Tích phân không xác định docx

1
1



Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.


Từ khoá: Giải tích toán học, Giải tích, tích phân không xác định, tích phân, nguyên
hàm, Phép thế Euler.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục

Chương 5 Tích phân không xác định 3
5.1 Tích phân không xác định 3
5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 3
5.1.2 Các tính chất 3
5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 3
5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định 3
5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 4
5.2 Cách tính tích phân không xác định 5
5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản 5
5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến 6
5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 7

5.2.4 Công thức truy hồi 9
5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ 10
Chương 5. Tích phân không xác định



Lê Văn Trực


2
5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất 10
5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ 12
5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol 14
5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác 14
5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol 16
5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ 17
5.5.1 Tích phân dạng
(, )
m
ax b
IRx dx
cx d
+
=
+
∫
17
5.5.2 Tích phân dạng
,( ) ,( ) ,
p

r
q
s
ax b ax b
IRx dx
cx d cx d
⎡⎤
++
⎢⎥
=
++
⎢⎥
⎣⎦
∫
18
5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân 18
5.6 Tích phân các biểu thức dạng
2
R( , )
x
ax bx c
+
+
với
0a
≠
19
5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất 20
5.6.2 Phép thế Euler thứ hai 20
5.6.3 Phép thế Euler thứ ba 21

5.6.4 Tích phân eliptic 22
5.6 Bài tập chương 5 23

















3
3
Chương 5
Tích phân không xác định
5.1 Tích phân không xác định
Trong nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật, ta cần tìm hàm số khi biết đạo hàm của nó.
Ví dụ như biết gia tốc a=a(t) của chuyển động, ta cần tìm vận tốc v=v(t) của chuyển động biết
rằng
dv
a
dt

=
. Sau đó khi biết vận tốc v, ta cần tìm quãng đường s=s(t) của chuyển động, biết
rằng
ds
v
dt
=
.
5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập D, nếu cả hai hàm cùng được xác
định trên tập D và
() () , Fx fx x DD
′
=
∀∈ ⊂\ . (5.1.1)
5.1.2 Các tính chất
Ta có các tính chất sau mà có thể dễ dàng thu được từ định nghĩa.
a) Nếu F và G là các nguyên hàm của hàm f và hàm g tương ứng trên tập D, thì FG
α
β
±

trong đó vµ αβ là các hằng số, là nguyên hàm của hàm fg
α
β
±
trên tập D.
b) Nếu F là nguyên hàm của hàm f trên tập D, thì hàm F+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý cũng
là nguyên hàm của hàm f trên tập D.
Ta gọi biểu thức F(x) + C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, là họ nguyên hàm của hàm f trên

tập D.
5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân
không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là () :fxdx
∫

() ()fxdx Fx C
=
+
∫
. (5.1.2)
5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định
a) () ()Af x dx A f x dx=
∫∫
trong đó A là hằng số (5.1.3)
b)
12 1 2
(() ()) () ()f x f x dx f x dx f x dx±= ±
∫∫∫
. (5.1.4)

4
Việc tìm mọi nguyên hàm của một hàm số được gọi là phép lấy tích phân của hàm đó và
bài toán này là bài toán ngược của phép tính vi phân.
5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản
1
1) 0 ,
2) ( 1, )
1
du C dx x C

u
udu C R
α
α
αα
α
+
==+
=+≠−∈
+
∫∫
∫

3) ln| |
4)
uu
du
uC
u
edu e C
=+
=+
∫
∫

5) cos sinudu u C=+
∫

6) sin cosudu u C=− +
∫

2
1
7)
cos
du tgu C
u
=+
∫

2
1
8) cot g
sin
du u C
u
=− +
∫

9) ch shudu u C=+
∫

10) sh chudu u C=+
∫

2
1
11) th
ch
du u C

u
=+
∫

2
1
12) cth
sh
du u C
u
=− +
∫

2
arcsin
1
13)
arccos
1
uC
du
uC
u
+
⎧
=
⎨
−+
−
⎩

∫

2
arctg
du
14)
ar ccotg .
1
uC
uC
u
+
⎧
=
⎨
−+
+
⎩
∫

Để thuận tiện cho việc áp dụng, ta bổ sung vào bảng trên các công thức sau:
4) ( 0, 1)
ln
u
u
a
aadu Caa
a
=+ >≠
∫

22
arcsin
13 )
ar ccos
⎧
+
⎪
⎪
=
⎨
−
⎪
−+
⎪
⎩
∫
u
C
du
a
a
u
au
C
a



5

5
22
1
arctg
du
14 )
1
arcotg
⎧
+
⎪
⎪
=
⎨
+
⎪
−
+
⎪
⎩
∫
u
C
aa
a
u
au
C
aa

22
du 1
15) ln
2
au
C
aau
au
+
=+
−
−
∫

2
2
du
16) ln .uuaC
ua
=+++
+
∫

5.2 Cách tính tích phân không xác định
5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản
Ví dụ 1:
a) Tính
2
1
(1 )Ixdx=+

∫
.
Bởi vì
2
(1 ) 1 2 , nª nxxx+=++
1
2
1
3
2
2
2
(1 2 ) 2
41
2.
3
232
2
Ixxdxdxxdxxdx
xx
x
Cx xx x C
=+ + = + +
=+ + + =+ + +
∫∫∫∫

b) Tính
2
22
sin cos

dx
I
x
x
=
∫
.
Bởi vì
22
22 22 2 2
1sincos11
sin cos sin cos cos sin
xx
x
xxxxx
+
==+

nên
2
22 2 2
11 1 1
cos si n cos sin
Idxdxdx
xx x x
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫

tg cotg
x
xC=− +.
c) Tính
2
3
6sin
2
x
Idx=
∫

3
3(1 cos ) 3( sin )IxdxxxC=− =− +
∫

d) Tính
4
2
1
x
x
e
Ie dx
x
−
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠
∫

2
4
2
1
1
.
xx
x
Ie dxedxxdx
x
eC
x
−
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠
=−+
∫∫∫


6
5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến
Giả sử cần tính tích phân ()fxdx
∫
. Ta hãy đưa vào biến mới ()
x

u
ϕ
=
hay ()ux
ψ
= ,
trong đó các hàm ()u
ϕ
, ()
x
ψ
là các hàm số ngược của nhau
a) Phép đổi biến thứ nhất
Sử dụng ()
x
u
ϕ
= , khi đó ()dx u du
ϕ
′
= và nhận được công thức
() [()].() ()f xdx f u udu gudu
ϕϕ
′
==
∫∫ ∫
(5.2.1)
trong đó () [()].()gu f u u
ϕ
ϕ

′
=

b) Phép đổi biến thứ hai
Giả sử hàm f(x) được viết dưới dạng
() [()]. () .fx g x xdx
ψ
ψ
′
=

Khi đó
() [()]. () ()fxdx g x xdx gudu
ψψ
′
==
∫∫ ∫
(5.2.2)
trong đó ()ux
ψ
= .
Nếu () () , th×gudu Gu C=+
∫

() () ()f x dx g u du G u C
=
=+
∫∫
(5.2.3)
Ví dụ 2:

1
2
2
1
arcsin
a) TÝnh
1
1
arcsin (arcsin ) (arcsin ) .
2
x
Idx
x
Ixdx xC
=
−
==+
∫
∫

2
2
) TÝnh tg
sin (cos ) (cos )
cos cos cos
ln| cos | .
bIxdx
x
xdx
Idx dx

x
xx
xC
=
′
==− =−
=− +
∫
∫∫ ∫

3
2
3
2
)
( 2 2)arctg( 1)
[( 1) 1]arctg( 1)
dx
cI
xx x
dx
I
xx
=
++ +
=
++ +
∫
∫

3
2
§Æt 1, , ta cã
(arctg )
ln| arctg | .
arctg(1 )arctg
ux dudx
du d u
IuC
uuu
=+ =
===+
+
∫∫

2
2
4
2
2
)
1
x
x
x
edx
dI
e
=
+

∫



7
7
2
2
2
2
2
4
2
4
22
Do , ®Æt ta cã
1
arctg
1() 1()
x
x
uu
x
uu
edx
Iux
e
edu de
IeC
ee

==
+
===+
++
∫
∫∫

10
5
) (1 )eI x dx=+
∫

2
§Æt 1+ ( -1) , 2( 1) .
x
=u, x= u dx u du=−
Khi đó
(
)
10
11 10
5
2(1) 2Iuuduuduudu=−= −
∫∫∫


12 11
2
12 11
uu

IC
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠


11
1
(11 12)
66
uu C=−+


11
1
(1 ) (11 1) .
66
x
xC=+ −+
5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần
Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:
()duv udv vdu
=
+
.
Lấy tích phân cả hai vế ta được
.uv udv vdu=+
∫
∫

Từ đây ta có công thức sau
udv uv vdu=−
∫
∫
. (5.2.4)
Công thức (5.2.4) gọi là công thức tích phân từng phần.
Ví dụ 3: a) Tính tích phân
32
1
lnIxxdx=
∫

đặt
2
lnux=
1
2
lndu x dx
x
=

3
dv x dx=
4
4
x
v =
44 4
22

1
1
2
44 4
ln ln ln
dx x x
Ix x xdx
x
==−
∫∫


4
23
1
42
ln ln
x
x
xxdx=−
∫
44
2
1
424
ln ln
x
dx
xx=−
∫

8
444
2
1
11
424 4
ln ln
xxx
Ix xdx
x
⎡⎤
=− −
⎢⎥
⎣⎦
∫
4
24 4
11
48 32
ln ln
x
x
xx xC
=
−++.
b) Tính
2
arcsinIxdx=

∫

Đặt u = arcsinx, dv = dx, ta được
2
1
1
du dx
x
=
−
vx=
2
2
1
arcsin
x
Ix x dx
x
=−
−
∫

2
2
1arcsinIx x xC
=
+−+.
c) Tương tự
2
3

1
arctg arctg ln(1 )
2
IxdxxxxC==−++
∫

d)
2
4
Ixbdx=+
∫

đặt u =
2
x
b+ , dv = dx ⇒ v = x. Ta có
2
4
2
2
2
2
2
2
x
Ixxbx dx
x
b
xbb
xx b dx

xb
=+−
+
+−
=+−
+
∫
∫


2
2
4
22
22 2
ln( ) .
2
xb dx
Ixxb dxb
xb xb
b
x
xb xbdx x xbC
+
=+− +
++
=+−++ +++
∫∫
∫

Suy ra
22 2
ln( ) .
22
xb
x
bdx x b x x b C+= ++ +++
∫

Ví dụ 4:
a) Tính cos
ax
Ie bxdx=
∫

đặt u = cosbx, du = −bsinx
dv = e
ax
dx,
1
ax
ve
a
=

cos cos si n
ax ax
ax
ee b
Ibxd bxebxdx

aa a
==+
∫∫
(5.2.5)
Mặt khác


9
9
sin sin
ax
ax
e
ebxdx bxd
a
=
∫∫
sin cos
ax
ax
eb
bx e bxdx
aa
=−
∫
(5.2.6)
Thay (5.2.6) vào (2.2.5), sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được
22
cos sin
cos

ax ax
abxbbx
ebxdx eC
ab
+
=
+
+
∫
(5.2.7)
b) Tương tự
22
sin cos
sin
ax ax
abxbbx
ebxdx eC
ab
−
=
+
+
∫
. (5.2.8)
5.2.4 Công thức truy hồi
a) Xét tích phân cos
n
n
Ixdx=
∫

với
*
nN∈ .
Ta có
11
cos cos cos cos sin
nn n
x
dx x xdx xd x
−−
==
∫∫ ∫


122
12
1
11
cos sin ( ) cos sin
cos sin ( ) cos ( ) cos .
nn
nnn
xxn x xdx
x
x n xdx n xdx
−−
−−
=+−
=+− −−
∫

∫∫

Từ đây chúng ta nhận được công thức truy hồi
12
11()
cos cos sin cos
nn n
n
x
dx x x xdx
nn
−−
−
=+
∫∫
. (5.2.9)
Công thức này cho phép giảm số mũ của luỹ thừa của hàm dưới dấu tích phân mỗi lần 2
đơn vị cho đến khi ta nhận được tích phân tuỳ theo n là lẻ hay chẵn:
haycos sin .
x
dx x C dx x C
=
+=+
∫∫

Tương tự ta nhận được công thức truy hồi
12
11
sin sin cos sin
nn n

n
x
dx x x xdx
nn
−−
−
=− +
∫∫
. (5.2.10)
b) Xét tích phân
22
()
n
n
dx
J
xa
=
+
∫
với 0
*
, nNa
∈
≠
Ta biết
1
22
1
arctg

dx x
JC
aa
xa
==+
+
∫
.
Để xây dựng công thức truy hồi cho tích phân J
n
, ta hãy xét
221
1
221
22
221
12
()
()
()( )
()
n
n
n
n
n
dx
Jxadx
xa
x

x
nxaxdx
xa
−+
−
−
−
−
==+
+
=−−++
+
∫∫
∫

hay
2
1
221 22
21()
() ()
n
nn
xx
Jndx
xa xa
−
−
=+−
++

∫


10
222
1
221 22
2
11
221
21
21
()
() ()
()[ ]
()
n
nn
nnn
n
xxaa
Jndx
xa xa
x
JnJaJ
xa
−
−
−−
−

+−
=+−
++
=+−−
+
∫

Suy ra
2
1
221
21 23() ( )
()
nn
n
x
naJ nJ
xa
−
−
−= +−
+

hay
1
2212 2
23
21 21
()
()( ) ()

nn
n
xn
JJ
nxaa na
−
−
−
=+
−+ −
(5.2.11)
5.3 Tích phân các phân thức hữu tỉ
5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất
Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng
22
I) , II) , III) , IV)
() ( )
kk
AAMxN MxN
xa
x
axpxqxpxq
++
−
−++++

trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm
thực, tức là p
2
– 4q < 0 . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên.

a) Tích phân dạng I
ln| |
A
dx A x a C
xa
=
−+
−
∫
.
b) Tích phân dạng II
1
1
1
1
()
() ()
kk
AA
dx C k
k
xa xa
−
=
−+≠
−
−−
∫
.
c) Tích phân dạng III

22
2
22
()( )
MMp
xp N
Mx N
dx dx
xpxq xpxq
++ −
+
=
++ ++
∫∫

22
2
22
()
Mxp Mp dx
dx N
x
px q x px q
+
=+−
+
+++
∫∫
. (5.3.3)

Ta hãy xét tích phân thứ hai ở vế phải (5.3.3). Đặt
2
2
24
,,,
pp
x
tq dx dt
α
+= − = =
2222
2
24
()
dx dx dt
xxpq p p t
xq
α
==
++ +
++−
∫∫ ∫

2
22
122
arctg arctg
44
.
dx t x p

CC
xxpq
qp qp
αα
+
=+= +
++
−−
∫



11
11
Cuối cùng ta có

2
+
++
∫
Mx N
dx
xpxq
2
22
22
arctg
2
44
ln( ) .

−+
=+++ +
−−
MNMpxp
x
px q C
qp qp
(5.3.4)
d) Tích phân dạng IV
22
2
22
()( )
() ()
kk
MMp
xp N
Mx N
Idx dx
xpxq xpxq
++ −
+
==
++ ++
∫∫
(5.3.5)
Tích phân ở vế phải trong (5.3.5) được tách thành hai tích phân. Để tính tích phân thứ
nhất ta đặt
2
x

px q t++=


1
2
2
,
()
+
==
++
∫
k
k
xp
Jdx
xpxq


12 1
11
11() ()( )
kk k
dt
tkt kxpxq
−
−
== =
−−++
∫

(5.3.6)
Còn tích phân thứ hai, kí hiệu bằng
2,k
J , ta có
2
222
,
()()
k
kk
dx dt
J
xpxq t
α
==
++ +
∫∫

trong đó
2
,
p
tx=+
2
2
4
p
q
α
=− (5.3.7)

Ví dụ 1: Tính
2
65
49
x
Idx
xx
+
=
+
+
∫

Giải: Ta có
22
49 2 5().xx x++=+ + Đặt x+2 = t, x = t−2, dx = dt, ta nhận được

22
65 6 25
25 5
()
()
xt
Idxdt
xt
+−+
===
++ +
∫∫

22 2
2
67 2
37
55 5
7
35arctg
55
ln( ) .
ttdt
dt dt
ttt
t
tC
−
=
=−=
++ +
=+− +
∫∫∫

Trở về biến x, ta nhận được
2
2
65 7 2
349arctg
25
55
ln( )

()
xx
dx x x C
x
++
=
++− +
++
∫

Ví dụ 2: Tính
22
1
(1)
x
Idx
xx
+
=
++
∫

Giải:
22 22 22
11
(2 1)
1(21) 1 1
22
22
(1) (1) (1)

x
x
Idx dx dx
xx xx xx
++
+
== +
++ ++ ++
∫∫∫


12
Ta có
11
22 2
2
22
22
(2 1) 1
(1) 1
1
13
(1)
[( ) ]
24
x
JdxC
xx xx
dx
Jdx

xx
x
+
==−+
++ ++
==
++
++
∫
∫∫

Đặt
1
,
2
tx dtdx=+ =
ta có
2
22
22 2 2
11
,
333
22
()
444
dttdt
J
aa
ttt

==+
+++
∫∫

trong đó
2
3
4
a =

22
2
2212
arctg
3
33
33
4
tt
JC
t
=+ +
+

22
2
1
22121
2
arctg

33
1
33
x
x
JC
xx
+
+
=+ +
++

Do đó
22
11 1211 21
.arctg
26
11
33 3
xx
IC
xx xx
++
=
−++ +
++ ++
.
5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ
Xét phân thức hữu tỉ
()

()
()
m
n
Px
fx
Qx
=
(5.3.8)
trong đó
()
m
Px và ()
n
Qx là các đa thức hữu tỉ bậc m,n tương ứng là:
1
110
() ( 0)
mm
mmm m
Px bx b x bxb b
−
−
=+ +++ ≠
và
1
110
() ( 0)
nn
nnn n

Qx ax a x ax a a
−
−
=+ +++ ≠
với
*
,mn N∈
còn
,
ii
ba
là các số thực.
Nếu n = 0, thì (5.3.8) là đa thức bậc m.
Nếu m < n, thì phân thức hữu tỉ (5.3.8) được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự.
Nếu mn≥ , ta hãy sử dụng mệnh đề sau để đưa phân thức nói trên về dạng phân thức
hữu tỉ thực sự.
Mệnh đề 5.3.1 Nếu cho hai đa thức ()
m
Px và ()
n
Qx ( mn≥ ), thì đa thức ()
m
Px có thể được
viết dưới dạng


13
13
1
() () ()

mmnnm
Px D Qx R x
−
=+ (5.3.9)
trong đó
()
mn
Dx
−
và
1
()
m
Rx là các đa thức, đồng thời: m
1
< n
Ví dụ như
432 3
3 3 10 16 ( 3)( 3 4) (3 4)xxx x x xx x−+−+=− +−++
.
Từ (5.3.9), bằng cách chia tử số cho mẫu số ta được
1
()
()
() ()
() ()
m
m
mn
nn

Rx
Px
fx D x
Qx Qx
−
== + (5.3.10)
trong đó
1
()
()
m
n
Rx
Qx
là phân thức hữu tỉ thực sự.
Định lí 5.3.1 Đa thức bất kì
1
110
() ( 0)
nn
nnn n
Qx ax a x ax a a
−
−
=+ +++ ≠

có thể biểu diễn dưới dạng
11
22
111

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k l
st
st
nn k ll
Qx ax c x c x px q x px q=− − ++ ++
(5.3.11)
trong đó
11
2( ) ,
kli
ssttnc+++ ++ = là các số thức và
2
40
jj
pq
−
< với i=1,…, k;
j=1,…, k.
Ví dụ như
42 2
1( 21)( 21),xxxxx+= + + − +
32 2
27442(2)(0,5).xxx x x−++=− +

Định lí 5.3.2 (Định lí khai triển)
Một số phân thức hữu tỉ thực sự với mẫu số
()
n
Qx

(a
n
=1) có thể biểu diễn một cách duy
nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phân thức đơn giản dạng I, II, III, IV nói trên. Cụ thể
1
1
12
2
1
1
1
()
()
()
()
()
s
m
s
n
A
Px
AA
fx
Qx x c
xc
xc
==+ ++ ++
−
−

−

12
2

()
()
k
k
s
s
k
k
k
B
BB
xc
xc
xc
+
++ +
−
−
−


11
2
11
Cx D

x
px q
+
++
11
1
22
22
2
11
11

()
()
tt
t
Cx D
Cx D
xpxq
xpxq
+
+
+
++ +
++
++

11
2
ll

Mx N
x
px q
+
+
++
22
22
2

()
()
ll
l
tt
t
ll
ll
Mx N
Mx N
xpxq
xpxq
+
+
+++
++
++
(5.3.12)
Các hệ số
1 11

12 12 1122
, , , ; ; , , , ; , , , , , , , ;
k
ss tt
AA A BB B CDCD CD
11
, , , ,
ll
tt
MN MN được tìm bằng phương pháp hệ số bất định.

14
Định lí trên cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân một phân thức thực sự dần đến việc
lấy tích phân một trong bốn dạng I,II, III, IV đã nêu ở trên.
Ví dụ 3: Tính
22
1()()
dx
xxx++
∫
.
Giải: Trước hết hãy phân tích hàm dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức đơn giản.
Theo định lí khai triển, ta có thể viết
22 2 2
11
1
111 1
( )()()()
ABCxD
xx

xxx xx x x
+
==++
+
++ ++ +

Từ khai triển trên suy ra
22
111 1 1()()()( )()Ax x Bxx Cx Dxx
=
+++ +++ + (5.3.13)
cho x = 0 ta được A = 1
cho x = −1 ta được B =
1
2
−

cho x = i ta được 1 = −C−D+i(D−C).
Từ đây suy ra C = D =
1
2
−
Do đó
22 2
11111
212
11
()
()()
x

xx
xxx x
+
=− −
+
++ +

và

22
1()()
dx
xxx
=
++
∫

2
11 1
1 1 arctg
24 2
ln| | ln| | ln( )
x
xx C=− +− +− +x
.
5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol
5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác
Giả sử ta cần tính tích phân
R(sin ,cos ) ,Ixxdx=
∫

trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt
tg
2
,
x
tx
π
π
=−<<.
Thật vậy
2
22 2
21 2
2arctg
11 1
sin , cos , ,
tt dt
xxxtdx
tt t
−
====
++ +
.
Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng


15
15
2

22 2
21 2
R
11 1
,
ttdt
I
tt t
⎛⎞
−
=
⎜⎟
++ +
⎝⎠
∫
(5.4.1)
Ví dụ 1: Tính
21
.
sin cos
dx
I
xx
=
−−
∫

Giải: Đặt
tg
2

,
x
tx
π
π
=−<<
.
Khi đó
2
2
2arctg
1
,
x
tdx dt
t
==
+
.
2
2
22
2
1
2121
21
11
dt
dt
t

I
ttt
tt
+
==
−
−
−−
++
∫∫

11
21 2 1
222
ln| | ln| tg |
x
ItC C=−+= −+.
Khi tính tích phân các biểu thức lượng giác, trong một số trường hợp, không đòi hỏi phải
hữu tỉ theo kiểu thực hiện phép đổi biến tổng quát tg
2
x
t = . Chẳng hạn khi tính tích phân dạng
R(sin ,cos )
nm
x
xdx
∫

nếu m hoặc n lẻ, ta hãy đặt t = sinx hoặc t=cosx,
nếu m, n cùng chẵn, ta hãy đặt t = tgx.

Ví dụ 2: a) Tính
32
sin cos
dx
I
x
x
=
∫

1
32 3 2
1
cos sin
.
sin cos sin ( sin )
xdx
Idx
x
xxx
==
−
∫∫
Đặt t = sinx
1
32 3
2
11 1 1
21 21
1

11 1 1
11
222
()()
()
ln| | ln| | ln| | .
dt
Idt
tt t
tt t
tttC
t
⎡⎤
==++− =
⎢⎥
−+
−
⎣⎦
=− + − − − + +
∫∫

Trở về biến x ta được
1
2
1
2
11
11
22
1

2
ln| sin | ln( sin )( sin )
sin
ln| tg | .
sin
IxxxC
x
IxC
x
=− + − − + +
=− + +

b) Tính
3
2
2
sin
cos
x
Idx
x
=
+
∫

2
2
1
2
(cos)sin

cos
x
x
Idx
x
−
=
+
∫
. Đặt t = cosx

16
22
2
13
2232
222
() ln||
tt
Idtt dtttC
tt
−
==−+=−+++
++
∫∫
.
Trở về biến x ta được
2
2
1

23 2
2
cos cos ln(cos )IxxxC=−+ ++
.
Ví dụ 3: a) Tính
1
4
1 sin
dx
I
x
=
−
∫

1
22
1(sin)cos
dx
I
x
x
=
+
∫

Đặt
2
2
222

2
111
tg
1
1g 1
1
,,sin ,
cos cot
t
t x dt dx x
x
xt
t
== = ==
++
+

2
2
2
21
1
1
sin .
t
x
t
+
+=
+

Ta có
2
1
22
2
11 1 1 1
11
1
22
21 21
2
2
()
()
t
Idt dt dt
tt
t
⎡⎤
⎢⎥
+
==+=+ =
⎢⎥
++
⎢⎥
+
⎣⎦
∫∫ ∫

11 1 1
arctg 2 tg arctg 2tg
22
22
() ( )ttCx xC
⎡⎤⎡ ⎤
=+ += + +
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
.
b) Tính
2
22 22
00(,)
cos sin
dx
Iab
axbx
=≠≠
+
∫


2
2222
, ®Æt tg ,
cos ( t g )
dx
It=x
xa b x

=
+
∫

2
222 22 2
2
2
11
arctg(())
dt dt b b
ItC
aaabt ba b
t
b
== = +
+
+
∫∫

1
arctg tg().
b
x
C
ab a
=+
Ví dụ 4: Tính
3
2

1 cot
sin
gx
Idx
x
+
=
∫
.
Đặt
2
1 cot ,
sin
dx
tgxdt
x
=+ =−
14 4
33 3
33
(1 cot ) .
44
Itdt tC gxC=− =− + =− + +
∫

5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol


17
17

Ví dụ 5: Tính
22
(1 ) 1
dx
I
x
x
=
−+
∫
.
Đặt sh , ch ,
x
tdx tdt==
2
1ch
x
t+= .
2
22
2
(cth )
sh
1
1sh 2cth
1
sh
dt
dt d t
t

I
tt
t
−
== = =
−−+
−
∫∫∫


ch
2
12cth 1
sh
ln ln
ch
22 2 cth 22
2
sh
t
t
t
CC
t
t
t
+
+
=+=+
−

−


2
2
11 2
ln .
22
12
xx
C
xx
++
=+
+−

Ví dụ 6: Tính
22
Iaxdx=+
∫
.
Đặt sh , ch , arsh( )
x
xaudxauduu
a
== =
222 22 2
1ch2
sh ch ch
2

u
I a a u a u du a udu a du
+
=+ = =
∫∫∫

2222
sh2
()(arsh )
22 2
auaxxax
uC C
aa a
+
=+ += + +

arsh
2
22
22
axx
IaxC
a
=+++
.
5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ
5.5.1 Tích phân dạng (, )
m
ax b
IRx dx

cx d
+
=
+
∫

(với m nguyên dương)
Đặt
m
m
m
ax b dt b
tx
cx d
ct a
+−
=⇒=
+
−+
và ta có công thức
(,)()
mm
mm
dt b dt b
IR t dt
ct a ct a
−−
′
=
−+ −+

∫
(5.5.1)
Ví dụ 1: Tính
2
3
(1)(1)
dx
I
xx
=
−+
∫


18
3
3
3
11
11
1
(1)
1
dx x
Idx
xx
x
x
x
+

==
−+
−
+
+
∫∫

Đặt
32
3
332
116
,
1
1(1)
xt t
t x dx dt
x
tt
++
=⇒= =−
−
−−
, từ đây
32
12
3( )
1
11
dt t

Idt
t
ttt
−+
=− = +
−
−++
∫∫

2
2
11 21
ln 3arctg
2
(1)
3
tt t
IC
t
++ −
=+ +
−
trong đó
3
1
1
x
t
x
+

=
−
.
5.5.2 Tích phân dạng
,( ) ,( ) ,
p
r
q
s
ax b ax b
IRx dx
cx d cx d
⎡⎤
++
⎢⎥
=
++
⎢⎥
⎣⎦
∫

trong đó ,
p
r
qs
là các phân số tối giản.
Gọi m là bội số chung nhỏ nhất của q và i, đặt .
m
ax b
t

cx d
+
=
+

Ví dụ 2: Tính
3
11
xdx
I
xx
=
+
++
∫

Giải: Đặt
632
3
11,1
x
txtxt+= ⇒ += +=
65
876543
32
(1)6
6( )
tt
Idtttttttdt
tt

−
==−+−+−
+
∫∫

987654
6( )
987654
tttttt
IC= −+−+− + trong đó
6
1tx
=
+ .
5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân
()
mnp
Ixabxdx=+
∫
, trong đó a,b là hăng số, m,n,p là hữu tỉ
Trước hết đặt
11
1
1
,
n
nn
x
zxzdx zdz
n

−
=⇒= =
và
1
1
1
() ( ) ( )
m
mnp p
nn
Rx x a bx dx a bz z z dz
n
−
=+ =+
1
1
1
() ( ).
m
p
n
Rx a bz z dz
n
+
−
=+

Đặt
1
1

m
q
n
+
−=
. Ta thấy p, q là cá số hữu tỉ và


19
19
1
()
pq
Iabzzdz
n
=+
∫

Ta hãy xét các trường hợp sau:
a) Nếu q hữu tỉ, p nguyên. Giả sử
r
q
s
=
, hãy đặt
1
s
tz
=
hay

s
zt
=

b) Nếu q nguyên, p hữu tỉ. Giả sử
r
p
s
=
, hãy đặt
1
()
s
tabz=+
hay
s
abzt
+
=
c) Nếu p+q nguyên: Ta viết lại tích phân trên như sau
1()1
()
p
pq pq p
p
abz abz
Iz dzz dz
nnz
z
++

++
==
∫∫

Giả sử
r
p
s
=
, đặt
1
().
s
abz
t
z
+
=

Ví dụ 3: Tính
4
4
.
1
dx
I
x
=
+
∫

Giải: Ta thấy
11
0, 4, , 0
4
m
mnp p
n
+
===− +=
là số nguyên.
Đặt
13
4
44
1
4
zx xz dx zdz
−
=⇒=⇒= .
31
4
44
11 11
44
1
1()
dz
Idz
z

z
zz
z
==
+
+
∫∫

Đặt
1
3
4
442
114
() ,
1(1)
zt
t z dz dt
z
tt
+−
=⇒= =
−−

43 2
42 4
22 2
114
.
4

(1) 1
11 1 1 1 11 1
() ()
22211
11 1
tt t
Idzdt
t
tt
dt dt
tt
tt t
−−
==−=
−−
⎡
⎤
=− + =− + −
⎢
⎥
−+
+− +
⎣
⎦
∫∫
∫∫


11
arctg (ln| 1| ln| 1| )

22
tt tC
⎡⎤
=− + − − + +
⎢⎥
⎣⎦

111
arctg ln| |
221
t
It C
t
−
⎛⎞
=− + +
⎜⎟
+
⎝⎠
với
1
4
4
4
1
()
x
t
x
+

=
.
5.6 Tích phân các biểu thức dạng
2
R( , )
x
ax bx c
+
+ với
0a
≠


20
Trước hết ta thấy rằng nếu đồng thời a < 0 và D = b
2
− 4ac ≤ 0 thì tích phân
2
R( , )
x
ax bx c dx++
∫
không có ý nghĩa. Trong các trường hợp còn lại biểu thức dưới dấu
tích phân đang xét được hữu tỉ hoá nhờ các phép thế Euler.
5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất
Phép thế này áp dụng cho trường hợp a > 0.Ta đặt
2
ax bx c ax t
+
+=± + (5.6.1)

Bình phương hai vế ta có
222
2ax bx c ax axt t
+
+= ± + .
Giả sử trong (5.6.1) lấy dấu – trước a , ta được
2
2
tc
x
bat
−
=
+
. (5.6.2)
Khi đó
2
2
2
at bt c a
ax bx c
at b
++
++=
+
và
2
2
2
(2 )

at bt c a
dx dt
at b
++
=
+
.
Ví dụ 1: Tính
2
1
dx
I
xx x
=
++
∫

Trong trường hợp này a=1>0. Ta đặt
2
1
x
xxt
+
+=+, bình phương hai vế, suy ra
22
2
11
,,
12 12
ttt

xaxbxcxt
tt
−−+−
= + +=+=
−−

2
2
2( 1)
(1 2 )
tt
dx dt
t
−+−
=
−
. Thay các biểu thức này vào tích phân trên, ta thu được
2
21
ln| | .
1
1
dt t
IC
t
t
−
=
=+
+

−
∫

Do đó
2
22
11
ln| | .
11 1
dx x x x
IC
xx x x x x
+− ++
== +
++ −+ ++
∫

5.6.2 Phép thế Euler thứ hai
Phép thế này áp dụng cho trường hợp c > 0. Ta đặt
2
ax bx c xt c++=± (5.6.3)
Bình phương hai vế và rút gọn
2
2ax b xt ct+= ± .


21
21
Giả sử lấy dấu + trước c , ta có
2

2
,
ct b
x
at
−
=
−

2
2
2
ct bt c
ax bx c xt c
at
−+
++=+ =
−
(5.6.4)
2
22
2
()
ct bt ca
dx dt
at
−+
=
−
. (5.6.5)

Ví dụ 3: Tính
2
(1)1
dx
I
x
xx
=
++−
∫

Giải: Do c =1>0, ta đặt
2
11xx tx+− = −
222
2
21
121,
1
t
xx tx tx x
t
+
⇒+− = − +⇒ =
+

22
2
222
12(1)

1,
1(1)
tt tt
xx dx
tt
+− − +−
+− = =
++

22
(1)
222arctg(1)
22 (1)1
dt d t
ItC
tt t
+
=− =− =− + +
++ + +
∫∫

Thay
2
11
x
x
t
x
++−
=

ta được
2
11
2arctg .
xxx
IC
x
++ +−
=− +

5.6.3 Phép thế Euler thứ ba
Phép thế này áp dụng cho từng trường hợp tam thức bậc hai
2
ax bx c
+
+ có hai nghiệm
phân biệt
α
,
β
:

2
()()ax bx c a x x
α
β
++= − − (5.6.6)
Đặt
2
()ax bx c t x

α
++= −. Bình phương hai vế ta được
2
22
2
()()()
ta
ax x t x x
ta
α
β
αβ α
−
−−=−⇒=
−
(5.6.7)
2
2
22
()( )
ta a a
ax bx c t x t t
ta ta
αβ βα
αα
−−+
++= −= −= =
−−

2
()at
ta
α
β
−
=
−
(5.6.8)
và
22
2( )
()
at
dx dt
ta
βα
−
=
−
(5.6.9)

22
Ví dụ 4: Tính
2
2
dx
I
xx
=

+−
∫

Giải:
Đặt
2
2
2
2
2( 1) ,
2
t
xx x tx
t
+
+−= − ⇒=
−
22
6
,
(1)
tdt
dx
t
=−
−

2
2
3

2.
1
t
xx
t
+−=
−
Thay vào tích phân trên ta được
2
1
2ln
1
1
dt t
IC
t
t
+
=
−=+
−
−
∫

hay
2
2
22
2
1

21
1
ln ln
221
1
1
xx
xx x
x
IC C
xx xx x
x
+−
+
+−+−
−
=
+= +
+− +−−+
−
−
.
5.6.4 Tích phân eliptic
Khác với phép tính vi phân, trong phép tính tích phân tồn tại những hàm số sơ cấp mà
tích phân không xác định của nó không thể biểu diễn được qua một số hữu hạn các hàm sơ
cấp khác. Những tích phân như vậy được gọi là tích phân eliptic. Ví dụ như
2
22
sin cos
,, , ,sin,cos

ln
x
dx x x
edx dx dx xdx xdx
xx x
−
∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Ngoài ra khi tính tích phân nhị thức (),
mnp
x
abx dx+
∫
trong đó a, b là tuỳ ý, còn m, n, p
là các số hữu tỉ, đồng thời a, b, n khác không, nhà toán học vĩ đại Trêbưsep đã chứng minh
được rằng tích phân này chỉ biểu diễn được theo các hàm sơ cấp khi và chỉ khi một trong
những số
11
,,
mm
p
p
nn
++
+ là nguyên.



23
23

5.6 Bài tập chương 5
5.1 Tính các tích phân sau:
2
2
1)
2
x
dx
x −
∫

22
2)
(1 )
x
dx
x
+
∫

23
3
3) 1
x
xdx+
∫

3
8
4)

2
x
dx
x
−
∫

5)
xx
dx
ee
−
+
∫

2
6)
1
x
dx
e+
∫
.
5.2 Tính các tích phân sau:
1)
sh
dx
x
∫
2)

ch
dx
x
∫

2
3) sh
x
dx
∫

2
4) ch
x
dx
∫

22
5)
sh ch
dx
x
x
∫

5.3 Tính tích phân sau
3
1)
13
x

dx
x
−
∫

32
3
2) 1
x
xdx+
∫
.
5.4 Tính các tích phân sau
1) ln ( 1)
n
xxdxn
≠
−
∫

3
2) ch3
x
xdx
∫

2
3) sh
x
xdx

∫
4) sin ln(tg )
x
xdx
∫

5.5 Tính các tích phân sau
4
6
sin
1)
cos
x
dx
x
∫

∫
35
2)
sin cos
dx
x
x
.
2
3
3)
cos sin
dx

x
x
∫

4)
tg
dx
x
∫

3
5)
tg
dx
x
∫
.
5.6 Tính tích phân sau
2
4
1)
(1 )
dx
x
x+
∫

3
4
2)

(1 )
dx
x
x+
∫


24
3)
11
dx
x
x+++
∫

11
4)
()()
nn
n
dx
xa xb
+
−
−−
∫
.
5.7 Tính tích phân sau:
2
1)

1
dx
x
x++
∫

2
2) 2 2
x
xdx−+
∫
.