Chuyên đề toán học : Phương trình lượng giác pps

Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:

sin cos
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
∗ = ∗ =
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
0
0
(0)
30
0
(
6
π
)
45
0
(
4
π
)
60
0

(
3
π
)
90
0
(
2
π
)
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
( )

( )
+ α + α = ∀α∈
π
 
+ α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
π
 
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:

• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2
x
• tanx=
1
cot x
;
1
cot
tan
x
x
=
• Sin
4
x + cos
4
x = 1 - 2sin
2
x.cos
2
x
• Sin
6

x + cos
6
x = 1 - 3sin
2
x.cos
2
x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π”
D/. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
+
−
a b
a b

2. Công thức nhân đôi:
 sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2
a
 tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a
 cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:

 cos
2
a =
1 cos 2
2
a+

 sin
2
a =
1 cos 2
2
a−

 tg2a =
1 cos 2
1 cos2
a
a
−
+
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
 sinx =
2
2
1
t

t+
 cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

 tanx =
2
2
1
t
t−
 cotx =
2
1
2
t
t
−
6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −

   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
+ −
   
− = −
 ÷  ÷
   

a b a b
sina sin b 2sin cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
sina sinb 2cos sin
2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷

   

sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π

sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π


sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b

a b a b k k Z
a b
π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
+ = + = −
a a a cos a
π π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
− = − = − +
a a a cos a
π π

cos sin 2 ( ) 2 sin( )
4 4
− = + = − −
a a cos a a
π π
7. Công thức biến đổi tích thành tổng

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b• = − + +

[ ]

1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b• = − − +
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 1
sinα
2
π
0
π
3
2
π
cosα
0
α
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
• = + + −
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
b a a b a b• = + − −
II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:

2
) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k
2
c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k
u v k
a b
u v k
= + π

⇔ ± π , κ∈ ⇔ ∈

= π− + π

⇔ π ∈ ⇔ π ∈
¢ ¢
¢ ¢
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả
sin
2 2
a
α
π π
α
=


−
< <



thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương
trình sinx = a ⇔
sin 2
sin 2
x arc a k
k Z
x arc a k
π
π π
= +

∈

= − +


b/ Nếu cung α thoả
cos
0
a
α
α π
=


< <

thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình
cos x = a ⇔
arccos 2

arccos 2
x a k
k Z
x a k
π
π
= +

∈

= − +

c/ Nếu cung α thoả
tan
2 2
a
α
π π
α
=



−
< <


thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình
tanx = a ⇔
arctan ,x a k k Z

π
= + ∈

d/ Nếu cung α thoả
cot
0
a
α
α π
=


< <

thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình
cotx = a ⇔
arccot ,x a k k Z
π
= + ∈
Một số phương trình đặc biệt:
sin 0 sin 1 2 sin 1 2
2 2
cos 0 1 2 1 2
2
x x k x x k x x k
x x k cosx x k cosx x k
π π
π π π
π
π π π π

⊕ = ⇔ = ⊕ = ⇔ = + ⊕ = − ⇔ = − +
⊕ = ⇔ = + ⊕ = ⇔ = ⊕ = − ⇔ = +
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
sin cosa x b x c+ =
Phương pháp giải:
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos
a b c
a x b x c x x
a b a b a b
+ = ⇔ + =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
α
α

=

+




=

+

đưa phương trình về dạng:
2 2
cos( )
c
x
a b
−β =
+
rồi tiếp tục giải.
Điều kiện có nghiệm
2 2 2
a b c+ ≥
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a. t
2
+ b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx.
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện
1t ≤
.
4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:
2 2
sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + =
(1)
* Cách giải:

Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 2
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔
2
x k
π
π
= +
có là nghiệm của (1) hay không ?
TH2: cosx ≠ 0 chia cả 2 vế phương trình cho
2
cos x
, thay
( )
2
2
1 tan
cos
d
d x
x
= +
, sau đó đặt
tant x=
rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t rồi tiếp tục giải.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:
( ) ( )
sin cos sin .cos 0A x x B x x C± + + =
Cách giải: Đặt
( )

2
1
sin cos ; 2 2 sin .cos
2
t
t x x t x x
−
= ± − ≤ ≤ ⇒ = ±
. Đưa phương trình về
phương trình đại số theo t:
2
1
0
2
t
At B C
 
−
+ ± + =
 ÷
 
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
sin 2 cos 2 0x x
− =

2.
sin 3 2 cos3 0x x+ =

3.
2
4s in 1x =

4 .
2 2
sin sin 2 1x x+ =

5.
sin 4
1
cos 6
x
x
=

6. sin 2x = 2cos x
7.
=
sin .cot5
1
cos 9
x x
x
8.
tan3 tan 5x x
=

9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1

10.
sin 2
2 cos
1 sin
x
x
x
= −
+
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm
3
;
2
x
π
π
−
 
∈
 
 
của phương trình
1
sin cos cos .sin
8 8 2
x x
π π
+ =
II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau

1.
cos 2 3sin 2x x+ =

2.
4 2
4s in 12 cos 7x x+ =

3.
2
25sin 100 cos 89x x+ =

4.
4 4
sin 2 cos 2 sin 2 cos2x x x x+ =

5.
+
=
−
6 6
2 2
sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x

6.
+ =

2
3
tan 9
cos
x
x
Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2. sin
2
x – ( 2m -1) sin x + m
2
-1 = 0 ( m là tham số )
Bài 3 : Giải các phương trình
1) 2+cos2x = -5sinx
2) sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97)
3) 2+cosx = 2tg
2
x
(Học viện ngân hàng98)
4) cosx = cos
2
(
4
3x
) (ĐH hàng hải97)
5) tg2x + sin2x =
2
3
cotgx (ĐH Thương mại 99)

6) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99)
7)
x
x
sin5
5sin
=1 (ĐH Mỏ địa chất 97)
8) 3cos4x – 2cos
2
(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98)
9) 2sin
3
x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98)
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D)
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 3
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
12)cho phương trình :sin
4
x + cos
4
x -
4
1
sin
2
(2x) + m = 0
a.Giải phương trình khi m= 2
b.tìm m để phương trình có nghiệm
(Trường Hàng không VN 97

13) 3cos
6
(2x) + sin
4
(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99)
14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98)
15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D)
16) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D)
17) sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x + 1 = 2cos2(
23
x
−
π
)
(ĐHSP TP.HCM 2000)
18)
x
x
xx
cos4

sin
2sin12sin1
=
++−
(ĐH luật HN 2000)
19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000)
20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000)
22) 2cos2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
(ĐH NNgữ HN 2000)
23)
5
5sin
3
3sin xx
=
(ĐH Thủy lợi 2000)
24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2
π
) của phương trình
5(sinx +
)
2sin21
3sin3cos
x
xx
+
+
= cos2x + 3 (KA-2002)

25) cotgx – tgx + 4sin2x =
x2sin
2
(KB-2003)
26)sin4x + cos4x + cos(
4
π
−x
).sin(3x -
4
π
) -
2
3
= 0
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
sin 3 3 cos 3 2x x+ =

2.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

3.
2s in17 3 cos 5 sin 5 0x x x+ + =

4.
2s in (cos 1) 3 cos2x x x− =
5.
3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x− = −

6.
3cos sin 2 3(cos 2 sin )x x x x− = +
7.
sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + =
Bài 2 : Cho
3sin 2
2 cos2
x
y
x
=
+
1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình

1)
3
sin2x + cos2x =
2
( ĐH Huế 99)
2) 2cos2x + sin2x = 2
3) 3cos3x + 4sinx +
1sin4cos3
6

++ xx
= 6
4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
5) cosx +
3
sinx = 2cos2x
6) Tìm






∈
7
6
,
5
2
ππ
x
thoả phương trình
cos7x -
3
sin7x= –
2

7) cos7x.cos5x –
2
sin2x = 1 –

sin7x.sin5x
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 4
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
8) 2cosx(sinx – 1) =
3
cos2x
9) 3sinx –
3
cos3x = 4sin
3
x – 1
10)
3
sin(x –
3
π
) + sin (x +
6
π
) = 2sin2006x
11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx
13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
14)
)
6
2cos(5)2cos32(sin
2
π
−=−+

xxx
15) 2cos
3
x + cos 2x + sinx = 0
16)
24sin3)cos(sin4
44
=++
xxx
17) 1+ sin
3
2x + cos
3
2x =
2
1
sin4x
18) tgx –3cotgx = 4(sin x+
3
cosx)
19)
xxx cossincossin
33
−=+

20)
4
1
cos)
4

(sin
44
=++
xx
π
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1)
2
2s in 2 2 3 sin 2 cos 2 3x x x− =

2)
1
4s in 6 cos
cos
x x
x
+ =

3)
3
sin 3 2 cosx x=
4)
2 2
4s in 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ − =

5)
3 3
cos sin sin cosx x x x+ = −

6)
3
8cos ( ) cos3
3
x x
π
+ =
7)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +

8)
3
2 sin ( ) 2sin
4
x x
π
+ =

9)
sin 3 cos3 2 cos 0x x x+ + =
Bài 2 :
Giải phương trình :
1)
3
sinx+cosx =

xcos
1
(ĐH An ninh 98)
2) sin
2
x – 3cos
2
x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx
4) 2cos
3
x = sin3x (HV KT Quân sự 97)
5) sin
2
x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
(ĐH NN I HN 99)
6) sinx – 4sin
3
x + cosx = 0
(ĐH Y Khoa HN 99)
7) sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
(ĐH YD HCM 97)
8) cos
3
x – 4sin
3
x – 3cosx.sin
2

x + sinx = 0
(ĐH NT 96)
9)
0sincos.sin4cos3
4224
=+− xxxx
cotg x – 1=
xx
tgx
x
2sin
2
1
sin
1
2cos
2
−+
+

(ĐHBKA-2003)
sin3x + cos3x + 2cosx = 0
x
xx
xx
2cos2
cos.4sin5
cos2sin6
3
=−

)cos.sin2(cos3sin2sin.
22
xxxxxtgx +=−
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình

1 .
12(sin cos ) 4 sin cos 12 0x x x x+ − − =

2 .
sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + =

3 .
5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x− − + + =
4 .
1
sin 2 (sin cos ) 0
2
x x x+ − + =
5 .
5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x− − − + =

6 .
3 3
2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ − + + =
7 .
1 1
(sin cos 1)(sin 2 )
2 2
x x x

−
− + + =

8 .
sin cos 4sin 2 1x x x− + =
9 .
sin cos sin2 0x x x+ − =

10 .
2(sin cos ) tan cotx x x x+ = +

11 .
cot tan sin cosx x x x− = +

12 .
2s in 2 1 sin cos
2s in 2 1 sin cos 1
x x x
x x x
+ +
=
− + −

Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1. Giải phương trình với m = -
2
2. Tìm m để phương trình có nghiệm
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 5
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số

y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
Bài tập 4:
1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D)
2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97)
3)
xxx 2sin2cossin
+−
= 1 (ĐH An ninh 98-A)
1) 3tg
3
x – tgx +
)
24
(cos8
cos
)sin1(3
2
2
x
x
x
−−
+
π
= 0
(Kiến trúc HN 98)
2) sinx+ sin
2
x+sin
3

x+sin
4
x = cosx+cos
2
x+cos
3
x+cos
4
x
3) sin
3
x+ cos
3
x = 1
4) sin
3
x+ cos
3
x + sin2x(sinx + cosx) = 1
5) 1 + sin
3
x+ cos
3
x =
2
3
sin2x (ĐH GT VT 99)
6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97)
7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1

b.Ttìm m để phương trình có nghiệm
10) sin
3
x+ cos
3
x = sin2x + sinx + cosx
( ĐH Cảnh sát ND 2000-A)
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D)
12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A)
13) 1 + sin
3
x- cos
3
x = sin2x
VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
1.
+ + =
2
1
cot 1 0
sin
x
x
2.
− + =
2
1 2 5
tan 0

2 cos 2
x
x
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1.
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = +
3.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 0x x x+ − =
2.
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + =
.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =

C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 .
cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x
+ + + =

2.
1 sin cos3 cos sin 2 cos2x x x x x+ + = + +

3.
3
2cos cos 2 sin 0x x x+ + =

4 .
cos cos3 2cos5 0x x x
+ + =
5 .
3 3
cos sin sin 2 sin cosx x x x x+ = + +

6 .
2 3
sin cos sin 0x x x+ + =
7.
2
1 sin
tan
1 cos
+
=
+
x
x
x

8 .

3 3
sin cos sin cosx x x x− = +
9 .
cos cos5
8sin sin 3
cos3 cos
x x
x x
x x
− =

10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos
2
x
D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 6
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
1.
3 1
8cos
sin sin
x
x x
= +
2.
2
1 cos 2
1 cot 2
sin 2

x
g x
x
−
+ =
3.
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +
4.
2
cos (1 cot ) 3
3cos
2 sin( )
4
x x
x
x
π
+ −

=
−
5.
2
cos 2sin cos
3
2cos sin 1
x x x
x x
−
=
− −
Bài 2: Giải các phương trình
1.
tan 3x= tan 5x

2.
tan2xtan7x=1

3.
sin 4x
1
co s 6x
=
4.
sin cot5
1
cos9
=
x x

x

5.
3
sin( )
cos2
4
sin( 2 ) cos( )
2 4
x
x
x x
π
π π
+
=
− +

6.
cos3 .tan5 sin 7
=
x x x
Bài 3 : Giải các phương trình

1.
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
x x x
x x x

+ +
=
+ +

2.
2
1 2sin 3 2sin sin 2
1
2sin cos 1
x x x
x x
+ − +
=
−
3.
3 3
sin cos
cos2
2cos sin
x x
x
x x
+
=
−

4.
1 1
2 2 sin( )
4 sin cos

x
x x
π
+ = +

5.
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
−
=
+ −
x x
x x x

6.
2
3tan3 cot 2 2tan
sin 4
+ = +x x x
x
7.
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
+ = +

8.
2 2

2 2
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
− = −
Bài 4:
a) Tìm các nghiệm
;3
2
x
π
π
 
∈
 ÷
 
của phương
trình
5 7
sin(2 ) 3cos( ) 1 2sin
2 2
x x x
π π
+ − − = +
b) Tìm các nghiệm
[ ]
0;2x
π

∈
của phương
trình
cos3 sin 3
5(sin ) cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện
3
2 2 4
x
π π
− ≤
của ph tr:
sin cos 1 sin
2 2
x x
x− = −
d) Tìm các nghiệm thoã mãn
2x <
của ph tr:
2 2
1
(cos5 cos7 ) cos 2 sin 3 0
2

x x x x+ − + =
Phương trình lượng giác có chứa tham số
Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x
D∈
thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t
T∈
* Với mỗi t
T∈
thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x
D∈
Xác định m để các phương trình sau :
1. Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm
;
3 2
x
π π
 
∈ −
 ÷
 
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 7
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm
0 ;

2
x
π
 
∈
 ÷
 
3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm
0 ;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
4. ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
5. m cos
2
2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm
0 ;
4
x
π
 
∈
 ÷
 
6. cos 4x -
2

4tan
1 tan+
x
x
= 2 m có nghiệm
0 ;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm
0 ;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
8. Cos 2x = m cos
2
x
1 tan+ x
có nghiệm
0;
3
π

 
 
 
9. tan
2
x + cot
2
x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
Bài toán 2 :
Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm x∈D
Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :
1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt
;
2 2
x
π π
−
 
∈
 ÷
 
2. m sin
2
x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x
3
0;
2
x
π

 
∈
 ÷
 
3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm
[ ]
0;x
π
∈
4. ( 1- m) tan
2
x -
2
1 3 0
cos
m
x
+ + =
có nhiều hơn một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos
2
x có đúng hai nghiệm

0;
2
x
π
 
∈
 
 
6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm
( )
0;3x
π
∈
8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm
;3
6
x
π
−
 
∈

 ÷
 
VII Phương trình lượng giác đặc biệt
1.Phương pháp tổng bình phương
Sử dụng



=
=
⇔=+
0
0
0
22
B
A
BA
1)
0432cos343cos4
22
=++−+
tgxxxtgx
2)
02cos2sin2
2
=+−−
xxxx
3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin
3

x + 1) = 0
4)
xyy 2sin54
2
=+−

2. Phương pháp đánh giá
Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
Nếu có số thực a sao cho
)()( xgaxf
≤≤
thì
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 8
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học




=
=
⇔=
axg
axf
xgxf
)(
)(
)()(
1)
x
x

x
cos
1
cos2
cos
+=
2) cosx +
22cos
=
x
3) ln(sin
2
x) – 1+ sin
3
x = 0 ( ĐH Huế 99-A)
4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
( ĐH kiến trúc HN97)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
(Tổng hợp luyện thi đại học)
1/ cos
2
3x.cos2x – cos
2
x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
3/ cos
4
x + sin
4
x + cos
.

4






−
π
x
sin






−
4
3
π
x
-
2
3
= 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan
2
x
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx. 6/ cotx – 1 =
2

1
sin
tan1
2cos
2
−+
+
x
x
x
sin2x.
7/ cotx – tanx + 4sin2x =
x2sin
2
8/
0
2
costan.
42
sin
222
=−






−
x

x
x
π
9/
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+ x
x
xx
x
với 0 < x < 2
π
10/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2

6x
11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0
≤≤ x
14
12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/
26sin.222sin.3
2
−=− xx
.
14/ cos3x + sin7x = 2.
2
9
cos2
2
5
4
sin
22
xx
−






+
π
15/ sin
3

x + sinx.cosx = 1 – cos
3
x
16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos
2
x =
2
12 +
18/






−=






+
24
sin.3
42
3
sin
xx
ππ

19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)
20/ 4cosx – 2cos
2
x – cos2x – cos4x = 0 21/
1
2cos1
2sin
=
+
+
x
x
22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos
4
x – sin
4
x) + cos4x – cos2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos
2
x = 3(1 – sinx)sin
2
x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx
26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/






+=







++






+
4
cos
6
cos
3
cos
πππ
xxx
28/ sin
3
x + cos
3
x = sinx – cosx 29/
xxx tansin.2
4
sin.2

22
−=






−
π
30/ 4cos
2
x – 2cos
2
2x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx =
xx cos13sin
2
1
++
.
32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin
2
x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
34/
3
2coscos
2sinsin
=
−
−

xx
xx
35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
36/
x
xx
xx
2tan
8
13
sincos
sincos
22
66
=
−
+
37/ cos
2
x.sin
4
x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1
38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan
2
x – 1) = 2
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 9
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
40/ 3cos4x – 8cos
6
x + 2cos

2
x + 3 = 0 41/
1cos2
42
sin2cos)32(
2
−






−−−
x
x
x
π
= 1
42/
)sin1(2
cossin
)1(coscos
2
x
xx
xx
+=
+
−

43/ cotx = tanx +
x
x
2sin
4cos2
44/
x
x
x
xx
2sin.8
1
2cot
2
1
2sin.5
cossin
44
−=
+
45/
x
xx
x
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1tan

−
=+
46/ tanx + cosx – cos
2
x = sinx(1 + tanx.tan
)
2
x
47/ sin(
1)cos. =x
π
48/ cos3x – sìnx =
3
(cos2x - sin3x) 49/ 2cos
2
x - sin2x + sinx – cosx = 0
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos
2
x.sin
2
x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1
54/ 8.sin
2
x + cosx =
3
.sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos
3
x – cos3x = 0
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos

2
x
58/
0cossin1
=++
xx
59/
( )
1sin.sin22cossin1cos3
2
−=−−
xxxxx
60/
2cos.3
2
cos
2
sin
2
=+






+
x
xx
61/







−=






−
+
x
x
x 4
7
sin4
2
3
sin
1
sin
1
π
π
62/ 2sin
2

2x + sin7x – 1 = sinx 63/
0
sin22
cossin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx
64/ cotx + sinx
4
2
tan.tan1 =






+
x
x
65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay:
Giải phương trình .
1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :
3 3 2
cos x sin x 2sin x 1+ + =
.

2/ (Dự bị 2 khối B 2006) :
( ) ( )
x x x x
4 2 1 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + + − + − + =
.
3/ (Dự bị 2 khối B 2007) :
( ) ( )
cos2x 1 2cosx sinx cosx 0+ + − =
.
4/ (Dự bị 2 khối D 2006) :
3 2
4sin x 4sin x 3sin2x 6cosx 0+ + + =
.
5/ (Dự bị 1 khối B 2006) :
(
)
(
)
2 2 2
2sin x 1 tan 2x 3 cos x 1 0− + − =
.
6/ (Dự bị 2 khối A 2006) :
2sin 2 x 4sinx 1 0
6
π
 
− + + =
 ÷
 
.

7/ (Dự bị 1 khối A 2006) :
2 3 2
3 3
cos3x.cos x sin3x.sin x
8
+
− =
.
8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng
( )
0;π
của phương trình :

x 3
2 2
4sin 3 cos2x 1 2cos x
2 4
π
 
− = + −
 ÷
 
9/ (Dự bị 2 khối A 2005) :
3
2 2 cos x 3cosx sinx 0
4
π
 
− − − =
 ÷

 
10/ (Dự bị 1 khối B 2005) :
(
)
2 2 3
sinx.cos2x cos x tan x 1 2sin x 0+ − + =
.
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 10
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
11/ (Dự bị 2 khối B 2005) :
cos2x 1
2
tan x 3tan x
2
2
cos x
π −
 
+ − =
 ÷
 
.
12/ (Dự bị 1 khối D 2005) :
3 sinx
tan x 2
2 1 cosx
π
 
− + =
 ÷

+
 
.
13/ (Dự bị 2 khối D 2005) :
sin2x cos2x 3sinx cosx 2 0
+ + − − =
.
14/ (Dự bị 1 khối B 2007) :
5x x 3x
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
π π
   
− − − =
 ÷  ÷
   
.
15/ (Dự bị 2 khối A 2007) :
( )
2
2cos x 2 3sinx.cosx 1 3 sinx 3cosx+ + = +
.
16/ (Dự bị 1 khối A 2007) :
1 1
sin2x sinx 2cot2x
2sinx sin2x
+ − − =
.
17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) :
sin3x 3 cosx 2sin2x− =

.
18/(ĐH K-D-2008):
( )
2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = +
.
19/(ĐH K-B-2008):
3 3 2 2
sin x 3 cos x sinx.cos x 3sin x.cosx− = −
.
20/(ĐH K-A-2008):
1 1 7
4sin x
3
sinx 4
sin x
2
π
 
+ = −
 ÷
π
 
 
−
 ÷
 
.
21/ (ĐH KB-2007)
2
2sin 2x sin 7x 1 sin x+ − =

.
22/( ĐH KD-2007)
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
 
+ + =
 ÷
 
.
23/(ĐH KA-2007)
(
)
(
)
2 2
1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin 2x+ + + = +
.
24/(ĐH KA-2003)
cos2x 1
2
cot gx 1 sin x .sin 2x
1 tgx 2
− = + −
+
25/( ĐH KB-2003)
x
xtgxgx
2sin

2
2sin4cot =+−
26/( ĐH KD-2003)
x x
2 2 2
sin .tg x cos 0
2 4 2
π
 
− − =
 ÷
 
27/(ĐH KA-2002).
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+ x
x
xx
x
; với x

)2;0(
π
∈
.
28/(ĐH KB-2002)
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = −
29/(ĐH KD-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ; x
∈
[ ]
0;14
30/(ĐH KA-2005)
2 2
cos 3x.cos 2x cos x 0− =
.
31/( ĐH KA-2004 ) Cho tam giác ABC không tù thoả điều kiện :

cos 2A 2 2 cosB 2 2 cos C 3+ + =
. Tính ba góc của tam giác ABC .
32/( ĐH KB-2004)
( )
2
5sin x 2 3 1 sin x tg x− = −
33/( ĐH KD-2004)
( ) ( )
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x− + = −
34/(ĐH KB-2005)
02sin2coscossin1
=++++
xxxx

35/(ĐH KD-2005)
3
4 4
cos x sin x cos x .sin 3x 0
4 4 2
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
36/( ĐH KB-2006)
x
cot gx sin x 1 tgx.tg 4
2
+ + =
 
 ÷
 
37/( ĐH KD-2006)
cos3x cos2x cos x 1 0+ − − =
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 11
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
38/(ĐH KA-2006)
( )
6 6
2 cos x sin x sin x.cos x
0
2 2sin x
+ −

=
−
.
39/(ĐH KA-2010)
(1 sin x cos2x)sin x
1
4
cos x
1 tan x
2
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+
40/(ĐH KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2 cos2x – sinx = 0
41/(ĐH KD-2010) sin2x - cos2x + 3 sinx – cosx -1 = 0
42/(CĐ KA,B,D-2010)
5 3
4sin cos 2(8sin 1)cos 5
2 2
x x
x x+ − =
43/(ĐH KA-2009)
(1 2sin ).cos
3
(1 2sin )(1 sin )
x x

x x
−
=
+ −
44/(ĐH KB-2009)
3
sinx cosx.s n2x 3cos3 2(cos 4 sin )ì x x x+ + = +
45/(ĐH KD-2009)
3 cos5 2sin3 .cos2 sin 0x x x x− − =

Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 12