Đề cương ôn thi học kì 2 Năm học 2009 - 2010

ĐỀ CƯƠNG THI HỌC KỲ 2 LỚP 11 Năm Học 2009 – 2010
A/ Lý thuyết:
I/ Đại số và giải tích:
1/ Giới hạn của dãy số
2/ Giới hạn của hàm số
3/ Hàm số liên tục
4/ Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
5/ Các quy tắc tính đạo hàm
6/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác
7/ Đạo hàm cấp hai của hàm số
II/ Hình học:
1/ Hai đường thẳng vuông góc
2/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3/ Hai mặt phẳng vuông góc
4/ Khoảng cách
B/ Bài tập:
I/Đại số và Giải tích
1/ Tìm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số.
2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định
3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
4/ Tính đạo hàm bằng các quy tắc
5/ Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm
6/ Dùng các qui tắc, tính chất để tính đạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức đạo
hàm.
II/ Hình học
1/Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
2/Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
4/ Tính góc khoảng cách
C/Bài tập ôn tập
I/ Đại số và giải tích

Bài 1. Tính các giới hạn của dãy số
1)
2
2
7 5 1
lim
2 4
n n
n
− +
+
2)
2
3 7 5
lim
(2 1)(3 4)
n n
n n
− +
+ +
3)
2 2
3
( 1)( 1)
lim
( 1)(2 3)
n n
n n
+ −
+ +

4)
2
2 1
lim
3
n
n n
+
+
5)
2
2
lim
2 1
n n
n n n
+
+ +
6)
2
3
1 3 2
lim
2
n
n
n n
−
  
+

 ÷ ÷
−
  
7)
3
2
4 2 1
lim
3
n n
n n
+ −
+
8)
6 1
lim
3 2
n
n
−
+
9 )
2
2
3 5
lim
2 1
n n
n
+ −

+
10)
2
2
4 5
lim
3
n n
n
+
−
Bài 2. Tính các giới hạn của dãy số
1)
4 1
lim
4 1
n
n
+
−
2)
1 1
3 2
lim
3 2
n n
n n
+ +
−
+

3)
1
4.3 5
lim
3.2 5
n n
n n
+
+
+
4)
1
3 4
lim
2 5
n n
n n
+
+
+
5)
1
2 .3 5
lim
6 5.3
n n n
n n
+
−
+

Bài 3. Tính các giới hạn của dãy số
1)
2 2
lim( 2)n n n+ − +
2)
2 2
lim ( 1 2)n n n+ − −
3)
2 1
lim
3 1
n n
n
− −
+
4)
2
lim( 3 2)n n n− − −
5)
2
lim( 2 3 )n n n+ + −
6)
2 2
lim( 3 1)n n n+ − +
7)
2
lim( 4 2)n n n+ − +
8)
2 2
1

lim
2 4n n+ − +
9)
2
lim( )n n n+ −
10 )
2
lim( 1 )n n n+ + −
Tổ Toán Trường THPT Tây Nam Trang số 1 (violet.vn/phamdohai)
Bài 5. Tìm các giới hạn của hàm số
1)
2
1
3 5
lim
1
x
x x
x
→
+ +
+
2)
2
1
2
4 1
lim
3 2
x

x x
x
→ −
− +
+
3)
→+∞
−
+
2
2
2 5
lim
3
x
x
x
4)
2
lim
2
→+∞
−
+
x
x x
x
5)
6
3

2
lim
3 1
x
x
x
→+∞
+
−
6)
2
2
1
1
lim
3 2
x
x
x x
→ −
−
+ +
7)
2
2
2
6
lim
4
x

x x
x
→
+ −
−
8)
2
2
5
5
lim
25
x
x x
x
→
−
−
9)
2
0
1 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + +
10)
3

4
1
lim
(2 1)( 3)
x
x x
x x
→
−
− −

11)
2
2
5 2
lim
1
x
x x
x
→+∞
+
+
12)
2
2
5 2
lim
1
x

x x
x
→−∞
+
+
13)
2
3
4 3
lim
3
x
x x
x
→
− +
−
14)
2
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
−

15)
3 2
1
1
lim
1
x
x x x
x
→
− + −
−
16)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
17)
2
2
4
lim

7 3
x
x
x
→
−
+ −
18)
3 2
3
4 3 1
lim
3
x
x x
x x
→+∞
− +
+ −
Bài 6. Tìm các giới hạn của hàm số
1)
0
1 3 1
lim
3
x
x
x
→
+ −

2)
2
7
2 3
lim
49
x
x
x
→
− −
−
3)
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
4)
4
3 5
lim
1 5
x
x

x
→
− +
− −

Bài 7. Tìm các giới hạn của hàm số
1)
−
→
−
−
1
2 7
lim
1
x
x
x
2)
2
2
4
lim
2
x
x
x
−
→
−

−
3)
2
2
2
4 4
lim
4
x
x x
x
+
→
− +
−
4)
2
2
5
5 10
lim
25
x
x x
x
−
→
− +
−

5)
2
5 1
lim
2
x
x
x
−
→
+
−
6)
2
5 1
lim
2
x
x
x
+
→
+
−
7)
2
3
3
lim
3

x
x x
x
−
→
+ −
−
8)
2
3
3
lim
3
x
x x
x
+
→
+ −
−
Bài 8. Tìm các giới hạn của hàm số
1)
2
2
4 1
lim
3 2
x
x x
x

→
− +
+
2)
4
2 5
lim
4
x
x
x
−
→
−
−
3)
3 2
2
1
lim
x
x x
x
→+∞
+ +
4)
(
)
→+∞
− − +

2 2
lim 1
x
x x x
5)
9
3
lim
9
x
x
x
→
−
−
6)
0
2 4
lim
x
x
x
→
− −
7)
→−
+
+ −
2
3

3
lim
2 3
x
x
x x
20)
4
2
1
1
lim
11 10
x
x
x x
→ −
−
+ +

Bài 9 Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
đã chỉ ra
a)

− −
≠

=
−




2
2 3
, 3
( )
3
x x
f x
x
nÕu x
5, nÕu x = 3
tại x
0
= 3 b)
1 2 3
, 2
( )
2
x
f x
x

− −
 ≠
=

−



nÕu x
1, nÕu x = 2
tại x
0
= 2
c)
3
3 2 2
, 2
2
( )
x
x
f x

+ −
≠


−
=




nÕu x
3
, nÕu x = 2
4

tại x
0
= 2 d)
1
,
( )
2 1
x
f x
x
−


=
− −


≥

nÕu x < 1
-2x, nÕu x 1
tại x
0
= 1
e)
( )
5
,
2 1 3
( )

x
x
f x
−


− −
=


≤

2
nÕu x > 5
x - 5 + 3, nÕu x 5
tại x
0
= 5 f)
3 1 2
,
1
( )
8 1
3
x
x
f x

+ −



−
=


+ −
≤


2
nÕu x > 1
x
, nÕu x 1
tại x
0
= 1
g)
2
4
x 2
( )
2
4 x=2

−
≠

=
−




x
khi
f x
x
khi
. Tại điểm x
o
= 2.
Bài 10. Xét tính liên tục trên R của hàm số sau
a)
2
3 2
, 1
1
( )
1
2
x x
x
f x

− +
≠


−
=





nÕu x
- , nÕu x = 1
b)
3
2
,
( )
x x
f x

≤

−

=




3
nÕu x 2
1- 3- x
, nÕu x > 2
x - 2

Bài 11)
Tổ Toán Trường THPT Tây Nam Trang số 2 (violet.vn/phamdohai)

a) Chứng minh phương trình
4 2
2 4 3 0x x x+ + - =
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (−1; 1 )
b). Chứng minh phương trình :
3
3 1 0x x− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 12) Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)
)12)(33(
22
−++−= xxxxy
b)
)1)(23(
242
−++−= xxxxy
c)
)1
1
)(1( −+=
x
xy
d)
2
1
2
2
+
+

=
x
x
y
e)
52
)21( xy −=
f)
3
1
12






−
+
=
x
x
y
g)
32
)52(
1
+−
=
xx

y
k)
5
23
+−= xxy
l)
)12(sin
33
−= xy
m)
2
2sin xy +=
n)
xxy 5cos34sin2
32
−=
o)
32
)2sin2( xy +=
p)
)2(cossin
2
xy =
g)
2
2
tan
3
x
y =

r)
tan cot
2 2
x x
y = −
Bài 13): Cho hàm số f(x) = x
5
+ x
3
– 2x − 3. Chứng minh rằng f’(1) + f’(−1) = − 4f(0)
Bài 14): Cho hàm số y= x
3
−3x+1,Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm x = 2
Bài 15): Cho hàm số y =
2
2 3x x− +
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ -1
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có tung độ 0
c) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.
II/ Hình học:
Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đường thẳng:
1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB)
b) Gọi AH là đường cao của
∆
SAB. Chứng minh: AH
⊥
(SBC)

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm
AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO
⊥
(ABCD)
b) IJ
⊥
(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA
⊥
(ABCD). Gọi
H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng: CD
⊥
(SAD), BD
⊥
(SAC)
b) Chứng minh: SC
⊥
(AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c) Chứng minh: HK
⊥
(SAC), từ đó suy ra HK
⊥
AI
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh: BC
⊥
(AID)
b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH

⊥
(BCD)
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. GỌi H là điểm thuộc
mp(ABC) sao cho OH
⊥
(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC
⊥
(OAH)
b) H là trực tâm của
∆
ABC
c)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC =
2a
. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
a) Chứng minh: SH
⊥
(ABCD)
b) Chứng minh: AC
⊥
SK và CK
⊥
SD
3. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đường tròn (O; R). CD là dây cung của đường tròn (O) qua

I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E
là điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông ở S
b) SD
⊥
CE c) Tam giác SCD vuông.
Tổ Toán Trường THPT Tây Nam Trang số 3 (violet.vn/phamdohai)
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
4. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường
cao BE, DF của tam giác BCD; đường cao DK của tam giác ACD
a) Chứng minh: AB
⊥
(BCD)
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH
⊥
(ADC)
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60
0
, SA
⊥
(ABCD)
và SA =
6a
. Chứng minh:
a) (SAC)
⊥
(ABCD) và (SAC)
⊥
(SBD)

b) (SBC)
⊥
(SDC)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO
⊥
(ABCD); (SAC)
⊥
(SBD)
b) Một mặt phẳng (
α
) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,
D’. Chứng minh AC’
⊥
B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ đối xứng với nhau qua
mặt phẳng (SAC)
7. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I.
Dựng đoạn SD =
6
2
a
vuông góc với (ABC). Chứng minh:
a) Mặt phẳng (SAB)
⊥
(SAC)
b) Mặt phẳng (SBC)
⊥
(SAD)
8. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD =
2

3
a
. Trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a.
a) Chứng minh tam giác ASC vuông
b) Chứng minh: (SAB)
⊥
(SAD)
9. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên
hệ giữa a, b, x, y để:
a) (ABC)
⊥
(BCD)
b) (ABC)
⊥
(ACD)
10.Cho
∆
ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC)
a) (ABB’)
⊥
(ACC’)
b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh rằng hai
mặt phẳng (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK)
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , SA ⊥ (ABC) ,SA = 2a.
Gọi I là trung điểm của AB
a)Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c)Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 2. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau.Gọi H là điểm
thuộc mp (ABC) sao cho OH vuông góc với mp (ABC). CMR :
a) BC vuông góc với (OAH)
b) H là trực tâm của tam giác ABC
a)
2222
OC
1
OB
1
OA
1
OH
1
++=
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều , mp(SAB) vuông
góc mp(ABCD)
a) Gọi I là trung điểm AB. CMR : SI vuông góc (ABCD)
b) CMR tam giác SBC và SAD vuông
Tổ Toán Trường THPT Tây Nam Trang số 4 (violet.vn/phamdohai)
c) Tính góc giữa các cạnh bên và đáy
d) Dựng và tính khoảng cách từ I đến (SCD)
Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với đáy bằng 60
0
a) Tìm khoảng cách từ B đến (SAC)
b) Tìm khoảng cách giữa BD và SC
c) Xác định và tính góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD) ; với ABCD là hình vuông cạnh a, SC tạo
với đáy góc 60
0

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Dựng AH vuông góc SD, AK vuông góc SB. Chứng minh rằng SC vuông góc (AHK)
c) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
d) Gọi I là trung điểm SC, O là tâm của hình vuông ABCD. CMR : OI vuông góc với
mp(ABCD)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD với đường cao AB = a, đáy nhỏ
BC = a, góc nhọn D = 45
0
, cạnh SA vuông góc đáy (ABCD) và SA=
2a
a) CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc giữa mp(SCD) và đáy
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC ; AD và SB
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, D. Cho AB = 2a, AD=DC=a,
SA vuông góc (ABCD), SA = a
a) CMR: (SAD) vuông góc (SCD); (SAC) vuông góc (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
c) Tính số đo góc giữa hai mp (SBC) và (ABC); (SAB) và (SBC)
d) Tính khoảng cách giữa AD và SB; AB và SC
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) .Tam giác ABC vuông tại B.
a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b)Từ A kẻ AH ⊥ SB tại H, AK ⊥ SC tại K.Chứng minh rằng SC ⊥(AHK) và tam giác AHK là
tam giác vuông
ĐỀ THI THAM KHẢO
Đề 1
Bài 1. (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1.
2
2
7 5 1

lim
2 4
n n
n
− +
+
2.
2
2
2
6
lim
4
x
x x
x
→
+ −
−
3.
2
5 1
lim
2
x
x
x
−
→
+

−
4.
2
x 3
x 1 2
lim
9 x
→
+ −
−
Bài 2. (2 điểm)
1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.

− +
>

=

−

+ ≤

2
x 5x 6
khi x 3
f(x)
x 3
2x 1 khi x 3
2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
3 2

2x 5x x 1 0− + + =
.
Bài 3 . (2 điểm)
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a .
2
y x x 1= +
b .
52
)21( xy −=
2 . Cho hàm số
x 1
y
x 1
−
=
+
. Viết ptrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = - 2.
Bài 4. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
đáy , SA = a
2
.
1. Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2. CMR (SAC)
⊥
(SBD) .
Bài 5 . (1 điểm) Cho
3 2
1
y x 2x 6x 8
3

= − − −
. Giải bất phương trình
/
y 0≤
Tổ Toán Trường THPT Tây Nam Trang số 5 (violet.vn/phamdohai)
Đề 2
Bài 1 :(2 điểm) Tìm các giới hạn sau :
1 .
2
2
3 5
lim
2 1
n n
n
+ −
+
2 .
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −

3 .
+
→
−
−
5
2 11
lim
5
x
x
x
4.
→
+ −
+
3
2
0
1 1
lim
x
x
x x
.
Bài 2 . (2 điểm)
1 . Cho hàm số f(x) =

−
≠


−


+ =

3
1
1
1
2 1 1
x
khi x
x
m khi x
Xác định m để hàm số liên tục trên R
2 . Chứng minh rằng phương trình :
− − − =
2 5
(1 ) 3 1 0m x x
luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3 . (2 điểm)
1 . Tìm đạo hàm của các hàm số :
a . y =
5
23
+−= xxy
b . y =
+1 2tan x
.

2 . Cho hàm số y =
− +
4 2
3x x
( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ bằng
3
Bài 4 . (3 điểm) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC , đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a , I
là trung điểm BC .
1 . CMR : ( OAI )
⊥
( ABC ) .
2. CMR : BC
⊥
( AOI ) .
Bài 5 .(1 điểm) cho y = sin2x – 2cosx . Giải phương trình
/
y
= 0
Đề 3
Bài 1 :(2 điểm) Tính các giới hạn sau
a.
2
1
2 1
lim
2
x
x x
x
→

+ +
−
b.
3 2
3
2 4
lim
2 3
x
n n
n
→∞
+ +
−
Bài 2 : (1 điểm) Chứng minh phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm

5 4 3
5 3 4 5 0x x x− + − =
Bài 3 : (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau
a.
2 5
(4 2 )(3 7 )y x x x x= + −
b.
2
2 3 5
4 3
x x
y
x
− + −

=
−
Bài 4 : (2 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau

3 2
2 5 7y x x x= − + + −
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
0
1x = −
b. Giải bất phương trình 2y’ +4 > 0
Bài 5 : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
( )SA ABCD⊥

a. Chứng minh
AC SD⊥
b. Chứng minh rằng (SAB)
⊥
(SBC)
Tổ Toán Trường THPT Tây Nam Trang số 6 (violet.vn/phamdohai)