Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp pps

sở giáo dục và đào tạo hà nội

Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều
-----------------------------------------------------------------------------

Sáng kiến kinh nghiệm:

Một số dạng bất ph-ơng trình
chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp

Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ

: Toán

Hà Nội, 5 / 2010


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

mở đầu
Giải bất ph-ơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh
đ-ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai đ-ợc
coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa
căn thức bậc hai th-ờng gặp để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích
mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất
ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất ph-ơng trình nói chung,
đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm
đến môn toán.
Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong
ch-ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban

Khoa học xà hội và nhân văn. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử
dụng để chuyển sang phần ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi chuyển sang
ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó
ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục
đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng to¸n kh¸c nhau.

H1


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

Mét sè kiÕn thức cơ bản sau đà có trong sách giáo khoa đ-a ra sau
đây mà không nêu nội dung:
1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó.
2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Sáng kiến kinh nghiệm:

Một số dạng bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp

Dạng 1
f(x) 0
f(x) < g(x)  
f(x) < g(x)
f(x)  0
f(x)  g(x)  
f(x)  g(x)
g(x)  0

f(x) > g(x)  
f(x) > g(x)
f(x)  0
f(x)  g(x)  
f(x)  g(x)

Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

x2 3x  2  2x 2  5x  2

(1)

2)

2x 2  10x  8  x 2  5x  36

(2)

3)

x 3  8  2x 2  5x  14

(3)

Gi¶i:
 x  2
 x  2
 x  8


(1)  x 2  3x  2  0


 x  1
  x  1

 0  x  1
1)   2
2

 x  3x  2  2x  5x  2  2

 x  0

 x  8x  0   x  8  x  2

H2


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

KÕt ln: tËp nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S ( ; 8  0 ; 1   2 ;  ) .

 x  9
 x 2  5 x  36  0

2)   2
   x  4


2
2 x  10 x  8  x  5 x  36
 x 2  15 x  44  0

( 2)

 x  9

 x  4

  x  4

  x  11


 x  11

x 9

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) lµ
S    ;  11  9 ;    .
x3  8  0

3)   3
2
 x  8  2x  5x  14

(3)

x  2


2
(x  1)(x  x  6)  0
x  2

2  x  3

x 3  8

 3
2
x  2x  5x  6  0


x  2
 2
x  x  6  0
 2x3

KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là
S = 2 ; 3 .

Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng tr×nh sau:
1)

x 2  3x  4 

2x2  x  5

2)

2 x 2  9 x  13 

3)

2 x2  9 x  4 

4)

2 x 2  12 x  16  x 2  3x  28

5)

x3  2 x 2  1 

6)

x3  x 2 

x 2  3x  2
x 2  3x  4

x2  x  2

x2  x  2 .

H3


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Dạng 2
f (x)  0

f(x)  g(x)  g(x)  0
f (x)  g 2 (x)


f(x)  0

f(x)  g(x)  g(x)  0
f(x) g 2 (x)


Bài toán. Giải các bất ph-ơng tr×nh sau:
1)

x 2  8x  7 + 3x  1

(1)

2) 2 9  8x  x 2 + 1 < 9x
3)

1

(2)

1
<2

x

(3)
Gi¶i:

(1)

1)  x2  8x  7  1  3x


1
x 
3

 2
  x  8x  7  9x 2  6x  1
 x7

 x  1


 x2  8x  7  0

 1  3 x  0
2
 2
 x  8 x  7  1  3 x 

1


x 

3
2
8x  2x  6  0


1

x

3

 
3
x

4

  x  1

 x 1

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S =   ;  1 .
9  8 x  x 2  0

 9 x  1  0
4(9  8 x  x 2 )  (9 x  1) 2


(2)

2)  2 9  8x  x2 < 9x  1

H4


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

1  x  9

1

 x 
9

4x 2  32x  36  81x 2  18x  1


1
 x9
 9
85x 2  50x  35  0


1
9  x  9

  x  1


7
 x  
17


1 x  9

KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
S = (1 ; 9].

x  0
(3) 
1

3)  1   0
x

1

1  x  4



x  0

x  1

0
x


 3x  1
 x 0


 x  0

1

 x  1

x   3
  x  0



x  1
1
 x  

3

KÕt luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là
1

S =  ;    1 ;    .
3


Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau:

1)

x 2  2x  8 + 2  x

2)

2x 2  5x  2 + x  2

3)

3x 2  8x  3 + 1  2x

4) 3 (x  6)(x  2)  7 + 3 < 5x
5) 3 (x  6)(x  2)  7 + 2x < 6
6)

2x 4  5x 2  3 + 1 < x2.
H5


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Dạng 3
g(x)  0

f(x)  0
f(x) > g(x)  
 g(x)  0

2

 f(x)  g (x)

 g(x)  0

f(x)  0
f(x)  g(x)  
 g(x)  0

2
 f(x)  g (x)


Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

3x 2 10x  3  x  1

(1)

2)

(x  1)(3  x)  3  4  3x

(2)

3)

2x 2  8x  1  x 2  1

(3)

Gi¶i:
 x  1

1  x  3

  3
 x  1


 3x 2  10x  3  x 2  2x  1


 x  1  0

2
(1)
 3x  10x  3  0
1)  
x  1  0

 3x 2  10x  3   x  12


 x  1
 2
4x  8x  4  0

 x  1

2

4(x  1)  0

 x  1
 x 1

x  1
KÕt ln: tËp nghiƯm bÊt ph-¬ng trình (1) là
S = 1 .

(2)

2) 4x x2  3x  4

 3x  4  0

2
 4x  x  0

3x  4  0

 4x  x 2  (3x  4)2

H6


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu


4
 x  3



0  x  4

 x  4

3

 4x  x 2  9x 2  24x  16


4

0  x  3

4
 
x 

3

2
 10x  28x  16  0

4

0x

3


4
 x 


3

 4  x  2
 5


4

0x

3

4 x 2
3


0x2

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) lµ
S = 0 ; 2  .
(3)

3)  2x2  8x  1  (x2  1)2

 2x2  8x  1  x 4  2x2  1

 x4  8x  0

 x(x3  8)  0

 x(x  2)(x2  2x  4)  0

 x(x  2)  0

 2  x  0

KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là
S = 2 ; 0 .

Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

(x 3)(5 x) 15 4  2x

2)

x 2  5x  4  2  3x

3)

x 2  4x  5  x  11

4)

x 4  x2  1  x  1

5)

x 4  x 2  1  1  2x

6)

2x 4  5x 2  2  2x 2  1.

H7


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Dạng 4
f (x)  g(x)  p(x)  q(x)

hc:

f (x)  g(x)  p(x)  q(x)

(Trong ®ã: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)).
Ph-ơng pháp:
f (x) 0
g(x) 0

Điều kiện:
p(x) 0
q(x) 0

Bình ph-ơng hai vế của bất ph-ơng trình, sau đó đ-a về dạng 1.

Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

x 2 5 2x 2x  7  3x

(1)

2)

x  3  2x  5  3  3x  5  2x

(2)

3)

3  2x  4  3x  2x  2  x 3

(3)

Giải:
1) Điều kiện: 0 x
(1)





7
3

x 2  5  2x

 
2



2x  7  3x



2

 x  2  5  2x  2 x  2. 5  2x  2x  7  3x  2 2x. 7  3x
 2 (x  2)(5  2x)  2 2x(7  3x)

 2x 2  x  10  6x 2  14x

 2x 2  x  10  6x 2  14 x
 4x 2  13x  10  0
5
 x 2 ; thoả mÃn điều kiện.
4
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là


5
S = ; 2.
4 

2) §iỊu kiƯn: 

5
 x 1
2
H8


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu
(2)

 x  3  5  2x  3  3x  2x  5




x  3  5  2x

 
2

3  3x  2x  5



2

 x  3  5  2x  2 3  x. 5  2x  3  3x  2x  5  2 3  3x. 2x  5

 2 (3  x)(5  2x)  2 (3  3x)(2x  5)

 2x 2  x  15  6x 2  9x  15
 2x2  x  15  6x2  9x  15
 4x2  8x  0

x  0

x 2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
5

S = ; 2   0 ; 1.
 2


3) §iỊu kiƯn: –1  x 

4
3

(3)

 3  2x  x  3  4  3x  2x  2




3  2x  x  3

 
2



4  3x  2x  2



2

 3  2x  x  3  2 3  2x. x  3  4  3x  2x  2  2 4  3x. 2x  2
 2 (3  2x)(x  3)  2 (4  3x)(2x  2)
 2x2  3x  9  6x2  2x  8

 2x2  3x  9  6x2  2x  8

 4x2  5x 1 0

1
x 1; thoả mÃn điều kiện
4
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là


1
S = ; 1 .
4

Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau:

1)

x 1 3x 1  2x  1  2x  1
H9


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

2)

x  1  3x  1  2x  1  2x  1

3)

2x  1  2x  2  x  1  3x  2

4)

x  1  3x  2  2x  1  2x  2

5)

5x  1  5x  7  2x  3  2x  5

6)

2x  3  x  2 4x 3 3x 4.

Dạng 5
Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nh-ng g(x) ở đây là tam

thức bậc hai, khi bình ph-ơng hai vế sẽ dẫn đến bất ph-ơng trình bậc bốn rất
khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, d-ới đây là một số bài toán
minh hoạ.

Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)

(x 1)(x  2)  x2  x  8

(1)

2)

6x 2  18x  12  10  3x  x 2

(2)

3) 2 x2  2x  10  5  x(x 2)

(3)

Giải:
1)

Đặt: t =

(x 1)(x 2) ;

t 0

 t 2  x2  x  2  x2  x  t 2  2
(1)
t  2
 t  t2  2  8  0  t2  t  6  0  
 t  3 (lo¹i)

VËy:

x  3
(x  1)(x  2)  2  x 2  x  2  4  x 2  x  6  0 
x 2

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) lµ
S =   ;  2  3 ;    .
H 10


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Đặt: t = 6x2  18x  12 ;

2)

t 0
12  t 2
 3x  x 
6

 t  6x  18x  12
2

2

12  t 2
 t  10 
6
(2)

VËy:

2

 6t  60  12  t 2

 t 2  6t  72  0

 12  t  6

6x2  18x  12  6  x2  3x  2  6

 x 2  3x  2  0

 2
 x  3x  2  6


 x  2

  x  1
 2

 x  3x  4  0

 x  2

  x  1
1  x  4


 1  x  1

2 x 4

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) lµ
S =  1 ; 1  2 ; 4 .
Đặt: t = x2 2x 10 ;

3)

t 3

 t 2  x2  2x  10

 x(x  2)  t 2  10

(3)

 2t  5  t 2  10  t 2  2t  15  0  3  t  5

VËy:

x2  2x  10  5  x2  2x  10  25

 x2  2x  15  0  5  x  3

KÕt luËn: tËp nghiÖm bất ph-ơng trình (3) là
S = ( 5 ; 3).

Bài toán 2. Cho bất ph-ơng trình:
x 2 2x  (x  3)(1  x)  5  m

(*)

a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m = 2.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x 4 ; 2.
Gi¶i:
(x  3)(1  x)  5   x2  2x  8  (x  4)(2 x) 9 (x 1)2
Đặt : t  (x  3)(1  x)  5;

 t 2  x2  2x  8

0t 3

 x2  2x  8  t 2
H 11


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu
(*)

 8  t2  t  m

  t 2  t  8  m (**)

(**)

a) m = 2,   t 2  t  8  2  t 2  t  6  0  2  t  3
VËy:

x2  2x  8  3  9  (x  1)2  3; nghiƯm ®óng x [4 ; 2].

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (*) là
S = [4 ; 2].
b) Bất ph-ơng trình (*) có nghiệm bất ph-ơng trình (**) có nghiệm t tho¶
m·n: 0  t  3
Gäi f(t) = t 2 t 8;

0t 3

Bảng biến thiên:
t



0

1
2

+

33
4

f(t)

8
2 f(t) 

33
;
4

2
t  0 ; 3

Do ®ã (**) cã nghiƯm t  0 ; 3 
KÕt luËn: m 

3

33
33
m m
4
4

33
, bÊt ph-ơng trình (*) có nghiệm.
4

c) Bất ph-ơng trình (*) nghiệm ®óng x   4 ; 2  bÊt ph-¬ng trình (**)
nghiệm đúng t [0 ; 3].
Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2.
Kết luận: m 2, bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x 4 ; 2 .

Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình:
2 (x 1)(x 7) 25 6x x2 m

a) Giải bất ph-ơng trình (1) với m = 3.
b) Tìm m để bất ph-ơng tr×nh (1) cã nghiƯm.
H 12

(1)


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Giải:

(x 1)(x  7)  25  x2  6x  18 (x 3)2 9
Đặt : t (x  1)(x  7)  25 ;

t  3.

 t 2  x 2  6x  18

 x 2  6x  t 2  18

(1)

 2t  t 2  18  m  t 2  2t  18  m

(2)

(2)

a) m = 3,  t 2  2t  18  3  t 2  2t  15  0  3  t  5
VËy:

x2  6x  18  5  x2  6x  18  25  x2  6x  7  0  1  x  7

KÕt luËn: tập nghiệm bất ph-ơng trình là
S = 1 ; 7 .
b) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm bất ph-ơng trình (2) có nghiệm t thoả
mÃn: t 3
Gọi f(t) = t 2  2t  18;

t 3

B¶ng biÕn thiên:
t

-

1

3

+

f(t)

+

15
f(t) 15 ;

t 3.

Do bất ph-ơng tr×nh (2) cã nghiƯm  15   m  m 15
Kết luận: m 15, bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.

Bài tập t-ơng tự.
Bài 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1) x 2 12x 8 (x  2)(x  14) < 16
2) (x  1)(x  9)  4  10 x 2  10x  11
H 13


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

3) (x  2)

x 1
 (x  1)(x  2)  6
x2

4)

(x  1)(x  2)  4  x  x 2

5)

(1  x)(4  x)  2  x(x  5)

6)

(x  2)(4  x)  6x  x 2  10 .

Bài 2. Cho bất ph-ơng trình:
(x 1)(x 3)  m  6 (x  1)(x  5)

a) Giải bất ph-ơng trình với m = 0.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình nghiệm đúng với mọi x 5 ; 1 .

Bài 3. Cho bất ph-ơng trình:
(x  1)(x  3)  x 2  2x  10 m

a) Giải bất ph-ơng trình với m = 7.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình có nghiệm.

H 14


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Dạng 6
f (x) +

g(x) >

hoặc:

h(x)

f (x) +

g(x) ≥

h(x)

Phương pháp:
f (x)  0

Điều kiện: g(x)  0
h(x)  0


Dạng này có thể cịn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu
một số bài tốn mà sau khi bình phương hai vế sẽ đưa về dạng 2 hoặc dạng 3
hoặc dạng 5.

Bài toán. Giải các bất phương trình sau :
1)

5x ≥

2x  2 −

2)

1 x <

6x −

3)

x 1 +

2x <

4)

x 2  3x  2 +

x 1

(1)

x2

(2)

2x 2  x  1

(3)

x 2  4x  3 ≥

x 2  5x  4

(4)

Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
(1)

 5x +

2x  2 

x 1 ≥



5  x  x 1

 
2

2x  2



2

 5 – x + x – 1 + 2 5  x . x  1 ≥ 2x + 2
 2 (5  x)(x  1) ≥ 2x + 2 – 4


x 2  6x  5 ≥ x – 1

 –x 2 + 6x – 5 ≥ (x – 1)2 (Hai vế không âm, do: 1 ≤ x ≤ 5)
 –x 2 + 6x – 5 ≥ x2 – 2x + 1
 2x2 – 8x + 6 ≤ 0

 1 ≤ x ≤ 3; thoả mãn điều kiện.

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là
S = [1 ; 3].
2) Điều kiện: x ≥ 2
(2)



1 x +

x2 <

x6


H 15



1 x  x  2

 

2

6x



2


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

 x + 1 + x − 2 + 2 1 x . x  2 < 6 + x
 2 (x  1)(x  2) < x + 6 − 2x + 1
 2 x2  x  2 < 7 − x
7  x  0

 x  2
4(x 2  x  2)  (7  x) 2


x  7

 x  2
4x 2  4x  8  x 2  14x  49


2  x  7
 2
3x  10x  57  0

2  x  7

 19
 3 x3


2≤x<3
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là
S = [2 ; 3).
3) Điều kiện: x ≥ 1
(3)





x  1  2x

 
2

<

2x 2  x  1



2

 x − 1 + 2x + 2 x  1 . 2x < 2x 2 + x − 1

 2 2x(x  1) < 2x 2 + x − 1 − 3x + 1
 2 2x 2  2x < 2x 2 − 2x





 − 2 2x  2x > 0
2x  2x  2x  2x  2  > 0
2x 2  2x

2

2

2

2

 2x 2  2x  2


2
2x  2x  0




2x2  2x > 2

 2x 2 − 2x > 4

 x2 − x − 2 > 0

x  2
 
 x  1
Kết hợp với điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (3) là
S = (2 ; +  ).
H 16


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

 x  2

 x  1
 x  3

 
 x  1
 x  4

 x  1


 x 2  3x  2  0

4) Điều kiện:  x 2  4x  3  0
 x 2  5x  4  0



(4)

(x  1)(x  2) +



(x  1)(x  3) ≥

x  4

x  1

(x  1)(x  4)

+) Trường hợp 1: x ≥ 4
(4)

x2 +



x 3 ≥

x  4 ; nghiệm đúng  x ≥ 4.

+) Trường hợp 2: x = 1, thay vào bất phương trình thoả mãn.
+) Trường hợp 3: x < 1
(4)



(1  x)(2  x) +



2x +





(1  x)(3  x) ≥

3 x ≥

2 x  3 x

(1  x)(4  x)

4x

 ≥
2

 2 − x + 3 − x + 2 2x

4x



2

3 x ≥ 4 − x

 2 2  x . 3  x ≥ 4 − x + 2x − 5
 2 2  x . 3  x ≥ x − 1; nghiệm đúng  x < 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (4) là
S = (−  ; 1]  [4 ; +  ).

Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau:
1)

3x  3 +

5x < 2 x

2)

2x ≥

7x −

3)

x2 ≤

x 2  8x  2 −

4)

x 3 ≥

x 2  20 −

5)

x 1 ≤

x 2  4x  1 −

6)

x2 +

3  x < 11  x  x 2

x 1

H 17

x 8

x 5
x 3


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

7)

2x +

x  3 > 11  x  x 2

8)

x2 1 +

x 2  3x  2 ≤

9)

x 2  3x  2 >

10)

x2 1 +

x 2  8x  7

x 2  4x  3 +

x 2  5x  4

x2  x  2 .

x 2  2x  1 >

Dạng 7
a





f(x) g(x) b f(x).g(x) m

(Trong đó: f(x) + g(x) = c; c = const)
Ph-ơng pháp:

f (x) 0
Điều kiện:
g(x) 0
Đặt: t =

f (x) g(x) ;

tìm điều kiện cho t

(t 2 c)
2
Sau đó thay vào bất ph-ơng trình và giải tiếp
f (x).g(x)

Chú ý: Dạng này nếu là ph-ơng trình, ta còn có cách giải khác là đ-a về hệ
ph-ơng trình để giải.

Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:

1)

x 1  4  x  1  2 4  3x  x 2

(1)

2)

2x  1  9  16x  4x 2  9  2x  5

(2)

3) x + 10  x 2  x. 10  x 2  7

(3)

4) x 

(4)

5  x 2  x. 5 x 2 1

Giải:
1) Điều kiện: 1 x 4
Đặt: t = 1 x  4  x;

H 18

5  t  10

Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

 t2 



1 x  4  x



2

 t 2  1  x  4  x  2 1  x. 4  x

 2 4  3x  x 2  t 2  5
(1)
t  3
 t 1  t2  5  t2  t  6  0  
 t  2; lo¹i

VËy:

1 x  4  x  3

 1  x  4  x  2 4  3x  x 2  9

 2 4  3x  x 2  4  4  3x  x 2  4
 x 2  3x  0

 0  x  3; thoả mÃn điều kiện

Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = (0 ; 3).
2) Điều kiện:

1
9
x
2
2

Đặt: t =

2x  1  9  2x;

 10  t  10

 t 2  2x  1  9  2x  2 2x  1. 9  2x
 t 2  10  2 9  16x  4x 2
10  t 2
 9  16x  4x 
2
2

t  0
10  t 2
 t
 5  2t  10  t 2  10  t 2  2t  0  
2

t  2
(2)

 2x  1  9  2x  0
VËy: 
 2x  1  9  2x  2


+) Gi¶i (I):

(I)
(II)

2x  1  9  2x  2x  1  9  2x  4x  8  x  2

1
Kết hợp điều kiện, có: x 2
2
2x  1  9  2x

+) Gi¶i (II): 
 2x  1  9  2x






2

4

H 19

2x  1  9  2x


2
10  2 9  16x  4x  4



Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

4x  8


2
2 9  16x  4x  6


x  2

2
9  16x  4x  9

x  2
 2
4x  16x  0

x  2

  x  4
 x  0


Kết hợp điều kiện, có: 4 < x

x4

9
2

+) Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
1  9
S =  ; 2    4 ;  .
 2   2

3) §iỊu kiƯn:  10 x 10
Đặt: t = x + 10  x 2



 t  x  10  x
2

2



2

 t 2  x 2  10  x 2  2x 10  x 2
 x. 10  x 2 
(3)

t

t 2  10
2

t 2  10
 7  t 2  2t  10  14  t 2  2t  24  0   6  t  4
2

VËy:
2

 x  10  x 2  4

 10  x  4  x


2
2
 x  10  x  6
 10  x  (x  6); ®óng x    10 ; 10 






 10  x 2  (4  x)2

(Hai vế không âm, do: 10 x 10 )

x  3
 10  x 2  16  8x  x 2  2x 2  8x  6 0
x 1

Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là



S =  10 ; 1  3 ; 10  .


Chó ý: Nếu tìm điều kiện cho ẩn phụ t thì:  10  t  5
4) §iỊu kiƯn:  5  x  5
H 20


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Đặt: t = x  5  x 2



 t2  x  5  x2



2

 t 2  x 2  5  x 2  2x 5  x 2
5  t2
 x. 5  x 
2
2

(4)

t

5  t2
 1  2t  5  t 2  2  t 2  2t  3  0  1  t  3
2

x  5  x 2  3

VËy: 
 x  5  x 2  1


 5  x2  x  1

 5  x 2  x  3; ®óng x   5 ; 5 




 
 5  x2  x  1


x  1  0

2
2
5  x  (x  1)

 x  1
 x  1

 2
  x  1
2x  2x  4  0
  x  2


x  1

2
2
5  x  x  2x  1

x 1

Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (4) là

S = 1 ; 5 .

Chú ý: Nếu tìm điều kiện cho ẩn phụ t thì: 10 t 5 .

Bài toán 2. Cho ph-ơng tr×nh
x  2  m  7  x  14 5x x 2

(*)

a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m = 3
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x 2 ; 7 .
Giải:
Điều kiện: 2 x 7

t2

3 t 3

x2 7x;

Đặt: t =



x2 7x

2

H 21


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

 t 2  x  2  7  x  2 x  2. 7  x
9  t2
 14  5x  x 
2
2

9  t2
 tm
 2t  2m  9  t 2  t 2  2t  9  2m (**)
2
(*)

(**)

a) m =  3,  t 2  2t  9  6  t 2  2t  3  0  3  t  1
 x  2  7  x 1

VËy: 
 x  2  1 7  x
 x  2  7  x  3, ®óng x   2 ; 7

 x  2 1 7  x  2 7  x

 7  x  0

2x  6  0

 2x  6  0

2
 4(7  x)  4(x  3)


 2 7  x  2x  6

 x  7
x  3

x  3


  x  3
 x  3
 x 2  5x  2  0


2
 7  x  x  6x  9


x  3
x  3


x  3
 

3  x  5  17
  5  17
5  17

x


2
2
 2

x

5  17
2

KÕt hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (*) lµ

5  17 
S =  2 ;
.
2 


b. BÊt ph-ơng trình (*) có nghiệm bất ph-ơng trình (**) cã nghiƯm t tho¶
m·n:  3  t  3.
Gäi f(t) = t2 + 2t  9;

3  t  3

Bảng biến thiên:
t



1

3

6
f(t)

3
6

10

10 f(t) 6; t  [  3 ; 3]
H 22

+


Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

Do đó (**) cã nghiÖm   10  2m  m ≥ 5
Kết luận: m 5, bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.

c. Bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng với x  [  2 ; 7]  bÊt ph-¬ng trình
(**) nghiệm đúng t [ 3 ; 3].
Theo kết quả trên, có: 6 2m m 3.
Kết luận: m 3, bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x [ 2 ; 7].

Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình
2x 4 16 2x  2 16  6x  x2  m

(1)

a) Gi¶i bất ph-ơng trình (1) với m = 2.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng x [ 2 ; 8].
Giải:
Điều kiện: 2 x 8

 t2 =

2 5  t  2 10

2x  4 16 2x;

Đặt: t =



2x 4 16  2x



2

 t2 = 2x  4  16  2x  2 2x  4 . 16  2x
t 2  20
 2 16  6x  x 
2
2

(1)

t

t 2  20
 m  2t  t 2  20  2m  t 2  2t  20  2m (2)
2
(2)

a) m =  2,  t 2  2t  20  4  t 2  2t  24  0  4  t  6

 2x  4  16  2x  6

VËy: 
 2x  4  16  2x  4; ®óng x  [  2 ; 8]



2x  4  16  2x  6  2x  4  16  2x  2 2x  4 . 16  2x  36

 4 16  6x  x2  16

 16  6x  x2  16
H 23


Ngun Qc Hoµn – THPT Ngun Gia ThiỊu

x  6

x  0

 x 2  6x  0

KÕt hỵp víi điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = [  2 ; 0]  [6 ; 8].
b) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm bất ph-ơng trình (2) cã nghiƯm t tho¶
m·n: 2 5  t  2 10
Gäi f(t) = t2  2t  20; 2 5 t 2 10
Bảng biến thiên:



t

1

2 5

2 10

+

20  4 10

f (t)
4 5

t  2 5 ; 2 10 



 4 5  f(t)  20  4 10 ;

Do ®ã (2) cã nghiƯm  4 5  2m  m  2 5
KÕt luËn: m  2 5 , bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
c. Bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng x [ 2 ; 8] bất ph-ơng trình (2)
nghiệm đúng t 2 5 ; 2 10


Theo kết quả trên, có: 20  4 10   2m  m  2 10  10
KÕt luËn: m  2 10  10, bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc
đoạn [ 2 ; 8].

Bài tập t-ơng tự.
Bài 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1) 3

2)

1 x x  x  x2  1

3)

x2  x  2  1  x  1  x  2

4)

x  1  4  x  (x  4).

x  3  5  x  4  2 15  2x  x 2

x 1
3
4x
H 24