
2
A

là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Lý đứng kề nhau.
Gọi
3
A
là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Hóa đứng kề nhau.
Gọi
4
A
là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Sinh đứng kề nhau.
Gọi
*
A
là tập hợp các cách xếp thỏa yêu cầu đề bài. 0.5đ
Ta có

4
1
*
\
=
=
i
i
AAA
0.5 đ


4
1
*

=
−=⇒
i
i
AAA
0.5đ
Mà
369600
)!3(
!12
4
==A
0.5đ
60936
)!3(
!4
)!3(
!6
)!3(
!8
)!3(
!10
0
4
4
1
3
4
2
2

4
3
1
4
4
1
=+++=
=
CCCCA
i
i

0.5đ
30866460936369600
*
=−=⇒ A
0.5đ
CÂU HỎI 6: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt cạnh BC
tại M, N. Từ N kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và AB tường ứng tại Q
và P. Từ P kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O. Chứng minh rằng
BCOQ ⊥
ĐÁP ÁN CÂU HỎI 6:
Ta chọn hệ trục tọa độ vuông góc như sau: gốc tọa độ là N, NO là trục hoành và PN
là trục tung. 0.25đ
Khi đó phương trình đường thẳng AB có dạng:
baxy +=
0.25 đ
Vì trục hoành Ox là phân giác trong của góc A nên đường thẳng AC đối xứng với AB
qua trục hoành, do vậy

( )
baxy:AC −−=
. 0.25 đ
Theo giả thiết
ABPO ⊥
và nhận thấy
( )
0; bP
nên
( )
bx
a
1
y:PO
+−=
. 0.25đ
Gọi
( )
cxy:BC =
. Ta tìm được






+
−
+
−







−− ac
bc
;
ac
b
C ;
ac
bc
;
ac
b
B
0.5đ
Suy ra trung điểm M của BC có tọa độ là






−−
2222
ac
abc

;
ac
ab
. 0.25đ
Từ phương trình của các đường thẳng AB, PO cho ta






−
0;
a
b
A
;
( )
0;abO
. 0.25đ
Lập phương trình đường thẳng AM:
0y
a
c
a
b
xa =−







+
. 0.25đ
Q là giao điểm của AM và trục tung nên






c
ab
;0Q
. 0.25đ
Hệ góc cuả đường thẳng BC là c và của đường thẳng OQ là
c
1−
nên
BCOQ ⊥
. 0.5đ