đề thi hsg toán 9 hay có đáp án

Phòng giáo dục đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện
Huyện bá thớc Năm học 2006-2007
Môn : toán ( Thời gian làm bài 150 phút )
Bài 1: (3 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a- 3x
2
y + 6xy
2
+ 3y
3
b- (x
2
+ x + 4)
2
+ 8x(x
2
+ x + 4) + 15x
2
.
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức: A =
65
2
2
2
++
+
xx
xx
a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.

b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
c- Tìm x để A < 0.
Bài 3: (4,5 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu:
1
<
a
và
1
<
b
thì
abba
+<+
1
b- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
1
1
2
2
+
+
xx
x
c- Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn phơng trình: 2
x
+ 1 = y
2
.
Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có số đo diện tích bằng
9
10
bình phơng số đo
cạnh đáy BC. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết rằng cạnh bên hơn cạnh đáy
23cm.
Bài 5: (5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB// CD); O là giao điểm của hai đờng chéo AC và
BD. Đờng thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M và N.
a- Chứng minh rằng:
MNCDAB
211
=+
b- Biết diện tích các tam giác AOB; COD thứ tự là a
2
; b
2
hãy tính diện tích
hình thang ABCD.
Họ tên thí sinh: .. SBD
(Đề thi gồm 1 trang)
Đề chính thức
phòng giáo dục bá thớc hớng dẫn chấm
Kì thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện môn : toán 8
Ngày 18 tháng 4 năm 2007
- Hớng dẫn chấm này gồm 3 trang .
- Đây là hớng dẫn chấm, nên giám khảo phải căn cứ vào bài làm của thí sinh
để chấm. Nếu học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần không làm tròn số.
Bài 1: (3 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ 3x
2
y + 6xy
2
+ 3 y
3
= 3y(x
2
+2xy+y
2
) (0,75 đ)
= 3y(x+y)
2
(0,75 đ)
b/ Đặt x
2
+x+4 = t
Ta có: (x
2
+x+4)
2
+ 8x(x
2
+x+4) + 15x
2
= t
2
+8xt+15x
2

(0,5 đ)
= t
2
+3xt+5xt+15x
2
= (t+3x)(t+5x) = (x
2
+4x+4)( x
2
+6x+4) (0,5 đ)
= (x+2)
2
(x+3+
5
)(x+3-
5
) (0,5 đ)
Bài 2: (4 điểm)
a/ ĐK: x
2
+5x+6

0 <=> (x+2)(x+3)

0 <=> x

-2 và x

-3 (0,5 đ)
Ta có: A =

65
2
2
2
++
+
xx
xx
=
)3)(2(
)2)(1(
++
+
xx
xx
=
3
1
+

x
x
(1,0 đ)
b/ Ta có: A =
3
1
+

x
x

= 1-
3
4
+
x
(0,5 đ)
Với x nguyên để A nguyên thì x+3 phải là ớc của 4 (0,25 đ)
x+3 = 1 x= -2 (không thỏa mãn ĐK)
x+3 = -1 x= -4
<=> x+3 = 2 <=> x= -1 (0,5 đ)
x+3 = -2 x= -5
x+3 = 4 x= 1
x+3 = -4 x= -7
Vậy có 5 giá trị nguyên của x cần tìm là -7; -5; -4; -1; 1. (0,25 đ)
c/ Ta có:
3
1
+

x
x
< 0 <=> (x-1)(x+3) < 0 (0,5 đ)
<=> -3 < x < 1. (0,25 đ)
Kết hợp với ĐK, để A < 0 thì x

(-3;1)\
{ }
2

(0,25 đ)

Bài 3: (4,5 điểm)
a- Ta có:
abba
+<+
1
<=> (a+b)
2
< (1+ab)
2
(vì 2 vế đều không âm) (0,5 đ)
<=> a
2
+ b
2
1 a
2
b
2
< 0 (0,5
đ)
<=> (a
2
- 1)(1- b
2
) < 0 (*) (0,5 đ)
Vì
1
<
a
và

1
<
b
nên (a
2
- 1) < 0 và (1- b
2
) > 0 do đó bất đẳng
thức (*) hiển nhiên đúng. Vậy BĐT đã cho đợc chứng minh. (0,5 đ)
b- Ta có: A =
1
1
2
2
+
+
xx
x
= 2-
1
)1(
2
2
+

xx
x
2

(0,75 đ)

(Vì (x-1)
2


0; x
2
-x+1 = (x-
2
1
)
2
+
4
3
> 0) (0,25 đ)
=> A
max
= 2 khi x = 1 (0,5 đ)
c- Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình 2
x
+ 1 = y
2
.
<=> 2
x
= (y-1)(y+1) => (y-1) và (y+1) là ớc của 2
x
(0,25 đ)
=> y-1 = 2
p

và y+1 = 2
q
( p < q; p,q

N )
=> y = 2
p
+1 = 2
q
-1 => 2
q
-2
p
= 2
=> 2
p
(2
q-p
-1) = 2 (1) (0,25 đ)
Nếu q-p > 1 => số lẻ 2
q-p
-1 là ớc của 2 vô lí
Vậy q-p

1 => q-p = 1 thay vào (1) ta đợc 2
p
= 2 (0,25 đ)
=> p = 1 => q = 2 => y = 3 => x = 3
Vậy phơng trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm tự nhiên x = y = 3. (0,25 đ)
Bài 4: (3,5 điểm)

Gọi x là số đo cạnh đáy BC của tam giác cân ABC (x>0).
Gọi AH là đờng cao ứng với đáy BC => HB= HC=
2
x
(0,5 đ)
- Diện tích tam giác bằng
9
10
bình phơng số đo A
cạnh đáy BC tức diện tích tam giác bằng:
9
10
x
2
. (0,5 đ)
- Đờng cao AH có số đo: AH =
x
x
.9
10.2
2
=
9
20x
(0,5 đ)
- Trong tam giác vuông ABH ta có:
AB
2
= AH
2

+BH
2
= (
9
20x
)
2
+ (
2
x
)
2
=
)
18
41
(
x
2
(0,5 đ)
=> AB= AC =
18
41x
(0,25 đ) B H
C
- Vì cạnh bên hơn cạnh đáy 23cm nên ta có phơng trình:

18
41x
= x+23 <=> x = 18 (cm) (0,75 đ)

Vậy: BC = 18 cm; AB = AC = 41cm. (0,5 đ)
Bài 5: (5 điểm)
a/ Do MN song song với AB và CD A B
=>
AD
AM
CD
MO
=
và
AD
DM
AB
MO
=
(0,75 đ) M N
=>
1
=+
AB
MO
CD
MO
(1) (0,5 đ)
D C
Tơng tự ta cũng có:
1
=+
AB
NO

CD
NO
(2) (0,5 đ)
Từ (1) và (2) =>
2
=+
AB
MN
CD
MN
(0,75 đ)
=>
MNABCD
211
=+
(0,5 đ)
O
b/ Ta có:
OD
OB
S
S
AOD
AOB
=
( Vì 2 tam giác AOB và AOD có cùng đờng cao xuất phát từ đỉnh A) (0,5 đ)
Tơng tự:
OC
OA
S

S
COD
AOD
=
(0,25 đ)
Lại có: hai tam giác AOB và COD đồng dạng
=>
OC
OA
OD
OB
=
(0,25 đ)
=>
COD
AOD
AOD
AOB
S
S
S
S
=
(0,25 đ)
=>
CODAOB
AOD
SSS .
2
=

= a
2
b
2

=>
=
AOD
S
ab. (0,25 đ)
Tơng tự ta cũng có:
=
BOC
S
ab. (0,25 đ)
Vậy:
=
ABCD
S
(a+b)
2
(0,25 đ)
----------------Hết----------------