SKKN: Một số dạng phương trình và bất phương trinh chứa căn thức

Sở giáo dục & đào tạo Hải Dơng
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng
trình chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
1
Năm học 2007 - 2008
Phòng giáo dục & đào tạo thanh miện
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng trình
chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
Ngời thực hiện: bùi văn uý
đánh giá của tổ chuyên môn
(Nhận xét, đánh giá xếp loại)
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
...........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
...........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
đánh giá của hội đồng nhà trờng
(Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu)
..........................................................................................................................

..........................................................................................................................
2
Phần ghi số phách
của Phòng GD & ĐT

...........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
........................................................................................................................... ..................................................
........................................................................
Sáng kiến kinh
nghiệm
Một số dạng phơng trình - bất phơng trình
chứa căn thức và phơng pháp giải
Môn : Toán
Khối : 9
đánh giá, xếp loại của Phòng giáo dục và đào tạo
(Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu)
..........................................................................................................................
...........................................................................................................................
..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
...........................................................................................................................
..........................................................................................................................
3
Phần ghi số phách
của Phòng GD & ĐT

..........................................................................................................................
..........................................................................................................................

..........................................................................................................................
...........................................................................................................................
..........................................................................................................................
tác giả :........................................................................
Đơn vị công tác : .......................................................................................
A. đặt vấn đề
Trong chơng trình dạy toán nói chung của trung học cơ sở, có rất nhiều vấn đề
mà ngời dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó t duy tổng hợp,
tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu quả
hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở trờng.
Qua nghiên cứu chơng trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số lớp 9
phần bài tập liên quan đến căn thức và các phép biến đổi của căn thức đặc biệt là các
dạng toán về phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đối với học sinh khi thực
hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán liên quan
đến giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức là những bài toán hay và khó.
Trong những năm gần đây, việc đổi mới phơng pháp dạy học là một yêu cầu
bắt buộc đối với tất cả các môn học, cụ thể chúng ta phải áp dụng linh hoạt các phơng
pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác trong việc nghiên cứu lý thuyết
cũng nh tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng các
kiến thức đã học để khám phá lời giải của các bài tập, thống kê và đa chúng về một số
dạng cơ bản trên cơ sở đó thực hiện việc giải toán một cách dễ dàng hơn.
Qua quá trình giảng dạy các đối tợng học sinh, tôi đã thực hiện việc tổng hợp
một số dạng toán về phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp giải,
bớc đầu đã đạt đợc những kết quả nhất định. Tôi mạnh dạn tổng hợp và viết sáng kiến
kinh nghiệm Một số dạng phơng trình bất phơng trình và phơng pháp giải
trong khuôn khổ của chơng trình toán trung học cơ sở nhằm mong muốn đợc các
đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến.
4
B. giảI quyết vấn đề
Một trong những điều cần lu ý nhất đối với phơng trình và bất phơng trình chứa

căn là tính không thuận nghịch của các phép toán. Nhìn chung những dạng phơng
trình và bất phơng trình cơ bản là các phơng trình, bất phơng trình có thể đa về phơng
trình và bất phơng trình đại số bậc nguyên. Vì vậy cần lu ý đến điều kiện có nghĩa
của biểu thức.
Ví dụ 1: A(x) = (1 +
x
)
2
+ (1 -
x
)
2
và
B(x) = 2 + 2x thì A(x) = B(x) chỉ đúng khi x > 0
Ví dụ 2: Xét phơng trình
4
)(xA
= B(x) (1) thì điều kiện đối với B(x) là quan
trọng. Nếu cha biết thông tin đối với B(x) thì không thể viết:
(1)

A(x) = B(x)
4
B(x)

0
Ví dụ 3: Giải phơng trình

4
1

x
=
x

1
Phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (2)
Nếu chỉ dựa vào phép tính biến đổi ta sẽ thấy:
(2)

x - 1 = (1 - x)
2








=
=
2
1
x
x
Do vậy, trong mọi trờng hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa của phơng
trình một cách chi tiết, sau đó mới tiến hành các phép biến đổi tơng đơng.
1. Quy tắc giản ớc : Khác với các biểu thức đại số bậc nguyên khi một thừa số
khác không, ta có thể giản ớc hoặc đặt thừa số chung. Đối với biểu thức chứa căn, cần

đặc biệt lu ý tới điều kiện có nghĩa.
Bài toán 1 : Giải phơng trình:
xx ))1(

+
xx )2(

=
)3(
+
xx
Giải: Điều kiện có nghĩa:
(x - 1)x

0 x

2
(x - 2)x

0

x = 0
x(x + 3)

0 x

- 3
1) x = 0 là một nghiệm.
2) Xét x

2 khi đó có thể giản ớc hai vế của phơng trình cho
x
1

x
+
2

x
=
3
+
x

2x - 3 + 2
)2)(1(

xx
= x + 3

2
)2)(1(

xx
= 6 - x
6 - x

0 x

6

x =

3
28

4 (x
2
- 3x + 2) = 36 - 12x + x
2
3x
2
= 28
5
Kết hợp với điều kiện x

2 ta đợc nghiệm x =
3
28
3) Xét x

- 3 khi đó viết phơng trình đã cho dới dạng:
))(1( xx

+
))(2( xx

=
)3)((

xx
Giản ớc 2 vế cho
x

x

1
+
x

2
=
x

3
Trờng hợp này phơng trình vô nghiệm vì vế trái lớn hơn vế phải.
Tóm lại: phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x =
3
28
2. Quy tắc thay giá trị:
Sử dụng hằng đẳng thức: (u + v)
3
= u
3
+ v
3

+ 3uv (u +v)
Từ biểu thức u + v = a dễ dàng suy ra:
u
3
+ v
3
+ 3uva = a
3
Tuy nhiên, phép thế giá trị u + v = a này vào biểu thức lập phơng có thể dẫn
đến một phép bình phơng và phép biến đổi không còn là phép biến đổi tơng đơng.
Bài toán 2 : Giải bất phơng trình:
3
x
+
3
3 x



m (1)
Giải: (1)


3
3 x



m -
3

x


3 - x

m
3
- 3m
2
3
x
+ 3m
3
x
2
- x


3m
3
x
2
- 3m
2
3
x
+ m
3
- 3

0
1) m = 0,

x là nghiệm.
2) m

0 xét tam thức bậc hai:
f(t) = 3mt
2
- 3m
2
t + m
3
- 3, với t =
3
x
= 9m
4
- 12m(m
3
- 3) = - 3m
4
+ 36m = - 3m(m
3
- 12)
m 0
3
12
- 0 + 0 -
a) Nếu m < 0 thì < 0 => f(t)

0,
t

. Vậy
x

là nghiệm
b) Nếu 0 < m


3
12
thì f(t)

0
=>
m
m
6
3
2



t


m
m

6
3
2
+
Từ đó ta đợc









m
m
6
3
2
3
x

m
m
6
3
2
3
c) m >
3
12
thì

< 0 => f(t) > 0
t

, bất phơng trình vô nghiệm
Bài toán 3: Giải phơng trình:
3 2
2 xx
++
+
3 2
2 xx

=
3
4

Giải: Lập phơng hai vế ta đợc:
4 + 3
3 2
2 xx
++
.
3 2
2 xx

(
3 2
2 xx
++
+
3 2
2 xx

) = 4
Vậy phơng trình tơng đơng với:
3 2
2 xx
++
+
3 2
2 xx

=
3
4
3

3 2
2 xx
++
.
3 2
2 xx

= 0
Vì
3 2
2 xx
++
> 0 nên suy ra:
3 2
2 xx

= 0 =>



=
=
2
1
x
x

Hai giá trị này đều thoả mãn phơng trình đã cho.
3. Phép hữu tỉ hoá:
6