Cá sai lầm của học sinh khi giải toán

Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
LỜI MỞ ĐẦU
Qua quá trình nghiên cứu hệ thống bài tập sách giáo khoa (SGK), tìm hiểu,
giảng dạy và ghi nhận cách giải của học sinh (HS) THCS, chúng tôi phát
hiện ra rằng: khi giải toán, HS THCS thường mắc không ít sai lầm. Vấn đề
này ít được chú ý, phát hiện và sửa chữa cho HS. Hơn nữa, hiện nay hình
như chưa có tài liệu nghiên cứu về vấn đề này, mà chỉ có những tài liệu
nghiên cứu những sai lầm khi giải toán của HS THPT. Vậy một câu hỏi đặt
ra là: Có phải đây là vấn đề không đáng được quan tâm? Chúng tôi nghĩ
rằng, nếu không sớm khắc phục những sai lầm của HS ngay ở THCS thì sẽ
rất khó khăn cho HS sau này. Vì vậy, chúng tôi chọn thực hiện tài liệu
nhằm hướng đến việc tìm hiểu các sai lầm thường gặp của HS THCS khi
giải toán. Chúng tôi mong muốn tài liệu trở thành tư liệu trước hết phục vụ
cho các giáo viên tham khảo. Sau đó, có thể giúp HS biết né tránh những
sai lầm thường gặp, biết cách khắc phục những sai lầm ấy.
Nói rõ hơn, chúng tôi nghiên cứu tài liệu này nhằm phát hiện ra những sai
lầm thường gặp của HS THCS khi giải toán. Trên cơ sở tìm hiểu, phân tích
nguyên nhân mắc sai lầm, chúng tôi đề xuất những biện pháp khắc phục có
hiệu quả.
Chúng tôi nghiên cứu dựa theo bộ SGK đổi mới 6, 7, 8 và chỉ tập trung
nghiên cứu các sai lầm liên quan đến việc: viết ký hiệu, vẽ hình, áp dụng
công thức, tư duy logic.
Tài liệu chúng tôi gồm các phần sau:
- Thử lý giải các sai lầm khi giải toán của HS THCS.
- Các sai lầm thường gặp của HS THCS khi giải toán.
Tài liệu được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình của quý thầy cô của
trường THCS Lê Thánh Tôn và các đồng nghiệp. Chúng tôi xin biết ơn sâu
sắc về sự quan tâm, chỉ bảo của quý thầy, cô. Đồng thời xin cám ơn Ban
giám hiệu, tổ KHTN, đặc biệt là thầy Dương Trọng Thu - Hiệu trưởng
trường THCS Lê Thánh Tôn đã tạo điều kiện để chúng tôi có cơ hội thực
hiện tài liệu này. Dù đã cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi

những thiếu sót, kính mong quý thầy cô đóng góp ý kiến. Chân thành cám
ơn.
Trần Thị Minh Thoa
Trần Thị Minh Thoa
Trang 2
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
CHƯƠNG 1: THỬ LÝ GIẢI MỘT SỐ SAI LẦM TRONG GIẢI
TOÁN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ.
Ở lứa tuổI THCS, tâm lý các em chưa ổn định, chưa thật sự suy nghí sâu
sắc, thấu đáo việc làm của mình. Chính vì vậy, khi giải toán HS chỉ chú
trọng đáp số, không chú trọng phương pháp giải. Vì thế, HS thường mắc sai
lầm trong giải toán. Hơn nữa, ở lứa tuổi này, HS thường muốn chứng tỏ khả
năng của mình, điều này kích thích khả năng sáng tạo của HS. Tuy nhiên,
HS lại chưa đủ cơ sở kiến thức để có thể khẳng định đúng hoặc sai, dẫn đến
dễ ngộ nhận.
Trong quá trình dạy học, HS chủ động tiếp thu tri thức dưới sự hướng dẫn
của người dạy để hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Nếu ngay từ giai đoạn tiếp
thu, HS có sự nhầm lẫn sẽ dễ dàng dẫn đến việc áp dụng sai kiến thứ. Mặt
khác, tư duy của HS đi từ: tư duy quan sát- tư duy tương tự- tư duy sáng
tạo. Nếu ngay ở giai đoạn tư duy quan sát, HS không hiểu được bản chất
của tri thức thì khi áp dụng tương tự, HS thường rất máy móc, thụ động và
có thể dẫn đến sai lầm.
Trong khi chỉ ra những sai lầm, đưa ra cách khắc phục, người dạy đã rèn
luyện cho HS tính kỷ luật cao, tác phong nghiêm túc, đáp ứng yêu cầu
người lao động trong thời đại mới.

Trần Thị Minh Thoa
Trang 3
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
CHƯƠNG 2: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC

SINH THCS KHI GIẢI TOÁN
2.1 SAI LẦM Ở SỐ HỌC LỚP 6
2.1.1 Sai lầm trong cách viết ký hiệu tập hợp số tự nhiên
Bài toán 1:Cho:
a)A={1,2,3,4,5} b)B={a,b,c} c) C={1;a}
Trong các trường hợp trên, cách viết nào đúng tập hợp.Tại sao?
 Cách giải sai của HS của HS:
Trường hợp a) sai vì các phần tử số cách nhau bởi dấu phẩy.
Trường hợp c) sai vì các phần tử không cùng loại.
 Cách giải đúng:Trong ba trường hợp trên không có trường hợp nào viết
sai cách viết tập hợp.
? Nguyên nhân sai lầm:
Trường hợp a) HS hiểu sai khi tập hợp gồm các số, nhất thiết các phần tử
phải được ngăn cách nhau bởi dấu chấm phẩy.
Trường hợp c) HS hiểu sai các phần tử trong cùng một tập hợp phải cùng
một loại
! Khắc phục:
Khái niệm tập hợp là một khái niệm không được định nghĩa.Vì vậy, người
dạy không thể đặt câu hỏi “Tập hợp là gì?” mà chỉ mô tả cho học sinh hiểu
qua các ví dụ. Do đó, khi cho ví dụ để minh hoạ, người dạy cần cho nhiều
ví dụ đa dạng, thay đổi các yếu tố không bản chất như: thay đổi số phần tử
trong tập hợp, các phần tử trong cùng một tập hợp không cùng loại.
Khi viết tập hợp HS hiểu nhầm nếu phần tử là số thì phải dùng dấu chấm
phẩy, các phần tử của tập hợp không phải là số thì dùng dấu phẩy. Điều
này không đúng với chú ý được trình bày trong SGK: “Các phần tử của tập
hợp được viết trong dấu ngoặc nhọn {}, cách nhau bởi dấu chấm phẩy (nếu
có phần tử là số) hoặc dấu phẩy”. Tuy nhiên, người dạy chú ý cho HS hiểu
rằng ta thường dùng dấu “;” trong trường hợp có phần tử của tập hợp là số
để tránh nhầm lẫn giữa số tự nhiên và số thập phân.
Bài toán 2: Cho tập hợp A= {15;24;6} Điền ký hiệu ∈, ⊂ hoặc = vào ô

vuông cho đúng : {15} A
Cách giải sai của HS của HS {15}∈ A
Cách giải đúng {15}⊂ A
?Nguyên nhân sai lầm: HS không phân biệt cách dùng ký hiệu ∈ và ⊂ nên
dẫn đến dùng ký hiệu sai.
! Khắc phục: NgườI dạy chỉ rõ cho HS, ký hiệu ∈ dùng chỉ phần tử thuộc
tập hợp, ký hiệu ⊂ dùng chỉ tập hợp con của một tập hợp
Trần Thị Minh Thoa
Trang 4
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
2.1.2 Sai lầm trong tính toán với bài toán luỹ thừa
Bài toán 3: Viết kết quả bài toán sau dưới dạng luỹ thừa
a) 5
2
*
5
7
b)x
6
:
x
3
Cách giải sai của HS:a) 5
2
*
5
7
=5
2*7
=5

14
b) x
6
: x
3
=x
6:3
=x
2
Cách giải đúng: a)5
2
*
5
7
=5
2+7
=5
9
b) x
6
: x
3
=x
6-3
=x
3
?Nguyên nhân sai lầm: HS nhầm lẫn a
m
*
a

n
=a
m*n
(a
≠
0)
a
m
:a
n
=a
m:n
(a
≠
0, m>=n).
Bài toán 4: Mỗi tổng sau có là một số chính phương không?
a)1
3
+2
3
b)3
2
+5
2
Cách giải sai của HS:
a)1
3
+2
3
không phải là số chính phương. Vì 1

3
+2
3
=3
3
b)3
2
+5
2
=(3+5)
2
=8
2
. Nên 3
2
+5
2
là số chính phương.
Cách giải đúng:
a)1
3
+2
3
=1+8=9=3
2
. Vậy tổng cho là một số chính phương.
b) 3
2
+5
2

= 9+25=34. Vậy tổng cho không phải là số chính phương.
? Nguyên nhân sai lầm: HS nhầm lẫn : a
m
+a
m
=(a+b)
m
! Khắc phục: Kiến thức luỹ thừa của một số tự nhiên là kiến thức mới đối
với HS lớp 6 vì vậy HS thường nhầm lẫn trong sử dụng kiến thức.
Ở bài toán 3 HS sai lầm do suy nghĩ rằng:
Với a
n
= a.a a (n thừa số a)(n>0) và a
m
=a.a a(m thừa số)(m>0) thì
a
m
.a
n
=a.a a (m.n thừa số)=a
m.n
Do vậy, khi dạy kiến thức này, trước khi đưa ra quy tắc nhân hai luỹ thừa
cùng cơ số dưới dạng tổng quát cần đưa ra ví dụ cụ thể, sau đó nâng lên
tổng quát:
Ví dụ:2
3
*
2
2
=(2

*
2
*
2)
*
(2
*
2)=2
5
=2
3+2
Ở bài toán 4: HS sai lầm do nghĩ rằng có thể đặt nhân tử chung:
a
m
+b
m
=(a+b)
m
Vấn đề này lại đề cập đến kiến thức luỹ thừa của một tích ở lớp 7 sau này.
Chính vì vậy, người dạy không cần giải thích sâu cho HS lớp 6, chỉ dừng
lại ở mức phát hiện, nhắc nhở sửa chữa.
2.1.3 Sai lầm trong vận dụng kiến thức về tính chất cơ bản của phân số,
rút gọn phân số.
Bài toán 5 : Tính
a. 2
3
+ 2
7
b. 3
4

– 3
3

 Cách giải sai của HS:
a. 2
3
+ 2
7
= 2
3 + 7

= 2
10

b. 3
4
– 3
3
= 3
4 - 3
= 3
1
= 3
 Cách giải đúng :
a. 2
3
+ 2
7
= 2
3

(1 + 2
4
) = 8 (1 + 16) = 8.17 = 136
b. 3
4
– 3
3
= 3
3
(3 – 1) = 27.2 = 54
? Nguyên nhân :
Nhầm lẫn:a
m + n
với a
m
+ a
n
và a
m-n
với a
m
– a
n
nên đã hiểu sai a
m
.a
n
=a
m+n
=a

m
+a
n
Trần Thị Minh Thoa
Trang 5
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Bài toán 6: Rút gọn các phân số sau:
a)
1010
510
+
+
b)
49
49.749 +
 Cách giải sai của HS:
a)
2
1
10
5
1010
510
==
+
+
b)
34349.7
49
49.749

==
+
 Cách giải đúng:
a)
4
3
20
15
1010
510
==
+
+
b)
8
49
)71(49
49
49.749
=
+
=
+
? Nguyên nhân sai lầm:
HS thường rút gọn các số hạng giống nhau ở tử và mẫu chứ không phải
thừa số chung, thường các em ít để ý đến phép toán đi kèm với các hạng tử
đó.
Bài toán 7: Tìm phân số bằng phân số
60
32

, biết tổng của tử và mẫu là 115.
 Cách giải sai của HS:
Theo tính chất cơ bản của phân số, các phân số bằng phân số
60
32
có dạng
m
m
60
.32
với m∈ Z, m
≠
0.
Theo đề bài ta có: 32.m+60.m=115
92m =115
m =
92
115

∉
Z
Vậy ta không thể tìm được phân số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Cách giải đúng :
Ta có
15
8
60
32
=
. Theo tính chất cơ bản của phân số , phân số phảI tìm có

dạng:
m
m
15
8
với m∈ Z, m
≠
0.
Theo đề bài thì 8m+15m=115
23m=115
m=5.
Vậy phân số phải tìm là
75
40
5.15
5.8
=
.
? Nguyên nhân sai lầm:
Trần Thị Minh Thoa
Trang 6
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
HS không rút gọn phân số
60
32
thành phân số tối giản
15
8
, mà khẳng định
các phân số bằng phân số

60
32
có dạng
m
m
60
.32
. Cho nên, HS sẽ bỏ sót rất
nhiều phân số bằng phân số
60
32
. Do đó, HS không thể tìm được đáp số của
bài toán trên.
Trần Thị Minh Thoa
Trang 7
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
2.2 SAI LẦM Ở PHẦN HÌNH HỌC LỚP 6
2.2.1 Tia
Bài toán 7:Vẽ tia AB, lấy điểm M thuộc tia AB. Hỏi điểm M nằm giữa hai
điểm A và B hay điểm B nằm giữa hai điểm A và M.
Cách giải sai của HS: Điểm M nằm giữa A và B
 Cách giải đúng: Điểm M nằm giữa hai điểm A, B hoặc điểm B nằm giữa
hai điểm A, M
? Nguyên nhân sai lầm: HS bị mắc sai lầm vì cho rằng tia AB sẽ bị giới hạn
bởi gốc A và điểm B.
! Khắc phục: Khi dạy khái niệm tia, ngoài định nghĩa mô tả về tia gốc O,
cần phát biểu với nhiều hình thức khác nhau, tương đương về mặt logic:
Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được
gọi là một tia gốc O.
Hình tạo bởi điểm O và phần đường thẳng chứa tất cả các điểm nằm cùng

phía đối với Olà một tia gốc O.
Bài toán 8:Vẽ hai tia đối nhau Ox, Oy.
a)Lấy
., OyBOxA ∈∈
Viết tên các tia trùng với tia Ay.
b) Hai tia Ay và OB có trùng nhau không?
c) Hai tia Ax và By có đốI nhau không?
 Cách giải sai của HS
a) Các tia trùng với tia Ay là OB, Oy, AO.
b) Hai tia AB và Oy trùng nhau.
c) Hai tia Ax và By đối nhau.
 Cách giải đúng:
a) Các tia trùng với tia Ay: tia AB, tia AO
b) Hai tia AB và Oy không trùng nhau vì chúng không chung gốc
c) Hai tia Ox và Ay không đối nhau vì không chung gốc
? Nguyên nhân sai lầm:
HS thường nhìn vào hình vẽ, nên dễ nhầm lẫn giữa hai tia trùng nhau khi
hai tia có điểm chung và cùng đặt trên một đường thẳng. Sai lầm khi hiểu
rằng hai tia đối nhau khi hai tia cùng tạo thành một đường thẳng.
! Khắc phục:
Để HS nhận dạng khái niệm, nhằm khắc sâu kiến thức về hai đối nhau, về
hai tia trùng nhau cần nhấn mạnh:
Trần Thị Minh Thoa
Trang 8
A
M
B
A
B
M

A
B
M
x
y
O
A
B
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Hai tia đối nhau phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
- Chung gốc
- Cùng tạo thành một đường thẳng.
Hai tia trùng nhau: Chỉ là một tia. Mọi điểm đều là điểm chung.
2.2.2 Góc
Bài toán 9:
Có tất cả bao nhiêu góc trong hình
sau
 Cách giải sai của HS: Có hai góc
xPy và ySz
 Cách giải đúng: góc xPy, góc ySz,
góc PSz, góc ySP
? Nguyên nhân sai lầm: Khi quan sát
hình vẽ HS ít chú ý đến góc tù hoặc
góc bẹt. HS chỉ nhận dạng được góc
nhọn và các góc được vẽ thêm các ký hiệu nối hai cạnh của góc.
! Khắc phục: Khi dạy HS nhận dạng góc, người dạy cần nhấn mạnh định
nghĩa:” Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc”. Vậy người dạy hướng dẫn
HS phải tìm đầy đủ các tia chung gốc , đặc biệt là hai tia đối nhau HS
thường bỏ sót.
Trần Thị Minh Thoa

Trang 9
y
x
z
P
S
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
2.3 SAI LẦM Ở ĐẠI SỐ LỚP 7
2.3.1 Sai lầm khi thực hiện các phép toán về cộng, trừ, nhân chia số hữu
tỷ :
2.3.1.1 Áp dụng sai công thức :
Bài tập10 : ( Bài 16/13 SGK, lớp 7 tập 1) Thực hiện phép tính:
5 1 5 5 1 2
: :
9 11 22 9 15 3
   
− + −
 ÷  ÷
   
 Cách giải sai của HS :
5 1 5 5 1 2
: :
9 11 22 9 15 3
   
− + −
 ÷  ÷
   
=
5 81 5 110 550
:

9 110 9 81 729
−
 
= − × = −
 ÷
 
 Cách giải đúng :
5 1 5 5 1 2
: :
9 11 22 9 15 3
   
− + −
 ÷  ÷
   
=
5 3 5 3 5 22 5 5
: : :
9 22 9 5 9 3 9 3
       
− + − = − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
=
5 22 5 5 27
5
9 3 3 9 3
−
 
− − = × = −
 ÷

 
? Nguyên nhân sai lầm : Thường học sinh nghĩ rằng khi các hạng tử giống
nhau ta có thể đặt nhân tử chung như bài toán dưới đây

2 3 4 1 4 4
: :
5 7 5 3 7 5
   
− + + − +
 ÷  ÷
   
=
2 3 4 1 4 4
: :
5 7 5 3 7 5
   
− + + − +
 ÷  ÷
   
=
( )
2 3 1 4 4 4
: 1 1 : 0
5 7 3 7 5 5
 
− + − + = − + =
 ÷
 
Chú ý cho HS phép chia chỉ được phân phối một phía: (a+b):c=
c

b
c
a
c
ba
+=
+
! Khắc phục : Cần biến đổi về phép nhân, áp dụng tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép cộng.
: :
a c a e a d a f a d f
b d b f b c b e b c e
 
+ = × + × = +
 ÷
 
2.3.1.2 Sai lầm về giá trị tuyệt đối:
Bài toán 11: Tìm x biết:
a) |x| = 7
b) |x| = -3
Trần Thị Minh Thoa
Trang 10
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
 Cách giải sai của HS:
a) x=7
b) x=-3
 Cách giải đúng :
a) x=7,x=-7
b) Không có giá trị nào của x.
! Khắc phục:

a) Chú ý HS: trị tuyệt đối của hau số đối nhau thì bằng nhau.
b) Người dạy cần khắc sâu định nghĩa về giá trị tuyệt đối của số x:”trị
tyệt đốI của một số x là khoảng cách từ điểm x đến điểm O trên trục
số”. Vì thế trị tuyệt đối là một số không âm.
2.3.1.3 Sai lầm về các công thức lũy thừa
Bài toán 12: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 2
3
b) 3
2
 Cách giải sai của HS
a) 2
3
= 2.3 = 6
b) 3
2
= 3.2 = 6
 Cách giải đúng :
a)2
3
= 2 . 2 . 2 = 8 .
b)3
2
= 3.3 =9
? Nguyên nhân sai lầm : Do học sinh chưa nắm được định nghĩa, hay có thể
HS thấy:
2
2
= 2 . 2 nên HS nghĩ rằng trong hai số 2 đó, có một số là cơ số, một số là
số mũ.

Bài toán 13: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a)
3
2
.
3
2
.
3
2
b)






−−
3
7
.
3
7
 Cách giải sai của HS:
a)
3
2
3
b)
2

7
3
−
 Cách giải đúng :
a)
3
3
2






b)
2
3
7






−
Trần Thị Minh Thoa
Trang 11
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
! Khắc phục : Người dạy cần cho học sinh thấy rõ:

2
2
2
2
1
2
1
2
1






−≠−≠






−
bằng cách tính:

2
1 1 1 1
2 2 2 4
     
− = − × − =

 ÷  ÷  ÷
     
2
1 1.1 1
2 2 2
−
− = = −
2
1 1 1 1
2 2 2 4
   
− = − × = −
 ÷  ÷
   
Bài toán 14: Tính
3
2
5
 Cách giải sai của HS :
3
2
5
= (5
2
)
3
= 5
2.3
= 5
6

 Cách giải đúng :
3
2
5
=
)2(
3
5
=5
8

? Nguyên nhân sai lầm :HS nhầm lẫn
n
m
a
với
nm
a )(
.
! Khắc phục : Cho HS thấy
63 232
55)5( ==
và
3
2
5
=
)2(
3

5
=5
8
. Từ đó rút ra
nmmm
aaa
nn
)(
)(
≠=
2.3.1.4 Áp dụng nhầm tính chất tỷ số bằng nhau
Bài toán 15: Tìm x, y biết
2 5
x y
=
và x.y = 10
 Cách giải sai của HS :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = =
Suy ra x = 2 , y = 5
 Cách giải đúng :
2 5
x y
k= =
⇒
2 2
2

. 10 10 1 1
5
x k
x y k k k
y k
=

⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±

=

+ k = 1 ⇒
2
5
x
y
=


=

+ k = -1 ⇒
2
5
x
y
= −


= −


? Nguyên nhân sai lầm :
HS áp dụng nhầm tính chất dãy tỉ số bằng nhau nên dẫn tới giải sai, tính
chất đúng là
a c a c
b d b d
+
= =
+
chứ không có
db
ca
d
c
b
a
.
.
==
! Khắc phục : So sánh cách giải sai của HS và cách giải đúng để HS tự thấy
sai và rút kinh nghiệm.
Trần Thị Minh Thoa
Trang 12
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
2.3.2 Sai lầm khi vận dụng kiến thức khái niệm về căn bậc hai của một
số không âm.
2.3.2.1 Sai lầm trong cách viết :
Khi tính căn bậc hai của số không âm cần chú ý số a dương luôn có hai căn
bậc hai là
a

> 0 và -
a
< 0, nhưng HS lại viết :
16 4= ±
Viết đúng :
16 4=
-
16 4= −
Hay ±
16 4= ±
2.3.2.2 Sai lầm trong vận dụng kiến thức
Bài toán 16 : Chọn câu đúng nhất :
(-5)
2
có căn bậc hai là:
A.
2
( 5) 5− =
B.
2
( 5) 5− = −
C. Số (-5)
2
không có căn bậc hai C.
25 5=
và -
25
= -5
 Cách giải sai của HS :
câu A.

 Cách giải đúng :
Câu D.
? Nguyên nhân sai lầm :
Số a dương luôn có hai căn bậc hai là
a
> 0 và -
a
< 0, số a âm không có
căn bậc hai, HS nghĩ rằng chỉ có một căn bậc hai của số dương.
2.3.3 Sai lầm trong vận dụng kiến thức của bài toán đại lượng tỷ lệ
thuận, tỷ lệ nghịch.
Ở Tiểu học, HS đã học: hai đại lượng gọi là tỷ lệ thuận với nhau nếu đại
lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc
giảm) bấy nhiêu lần. Lên lớp 7, HS vẫn còn áp dụng định nghĩa trên để xét
hai đại lượng tỷ lệ thuận, nên dễ sai lầm. Vì vậy người dạy cần chú ý cho
HS hai đại lượng tỷ lệ thuận với nhau nếu chúng có liên hệ với nhau bằng
công thức dạng y=k.x (k
)0≠
. Giải thích rõ ở Tiểu học là trường hợp k>0.
Tương tự với trường hợp hai đại lượng tỷ lệ nghịch.
Bài toán 17 : Điền vào ô trống
a) Nếu x và y tỷ lệ nghịch, y và z cũng tỷ lệ nghịch thì x và z
b)Nếu x và y tỷ lệ nghịch, y và z cũng tỷ lệ thuận thì x và z
c) Nếu x và y tỷ lệ thuận, y và z cũng tỷ lệ thuận thì x và z
 Cách giải sai của HS :
a) …x và z tỷ lệ nghịch.
b) …x và z tỷ lệ nghịch.
c) …x và z tỷ lệ thuận.
 Cách giải đúng :
Trần Thị Minh Thoa

Trang 13
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
a)
1
k
x
y
=

2
k
y
z
=
nên
1 1
2
2
k k
x z
k
k
z
= = ×
.
Vậy x và z tỷ lệ thuận
b)
1
k
x

y
=
y = k
2
. z
nên
1 1
2 2
1
.
k k
x
k z k z
= = ×
.
Vậy x và z tỷ lệ nghịch.
c) x = k
1
.y
y = k
2
.z
nên x = k
1
.k
2
. z.
Vậy x và z tỷ lệ nghịch.
? Nguyên nhân sai lầm :
HS sử dụng tính chất bắc cầu để giải bài toán trên.

Bài toán 18: Cho biết 10 người có cùng năng suất làm việc thì sẽ xây xong
một căn nhà trong 6 tháng. Hỏi với 15 người năng suất như trên thì xây
xong căn nhà trong thời gian bao lâu ?
 Cách giải sai của HS :
10 người xây nhà xong trong 6 tháng
15 người xây nhà xong trong x tháng
⇒
15.6
9
10
x = =
(tháng)
Vậy 15 người xây xong căn nhà trong 9 tháng
 Cách giải đúng :
Nếu 10 người xây xong một căn nhà trong 6 tháng, thì một người xây xong
căn nhà trong 10 x 6 = 60 tháng
Vậy thời gian để 15 người xây xong một căn nhà là
60
4
15
=
(tháng)
? Nguyên nhân sai lầm sai lầm :
Chúng ta thấy rằng giữa số người và thời gian xây xong căn nhà là tỷ lệ
nghịch với nhau. Người càng đông thì thời gian xây xong căn nhà càng
ngắn, nên chúng ta không thể áp dụng quy tắc tam xuất như bài tỷ lệ thuận,
mà phải tìm tỷ số k của người xây và thời gian. Một số học sinh không phân
Trần Thị Minh Thoa
Trang 14
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán

biệt được bài toán tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch, nên người dạy cần phải cho
em các dạng bài tập khác nhau để khắc sâu kiến thức.
2.3.4 Sai lầm trong quy tắc bỏ dấu ngoặc hoặc nhóm ngoặc từ hai đa
thức một biến.
Bài toán 19: Cho hai đa thức
P = 5x
2
y – 4xy
2
+ 5x – 3
Q = xyz – 4x
2
y + xy
2
+ 5x -
1
2
Tính P – Q
Cách giải sai của HS :
P – Q = (5x
2
y – 4xy
2
+ 5x – 3) – (xyz – 4x
2
y + xy
2
+ 5x -
1
2

)
= 5x
2
y – 4xy
2
+ 5x - 3 – xyz – 4x
2
y + xy
2
+ 5x +
1
2
= x
2
y – 3xy
2
+ 10x – xyz -
5
2
 Cách giải đúng
P – Q = (5x
2
y – 4xy
2
+ 5x – 3 – xyz + 4x
2
y – xy
2
– 5x +
1

2
)
= (5x
2
y + 4x
2
y) + (-4xy
2
– xy
2
) + (5x – 5x) – xyz + (-3 +
1
2
)
= 9x
2
y – 5xy
2
– xyz - 2
1
2
? Nguyên nhân sai lầm :
HS hay quên: khi bỏ dấu ngoặc phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc, nếu
trước dấu ngoặc là dấu “-“.
! Khắc phục :
Thường xuyên làm các bài tập vận dụng để khắc sâu kiến thức cho học
sinh.
2.3.5. Sai lầm trong tính giá trị biểu thức đại số :
Bài toán 20: Tính giá trị của biểu thức 3x
2

– 5x + 1 tại x = -1 và x =
1
2
 Cách giải sai của HS : Thay x = -1 và x =
1
2
vào biếu thức 3x
2
– 5x + 1,
ta được:
3.(-1)
2
– 5.
1
2
+ 1 = 3.
5
2
−
+ 1 = 4 -
5
2
=
3
2
Vậy giá trị của biểu thức 3x
2
– 5x + 1 tại x = -1 và x =
1
2

là
3
2
 Cách giải đúng :
+ Thay x = -1 vào biểu thức 3x
2
– 5x + 1, ta được:
Trần Thị Minh Thoa
Trang 15
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
3.(-1)
2
– 5.(-1) + 1 = 3 + 5 + 1 = 9
Vậy giá trị của biểu thức 3x
2
– 5x + 1 tại x =-1 là 9
+ Thay x =
1
2
vào biểu thức 3x
2
– 5x + 1 ta được :
3.(
1
2
)
2
– 5.(
1
2

) + 1 = 3.
1
4
-
5
2
+ 1 = -
3
4
Vậy giá trị của biểu thức 3x
2
– 5x + 1 tại x =
1
2
là
3
4
−
? Nguyên nhân sai lầm sai lầm :
Do trong biểu thức cần tính giá trị có hai vị trí xuất hiện biến x, đồng thời
bài toán lại yêu cầu tính giá trị của biểu thức tạI hai giá trị x khác nhau, nên
có HS đã nghĩ rằng thay hai giá trị x vào hai nơi tương ứng.
! Khắc phục : Người dạy cần chỉ cho HS thấy rõ cần tính giá trị của biểu
thức ấy hai lần, mỗi lần tại một giá trị của x.
Trần Thị Minh Thoa
Trang 16
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán

2.4 SAI LẦM Ở HÌNH HỌC 7.
2.4.1 Sai lầm trong vẽ hình

Bài toán 21:
Cho tam giác ACB vuông tại C
Dựng phân giác góc nhọn A và trung trực cạnh CB cắt
nhau tại O. Nối O với B và C. Kẻ OK ⊥ AC, OM ⊥
AB. Chứng minh CK=MD.
 Cách giải sai của HS :
Xét hai tam giác vuông AOK và AOM, có:
MAOOAK
ˆˆ
=
(giả thiết)
OA chung
Suy ra ∆AOK = ∆AOM (c.huyền- g.nhọn)
=> KO = OM (1)
Mặt khác OC = OB (gt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆OKC = ∆OBM (c.góc vuông –c.huyền)
=>CK = BM.
AC = AK + KC = AM + MB = AB.
 Cách giải đúng :
Xét hai tam giác vuông OKC và OBM, có
OK=OM ( tính chất đường phân giác)
OB=OC (gt)
Suy ra ∆OKC = ∆OBM (c.góc vuông –c.huyền).
Suy ra CK=MB (đpcm)

? Nguyên nhân sai lầm: Vẽ hình sai.Vì nếu cắt trong
tam giác thì có điều vô lý:
AC = AK + KC = AM + MB = AB. Vậy cạnh huyền
bằng cạnh góc vuông.
Nên đường trung trực OD và phân giác tại A phải cắt ở ngoài tam giác

CAB
! Khắc phục :
Qua hai bài tập trên cho ta thấy rằng việc vẽ hình rất quan trọng, nếu HS vẽ
hình sai thì dẫn tới chứng minh đi đến kết luận sai như cạnh góc vuông
bằng cạnh huyền .
2.4.2 Sai lầm trong chứng minh phản chứng
Bài toán 22: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=4,5cm , BC=7,5 cm.
Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
 Cách giải sai của HS :
Giả sử tam giác ABC vuông tại A.
Theo định lý pitargo ta có:
BC
2
=AC
2
+AB
2
Trần Thị Minh Thoa
Trang 17
M
K
A
C
B
D
O
M
O
D
A

C
B
K
M
A
N
E
K
C
B
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Thay AB=6cm, AC=4,5cm , BC=7,5cm vào BC
2
=AC
2
+AB
2
ta được:
7,5
2
= 4,5
2
+6
2
56,25= 20,25 +36 (đúng). Vậy tam giác ABC vuông tại A.
 Cách giải đúng :
Ta có : 7,5
2
= 4,5
2

+6
2
Hay BC
2
=AC
2
+AB
2
Nên tam giác ABC vuông tại A (định lý pitargo đảo).
? Nguyên nhân sai lầm:
Hs chưa hiểu bản chất của chứng minh phản chứng.
! Khắc phục : Người dạy nên giải thích cho HS hiểu : chứng minh phản
chứng là ta giả sử điều phủ định của kết luận, sau đó lập luận chính xác để
dẫn đến điều mâu thuẫn với giả thiết hay mâu thuẫn với một điều đúng
khác.
2.4.3 Sai lầm trong chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Bài toán 23: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm
của AC. Trên tia đốI của tia AC lấy điểm M sao cho KM=KC. Trên tia đốI
của tia EB lấy điểm N sao cho EN=EB. Chứng minh rằng A là trung điểm
của MN.
 Cách giải sai của HS :
Xét ∆MAK và ∆KBC, có:
MK=MC ( gt)

BKCAKM
ˆˆ
=
(đối đỉnh)
KA=KB ( gt)
Suy ra ∆MAK=∆CBK (c.g.c)

=> MA=CB (1)
Xét ∆ANE và ∆CBE,có:
AE=CE (gt)

BECNEA
ˆˆ
=
(đối đỉnh)
Suy ra ∆ANE=∆CBE (c.g.c)
=> AN=CD (2)
Từ (1) và (2), suy ra MA=AN. (3)
Do đó A là trung điểm của MN (đpcm)
 Cách giải đúng :
Trần Thị Minh Thoa
Trang 18
GT
∆
ABC
K
∈
AB, KA = KB
E
∈
AC, EA = EC
KM = KC
NE = EB
KL A là trung điểm
của MN
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Các bước chứng minh hoàn toàn tương tự như trên nhưng bổ sung thêm

phần chứng minh 3 điểm M, A, N thẳng hàng.
CM: Do ∆MAK = ∆CBK suy ra
CBABAM
ˆ
ˆ
=
(4)
Do ∆ANE = ∆CBE suy ra
BCENAE
ˆˆ
=
(5)
Mặt khác, trong tam giác ABC ta có:

0
180
ˆ
ˆ
ˆ
=++ BCACBACAB
(6)
Từ (3), (4), (5), suy ra
0
180
ˆ
ˆ
ˆ
=++ NACCBABAM
Do đó M, A, N thẳng hàng. (7)
Từ (3) và (7) ta suy ra: A là trung điểm của MN.

? Nguyên nhân sai lầm:
Khi HS nhìn vào hình vẽ tưởng rằng A, M, N thẳng hàng nên không cần
chứng minh.Mặt khác, có thể HS không nắm vững định nghĩa trung điểm
của một đoạn thẳng.
! Khắc phục :
Người dạy cần giảng cho HS biết: để chứng minh A là trung điểm của MN
thì phải chứng minh A, M, N thẳng hàng và AM = AN.
2.4.4
Bài toán 24:Cho
0
135
ˆ
=BOA
. Vẽ góc BOC và AOD kề bù vớI góc AOB.
Chứng tỏ rằng hai góc BOC vầ AOD là hai góc đốI đỉnh.


Bài toán 25(bài 57/t.131-SGK lớp 7/tập 1):
Tam giác ABC có AB =8, AC =17, BC=15 có phảI là tam giác vuông hay
không?
Cách giảI sai của HS:
AB
2
+AC
2
= 8
2
+7
2
= 353

BC
2
=15
2
=225
Do 353
≠
225 nên AB
2
+AC
2
≠
BC
2
.
Suy ra tam giác ABC không phảI là tam giác vuông.
CÁch giảI đúng:
AB
2
+BC
2
= 8
2
+15
2
= 64 +225 =289.(1)
AC
2
=17
2

=289 (2).
Trần Thị Minh Thoa
Trang 19
A
B
C
D
1 3 5
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Từ (1) và (2) suy ra AB
2
+BC
2
= AC
2
nên tam giác ABC vuông tạI B(định lý
Pitago đảo).
Cách khắc phục:
NgườI dạy cần chỉ cho HS thấy rằng: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là
cạnh lớn nhất, nên khi làm những bài tập như trên ta phải lấy cạnh lớn nhất
để bình phương, sau đó tính tổng bình phương hai cạnh còn lại, rồi so sánh
và kết luận.
Sai lâm ngườI

Trần Thị Minh Thoa
Trang 20
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
2.5 SAI LẦM Ở ĐẠI SỐ LỚP 8:
2.5.1 Sai lầm trong vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài toán 24: Viết 8x

3
-y
3
dưới dạng tích
 Cách giải sai của HS 1: (8x –y)(8x
2
-8xy+y2)
 Cách giải sai của HS 2:( 2x-y)(4x
2
+8xy+y
2
)
 Cách giải đúng:8x
3
-y
3
=(2x)
3
-y
3
=(2x-y)(4x
2
-4xy+y
2
)
? Nguyên nhân sai lầm:
Hằng đẳng thức: A
3
+B
3

=(A+B)(A
2
-AB+B
2
)
Đối với hằng đẳng thức trên HS thường nghĩ A và B chỉ đại diện cho biến,
không đại diện cho hạng tử nên khi hạng tử là một đơn thức có phần biến và
hệ số thì phần hệ số được giữ nguyên không biến đổi.
Sai lầm thứ hai: HS dễ nhầm lẫn dấu của hằng đẳng thức (HĐT).
HS bị ám ảnh bởi HĐT bình phương một tổng, bình phương một hiệu nên
dễ sai lầm : A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-2AB+B
2
)
! Khắc phục :
Đưa ra nhiều ví dụ, thay đổi hạng tử từ đơn thức đơn giản chỉ gồm phần
biến, đến đơn tức gồm có phần hệ số và phần biến. Nhấn mạnh HS trước
khi áp dụng HĐT cần phảI đưa các hạng tử về đúng dạng.
Lưu ý cho HS tên gọi biểu thức:(A
2
-AB+B
2
) là bình phương thiếu.
Trong quá trình dạy HĐT, các cụm từ “ lập phương của một tổng” với
“tổng hai lập phương “; “lập phương một hiệu” với “hiệu hai lập phương”

thường dễ hiểu nhầm giữa hai khái niệm ấy.
Bài toán 25: Tính giá trị của biểu thức tại x=-11, y=20
a) 2xy
2
+x
2
y
4
+1
b) x
3
+x
2
+
x
4
1
 Cách giải sai của HS:
a) Thay x=-11 và y=20 vào biểu thức 2xy
2
+x
2
y
4
+1
Ta có :2(-11).20
2
+(-11)
2
.20

4
+1= 19351201
Vậy giá trị của biểu tức 2xy
2
+x
2
y
4
+1 tại x=-11 và y=20 là 19351201
b) Thay x=-11 vào biểu thức x
3
+x
2
+
x
4
1
Ta có (-11)
3
+(-11)+
4
1
.(-11)=
4
5379
−
.
Vậy giá trị biểu thức x
3
+x

2
+
x
4
1
tại x=-11 và y=20 là:
4
5379
−
.
 Cách giải đúng:
a) Ta có : 2xy
2
+x
2
y
4
+1= (xy
2
+1)
2
Thay x=-11 và y=20 vầo biểu thức (xy
2
+1)
2
Ta có [(-11).20
2
+1]
2
=[(-11).400+1]

2
= (- 4399)
2
=19351201
Vậy giá trị của biểu thức 2xy
2
+x
2
y
4
+1 tại x=-11 và y=-20 là 19351201.
Trần Thị Minh Thoa
Trang 21
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
b) Ta có : x
3
+x
2
+
x
4
1
= x(x
2
+x+
4
1
) =x(x+
2
1

)
2
Thay x=-11 vào biểu thức
Ta có :[(-11).
4
4851
21.
4
11
2
21
.11
2
1
11
2
22
−
=






−
=







−
−=






+−
Vậy giá trị biểu thức x
3
+x
2
+
x
4
1
tại x=-11 và y=-20 là:
4
4851−
? Nguyên nhân sai lầm: HS không rút gọn biểu thức trước khi tính. Nên quá
trình tính thường gặp rắc rối, sai sót. Đối với tư duy thuận HS dễ dàng
nhưng khi gặp những bài toán tư duy ngược, HS không nhận ra dạng HĐT
vì:
Vị trí các hạng tử bị đảo lộn
Mỗi hạng tử chứa nhiều biến
Có sự tăng bậc của biểu thức so với biểu thức gốc của HĐT.

! Khắc phục: Rèn luyện cho HS lốI tư đuy ngượch khi học HĐT bằng cách
khi hướng dẫn HS học HĐT không chỉ học vẹt theo lối khai triển HĐT, mà
tập thao tác đưa biểu thức về HĐT. Ví dụ có thể đưa dạng bài toán củng cố
kiến thức sau:
Nối các biểu thức sau sao cho chúng tạo thành hai vế của một HĐT:
2.5.2 Sai lầm trong phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài toán 26:Phân tích đa thức thành nhân tử
xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz.
 Cách giải sai của HS : xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz
=xy(x+y+z) +yz(y+y+z+x)+ xz(x+z)
=(x+y+z)(xy+yz)+ xz(x+z)=(x+y+z)y(x+z)+xz(x+z)
=(x+z)[(x+y+z)y+ xz].

Cách giải đúng:
Các bước phân tích hoàn toàn tương tự như trên nhưng không dừng lại ở
kết quả trên mà tiếp tục phân tích:
(x+z)[(x+y+z)y+xz]
=(x+z)(xy+ y
2
+ yz+xz)
Trần Thị Minh Thoa
Trang 22
(x-y)(x
2
+xy+y
2
)
(x+y)
3
(x-y)(x

2
+xy+y
2
)
x
2
-y
3
(x+y)(x
2
-xy+y
2
)
(x-y)
3
(x
2
+xy+y
2
)
(x-y)
2
(x+y)(x-y)
(x
2
+xy+y
2
)
(y-x)
2

x
3
- y
3
y
3
-x
3
x
3
+3x
2
y+3xy
2
+y
3
x
3
-3xy
2
+3xy
2
-y
3
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
=(x+z)[(x+y)y+z(x+y)]
=(x+z)(x+y)(y+z)
? Nguyên nhân sai lầm:
Trong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì phương pháp
nhóm hạng tử là phương pháp gây khó khăn cho HS nhất. Vì:

+ HS khi nhóm hạng tử nếu các hạng tử đôi một nhóm với nhau, HS ít nghĩ
đến việc tách hạng tử hoặc thêm hạng tử. Ví dụ bài toán trên HS sẽ nhóm
hai hạng tử từng đôi một với nhau chứ không nghĩ đến việc tách 2xyz thành
xyz+xyz
+ Khi nhóm hạng tử, phân tích được thành các nhân tử, một số HS dừng lại
trong khi còn có thể phân tích tiếp. Bài toán trên HS chỉ dừng lại ở (x+z)
[(x+y+z)y+ xz], trong khi vẫn có thể phân tích tiếp.
! Khắc phục:Khi hướng dẫn HS phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử, cần lưu ý HS nhóm các hạng tử thích hợp, cụm từ “thích hợp” mang ý
nghĩa:
- Mỗi nhóm đều có thể phân tích được.
- Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích phải tiếp tục được.
- Đặc biệt, nếu đã thử nhóm tất cả các trường hợp mà các hạng tử
vẫn không thích hợp thì có thể thêm, bớt hoặc tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử.
Bài toán 29:Cho x và y là hai số khác nhau, thỏa mãn điều kiện 9x(x-y)
2
–
10(y-x)
2
=0. Tìm biểu thức liên hệ giữa x và y.
Cách giải sai của HS:
9x(x-y)
2
–10(y-x)
2
=9x(x-y)
2
+10(x-y)

2
=(x-y)(9x+10x-10y)
=(x-y)(19x-10y).
Theo đề bài ta có: (x-y)(19x-10y)=0
Suy ra x-y=0 hoặc 19x-10y=0.
Vậy x=y hoặc x=
19
10
y.
 Cách giải đúng:
9x(x-y)
2
–10(y-x)
2
=9x(x-y)
2
-10(x-y)
2
=(x-y)[(9x-10(x-y)]
=(x-y)(-x+10y)
Theo đề bài ta có : (x-y)(-x+10y)=0. Vì x
≠
y nên –x+10y=0 hay x=10y.
? Nguyên nhân sai lầm:
HS sai:
Thứ nhất, đã đổi dấu nhân tử của tích. Ta đã biết tích không đổi khi ta đổi
dấu hai nhân tử. Vì thế: (y-x)
2
= (x-y)
2

và 9x(x-y)
2
–10(y-x)
2
=9x(x-y)
2
-10(x-y)
2
Trần Thị Minh Thoa
Trang 23
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Thứ hai, khi giải ra kết quả do không chú ý điều kiện bài toán nên không
loại trường hợp x=y.
2.5.3 Sai lầm trong phép chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho
đơn thức.
Bài toán 30: Thực hiện phép chia:
a) x- 3x
2
+x
3
-3: x-3
b)x
4
- x-14: x-2
Cách giải sai của HS:
a) x- 3x
2
+x
3
-3: (x-3) =1-3x+x

2
-3x
b)x
4
-x-14: (x-2) =x
3
-2x
2
 Cách giải đúng:
a) x- 3x
2
+x
3
-3: (x-3) =x
3
-3x
2
+x-3: (x-3) =1-x
2
b)x
4
- x-14: x-2=x
3
+2x
2
+4x+7
? Nguyên nhân sai lầm:
a) Khi chia đa thức cho đa thức, HS không có thói quen sắp xếp đa
thức theo lũy thừa giảm dần của biến trước khi thực hiện phép chia.
b) Khi đa thức bị khuyết lũy thừa( không đầy đủ các biến có lũy thừa

theo thứ tự. Khi thực hiện phép trừ, nhầm lẫn rằng số 0 trừ bất kỳ
cho số nào cũng bằng chính số đó.
!Khắc phục:
- Rèn kỹ năng sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của trước
khi thực hiện phép chia.
- Khắc sâu kiến thức 0-(0-a)=a
2.5.4 Sai lầm khi giải các bài toán dạng chia hết của đa thức
Bài toán 31: Tìm các số nguyên a, n để mỗi phép chia sau là phép chia hết
a) (5x
3
-10x
2
+x) chia hết ax .
b) 3n
3
+10n
2
- 5 chia hết 3n+1.
 Cách giải sai của HS:
a) a=1 và a=5
b) Ta có 3n
3
+10n
2
- 5=(3n+1)(n
2
+3n-1)- 4. Để phép chia là phép chia
hết thì (3n+1) phải là ước của 4
Do đó 3n+1=1
3n+1=2

3n+1=4
Vậy n=0, n=1
 Cách giải đúng
a) (5x
3
-10x
2
+x) chia hết ax với mọi số nguyên a.
b) 3n
3
+10n
2
- 5 chia hết 3n+1 khi n =0, n=-1, n=1
? Nguyên nhân sai lầm:
Trường hợp a) HS bị ám ảnh kiến thức chia hết của hai số nguyên, nên giá
trị a là ước của 5.
HS thường thiếu giá trị n=0.
Trần Thị Minh Thoa
Trang 24
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
Trường hợp b) rất nhiều HS bị thiếu giá trị của n vì khi nói đến ước của
một số nguyên, HS chỉ nghĩ đến trường hợp ước tự nhiên, bỏ qua trường
hợp ước là số nguyên âm.
Bài toán 32:
a)Chứng minh rằng (5n+2)
2
chia hết cho 5 với mọisố nguyên n
b)Chứng minh rằng n
2
(n+1)+2n(n+1) luôn chia hết cho 6 với mọI số

nguyên n.
Ở Bài toán này không đưa ra Cách giải sai của HS của HS vì đa số HS chưa
biết chọn phương pháp làm và chưa định hướng phải làm như thế nào đối
với mỗi dạng.
! Khắc phục:
GV có thể giới thiệu hai phương pháp cơ bản sau:
A(x) chia hết cho n
+ Biến đổi A(x)=B(x).C(x) sao cho B(x)

n hoặc C(x)

n.
+ Biến đổi A(x)=M(x)+N(x)+…+K(x) sao cho M(x),N(x),…,K(x) cùng
chia hết cho n.
2.5.5 Sai lầm trong quá trình thực hiện phép tính trên phân thức đại số
Bài toán 33: Thực hiện phép tính sau:
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
+

1
9
1
9
1
2
 Cách giải sai của HS:
1
2
0
1
2
1
9
1
9
1
2
−
+
=−
−
+
=
−
−
−
−
−
−

−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 Cách giải đúng :
1
163
1
9
1
9
1
2
1
9
1
9
1
2
−
−
=

−
−
+
−
−
+
−
+
=
−
−
−
−
−
−
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
? Nguyên nhân sai lầm: HS nhận thấy hai phân thức cuối giống nhau và có
dấu “-“ xen giữa nên triệt tiêu hai phân thức đó. Do HS đã không thực
hiện đúng thứ tự hoặc đã lầm tưởng phép trừ có tính kết hợp.
Bài toán 34: Rút gọn các biểu thức

x
y
x
y
y
x
12
10
:
6
5
:
5
4
2
2

 Cách giải sai của HS:

2
2
2
2
2

2
2
2
5
4
10
12
6
5
:
5
4
12
10
:
6
5
:
5
4
12
10
:
6
5
:
5
4
y
x

y
x
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
x
y
x
y
y
x
=








⋅=







=

2
2
1
1
2
:
2
1
1
3
.
3
2
:
2
1
1
3
.
3
2
:
2
1







+
+
=
+
+
+
+
=






+
+
+
+
+
+
=
+
+
+

+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 Cách giải đúng:
3
3
2
2
2
2
125
144

10
12
5
6
5
4
12
10
:
6
5
:
5
4
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
y
x
=⋅⋅=
Trần Thị Minh Thoa

Trang 25
1
3
.
3
2
:
2
1
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
Các sai lầm thường gặp của học sinh THCS khi giải Toán
2
2
3
1
3
2
3
2

1
1
3
.
3
2
:
2
1






+
+
=
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
=
+
+
+

+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
? Nguyên nhân sai lầm:
HS không thực hiện đúng thứ tự phép tính từ trái sang phải, hiểu lầm rằng
đối với các phép toán nếu không có dấu ngoặc ưu tiên thì thực hiện phép
nhân hoặc chia trước đều giống nhau.
! Khắc phục: Khắc sâu kiến thức phép trừ không có tính chất kết hợp
Khi thực hiện một dãy những phép nhân và phép chia thì phảo làm tính theo
thứ tự từ trái sang phải hoặc phải biến phép chia thành phép nhân với phân
thức nghịch đảo.
Cách tốt nhất để khắc phục sâu kiến thức trên nên đưa ra vídụ :

1
3
.

3
2
:
2
1
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x







+
+
+
+
+
+

1
3
.
3
2
:
2
1
x
x
x
x
x
x
Bài toán 35:
1
12
2
2
−
++
x
xx
a)Rút gọn phân thức
b)Tính giá trị của phân thức tại x=2 và x=-1
 Cách giải sai của HS:
a)
( )
1
1

1
1
1
12
2
2
2
2
−
+
=
−
+
=
−
++
x
x
x
x
x
xx
b)ĐKXĐ của x là:
1,1 −≠≠ xx
Với x=2, phân thức đã cho có giá trị là:
3
12
12
=
−

+
Với x=-1 phân thức đã cho có giá trị là:
0
11
11
=
−−
+−
 Cách giải đúng:
b) Với x=2 giá trị của phân thức được xác định do đó phân thức đã cho có
giá trị bằng 3
Với x=-1 giá trị của phân thức đã cho không xác định.
? Nguyên nhân sai lầm:
HS dùng phân thức đã được rút gọn để tính giá trị của phân thức nên HS
quên điều kiện đối với phân thức ban đầu. Vì vậy, thay x=-1 vào phân thức
1
1
−
+
x
x
để được kết quả là 0.
!Khắc phục: Chú ý HS:
+ Khi thực hiện các phép toán trên các phân thức không đòi hỏi tìm điều
kiên của biến. Nhưng khi giải các bài toán về giải các bài toán về phân thức
có liên quan đến giá trị của phân thức thì không thể thiếu điều kiện biến.
Điều kiện của biến là các giá trị của boến để giá trị tương ứng của mẫu thức
khác 0.
Trần Thị Minh Thoa
Trang 26