Chương 2: Lý thuyết sai số pptx

§ 2.1 KHÁI NIỆM PHÉP ĐO
2.1.1 Định nghĩa phép đo
Phép đo là đem so sánh đại lượng cần đo với đại lượng
cùng loại được chọn làm đơn vị.
Trong đo dài chọn đơn vị là: mét.
Trong đo góc đơn vị là: độ (độ ; phút; giây), grat (độ grat,
phút grat, giây grat)
2.1.2 Phân loại phép đo
Trong đo đạc có đo trực tiếp và đo gián tiếp
- Đo trực tiếp: là những đại lượng nhận được sau phép so
sánh trực tiếp
- Đo gián tiếp: là những đại lượng được tính ra từ các đại
lượng đo trực tiếp thông qua mối quan hệ toán học.

Theo độ chính xác có:
- Đo cùng độ chính xác (đo cùng điều kiện đo)
- Đo không cùng độ chính xác (đo không cùng điều kiện)
Điều kiện đo: Dụng cụ, con người, ngoại cảnh
Kết quả đo cần thiết(đo đủ) và đo thừa (đo dư):
- Kết quả đo cần thiết k là số lượng kết quả đo tối thiểu
đủ để xác định đại lượng cần xác định.
- Kết quả đo thừa là n-k kết quả đo còn lại.
Đo thừa là cần thiết trong trắc địa. Vì nó giúp ta kiểm tra
được các kết quả đo với nhau và tăng độ chính xác.

§ 2.2 PHÂN LOẠI SAI SỐ ĐO ĐẠC
Một đại lượng được đo nhiều lần, dù cẩn thận kết quả
vẫn khác nhau. Điều đó chứng tỏ trong kết quả đo luôn có
sai số:

Công thức:
Trong đó: Δ
i
: là sai số thực của lần đo thứ i
l
i
: kết quả đo lần thứ i
X : trị số thực của đại lượng cần xác định
Căn cứ vào tính chất của sai số Δ
i
(nguyên nhân xuất hiện
sai số) người ta phân làm 3 loại sai số sau:
2.2.1 Sai số do sai lầm
Là sai số gây nên do sự thiếu cẩn thận, nhầm lẫn trong
khi đo, khi ghi sổ, khi tính (đọc sai, ghi sai, ). Thường sai
số do sai lầm có trị số lớn dễ phát hiện.
Khắc phục: Đo nhiều lần (đo lặp)
(2.1) Xl
ii
−=∆


2.2.2 Sai số hệ thống
Là sai số ảnh hưởng đến kết quả đo có tính chất hệ thống
trong cùng điều kiện đo nhất định.
- Sai số hệ thống có thể do tật của người đo, dụng cụ đo,
ngoại cảnh thay đổi…
- Sai số hệ thống có tính chất: có trị số và dấu thường
không đổi, mang tính tích luỹ
- Sai số hệ thống có thể loại bỏ hoặc hạn chế bằng cách

kiểm nghiệm, điều chỉnh dụng cụ đo, sử dụng phương
pháp đo thích hợp. Tính số hiệu chỉnh vào kết quả đo.

2.2.3 Sai số ngẫu nhiên
Là sai số ảnh hưởng lên kết quả đo theo tính chất ngẫu
nhiên, kết quả của lần đo sau không phụ thuộc vào lần đo
trước đó.
Sai số ngẫu nhiên có đặc điểm:
- Sai số ngẫu nhiên có dấu và trị tuyệt đối thay đổi.
- Sai số ngẫu nhiên không mang tính tích luỹ mà mang
tính bù trừ.
- Sai số ngẫu nhiên không khử được mà chỉ hạn chế.
Sai số ngẫu nhiên có 4 tính chất sau:
- Tính giới hạn: Trong các điều kiện cụ thể trị số tuyệt
đối của sai số ngẫu nhiên không vượt quá một giới hạn
nhất định.

- Tính tập trung: sai số có trị tuyệt đối càng nhỏ số lần
xuất hiện càng lớn.
- Tính đối xứng: sai số ngẫu nhiên dương và âm với trị
tuyệt đối nhỏ có số lần xuất hiện gần bằng nhau.
- Tính bù trừ: Khi số lần đo tiến tới vô cùng thì trị trung
bình cộng của các sai số ngẫu nhiên tiến tới không “0”.
(n là số lần đo, ∆
i
là sai số thực)
[ ]
0
lim
=

∆
∞→
n
n

§ 2.3 CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC
KẾT QUẢ ĐO CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC.
2.3.1 Sai số trung bình:
Trong đó:
∆i = li - X là sai số thực của lần đo thứ i
li : kết quả đo lần thứ i
X: trị thực của đại lượng cần xác định
n : số lần đo
[ ]
(2.2)

1
||

||

nn
n
i
i
∆
=
∆
=
∑

=
θ

2.3.2 Sai số trung phương một lần đo
Công thức Gauss: Tính sai số trung phương theo sai số
thực
Sai số trung phương được định nghĩa

Trong đó: ∆i _là sai số thực của lần đo thứ i
∆i= li-X
n _số lần đo
(2.3)

2
n
Δ






±=
m

2.3.3 Sai số giới hạn
Theo tính chất của sai số ngẫu nhiên trong điều kiện đo
nhất định trị tuyệt đối của sai số ngẫu nhiên không vượt
quá một giới hạn nhất định.
Thực nghiệm cho thấy: ∆

gh
= 2 ÷ 3m
Trong trắc địa lấy ∆
gh
= 2m
m: là sai số trung phương.

2.3.4 Sai số trung phương tương đối:
Là tỷ số giữa sai số trung phương với giá trị của đại
lượng đo:
Trong đó: m _là sai số trung phương của đại lượng đo
S _là trị độ lớn của đại lượng đo
(2.4)

1
S
m
T
=

§ 2.4 SAI SỐ TRUNG PHƯƠNG HÀM TRỊ ĐO
Có hàm F = f(x,y,…,t)
x, y, , t là các biến số đo độc lập được đo trực tiếp tương
ứng có sai số trung phương m
x
, m
y
, …, m
t
(2.5)

2
2
2
2
txF
m
t
F
m
x
F
m






∂
∂
++






∂
∂
±=

Trong đó: là các đạo hàm
riêng phần của hàm F theo biến x, y,…,t
(2.5) là công thức tổng quát để tính sai số trung phương
hàm trị đo (đại lượng đo gián tiếp thông qua các đại
lượng đo trực tiếp)
t
F
y
F
x
F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
; ; ;

§ 2.5 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ SAI SỐ TRUNG
PHƯƠNG M CỦA NÓ
Đo đại lượng X trong n lần đo được l
1
, …, l
n
∆
1
= l
1
– X

+ :
∆
n
= l
n
– X
[∆]= [l] –nX
Vi phân 2 vế (2.6) chuyển qua sai số trung phương ta có
n
l
nn
l
X
nn
l
X
nn
][
lim)
][][
(lim
][][
∞→∞→
=
∆
−=⇒
∆
−=⇒
(2.6)
1

1][
1 n
l
n
l
nn
l
X
++==
(2.7)
1

1
2
2
2
1
2
2
n
X
m
n
m
n
m







++






=

Nếu coi các trị đo cùng độ chính xác: m
1
= m
2
= … = m
n
Tac có:
Trong đó: m
X
: Sai số trung phương trị trung bình
m : Sai số trung phương trị đo (1 lần đo)
n : Số lần đo
⇒=

2
2
2
m

n
n
m
X
(2.8)
n
m
m
X
±=

§2.6 CÔNG THỨC BESSEN
Tính sai số trung phương theo sai số xác suất nhất (số
hiệu chỉnh).
Nhận xét: Để tính được sai số trung phương theo công thức
Gauss thì ta phải tính được sai số thực ∆
i
= l
i
– X nghĩa
là ta phải biết được trị thực X của đại lượng cần đo.
Vì vậy công thức Gauss (2.3) chỉ mang tính thực nghiệm.
Và nhà trắc địa Bessen đã đưa ra công thức tính sai số
trung phương theo sai số xác suất nhất như sau:
(2.9)

2
1-n
v







±=
m

Từ (2.8) và (2.9) ta có công thức tính sai số trung phương
trung bình cộng:
Trong đó: : là sai số xác suất nhất (số hiệu chỉnh)
li : kết quả đo được lần thứ i
: số trung bình của kết quả đo (trị xác
suất nhất)
n : số lần đo
[ ]
(2.10)
)1(

−
±=±=
nn
vv
n
m
m
X
Xlv
ii
−=

[ ]
n
l
X
=

§2.7 ĐƠN VỊ DÙNG TRONG TRẮC ĐỊA VÀ NGUYÊN
TẮC LÀM TRÒN SỐ
2.7.1 Đơn vị thường dùng
a) Đo dài: mm, cm, dm, m, km
1m = 1.650.763,73 λ
Kr86
λ
Kr86
: Bước sóng truyền trong chân không của nguyên tố
Kripton 86 trong vùng quang phổ nhất định
b) Diện tích: mm
2
, cm
2
, dm
2
, m
2
, km
2
, ha, công, mẫu
1 mẫu = 10 công, 1công = 1000 m
2

c) Đo góc:
* Độ, phút, giây
1
0
=60’=3600”
* Độ grat, phút grat, giây grat
2π =400
0
G, 1
0
G=100’G, 1’G=100”G

d) Đơn vị chuyển đổi
π=180
0
 ρ
0
=180/π = 57
0
3
ρ’ = ρ
0
x60 = 3438’
ρ” = ρ’x60 = 206265”
2.7.2 Nguyên tắc làm tròn số trong trắc địa
Các số từ 0 ÷ 4 bỏ Ví dụ: 3.34 = 3.3
Các số từ 6 ÷ 9 làm tròn lên 1 Ví dụ: 3.36 = 3.4
Các số là 5;
- nếu trước nó là số chẵn bỏ Ví dụ: 5.25 = 5.2
- nếu trước nó là số lẻ thì làm tròn lên 1.Ví dụ: 5.35 = 5.4

BÀI TẬP1: Cho biết số liệu đo đạc nhiều lần một đoạn thẳng
như sau:
Tính: 1. Trị trung bình của đoạn thẳng
2. Sai số trung phương m (Giả sử coi trị thực bằng trị tb)
3. Sai số trung phương của số trung bình cộng
4. Sai sô trung phương tương đối (1/T) của đoạn thẳng
trung bình
STT Trị đo
l
i
(m)
TBinh
L (m)
V
i
=l
i
-L(m) V
i
2
(m
2
)
1 120.55 0.00 0
2 120.57 0.02 0.0004
3 120.53 120.55 -0.02 0.0004
4 120.56 0.01 0.0001
5 120.54 -0.01 0.0001
Σ

0.00 0.0010

BÀI TẬP 2: Dùng thước thép đo diện tích hình chữ nhật có chiều dài
a=50m, b = 40m với sai số trung phương tương ứng m
a
= m
b
= ±5mm.
Hãy tính:
1. Sai số trung phương xác định diện tích
2. Sai số trung phương tương đối xác định cạnh a, b, và diện tích
Giải:
6250
1
2000
320.01
000.8
1
40
005.01
000.10
1
50
005.01
)(320.0
)(5040005.0)(
)()(
2
22222
2222222222

2
2
2
2
2
===
===
===
±=
+=+=
=+=+=






∂
∂
+






∂
∂
=⇒=
S

m
T
b
m
T
a
m
T
mm
mabmm
mmvìmabmambm
m
b
S
m
a
S
m
S
S
b
b
a
a
S
aS
aaabaS
baS
ñoái töông phöôngtrung soáSai2.
a.bS tích Dieän 1.

BI TP 3: o bỏn kớnh ca mt vũng trũn c r =
45,3cm 0,4cm. Tớnh chu vi vũng trũn, sai s trung
phng v sai s tng i ca chu vi ú
Gii
114
1
6,284
5,21
5.2.2m
)(4,0.2.2m
cm 284,6 .45,32 .R2 C :
C
C
===
==
==
===
C
m
T
cmm
cmm
C
C
R
vi chu cuỷa ủoỏi tửụng phửụngtrung soỏ Sai
vi chu ủũnh xaực phửụngtrung soỏ Sai
troứn voứng vi Chu

BÀI 5: Đo 1 góc 4 lần được các trị số đo
90
0
21’30” , 90
0
21’15” , 90
0
21’08”, 90
0
21’4i”
1. Tính trị trung bình cộng
3. Sai số trung phương một lần đo
4. Sai số trung phương của số trung bình cộng (coi các lần đo có cùng độ chính
xác)
BÀI 6: Tính m
h
khi h = StgV + i - l
S = 100m ± 0,05 m
V = 10
0
20’ ± 0, i’
i = 130cm ± 7 cm <==> 1,3 m ± 0,07
l = 125 cm ± 2 cm <==> 1,25 m ± 0,02
i: số cuối của MSSV
BÀI 4: Hình bình hành ABCD đo cạnh a=
AB=40,00 m, cạnh b=AD=50,00 m. Và sai số
trung phương tương đối cạnh a là 1/Ta=1/4000 ,

cạnh b là 1/Tb = 1/5000, Góc A = 60
0
00’00” với
sai số m
A
=0, i ’
1. Xác định diện tích hình bình hành ABCD
2. Tính sai số trung phương tương đối xác định
diện tích hình bình hành
B
a
A
b
D
C

BÀI TẬP 7: Trong tam giác đo 2 góc với sai số trung
phương là ±4’’ và ±6’’. Tính sai số trung phương góc thứ
3
BÀI TẬP 8. Tam giác ABC đo 3 góc A, B, C với sai số
trung phương đo góc m
A
=

m
B
= m
C
= m
β.

Tính sai số trung
phương đo góc m
β
theo sai số khép Ferêrô.
Công thức Ferêrô: W = 180
0
– (A+B+C)

Ví dụ: Bằng phương pháp đo cao lượng giác, đặt máy kinh
vĩ điện tử tại A để xác định độ cao điểm B.
Biết: H
A
= 5,000m, I
A
= 150cm ± 2cm, S = 100m ± 5cm,
l=2,00m ± 0,5cm, V = 5
0
30’ ± 30”
a.Tính độ cao của điểm B (H
B
)?
b. Xác định sai số số trung phương xác định độ cao điểm B?
A
i
l
h
h
'
V
S

D
B
A
AB

a.Từ hình vẽ ta có: h
AB
+ l = i
AB
+ h’
H
B
- H
A
= h
AB
= i
AB
+ h’ – l
 H
B
= H
A
+ i
AB
+ S sinV - l (*)
H
B
= 5 + 1.5 + 100sin5
0

30’- 2 = 15.084m
b. Từ công thức (*) chuyển qua sai số trung phương
m
2
hB
= m
2
iA
+ sin
2
V.m
2
S
+ S
2
.cos
2
V.m
2
β
/ρ
2
” + m
2
l