phuong trinh vo ti-on thi dai hoc

V. Phng phỏp s dng nghim duy nht
1. Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a; b)

D thì PT f(x)=0 hoặc f(x)=m =const nếu có nghiệm
trên (a; b) thì nghiệm đó là duy nhất
2. Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến ) trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến (đồng biến)
trên khoảng (a; b) thì PT f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
3. Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a; b)

D thì PT f(u) = f(v)

u = v
AD: Gii phng trỡnh:
3
x 2 x 1 3 + + =
(1)
K : x - 1
Cách 1: Ta thy x = 3 l nghim ca phng trỡnh
+Xột x > 3
12
3
>x
;
21 >+x
VT > 3 phng trỡnh khụng cú nghim x > 3
+Xột -1 x < 3 thỡ
12
3
<x
;
21 <+x

VT < 3 phng trỡnh khụng cú nghim -1 x < 3
Cách 2: đặt
( )
3
f x x 2 x 1= + +

( )
( )
( )
2
3
1 1
f x 0 x 1;
2 x 1
3 x 2

= + > +
+

hàm số f(x) đồng biến trên [-1;+) phng trỡnh (1): f(x) = 3 nếu có nghiệm trên [-1;+) thì nghiệm đó
là duy nhất
Mặt khác ta có: f(3) = 3. Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3.
Cách 3: Đa về hệ phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a.
3
3
8 3 3 5 3x x x+ = +
(1)
HD: (1)

3
3
8 6 5 3 3 5 3x x x x+ = + + +
Xét hàm số
( )
3
3f t t t= +

( ) ( )
2
' 3 3 0f t t t f t= + >
đồng biến trên R
(1)
( ) ( )
2 5 3 2 5 3 1f x f x x x x= + = + =
T
2
: Giải bất PT, BPT:
1.
3
3
8 3 3 5 3x x x+ +
2.
6 3
2 3 5 2 3 1 5 1x x x x + = +
HD: Đặt
( )
3
5f t t t= +
Bài 2: Tìm m để BPT

( ) ( )
2
3 6 3 6 1x x x x m m+ + + +
luôn đúng
[ ]
3;6x
Bài 3:
1. Xác định m để
1 4x x m+
có nghiệm.
đk
[ ]
1;4x
Đặt
( ) ( ) ( )

= + = + >
+
1 1
1 4 0 1;4
2 1 2 4
f x x x f x x
x x

( )
f x m
có nghiệm
[ ]
1;4x

[ ]
( )
1;4
Max f x m


( )
4 5f m m
2. Tìm m để PT
2 4x x m + =
có nghiệm.
HD: C1 đặt VT = f (x) lập bảng biến thiên

KL
C2: tìm GTLN, GTNN của h/s trên đoạn [2;4]
C3: SD BĐT Bunhia- Copski ta có
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
= + + + =
= = =
= + + +
= + = = =
2 2
2;4
2
2;4

2 4 1 1 2 4 2
2 2 4 3
2 4 2 2)(4 2
2 2)(4 0 2, 4
y x x x x
Max y x x x
y x x x x
Min y x x x x
m[0;
2
] thì PT có nghiệm
3. Xác định m để PT:
( )
+ + = + 12 5 4x x x m x x
có nghiệm
HD: Nhân cả 2 vế với biểu thức liên hợp của
( )
5 4x x +
Bài 4:
1. Xác định m để BPT
[ ]
4 2 16 4 2;4x x m x +
2. Xác định m để
2
2 1 xx m x+ <
3. Xác định m để
( ) ( )
[ ]
2
-4 2+x 4 2 18 x -2;4x x x m +

4. Xác định m để
( ) ( )
[ ]
2
4 6 2 x -4;6x x x x m+ +
5. X¸c ®Þnh m ®Ó
( ) ( )
[ ]
2
3 7 4 x -3;7x x x x m+ − ≤ − + ∀ ∈
C¸c bµi tËp tù luyÖn
Giải các phương trình sau
1.
02193
2
=−++− xxx
2.
411 =−++ xx
3.
94343 +=−++ xxx
4.
1266
2
−=+− xxx
5. x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
1
2
+x

6.
52101 +++=+++ xxxx

7.
8273 −=−−+ xxx
8.
( )( )
36363 =−+−−++ xxxx
9.
( ) ( ) ( )
1 2 3x x x x x x+ + + = +
10.
2
94 96 190 9027x x x x− + − = − +
11.
14
5 3
3 5
x
x
x
−
− − =
+ −
12.
21212 =−−+−+ xxxx
13.
1267242 =−−++−−+ xxxx
14.
132210 =+−− xx

15.
4
3
8231 xx −=+−
16.
22
1717 xxxx −+−+
= 9
17. x
3
+ 1 = 2
3
12 −x
18. x
2
+
77 =+x
19.
( )
3 2
5 1 2 2x x+ = +
20.
2
2 10 12 40x x x x− + − = − +
21. x
2
– 1 = 2x
2
x 2x−
22.

2
x 1 x 4x 5+ = + +
23.
2
3x 1 4x 13x 5+ = − + −
24.
3
3
x 2 3 3x 2+ = −
25.
2 3
x 2 2x 2x x= − + −
26.
2
2x 1 x 3 4 x− + + = −
27.
2
4x 9
7x 7x
28
+
= +
Trang 5