de thi HSG toan 7 rat hay co dap an chi tiet

Đề thi học sinh giỏi toán 7 (Đề tr ờng THCS NAM MY )
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (3 đ) Tìm x , y biết:
a,
327
2+x
+
326
3+x
+
325
4+x
+
324
5+x
+
5
349+x
=0
b, Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7
c, Tìm số nguyên x và y biết :
8
1
4
5
=+
y
x
Câu2:(3 điểm)
a, Tính tổng:
2007210

7
1

7
1
7
1
7
1






++






+






+

=S
b, CMR:
1
!100
99

!4
3
!3
2
!2
1
<++++
c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dơng n thì: 3
n+2
2
n+2
+3
n
2
n
chia hết
cho 10
Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều

cao tơng ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?
Câu 4: (4điểm) Cho tam giác ABC có góc
0
60=B
hai đờng phân giác AP và CQ
của tam giác cắt nhau tại I.
a, Tính góc AIC
b, CM : IP = IQ
Câu 5: (4điểm) Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 80=
. Gi D l im nm trong
tam giỏc sao cho
ã ã
0 0
DBC 10 ,DCB 30= =
. Tớnh s o
ã
BAD
.
Câu6: (4điểm) Cho
3)1(2
1
2
+
=
n
B
. Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.

b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết : A =
3
1

+
x
x
(x
0

)
hết
Đáp án
Câu1:
a, (1)
04
5
349
1
324
5
1
325
4
1
326
3
1
327
2

=
+
++
+
++
+
++
+
++
+

xxxxx
(0,5 đ )

0)
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1
)(329( =+++++ x
3290329 ==+ xx
(0,5đ )
b,.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7

5 3 7x x = +
(1) (0,25 đ)
ĐK: x

-7 (0,25 đ)
( )
( )
5 3 7
1
5 3 7
x x
x x
= +



= +

. (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x
1
= 5/2 ; x
2
= - 2/3 (0,25đ).
c)
8
1
4
5

=+
y
x
,
8
1
8
2
5
=+
y
x
,
8
21
5
y
x

=
x(1 - 2y) = 40 (0,5 đ )

1-2y là ớc lẻ của 40 . Ước lẻ của 40 là :

1 ;

5 . (0,25 đ )
Đáp số : x = 40 ; y = 0 (0,25 đ
x = -40 ; y = 1
x = 8 ; y = -2

x = -8 ; y = 3
Câu 2
a,
2007432
7
1

7
1
7
1
7
1
7
1
1 +++=S
;
200632
7
1

7
1
7
1
7
1
177 ++=S
(0.5đ)
2007

7
1
78 =S

8
7
1
7
2007

= S
(0,5đ)
b,
!100
1100

!3
13
!2
12
!100
99

!4
3
!3
2
!2
1
++

+

=++++
(0,5đ)

1
!100
1
1 <=
(0,5đ)
c, Ta có

+2
3
n
)22(33232
222 nnnnnnn
+=+
+++
(0,5đ)

( )
10231010.210.35.210.3
22


==
nnnnnn
(0,5đ)

Câu 3: Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tơng ứng là x, y, z, diện tích S
( 0,5đ )
x
S
a
2
=

y
S
b
2
=

z
S
c
2
=
(0,5đ)
z
S
y
S
x
Scba
4
2
3
2

2
2
432
====
(0,5đ)
346
432
zyx
zyx ====
(0,5 đ )
vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3 (1đ)
Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ)
a, Góc AIC = 120
0
(1,5đ )
b, Lấy
ACH

: AH = AQ
IPIHIQ ==
(2 đ
Câu6: B đạt GTLN
( )
312;
2
+ nLNB
NN (0,5đ)
Vì
( ) ( )
331201

22
+ nn
đạt NN khi bằng 3 (0,5đ)
Dấu bằng xảy ra khi
101 == nn

vậy B ; LN
3
1
= B
và
1
=
n
(0,5đ)
b) Tìm x

z để A

Z. A=
3
4
1
3
1

+=

+
xx

x
(0,5 đ )
A nguyên khi
3
4

x
nguyên (0,5 đ )

3

x


Ư
(4)
= {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} (0,5 đ )
Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . (0,5 đ )