De thi HSG hay

Đề thi chọn đôị tuyển học sinh giỏi môn toán 7
Thời gian 150 p
Câu 1: Tính.
a)
41
1
35
4
6
1
7
5
3
1
5
2
2
1
+

+

++


b)
)
2010.2009
1
1()
2009.2008

1
1( )
4.3
1
1()
3.2
1
1()
2.1
1
1( +++++
Câu 2: Tìm x biết.
a) 2
x
+ 2
x+3
= 144 b)
120102009 =+ xx
Câu 3:
a) Chứng minh rằng.
Nếu
d
c
b
a
=
thì
22
2
22

2
811
37
811
37
dc
cdc
ba
aba

+
=

+
b) Tìm 3 phân số tối giản biết tổng của chúng bằng
24
7
12
tử số của
chúng tỉ lệ thuận với 3;5;7, mẫu số tỉ lệ với 2;3;4.
Câu 4:
Tìm các số nguyên dơng m và n sao cho 2
m
2
n
= 256
Câu 5: Cho tam giác ABC Có góc A < 120
0
. Dựng ngoài tam giác ấy các tam
giác đều ABD và ACE

a) Chứng minh rằng: BE = CD
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC.
c) Chứng minh rằng : IA +IB =ID
d) Chứng minh rằng
AIB = BIC = AIC = 120
0
Trờng THCS Thiên lộc
Đáp án
1/ a)
41
1
2
41
1
11
41
1
)
35
4
5
2
7
5
()
6
1
3
1
2

1
( =++=+++++
b) A= 2009 -
)
2010.2009
1
2009.2008
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
( +++++
= 2009
)
2010
1
2009
1

5
1
4
1
4
1
3

1
3
1
2
1
2
1
1( +++++
= 2009 -
2010
2009
2009)
2010
1
1( =
2/
2
x
+ 2
x+3
= 144 => 2
x
(1+2
3
) = 144=> 2
x
= 16
2
x
= 2

2
=> x = 4
b)
120102009 =+ xx
=>
120102009 =+ xx
Ta lại có
12010200920102009 =++ xxxx
120102009 =+ xx
(x - 2009).(2010 - x)

0 2009

x

2010
Vậy
120102009 =+ xx
2009

x

2010
3/ a) Vì
d
c
b
a
=
nên

d
b
c
a
d
b
d
b
c
a
c
a
d
b
c
a
===>=
Hay
cd
ab
d
c
b
a
==
2
2
2
2

Ta lại có
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
811
811
37
37
3
3
8
8
11
11
7
7
dc
ba
cdc
aba
cd
ab
d

b
c
a
c
a
q


=
+
+
====
Hay
22
2
2
2
811
37
811
37
dc
cdc
bca
aba

+
=

+

b) Gọi các phan số cần tiìm là
f
e
d
c
b
a
;;
theo bài ra ta có:
a : c : e = 3 : 5 : 7; b : d: f =2 : 3 : 4
Đặt
;
753
k
eca
===

p
fdb
===
432
Ta có a= 3k; c = 5k; e =7k; b = 2p; d =3p; f = 4p
Ta lại có
8
35
;
6
25
;
4

15
2
5
.
2
3
2
5
24
295
12
59
24
7
12
=====>
==>==>=++
f
e
d
c
b
a
p
k
p
k
f
e
d

c
b
a
Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng
24
7
12
4/ Ta có 2
m
- 2
n
> 0 => 2
m
> 2
n
=> m > n
Nên (1) 2
n
(2
m-n
1) = 2
8
Vì m-n > 0 => 2
m-n
1 lẽ => 2
m-n
-1 =1 => 2
m-n
= 2
1

=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 9
5/

a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD
b) Từ ADC = ABE => ADC = ABE
Gọi K là giao điểm của AB và CD. Xét hai tam giác AKD và IKB có
AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên)
Vậy KAD = KIB = 60
0
=> BIC = 120
0
c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB đều nên IB = BJ (1)
Xét tám giác IAB và tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt)
B
1
= B
2
( B
1
+ B
3
= B
2
+ B
3
= 60
0
) Vậy tam giác
IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2)
Từ (1) và (2) => IA + IB = ID

d) J nằm giữa I và D, IAB = JBD => AIB + DJB = 120
0
Trờng THCS Thiên lộc
D
K
J
C
I
E
A
B
1
3
2