đề thi hsg toán 9 rất hay có đáp án

đề thi học sinh giỏi lớp 9 (2006 - 2007)
Câu 1 (3 đ): a. Rút gọn biểu thức (3 đ).
( )
22
1
11
1
+
++=
a
a
A
Với a > 0.
b. Tính giá trị của tổng.
222222
100
1
99
1
1...
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1
+++++++++=

B
Câu 2 (3đ): Cho pt
01
2
=+
mmxx
a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với
m

.
b. Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.
( )
12
32
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
xxxx
xx
P
Câu 3 (1 đ): Cho

1,1

yx
Chứng minh.
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
Câu 4 (3 đ).
Cho đờng tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từM kẻ
MH AB (H AB). Gọi E và F lần lợt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và
MB. Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D.
1. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi
trên đờng tròn.
2. Chứng minh.
BH
AD
BD
AH
MB

MA
.
2
2
=
Hớng dẫn đáp án
Câu 1 (1,5) a. Bình phơng 2 vế
( )
1
1
2
+
++
=
aa
aa
A
(Vì a > 0).
(1,5 đ) b. áp dụng câu a.
100
9999
100
1
100
1
11
1
==
+
+=

B
aa
A
Câu 2 a. (1 đ): cm
m

0
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:



=
=+
1
21
21
mxx
mxx
2
12
2
+
+
=
m
m
P
(1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.
11
2

2
1
1
2
1
==
==

mGTNN
mGTLN
P
Câu 3 (1 đ): Chuyển vế quy đồng ta đợc.
bđt
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1111
22

++

+
++


xyy

yxy
xyx
xyx
( ) ( )
01
2

xyyx
đúng vì
1

xy
Câu 4: a (1,5 đ).
- Kẻ thêm đờng phụ.
- Chứng minh MD là đờng kính của (o)
=> ........
b. (1,5 đ).
Gọi E', F' lần lợt là hình chiếu của D trên MA và MB.
Đặt HE = H
1

HF = H
2
( )
1
..
..
.
2
2

2
1
MBhHF
MAhHE
BH
AD
BD
AH
=
HEF


''
EDF


hHEhHF ..
2
=
Thay vào (1) ta có:
BH
AD
BD
AH
MB
MA
.
2
2
=

M
o
E'
E
A
F
F'
B
I
D
H
®¸p ¸n to¸n 6
C©u 1:
{ }
30,5/
〈∈=
xxNxM 
(0,5 ®).
{ }
91,/
2
≤≤∈= nNnnP
(0,5 ®).
C©u 2: a, ta cã:
88
41
101:8888
101:4141
8888
4141

==
(0,125 ®).
88
41
10101:888888
10101:414141
888888
414141
==
(0,125 ®).
888888
414141
8888
4141
88
41
==⇒
(0,25 ®).
b. Ta cã:
99900
2727425
99900000
2700027425000
99900000
2742527425425
−
=
−
=
−

(0,25 ®).
99900000
2742527425425
99900
2727425
−
=
−
⇒
(0,25 ®).
C©u 3: a. Ta cã
=++++++
5146...161161
( )
( )
286
2
11
.52
2
15:151
.151
==
+−
+=
(0,75 ®).
b.
=+++++
31.26
5

26.21
5
21.16
5
16.11
5
11.6
5
6.1
5
222222
31
150
31
1
1.5
31
1
26
1
26
1
21
1
21
1
16
1
16
1

11
1
11
1
6
1
6
1
1.5 =






−=












−+







−+






−+






−+






−+







−=
(0,75 ®).
C©u 4: Trong ®ît thi ®ua líp 6A ®¹t ®îc
sè ®iÓm 10 lµ:
4.5+9.3+2.25+1.4 = 101 (0,5 ®)
4
(5)
1
(43)
2
(39)
3
14
C©u 5: Gäi tuæi cña bè b¹n nam lµ x (®/k x > 0, x ∈ z). Khi ®ã theo bµi ra ta cã:
( )
xx
−=
100
8
7
.
5
2
10
7
.
7

6
BiÕn ®æi => x = 40. §¸p sè: 40 (tuæi).
C©u 6: HS viÕt GT, KL.
(0,5 ®) a. V× B vµ M n»m trªn 2 tia
®èi gèc C => C n»m gi÷a B vµ M
=> BM = BC + CM = ... = 8 (cm).
(0,5 ®) b. Do C n»m gi÷a B vµ M nªn
tia AC n»m gi÷a 2 tia AB vµ AM vµ AM => CAM = BAM - BAC = 20
o
(1 ®) c. T/h ∈ K [BC] => BK = BC - KC = 5 - 1 = 4 cm.
T/h K ∈[CM] => BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 cm.
C©u 7: HS viÕt GT, KL.
( 0,5 ®) a. V× B vµ N n»m trªn 2 tia ®èi
nhau gãc O => O n»m gi÷a B vµ N
=> NB = NO + OB = 3 cm + 2 cm = 5 (cm).
b. V× BOM = 180
o
- MON = 75
o
< 80
o
=> tia OA n»m trªn nöa mp
chøa tia ON cã bê lµ ®êng th¼ng OM.
V× MOA = 80
o
< 125
o
= MON => tia OA n»m gi÷a 2 tia OM vµ ON => AON =
MON - MOA = 125
o

- 80
o
= 45
o
.


A
B
C
M
K K'
5 cm
3 cm
B
O
2 cm
N
A
M
80
o