Mot so dang bat phuong trinh vo ty thuong gap (SKKN 2010) NQHoan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 54 trang )
sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều
-----------------------------------------------------------------------------
Sáng kiến kinh nghiệm:
Một số dạng bất ph-ơng trình
chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp
Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán
Hà Nội, 5 / 2010
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 1
mở đầu
Giải bất ph-ơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh
đ-ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai đ-ợc
coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số dạng bất ph-ơng trình chứa
căn thức bậc hai th-ờng gặp để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích
mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất
ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất ph-ơng trình nói chung,
đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm
đến môn toán.
Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong
ch-ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban
Khoa học xã hội và nhân văn. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử
dụng để chuyển sang phần ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi chuyển sang
ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó
ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục
đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau.
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 2
Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đ-a ra sau
đây mà không nêu nội dung:
1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó.
2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
3. ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Sáng kiến kinh nghiệm:
Một số dạng bất ph-ơng trình chứa căn thức bậc hai th-ờng gặp
Dạng 1
f(x) 0
f(x) < g(x)
f(x) < g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
g(x) 0
f(x) > g(x)
f(x) > g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
3x 2 2x 5x 2
2
x
(1)
2)
22
2x 10x 8 x 5x 36
(2)
3)
32
x 8 2x 5x 14
(3)
Giải:
1)
2
(1)
22
2
x2
x2
x8
x1
x 3x 2 0
x1
0 x 1
x0
x 3x 2 2x 5x 2
x2
x 8x 0
x8
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S ( ; 8 0 ;1 2 ; )
.
2)
2
(2)
22
2
9
5 36 0
4
2 10 8 5 36
15 44 0
x
xx
x
x x x x
xx
9
4
11
9
4
11
x
x
x
x
x
x
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S ; 11 9 ;
.
3)
33
(3)
3 2 3 2
x 8 0 x 8
x 8 2x 5x 14 x 2x 5x 6 0
22
x 2 x 2
(x 1)(x x 6) 0 x x 6 0
x2
2x3
2x3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =
2 ; 3
.
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
2
34xx
2
25xx
2)
2
2 9 13xx
2
32xx
3)
2
2 9 4xx
2
34xx
4)
22
2 12 16 3 28x x x x
5)
32
21xx
2
2xx
6)
32
xx
2
2xx
.
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 4
D¹ng 2
f(x)
g(x)
2
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
f(x)
g(x)
2
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
2
x 8x 7
+ 3x 1 (1)
2) 2
2
9 8x x
+ 1 < 9x (2)
3)
1
1
x
< 2 (3)
Gi¶i:
1)
(1)
2
x 8x 7
1
3x
2
2
2
8 7 0
1 3 0
8 7 1 3
xx
x
x x x
22
1
x
3
x 8x 7 9x 6x 1
x7
x1
2
1
x
3
8x 2x 6 0
1
x
3
3
x
4
x1
x1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S =
;1
.
2)
(2)
2
2 9 8x x
< 9x
1
2
22
9 8 0
9 1 0
4(9 8 ) (9 1)
xx
x
x x x
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 5
22
1 x 9
1
x
9
4x 32x 36 81x 18x 1
2
1
x9
9
85x 50x 35 0
1
x9
9
x1
7
x
17
19x
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = (1 ; 9].
3)
(3)
x0
1
10
x
1
14
x
x0
x1
0
x
3x 1
0
x
x0
x1
x0
1
x
3
1
x
3
x1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =
1
; 1 ;
3
.
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
2
x 2x 8
+ 2
x
2)
2
2x 5x 2
+ x
2
3)
2
3x 8x 3
+ 1 2x
4) 3
(x 6)(x 2) 7
+ 3 < 5x
5) 3
(x 6)(x 2) 7
+ 2x < 6
6)
42
2x 5x 3
+ 1 < x
2
.
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 6
D¹ng 3
f(x)
> g(x)
2
g(x) 0
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
f(x)
g(x)
2
g(x) 0
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
2
3x 10x 3 x 1
(1)
2)
(x 1)(3 x) 3 4 3x
(2)
3)
22
2x 8x 1 x 1
(3)
Gi¶i:
1)
2
(1)
2
2
x 1 0
3x 10x 3 0
x 1 0
3x 10x 3 x 1
22
x1
1
x3
3
x1
3x 10x 3 x 2x 1
2
x1
4x 8x 4 0
2
x1
4(x 1) 0
x1
x1
x1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S =
1
.
2)
(2)
2
4x x 3x 4
2
22
3x 4 0
4x x 0
3x 4 0
4x x (3x 4)
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 7
22
4
x
3
0 x 4
4
x
3
4x x 9x 24x 16
2
4
0x
3
4
x
3
10x 28x 16 0
4
0x
3
4
x
3
4
x2
5
4
0x
3
4
x2
3
0 x 2
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S =
0 ; 2
.
3)
(3)
2 2 2 2 4 2
2x 8x 1 (x 1) 2x 8x 1 x 2x 1
43
x 8x 0 x(x 8) 0
2
x(x 2)(x 2x 4) 0
x(x 2) 0
2 x 0
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =
2 ; 0
.
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
(x 3)(5 x) 15 4 2x
2)
2
x 5x 4 2 3x
3)
2
x 4x 5 x 11
4)
42
x x 1 x 1
5)
42
x x 1 1 2x
6)
4 2 2
2x 5x 2 2x 1
.
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 8
Dạng 4
f(x) g(x) p(x) q(x)
hoặc:
f(x) g(x) p(x) q(x)
(Trong đó: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)).
Ph-ơng pháp:
Điều kiện:
f(x) 0
g(x) 0
p(x) 0
q(x) 0
Bình ph-ơng hai vế của bất ph-ơng trình, sau đó đ-a về dạng 1.
Bài toán. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
x 2 5 2x 2x 7 3x
(1)
2)
x 3 2x 5 3 3x 5 2x
(2)
3)
3 2x 4 3x 2x 2 x 3
(3)
Giải:
1) Điều kiện: 0
7
x
3
(1)
22
x 2 5 2x 2x 7 3x
x 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x
2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x)
22
2x x 10 6x 14x
22
2x x 10 6x 14
x
2
4x 13x 10 0
5
x2
4
; thoả mãn điều kiện.
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S =
5
;2
4
.
2) Điều kiện:
5
x1
2
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 9
(2)
x 3 5 2x 3 3x 2x 5
22
x 3 5 2x 3 3x 2x 5
x 3 5 2x 2 3 x. 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x. 2x 5
2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5)
22
2x x 15 6x 9x 15
22
2x x 15 6x 9x 15
2
4x 8x 0
x0
x2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
S =
5
; 2 0 ; 1 .
2
3) Điều kiện: 1
4
x
3
(3)
22
3 2x x 3 4 3x 2x 2
3 2x x 3 4 3x 2x 2
3 2x x 3 2 3 2x. x 3 4 3x 2x 2 2 4 3x. 2x 2
2 (3 2x)(x 3) 2 (4 3x)(2x 2)
22
2x 3x 9 6x 2x 8
22
2x 3x 9 6x 2x 8
2
4x 5x 1 0
1
x1
4
; thoả mãn điều kiện
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là
S =
1
;1
4
.
Bài tập t-ơng tự. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
x 1 3x 1 2x 1 2x 1
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 10
2)
x 1 3x 1 2x 1 2x 1
3)
2x 1 2x 2 x 1 3x 2
4)
x 1 3x 2 2x 1 2x 2
5)
5x 1 5x 7 2x 3 2x 5
6)
2x 3 x 2 4x 3 3x 4.
Dạng 5
Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nh-ng g(x) ở đây là tam
thức bậc hai, khi bình ph-ơng hai vế sẽ dẫn đến bất ph-ơng trình bậc bốn rất
khó giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, d-ới đây là một số bài toán
minh hoạ.
Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
(x 1)(x 2) x x 8
(1)
2)
22
6x 18x 12 10 3x x
(2)
3)
2
2 x 2x 10 5 x(x 2)
(3)
Giải:
1) Đặt: t =
(x 1)(x 2) ; t 0
2 2 2 2
t x x 2 x x t 2
(1)
22
t2
t t 2 8 0 t t 6 0
t 3 (loại)
Vậy:
22
x3
(x 1)(x 2) 2 x x 2 4 x x 6 0
x2
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S =
; 2 3 ;
.
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 11
2) Đặt: t =
2
6x 18x 12 ; t 0
2
2 2 2
12 t
t 6x 18x 12 3x x
6
2
(2)
22
12 t
t 10 6t 60 12 t t 6t 72 0
6
12 t 6
Vậy:
22
6x 18x 12 6 x 3x 2 6
2
2
2
x2
x2
x 3x 2 0 1 x 1
x1
x1
2 x 4
x 3x 2 6
1 x 4
x 3x 4 0
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là
S =
1 ;1 2 ; 4 .
3) Đặt: t =
2
x 2x 10 ; t 3
2 2 2
t x 2x 10 x(x 2) t 10
(3)
22
2t 5 t 10 t 2t 15 0 3 t 5
Vậy:
22
x 2x 10 5 x 2x 10 25
2
x 2x 15 0 5 x 3
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là
S = (
5 ; 3).
Bài toán 2. Cho bất ph-ơng trình:
2
x 2x (x 3)(1 x) 5 m (*)
a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m = 2.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng
x 4 ; 2 .
Giải:
22
(x 3)(1 x) 5 x 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1)
Đặt : t (x 3)(1 x) 5; 0 t 3
2 2 2 2
t x 2x 8 x 2x 8 t
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 12
(*)
22
8 t t m t t 8 m (**)
a) m = 2,
(**)
22
t t 8 2 t t 6 0 2 t 3
Vậy:
22
x 2x 8 3 9 (x 1) 3;
nghiệm đúng x [4 ; 2].
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (*) là
S = [4 ; 2].
b) Bất ph-ơng trình (*) có nghiệm bất ph-ơng trình (**) có nghiệm t thoả
mãn:
0 t 3
Gọi f(t) =
2
t t 8; 0 t 3
Bảng biến thiên:
t
0
1
2
3 +
f(t)
33
4
8 2
33
2 f(t) ; t 0 ; 3
4
Do đó (**) có nghiệm t
33 33
0 ; 3 m m
44
Kết luận:
33
m,
4
bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.
c) Bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng
x 4 ; 2
bất ph-ơng trình (**)
nghiệm đúng t [0 ; 3].
Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2.
Kết luận:
m 2,
bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng
x 4 ; 2
.
Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình:
2
2 (x 1)(x 7) 25 6x x m (1)
a) Giải bất ph-ơng trình (1) với m = 3.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 13
Giải:
22
(x 1)(x 7) 25 x 6x 18 (x 3) 9
2 2 2 2
Đặt : t (x 1)(x 7) 25 ; t 3.
t x 6x 18 x 6x t 18
(1)
22
2t t 18 m t 2t 18 m (2)
a) m = 3,
(2)
22
t 2t 18 3 t 2t 15 0 3 t 5
Vậy:
2 2 2
x 6x 18 5 x 6x 18 25 x 6x 7 0
1 x 7
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình là
S =
1 ; 7
.
b) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm bất ph-ơng trình (2) có nghiệm t thoả
mãn: t 3
Gọi f(t) =
2
t 2t 18; t 3
Bảng biến thiên:
t - 1 3 +
f(t) +
15
f(t) 15 ; t 3.
Do bất ph-ơng trình (2) có nghiệm
15 m m 15
Kết luận: m 15, bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
Bài tập t-ơng tự.
Bài 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
x 12x 8 (x 2)(x 14)
< 16
2)
2
(x 1)(x 9) 4 10 x 10x 11
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 14
3)
x1
(x 2) (x 1)(x 2) 6
x2
4)
2
(x 1)(x 2) 4 x x
5)
(1 x)(4 x) 2 x(x 5)
6)
2
(x 2)(4 x) 6x x 10
.
Bµi 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
(x 1)(x 3) m 6 (x 1)(x 5)
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 0.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x
5 ; 1
.
Bµi 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
2
(x 1)(x 3) x 2x 10 m
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 7.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm.
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 15
D¹ng 6
f(x)
+
g(x)
>
h(x)
hoặc:
f(x)
+
g(x)
≥
h(x)
Phương pháp:
Điều kiện:
f(x) 0
g(x) 0
h(x) 0
Dạng này có thể còn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu
một số bài toán mà sau khi bình phương hai vế sẽ đưa về dạng 2 hoặc dạng 3
hoặc dạng 5.
Bài toán. Giải các bất phương trình sau :
1)
5x
≥
2x 2
−
x1
(1)
2)
1x
<
6x
−
x2
(2)
3)
x1
+
2x
<
2
2x x 1
(3)
4)
2
x 3x 2
+
2
x 4x 3
≥
2
x 5x 4
(4)
Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
(1)
5x
+
x1
≥
2x 2
22
5 x x 1 2x 2
5 – x + x – 1 + 2
5x
.
x1
≥ 2x + 2
2
(5 x)(x 1)
≥ 2x + 2 – 4
2
x 6x 5
≥ x – 1
–x
2
+ 6x – 5 ≥ (x – 1)
2
(Hai vế không âm, do: 1 ≤ x ≤ 5)
–x
2
+ 6x – 5 ≥ x
2
– 2x + 1
2x
2
– 8x + 6 ≤ 0 1 ≤ x ≤ 3; thoả mãn điều kiện.
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là
S = [1 ; 3].
2) Điều kiện: x ≥ 2
(2)
1x
+
x2
<
x6
22
1 x x 2 6 x
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 16
x + 1 + x − 2 + 2
1x
.
x2
< 6 + x
2
(x 1)(x 2)
< x + 6 − 2x + 1
2
2
x x 2
< 7 − x
22
7 x 0
x2
4(x x 2) (7 x)
22
x7
x2
4x 4x 8 x 14x 49
2
2 x 7
3x 10x 57 0
2 x 7
19
x3
3
2 ≤ x < 3
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là
S = [2 ; 3).
3) Điều kiện: x ≥ 1
(3)
2
x 1 2x
<
2
2
2x x 1
x − 1 + 2x + 2
x1
.
2x
< 2x
2
+ x − 1
2
2x(x 1)
< 2x
2
+ x − 1 − 3x + 1
2
2
2x 2x
< 2x
2
− 2x
2
2
2x 2x
− 2
2
2x 2x
> 0
2
2x 2x
2
2x 2x 2
> 0
2
2
2x 2x 2
2x 2x 0
2
2x 2x
> 2 2x
2
− 2x > 4 x
2
− x − 2 > 0
x2
x1
Kết hợp với điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (3) là
S = (2 ; +
).
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 17
4) Điều kiện:
2
2
2
x 3x 2 0
x 4x 3 0
x 5x 4 0
x2
x1
x3
x1
x4
x1
x4
x1
(4)
(x 1)(x 2)
+
(x 1)(x 3)
≥
(x 1)(x 4)
+) Trường hợp 1: x ≥ 4
(4)
x2
+
x3
≥
x4
; nghiệm đúng
x ≥ 4.
+) Trường hợp 2: x = 1, thay vào bất phương trình thoả mãn.
+) Trường hợp 3: x < 1
(4)
(1 x)(2 x)
+
(1 x)(3 x)
≥
(1 x)(4 x)
2x
+
3x
≥
4x
2
2 x 3 x
≥
2
4x
2 − x + 3 − x + 2
2x
3x
≥ 4 − x
2
2x
.
3x
≥ 4 − x + 2x − 5
2
2x
.
3x
≥ x − 1; nghiệm đúng
x < 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (4) là
S = (−
; 1]
[4 ; +
).
Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau:
1)
3x 3
+
5x
< 2
x
2)
2x
≥
7x
−
x1
3)
x2
≤
2
x 8x 2
−
x8
4)
x3
≥
2
x 20
−
x5
5)
x1
≤
2
x 4x 1
−
x3
6)
x2
+
3x
<
2
11 x x
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 18
7)
2x
+
x3
>
2
11 x x
8)
2
x1
+
2
x 3x 2
2
x 8x 7
9)
2
x 3x 2
>
2
x 4x 3
+
2
x 5x 4
10)
2
x1
+
2
x 2x 1
>
2
x x 2
.
Dạng 7
a
f(x) g(x) b f(x).g(x) m
(Trong đó: f(x) + g(x) = c; c = const)
Ph-ơng pháp:
Điều kiện:
f(x) 0
g(x) 0
Đặt: t =
f(x) g(x)
; tìm điều kiện cho t
2
(t c)
f(x).g(x)
2
Sau đó thay vào bất ph-ơng trình và giải tiếp
Chú ý: Dạng này nếu là ph-ơng trình, ta còn có cách giải khác là đ-a về hệ
ph-ơng trình để giải.
Bài toán 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
x 1 4 x 1 2 4 3x x
(1)
2)
2
2x 1 9 16x 4x 9 2x 5
(2)
3) x +
22
10 x x. 10 x 7
(3)
4) x
22
5 x x. 5 x 1
(4)
Giải:
1) Điều kiện:
1 x 4
Đặt: t =
1 x 4 x;
5 t 10
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 19
2
2
t 1 x 4 x
2
t 1 x 4 x 2 1 x. 4 x
22
2 4 3x x t 5
(1)
22
t3
t 1 t 5 t t 6 0
t 2;
loại
Vậy:
2
1 x 4 x 3 1 x 4 x 2 4 3x x 9
22
2
2 4 3x x 4 4 3x x 4
x 3x 0 0 x 3;
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = (0 ; 3).
2) Điều kiện:
19
x
22
Đặt: t =
2x 1 9 2x;
10 t 10
2
t 2x 1 9 2x 2 2x 1. 9 2x
22
2
2
t 10 2 9 16x 4x
10 t
9 16x 4x
2
2
(2)
22
t0
10 t
t 5 2t 10 t 10 t 2t 0
t2
2
Vậy:
2x 1 9 2x 0 (I)
2x 1 9 2x 2 (II)
+) Giải (I):
2x 1 9 2x 2x 1 9 2x 4x 8 x 2
Kết hợp điều kiện, có:
1
x2
2
+) Giải (II):
2
2x 1 9 2x
2x 1 9 2x 4
2
2x 1 9 2x
10 2 9 16x 4x 4
thoả mãn điều kiện
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
H 20
2
4x 8
2 9 16x 4x 6
2
x2
9 16x 4x 9
2
x2
4x 16x 0
x2
x4
x0
x4
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: 4 < x ≤
9
2
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S =
19
; 2 4 ;
22
.
3) §iÒu kiÖn:
10 x 10
§Æt: t = x +
2
10 x
2
22
2 2 2 2
2
2
t x 10 x
t x 10 x 2x 10 x
t 10
x. 10 x
2
2
(3)
22
t 10
t 7 t 2t 10 14 t 2t 24 0 6 t 4
2
VËy:
2
2
2
2
10 x 4 x
x 10 x 4
10 x (x 6); x 10 ; 10
x 10 x 6
®óng
22
10 x (4 x)
(Hai vÕ kh«ng ©m, do:
10 x 10
)
2 2 2
x3
10 x 16 8x x 2x 8x 6 0
x1
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S =
10 ;1 3 ; 10
.
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô t th×:
10 t 5
4) §iÒu kiÖn:
5 x 5
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 21
Đặt: t =
2
x 5 x
2
22
t x 5 x
2 2 2 2
t x 5 x 2x 5 x
2
2
5t
x. 5 x
2
2
(4)
22
5t
t 1 2t 5 t 2 t 2t 3 0 1 t 3
2
Vậy:
2
2
x 5 x 3
x 5 x 1
2
2
5 x x 3; ; 5
5 x x 1
đúng x 5
2
2 2 2 2
x 1 0 x 1
5 x x 1
5 x (x 1) 5 x x 2x 1
2
x1
x1
x1
x1
2x 2x 4 0
x2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (4) là
S =
1; 5
.
Chú ý: Nếu tìm điều kiện cho ẩn phụ t thì:
10 t 5
.
Bài toán 2. Cho ph-ơng trình
2
x 2 m 7 x 14 5x x
(*)
a) Giải bất ph-ơng trình (*) với m =
3
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) có nghiệm
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng
x 2 ; 7
.
Giải:
Điều kiện:
2
x7
Đặt: t =
x 2 7 x
;
3 t 3
2
2
t x 2 7 x
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 22
2
t x 2 7 x 2 x 2. 7 x
2
14 5x x
2
9t
2
2
(*)
22
9t
t m 2t 2m 9 t t 2t 9 2m (**)
2
a) m =
3,
(**)
22
t 2t 9 6 t 2t 3 0 3 t 1
Vậy:
x 2 7 x 1
x 2 7 x 3, đúng x 2 ; 7
x 2 1 7 x
x 2 1 7 x 2 7 x 2 7 x 2x 6
2
22
7 x 0 x 7
x3
2x 6 0 x 3
x3
2x 6 0 x 3
x 5x 2 0
4(7 x) 4(x 3) 7 x x 6x 9
x3
x3
x3
5 17
x
5 17
2
3x
5 17 5 17
x
2
22
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (*) là
S =
5 17
2;
2
.
b. Bất ph-ơng trình (*) có nghiệm bất ph-ơng trình (**) có nghiệm t thoả
mãn:
3 t 3.
Gọi f(t) = t
2
+ 2t
9;
3 t 3
Bảng biến thiên:
t
3
1
3 +
f(t)
6
6
10
f(t)
6; t [
3 ; 3]
10
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 23
Do đó (**) có nghiệm
10 2m m
5
Kết luận: m
5, bất ph-ơng trình (*) có nghiệm.
c. Bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng với x [
2 ; 7] bất ph-ơng trình
(**) nghiệm đúng t [
3 ; 3].
Theo kết quả trên, có: 6 2m m 3.
Kết luận: m 3, bất ph-ơng trình (*) nghiệm đúng x [
2 ; 7].
Bài toán 3. Cho bất ph-ơng trình
2
2x 4 16 2x 2 16 6x x m (1)
a) Giải bất ph-ơng trình (1) với m =
2.
b) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
c) Tìm m để bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng x [
2 ; 8].
Giải:
Điều kiện:
2 x 8
Đặt: t =
2x 4 16 2x;
2 5 t 2 10
t
2
=
2
2x 4 16 2x
t
2
=
2x 4 16 2x 2 2x 4 . 16 2x
2
2
t 20
2 16 6x x
2
2
(1)
22
t 20
t m 2t t 20 2m t 2t 20 2m (2)
2
a) m =
2,
(2)
22
t 2t 20 4 t 2t 24 0 4 t 6
Vậy:
2x 4 16 2x 6
2x 4 16 2x 4; đúng x [ 2 ; 8]
2x 4 16 2x 6
2x 4 16 2x 2 2x 4 . 16 2x 36
22
4 16 6x x 16 16 6x x 16
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
H 24
2
x6
x 6x 0
x0
Kết hợp với điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là
S = [
2 ; 0] [6 ; 8].
b) Bất ph-ơng trình (1) có nghiệm bất ph-ơng trình (2) có nghiệm t thoả
mãn:
2 5 t 2 10
Gọi f(t) = t
2
2t
20;
2 5 t 2 10
Bảng biến thiên:
t
1
25
2 10
+
f(t)
20 4 10
45
4 5 f(t) 20 4 10
; t
2 5 ; 2 10
Do đó (2) có nghiệm
4 5 2m m 2 5
Kết luận: m
25
, bất ph-ơng trình (1) có nghiệm.
c. Bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng x [
2 ; 8] bất ph-ơng trình (2)
nghiệm đúng t
2 5 ; 2 10
Theo kết quả trên, có: 20
4 10
2m m
2 10
10
Kết luận: m
2 10
10, bất ph-ơng trình (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc
đoạn [
2 ; 8].
Bài tập t-ơng tự.
Bài 1. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1)
2
3 x 3 5 x 4 2 15 2x x
2)
2
1 x x x x 1
3)
2
x x 2 1 x 1 x 2
4)
x1
x 1 4 x (x 4). 3
4x
