bai 1 tich phan khong can

Математика
1; Формула Тейлора и Маклорена .


)()(
!
)(
...)(
!2
)(''
)(
!1
)('
)()(
)(
2
xRax
n
af
ax
af
ax
af
afxf
n
n
n
+−++−+−+=

Формула Тейлора
f(x)= P(x) -

)(xR
n


1
)1(
)(
)1(
)(
)(
+
+
−
+
=
n
n
n
ax
n
Cf
xR

)(
!
)0(
...
!2
)0(''
!1

)0('
)0()(
)(
2
xRx
n
f
x
f
x
f
fxf
n
n
n
+++++=

Формула Маклорена
2; Разложение Многочлена на Множители:

01
2
2
1
1
...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n

n
n
+++++=
−
−
−
−


i
α
,(
ni ...1
=
) корени
0)(
=
xP


n
k
n
kk
n
xxxaxP )...()()()(
21
21
ααα
−−−=

при
nkkk
n
=+++
...
21

3; Неопределенный пнтеграл . Свойства.
определенние : F(x) называеться первое образное Неопределенный интеграл для f(x)
если F’(x)=f(x)
Свойства:

0
1
.
∫∫
=
dxxfdxxf )()(
αα
(
const
=
α
)

.2
0

∫ ∫∫
+=±

dxxfdxxfdxxfxf )()())()((
2121


.3
0

( )
dxxf
∫
)(
‘ =f (x)

.4
0

( )
dxxfdxxfd )()(
=
∫

0
5
.
∫
+=
CxFxdF )()(
(C= const )
4; Замена переменной в неопределенном интеграле . Интегрирование по частям . Интегралы
группы четырех.

Замена переменной в неопределенном интеграле ;
Вычисление интеграл
dxxfI
∫
=
)(
.
Замена
)(tx
ϕ
=
предлогай дифферензуемая
dttdx )('
ϕ
=

∫ ∫ ∫
===
dttfdtttfdxxfI )()('))(()(
1
ϕϕ
Интегрирование по частям :
Пусть
)(xu
и
)(xv
дифферензуемые Функции вычисления
d(u.v) = udv + vdu

∫ ∫ ∫

+=⇔
vduudvvud ).(


∫ ∫
+=⇔
vduudvvu.

∫ ∫
+=⇔
vduvuudv .

Интегралы группы четырех.

∫
++
+
=
dx
cbxax
BAx
I
2
1

∫
++
+
=
dx

cbxax
BAx
I
2
2

dxcbxaxI
∫
++=
2
3
Метод вычисление ;

])[(
4
4
)
2
(
]
4
)
2
[(
)
44
2
2(
)(
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
qpxa
a
bac
a
b
xa
a
b
c
a
b
xa
a
b
c
a
b
x

a
b
xa
a
c
x
a
b
xacbxax
++=
−
++=
−++=
−+++=
++=++

a
b
p
2
=

2
2
4
4
a
bac
q
−

=

Выполним x+p = t
5. интегрирование рациональных ;
Пусть
)(xP
m
многчлен m

)(xQ
n
многчлен n
Рацниональный дробь назваеться
)(
)(
xQ
xP
n
m
. Дробь называеться правило если m < n
Вычисление интеграла
∫
dx
xQ
xP
n
m
)(
)(
+ Если дробь неправило

nm
>

)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xF
xQ
xP
n
s
k
n
m
+=

)( ns
<

nmk
−=
многчлен

∫
=
?

)(
)(
dx
xQ
xR
n
s
при
)( ns
<
Или
∫
=
?
)(
)(
dx
xQ
xP
n
m
при
)( nm
<

+ Если дробь провило
)( nm
<

p

k
s
ppp
s
m
k
mm
n
cxbxacxbxaxxxnQ )...()()...()()()(
2
11
2
121
121
++++−−−=
ααα

pk
s
ppp
pp
sm
k
k
mm
n
m
cxbxa
CxB
cxbxa

CxB
x
A
x
A
x
A
xQ
xP
)(
...
)(
)(
...
)()(
)(
)(
2
11
2
1
11
2
2
1
1
121
++
+
++

++
+
+
−
++
−
+
−
=
α
αα

dx
cxbxa
CxB
cxbxa
CxB
x
A
x
A
x
A
dx
xQ
xP
pk
s
ppp
pp

sm
k
k
mm
n
m
]
)(
...
)()(
...
)()(
[
)(
)(
2
11
2
1
11
2
2
1
1
121
∫∫
++
+
++
++

+
+
−
++
−
+
−
=⇒
ααα

6; Интегрирование рацпональных выражений :

0
1

∫
=
dxxxxRI
s
);...;;(
21
α
αα
При
s
s
s
n
m
n

m
n
m
===
ααα
;...;;
2
2
2
1
1
1

i
m
(
si ...1
=
)
Z
∈

j
n

Nsj
∈=
)...1(
Замена
k

tx
=
Где к общии заменаченый дробей
s
ααα
,...,,
21


0
2

dxbaxbaxbaxRI
s
])...()()([
21
α
αα
+++=
∫
Замена
k
tbax
=+
Где к общии заменаченый дробей
s
ααα
,...,,
21

0
3

∫
+
+
+
+
+
+
=
dx
dcx
bax
dcx
bax
dcx
bax
I
s
])...()()[(
21
ααα

Замена
k
t
dcx
bax

=
+
+
Где к общии заменаченый дробей
s
ααα
,...,,
21


0
4

∫
+=
dxbxaxI
pnm
)(
интеграл от дифференцальный Бинома
Расмотрем
pnm
bxax )(
+
А) если р – целое число то интеграл можно вычисленния
Вычисление скобкии по формулу Нютона
Б) если
n
m 1
+
- целое число то интеграл можно вычисленние замены :

kn
tbxa =+
к знаминатель числа р
В) если
p
n
m
+
+
1
- целое число замены
knn
txbxa
=+
к знаминатель числа р
Г) интегралы

∫
−
dxxaxR ),(
22
замена
tax sin
=
или
tax cos
=

∫

−
dxaxxR ),(
22
замена
t
a
x
sin
=
или
t
a
x
cos
=


∫
+
dxaxxR ),(
22
замена
atgtx
=
7; интегрирование пригономических выражений .

0
1

∫

=
xdxI
n
cos
1
или
∫
=
xdxI
n
sin
2
Правило 1: если n натуральное число и n четная то интеграл указаного вида можно
вычисление

2
2cos1
cos
2
2cos1
sin
2
2
x
x
x
x
+
=
−

=

Правило 2: если n нечетная то интеграл можно вычисленние замены sinx = t или cosx=t

0
2

∫
=
dxxI
mn
cossin
Можно вычисление по правилом 1 если n , m оба четные
По правилом 2 если n,m в случае нечетные

0
3

∫
=
bxdxaxI coscos
1

∫
=
bxdxaxI sincos
2

∫
=

bxdxaxI cossin
3

∫
=
bxdxaxI sinsin
4
Использует формулы

])cos()[cos(
2
1
cos.cos
])sin()[sin(
2
1
cos.sin
xbaxbabxax
xbaxbabxax
−++=
−++=

])cos()[cos(
2
1
sin.sin xbaxbabxax
−−+−=

0
4

∫
=
xdxtgI
n
1

∫
=
xdxgI
n
cot
2
Замена tgx = t
dx
t
dt
dxtgdt
x
=
+
+=
2
2
1
)1(

0
5

dxxxRI
∫
=
)cos,(sin
Замена
t
x
tg
=
2

dx
t
dt
=
+
⇔
2
1
2

2
1
2
sin
t
t
x
+
=⇒

;
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
;
2
1
2
t
t
tgx
+
=

0
6

dxtgxRI
∫
=
)(

Замена
dx
t
dt
tgxt
=
+
⇔
=
2
1
8; определенные интеграл

0
1
Если
∃
придел последовательности интеграл суммы
n
S
при мах
0
→
x
который
независит от способа развидения отрезка [a;b] и выбора точес
i
ξ
на частисных
];[ ba

то его
назвают определенный интегралом

[ ]
baxf ;/)(
и обазначит
dxxf
b
a
∫
)(

dxxfxf
b
a
i
n
i
i
x
∫
∑
=∆
→∆
)()(
lim
0max
ξ

0

2
Функции у=f(x) называется интегрируемой на
];[ ba
Если на этом отрезке
∃
придел
последовательности ее интеграл
Теорема
)(xfy
=
непрерывна на
];[ ba
то оно интегризуемая на
];[ ba

∫
∫∫
=
−=
a
a
a
b
b
a
dxxf
dxxfdxxf
0)(
)()(
9. Свойства 1-6 определенных интегралов

0
1
.
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

0
2
.
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
αα
(
α
=const)

0

3
если
);()()( baxxfx
∈∀≤
ϕ


∫∫
≤⇔
b
a
b
a
dxxfdxx )()(
ϕ

0
4
если m – наименьшее значение
M – наибольшее значение на
];[ ba
то

)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫

0

5
Теорема о среднее
m – наименьшее значение
M – наибольшее значение на
];[ ba
и непрерывна на [a;b] то
];[ ba
∈∃
ξ

))(()( abfdxxf
b
a
−=
∫
ξ
Доказать
Функции
)(xf
неирерывна на [a;b] то она достигает на этого на отрезке свое найменьше т
свое найбольше M значения
Из свойства
0
4

Пусть
∫
∫
−
=

≤
−
≤⇒
b
a
b
a
dxxf
ab
Mdxxf
ab
m
)(
1
)(
1
µ

Mm
≤≤
µ
По теорему промезуточнам значению непрерывна
];[ ba
∈∃
ξ
такая что
µξ
=
)(f

)()()(
ξ
fabdxxf
b
a
−=⇔
∫

0
6

∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
при
];[ bac
∈
10. Интеграл с переменным верхним пределом .
1
T
(об интеграле переменным верхним
пределом).