tu chon toan 7 Rat hay.ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (277.03 KB, 59 trang )
Chủ đề 1: Số hữu tỉ - số thực; đờng thẳng vuông góc và đờng thẳng song song
Hàm số và đồ thị; tam giác
Tiết 1; 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm vững các quy tắc cộng, trừ số hữu tỉ, biết quy tắc chuyển vế
trong Q.
- Học sinh nắm vững các quy tắc nhân, chia số hữu tỉ
- Có kĩ năng làm các phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ nhanh, đúng
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C. Bài tập:
Tiết 1:
Bài 1: Cho hai số hữu tỉ
b
a
và
d
c
(b > 0; d > 0) chứng minh rằng:
a. Nếu
d
c
b
a
<
thì a.b < b.c
b. Nếu a.d < b.c thì
d
c
b
a
<
Giải: Ta có:
bd
bc
d
c
bd
ad
b
a
== ;
a. Mẫu chung b.d > 0 (do b > 0; d > 0) nên nếu:
bd
bc
bd
ad
<
thì da < bc
b. Ngợc lại nếu a.d < b.c thì
d
c
b
a
bd
bc
bd
ad
<<
Ta có thể viết:
bcad
d
c
b
a
<<
Bài 2:
a. Chứng tỏ rằng nếu
d
c
b
a
<
(b > 0; d > 0) thì
d
c
db
ca
b
a
<
+
+
<
b. Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa
3
1
và
4
1
Giải:
a. Theo bài 1 ta có:
bcad
d
c
b
a
<<
(1)
Thêm a.b vào 2 vế của (1) ta có:
a.b + a.d < b.c + a.b
a(b + d) < b(c + a)
db
ca
b
a
+
+
<
(2)
Thêm c.d vào 2 vế của (1): a.d + c.d < b.c + c.d
d(a + c) < c(b + d)
d
c
db
ca
<
+
+
(3)
Từ (2) và (3) ta có:
d
c
db
ca
b
a
<
+
+
<
1
b. Theo câu a ta lần lợt có:
4
1
7
2
3
1
4
1
3
1
<
<
<
7
2
10
3
3
1
7
2
3
1
<
<
<
10
3
13
4
3
1
10
3
3
1
<
<
<
Vậy
4
1
7
2
10
3
13
4
3
1
<
<
<
<
Bài 2: Tìm 5 số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ
2004
1
và
2003
1
Ta có:
2003
1
20032004
11
2004
1
2003
1
2004
1
<
+
+
<<
4007
2
6011
3
2004
1
4007
2
2004
1
<<<
6011
3
8013
4
2004
1
6011
3
2004
1
<<<
8013
4
10017
5
2004
1
8013
4
2004
1
<<<
10017
5
12021
6
2004
1
10017
5
2004
1
<<<
Vậy các số cần tìm là:
12021
6
;
10017
5
;
8013
4
;
6011
3
;
4007
2
Bài 3: Tìm tập hợp các số nguyên x biết rằng
+<<
2
1
21:
45
31
1.5,42,3:
5
1
37
18
5
2:
9
5
4 x
Ta có: - 5 < x < 0,4 (x
Z)
Nên các số cần tìm: x
{ }
1;2;3;4
Bài 4: Tính nhanh giá trị của biểu thức
P =
13
11
7
11
5
11
4
11
13
3
7
3
5
3
4
3
3
11
7
11
2,275,2
13
3
7
3
6,075,0
++
++
=
++
++
=
11
3
13
1
7
1
5
1
4
1
.11
13
1
7
1
5
1
4
1
3
=
++
++
Bài 5: Tính
M =
+
+
+
2
9
25
2001
.
4002
11
2001
7
:
34
33
17
193
.
386
3
193
2
=
++
+
2
9
50
11
25
7
:
34
33
34
3
17
2
2
=
2,05:1
50
2251114
:
34
3334
==
+++
Tiết 2:
Bài 6: Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết
A + b = a . b = a : b
Giải: Ta có a + b = a . b
a = a . b = b(a - 1)
1
1
=
a
b
a
(1)
Ta lại có: a : b = a + b (2)
Kết hợp (1) với (2) ta có: b = - 1
Q
; có x =
Q
2
1
Vậy hai số cần tìm là: a =
2
1
; b = - 1
Bài 7: Tìm x biết:
a.
2003
1
2004
9
= x
b.
2004
1
9
5
= x
x =
2004
9
2003
1
x =
2004
1
9
5
x =
1338004
5341
4014012
16023
=
x =
6012
3337
18036
10011
=
Bài 8: Số nằm chính giữa
3
1
và
5
1
là số nào?
Ta có:
15
8
5
1
3
1
=+
vậy số cần tìm là
15
4
Bài 9: Tìm x
Q
biết
a.
3
2
5
2
12
11
=
+ x
20
3
= x
b.
7
5
5
2
:
4
1
4
3
==+ xx
c.
( )
20
3
2
.2 >>
+ xxx
và x <
3
2
Bài 10: Chứng minh các đẳng thức
a.
1
11
)1(
1
+
=
+ aaaa
; b.
)2)(1(
1
)1(
1
)2)(1(
2
++
+
=
++ aaaaaaa
a.
1
11
)1(
1
+
=
+ aaaa
;
VP =
VT
aaaa
a
aa
a
=
+
=
+
+
+
)1(
1
)1()1(
1
b.
)2)(1(
1
)1(
1
)2)(1(
2
++
+
=
++ aaaaaaa
VP =
VT
aaaaaa
a
aaa
a
=
++
=
++
++
+
)2)(1(
2
)2)(1()2)(1(
2
3
Bài 11: Thực hiện phép tính:
2002
)20022001(20031
2003
2002
2001.2003
2002
1 +
=+
=
1
2002
2002
2002
20031
=
=
Tiết 3; 4; 5: Đờng thẳng vuông góc, song song, cắt nhau.
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm đợc định nghĩa và tính chất về hai góc đối đỉnh.
- Học sinh giải thích đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau thế nào là đờng trung
trực của một đoạn thẳng.
- Rèn luyện kĩ năng sử dụng thớc thẳng, ê ke, đo độ để vẽ hình thành thạo chính
xác. Bớc đầu tập suy luận.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ có ghi sẵn đề bài
C. Bài tập
Tiết 3:
Bài 1: Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc đối đình là hai tia đối nhau?
Giải: Vẽ Ot là tia phân giác của góc xOy t y
Ta có: Oz và Ot là hai tia phan giác của hai z
góc kề bù xOy và yOx
/
do đó góc zOt = 90
0
= 1v (1)
Mặt khác Oz
/
và Ot là hai tia phân giác x
/
O x
của hai góc kề bù y
/
Ox
/
và x
/
Oy
do đó z
/
Ot = 90
0
= 1v (2)
Lấy (1) + (2) = zOt + z
/
Ot = 90
0
+ 90
0
= 180
0
x
/
y
/
Mà hai tia Oz và Oz
/
là không trùng nhau
Do đó Oz và Oz
/
là hai tia phân giác đối nhau.
Bài 2: Cho hai góc kề bù xOy và yOx
/
. Vẽ tia phân giác Oz của xOy trên nửa mặt
phẳng bờ xx
/
có cha Oy, vẽ tia Oz
/
vuông với Oz. Chứng minh rằng tia Oz
/
là tia
phân giác của yOx
/
. t z
/
y
Giải: Vẽ tia Ot là tia phân giác của yOx
/
z
hai tia Oz và Ot lần lợt là hai tia
phân giác của hai góc kề bù xOy và yOx
/
do đó: Oz
Ot x
/
x
có: Oz
Oz
/
(gt)
Nên hai tia Ot và Oz trùng nhau
Vậy Oz
/
là tia phân giác của góc yOz
/
Bài 3: Cho hình vẽ
a. O
1
và O
2
có phải là hai góc đối đỉnh không? x
/
y
b. Tính O
1
+ O
2
+ O
3
Giải: n m
a. Ta có O
1
và O
2
không đối đỉnh (ĐN)
b. Có O
4
= O
3
(vì đối đỉnh)
4
O
1
+ O
4
+ O
2
= O
1
+ O
3
+ O
2
= 180
0
y
/
x
Bài 4: Trên hình bên có O
5
= 90
0
Tia Oc là tia phân giác của aOb
Tính các góc: O
1
; O
2
; O
3
; O
4
a c
Giải:
O
5
= 90
0
(gt)
Mà O
5
+ aOb = 180
0
(kề bù)
Do đó: aOb = 90
0
b
Có Oc là tia phân giác của aOb (gt)
Nên cOa = cOb = 45
0
O
2
= O
3
= 45
0
(đối đỉnh) c
/
BOc
/
+ O
3
= 180
0
bOc
/
= O
4
= 180
0
- O
3
= 180
0
- 45
0
= 135
0
Vậy số đo của các góc là: O
1
= O
2
= O
3
= 45
0
O
4
= 135
0
Bài 5: Cho hai đờng thẳng xx
/
và y
/
y cắt nhau tại O sao cho xOy = 40
0
. Các tia
Om và On là các tia phân giác của góc xOy và x
/
Oy
/
.
a. Các tia Om và On có phải là hai tia đối nhau không?
b. Tính số đo của tất cả các góc có đỉnh là O.
Giải:
Biết: x
/
x
yy
/
=
{ }
O
x
/
y
xOy = 40
0
n
x
/
Oy
/
n m
m
xOy O
a. Om và On đối nhau
Tìm b. mOx; mOy; nOx
/
; x
/
Oy
/
y
/
x
Giải:
xOy
/
; yOx
/
; mOx
/
a. Ta có: Vì các góc xOy và x
/
Oy
/
là đối đỉnh nên xOy = x
/
Oy
/
Vì Om và On là các tia phân giác của hai góc đối đỉnh ấy
Nên 4 nửa góc đó đôi một bằng nhau và
Ta có: mOx = nOx
/
vì hai góc xOy và x
/
Oy là kề bù
nên yOx
/
+ xOy = 180
0
hay yOx
/
+ (nOx
/
+ mOy) = 180
0
yOx
/
+ (nOx
/
+ mOy) = 180
0
(vì mOx = nOx
/
)
tức là mOn = 180
0
vậy hai tia Om và On đối nhau
b. Biết: xOy = 40
0
nên ta có
mOn = mOy = 20
0
; x
/
Oy
/
= 40
0
; nOx
/
= nOy
/
= 20
0
xOy
/
= yOx
/
= 180
0
- 40
0
= 140
0
mOx
/
= mOy
/
= nOy = nOx = 160
0
Tiết 4:
5
Bài 6: Cho hai góc AOB và COD cùng đỉnh O, các cạnh của góc này vuông góc với
các cạnh của góc kia. Tính các góc AOB cà COD nếu hiệu giữa chúng bằng 90
0
.
Giải: ở hình bên có COD nằm trong A
góc AOB và giả thiết có:
AOB - COD = AOC + BOD = 90
0
O C
ta lại có: AOC + COD = 90
0
và BOD + COD = 90
0
suy ra AOC = BOD
Vậy AOC = BOD = 45
0
B D
suy ra COD = 45
0
; AOB = 135
0
Bài 7: Hãy điền vào các hình sau số đo của các góc còn lại và giải thích vì sao?
A D
a c
B b d C
Bài 8: Cho góc xOy và tia Oz nằm trong góc đó sao cho xOz = 4yOz. Tia phân
giác Ot của góc xOz thoả mãn Ot
Oy. Tính số đo của góc xOy.
A. = 60
0
; B = 90
0
; C = 120
0
; D = 150
0
Giải: x t z
Vì xOy = xOz + yOz
= 4yOz + yOz = 5yOz (1)
Mặt khác ta lại có:
yOt = 90
0
90
0
= yOz + yOt = yOz +
2
1
xOz
= yOz +
2
1
.4yOz = 3yOz
yOz = 30
0
(2) O y
Thay (1) vào (2) ta đợc: xOy = 5. 30
0
= 150
0
Vậy ta tìm đợc xOy = 150
0
Bài 9: Cho hai góc xOy và x
/
Oy
/
, biết Ox // O
/
x
/
(cùng chiều) và Oy // O
/
y
/
(ngợc
chiều). Chứng minh rằng xOy + x
/
Oy
/
= 180
0
Giải:
Nối OO
/
thì ta có nhận xét y
/
x
/
Vì Ox // O
/
x
/
nên O
1
= O
/
1
(đồng vị) x
Vì Oy // O
/
y
/
nên O
/
2
= O
2
(so le)
khi đó: xOy = O
1
+ O
2
= O
/
1
+ O
/
2
= 180
0
- x
/
O
/
y
/
xOy + x
/
O
/
y
/
= 180
0
y
Tiết 5: A B
Bài 10: Trên hình bên cho biết
BAC = 130
0
; ADC = 50
0
Chứng tỏ rằng: AB // CD C D
Giải:
6
Vẽ tia CE là tia đối của tia CA E
Ta có: ACD + DCE = 180
0
(hai góc ACD và DCE kề bù)
DCE = 180
0
- ACD = 180
0
- 50
0
= 130
0
Ta có: DCE = BAC (= 130
0
) mà DCE và BAC là hai góc đồng vị
Do đó: AB // CD
Bài 11: Trên hình bên cho hai đờng thẳng x A y
xy và x
/
y
/
phân biệt. Hãy nêu cách nhận biết
xem hai đờng thẳng xy và x
/
y
/
song song
hay cắt nhau bằng dụng cụ thớc đo góc x
/
B
y
/
Giải:
Lấy A
xy
; B
x
/
y
/
vẽ đờng thẳng AB.
Dùng thớc đo góc để đo các góc xAB và ABy
/
. Có hai trờng hợp xảy ra
* Góc xAB = ABy
/
Vì xAB và ABy
/
so le trong nên xy // x
/
y
/
* xAB
ABy
/
Vì xAB và ABy
/
so le trong nên xy và x
/
y
/
không song song với nhau.
Vậy hai ssờng thẳng xy và x
/
y
/
cắt nhau
Bài 12: Vẽ hai đờng thẳng sao cho a // b. Lấy điểm M nằm ngoài hai đờng thẳng a,
b. Vẽ đờng thẳng c đi qua M và vuông góc với a và b.
Giải:
Ta có: c M
A a
M
B b
c
Bài 13: Cho góc xOy một đờng thẳng cắt hai cạnh của góc đó tại các điểm A, B
(hình bên)
a. Các góc A
2
và B
4
có thể bằng nhau không? Tại sao?
b. Các góc A
1
và B
1
có thể bằng nhau không? Tại sao?
Bài 14: Cho hai điểm A, B từ A và B kẻ hai đờng thẳng a, b cùng vuông góc với
đoạn thẳng AB. Hai đờng thẳng đó có thể cắt nhau tại một điểm không? Tại sao?
Bài 15: Cho õ là tia phân giác của góc vuông aOb, Ox
/
là tia đối của tia Ox.
a. Chứng minh: x
/
Ob = x
/
Oa = 135
0
b. Cho Ob
/
là tia đối của toa Ob. Chứng minh: b
/
Ob = aOx.
Tiết 6; 7: Luỹ thừa - tỉ lệ thức
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm đợc luỹ thừa với số mũ tự nhiên - luỹ thừa của luỹ thừa.
- Tích và thơng của hai luỹ thừa cùng cơ số.
- Luỹ thừa của một tích - thơng.
7
- Nắm vững hai tính chất của tỉ lệ thức. Thế nào là tỉ lệ thức. Các hạng tử của tỉ lệ
thức.
- Bớc đầu biết vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức vào giải bài tập.
- Rèn kĩ năng áp dụng các quy tắc về luỹ thừa để tính giá trị của biểu thức luỹ thừa,
so sánh
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi sẵn đề bài:
C. Bài tập.
Tiết 6:
Bài 1: Viết số 25 dới dạng luỹ thừa. Tìm tất cả các cách viết.
Ta có: 25 = 25
1
= 5
2
= (- 5)
2
Bài 2: Tìm x biết
a.
2
2
1
x
= 0
2
1
= x
b. (2x - 1)
3
= - 8 = (- 2)
3
2x - 1 = - 2
2x = - 1
x = -
2
1
c.
2
2
4
1
16
1
2
1
==
+x
==+
==+
4
3
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1
xx
xx
Bài 3: So sánh 2
225
và 3
150
Ta có: 2
225
= (2
3
)
75
= 8
75
; 3
150
= (3
2
)
75
= 9
75
Vì 8
75
< 9
75
nên 2
225
< 3
150
Bài 4: Tính
a. 3
-2
.
6
1
3
2
.
2
3
.
3
1
2
1
1.
3
2
3
3
4
4
2
34
=
=
b.
24
3
2
2
43
4
2
4
3
5
1
.
10
1
.50
54
24
.
4
5
.
10
1
.
50
1
1
5
2
.
5
4
1
.10.
50
1
=
=
=
100
50
50
1
.
10
1
.50
22
3
=
c.
5,0
11.3.4
10.7.25
10
11
3.4
43
10
11
4
1
.
3
4.4
.
4
1
4
10
1
2
1
.
3
4
4
1
4
4
44
4
3
2
4
=
=
==
+
Bài 5:
a. Hiệu của hai số
4
3
1
và
3
4
1
là:
8
A. 0 B.
10000
1
; C.
7114
1
; D.
5184
17
; E. Không có
Giải: Ta có:
4
3
1
-
3
4
1
=
5184
17
64
1
81
1
=
. Vậy D đúng
b.
385
5
1
:
5
1
.
5
1
=
x
thì x bằng
A. 1; B.
5
1
; C.
2
5
1
; D.
10
5
1
; E.
6
5
1
Giải: Ta có:
55
5
1
.
5
1
=
x
x = 1
Vậy A đúng.
Tiết 7:
Bài 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể đợc từ các đẳng thức sau:
a. 7. (- 28) = (- 49) . 4 b. 0,36 . 4,25 = 0,9 . 1,7
28
4
49
7
=
25,4
7,1
9,0
36,0
=
hay
7
1
7
1
=
425
17
9
36
=
Bài 7: Chứng minh rằng từ đẳng thức a. d = b.c (c, d
0) ta có tỉ lệ thức
d
b
c
a
=
Giải:
Chia cả hai vế của đẳng thức ad = bc cho cd (c.d
0) ta đợc
d
b
c
a
dc
cb
dc
da
==
.
.
.
.
Bài 8: Cho a, b, c, d
0
, từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
hãy suy ra tỉ lệ thức
c
dc
a
ba
=
Giải:
Đặt
d
c
b
a
=
= k thì a = b.k; c = d.k
Ta có:
k
k
bk
kb
bk
bkb
a
ba 1)1(.
=
=
=
(1)
k
k
dk
kd
dk
dkd
c
dc 1)1(.
=
=
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
c
dc
a
ba
=
Bài 9: Chứng minh rằng: Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
(b + d
0) ta suy ra
db
ca
b
a
+
+
=
Giải:
Từ
d
c
b
a
=
a.d = b.c nhân vào hai vế với a.b
9
Ta có: a.b + a.d = a.b + b.c
a(b + d) = b(a + c)
db
ca
b
a
+
+
=
Bài 10: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a.
3,0:2,0:
8
3
148
4
2
152 x=
b.
4:01,0
3
2
2:
18
5
83
30
7
85 x=
c.
( )
6
5
5:25,121:5,2.
14
3
3
5
3
6 x=
Giải:
a. 0,2x = 4
5625,62,0:3,0.
8
35
3,0.
8
3
== xx
b. 0,01x.
4.
18
5
83
30
7
85
3
8
=
3
1
29308,0:3.4.
45
88
3.4.
45
88
08,0 === xxx
c.
( )
6
5
5.5,2.
14
3
3
5
3
625,121.
=x
6
35
.
2
5
.
70
27
375,19 =x
5,2375,4975,19 == xx
Bài 11: Tìm x biết
a.
210
54
25
32
+
+
=
+
+
x
x
x
x
(2x + 3)(10x + 2) = (5x + 2)(4x + 5)
2x
2
+ 4x + 30x + 6 = 20x
2
+ 25x + 8x + 10
34x + 6 = 33x + 10
x = 4
b.
345
325
540
13
=
x
x
x
x
(3x - 1)(5x - 34) = (40 - 5x)(25 - 3x)
15x
2
- 102x - 5x + 34 = 1000 - 120x - 125x + 15x
15x
2
- 107x + 34 = 1000 - 245x + 15x
2
138x = 996
x = 7
Chủ đề 4: Tam giác
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm đợc ba trờng hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g).
- Rèn kĩ năng vẽ hình của ba trờng hợp bằng nhau của tam giác.
10
- Rèn kĩ năng sử dụng thớc kẻ, compa, thớc đo độ để vẽ các trờng hợp trên.
- Biết sử dụng các điều kiện bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác
bằng nhau.
B. Chuẩn bị:
C. Bài tập
Tiết 8:
Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 60
0
, H = 50
0
. Tia phân giác của góc K cắt EH tại
D. Tính EDK; HDK. K
Giải:
GT:
EKH
; E = 60
0
; H = 50
0
Tia phân giác của góc K
Cắt EH tại D
KL: EDK; HDK E D H
Chứng minh:
Xét tam giác EKH
K = 180
0
- (E + H) = 180
0
- (60
0
+ 50
0
) = 70
0
Do KD là tia phân giác của góc K nên K
1
=
2
1
K =
0
35
2
70
=
Góc KDE là góc ngoài ở đỉnh D của tam giác KDH
Nên KDE = K
2
+ H = 35
0
+ 50
0
= 85
0
Suy ra: KDH = 180
0
- KED = 180
0
Hay EDK = 85
0
; HDK = 95
0
Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 50
0
, gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở
đỉnh A. Chứng minh Am // BC.
GT: Có tam giác ABC;
B = C = 50
0
A
Am là tia phân giác
của góc ngoài đỉnh A
KL: Am // BC
B C
Chứng minh:
CAD là góc ngoài của tam giác ABC
Nên CAD = B + C = 50
0
+ 50
0
= 100
0
Am là tia phân giác của góc CAD nên A
1
= A
2
=
2
1
CAD = 100 : 2 = 50
0
hai đờng thẳng Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau A
1
= C = 50
0
nên Am // BC
Bài 3:
3.1. Cho
DEFABC =
; AB = DE; C = 46
0
. Tìm F.
3.2. Cho
DEFABC
=
; A = D; BC = 15cm. Tìm cạnh EF
11
3.3. Cho
CBDABC =
có AD = DC; ABC = 80
0
; BCD = 90
0
a. Tìm góc ABD
b. Chứng minh rằng: BC
DC
GT:
DEFABC =
; AB = DE; C = 46
0
.
A = D; BC = 15cm
CBDABC =
; AD = DC; ABC = 80
0
; BCD = 90
0
KL: 3.1: F = ? 3.2:EF = ?
3.3: a. ABD = ? b. BC
DC
Chứng minh:
3.1:
DEFABC
=
thì các cạnh bằng nhau, các góc tơng ứng bằng nhau nên
C = F = 46
0
3.2. Tơng tự BC = EF = 15cm
3.3:
a.
CBDABC
=
nên ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC
nên ABC = 2ABD = 80
0
ABD = 40
0
b.
CBDABC
=
nên BAD = BCD = 90
0
vậy BC
DC
Bài 4: a. Trên hình bên có AB = CD
Chứng minh: AOB = COD.
b. A D
B C
Có: AB = CD và BC = AD
Chứng minh: AB // CD và BC // AD
Giải:
a. Xét hai tam giác OAB và OCD có
AO = OC; OB = OD (cùng là bán kính đờng tròn tâm (O)
và AB = CD (gt)
Vậy
OCDOAB
=
(c.c.c)
Suy ra: AOB = COD
b. Nối AC với nhau ta có:
ABC
và
CAD
hai tam giác này có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung
nên
CADABC
=
(c.c.c)
BAC = ACD ở vị trí só le trong
Vậy BC // AD
Tiết 9:
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính bằng BC. Vẽ cung tròn tâm
C bán kính bằng BA chúng cắt nhau ở D (D và B nằm khác phía đối với AC)
Chứng minh: AD // BC
Giải:
CDAABC =
(c.c.c) A D
ACB = CAD (cặp góc tơng ứng)
(Hai đờng thẳng AD, BC tạo với AC hai
12
góc so le trong bằng nhau). B C
ACB = CAD nên AD // BC.
Bài 6: Dựa vào hình vẽ hãy nêu đề toán chứng minh
BOCAOC =
theo trờng hợp
(c.g.c) B y
Giải:
Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. O C m
Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác Om của xOy.
Chứng minh:
BOCAOC =
A x
Bài 7: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ đờng thẳng vuông góc với AB.
Trên đờng thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh MK là tia phân giác của góc AKB.
Giải: K
BKMAKM =
AKM = BKM (cặp góc tơng ứng)
Do đó: KM là tia phân giác của góc AKB
A M B
Bài 8: Cho đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB và CA = CB, DA = DB. Chứng minh
rằng CD là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
Xét hai tam giác ACD và BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt)
cạnh DC chung nên
BCDACD
=
(c.c.c)
từ đó suy ra: ACD = BCD
Gọi O là giao điểm của AB và CD.
Xét hai tam giác OAC và OBD chúng có: ACD = BCD (c/m trên); CA = CB (gt)
cạnh OC chung nên
OBCOAC
=
OA = OB và AOC = BOC
Mà AOB + BOC = 180
0
(c.g.c)
AOC = BOC = 90
0
DC
AB
Do đó: CD là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
Tiết 10:
Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lợt là trung điểm của cạnh AC, AB.
Trên tia BN lấy điểm B
/
sao cho N là trung điểm của BB
/
. Trên tia CM lấy điểm C
/
sao cho M là trung điểm của CC
/
. Chứng minh:
a. B
/
C
/
// BC
b. A là trung điểm của B
/
C
/
C
/
Giải:
a. Xét hai tam giác AB
/
N và CBN M N
ta có: AN = NC; NB = NB
/
(gt);
ANB
/
= BNC (đối đỉnh)
13
Vậy
CBNNAB =
/
suy ra AB
/
= BC B C
và B = B
/
(so le trong) nên AB
/
// BC
Chứng minh tơng tự ta có: AC
/
= BC và AC
/
// BC
Từ nmột điểm A chỉ kẻ đợc một đờng thẳng duy nhất song song với BC. Vậy AB
/
và AC
/
trùng nhau nên B
/
C
/
// BC.
b. Theo chứng minh trên AB
/
= BC, AC
/
= BC
Suy ra AB
/
= AC
/
Hai điểm C
/
và B
/
nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đờng thẳng AC
Vậy A nằm giữa B
/
và C
/
nên A là trung điểm của B
/
C
/
Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M,
tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN và EM
H ớng dẫn:
Chứng minh:
EDMDEN =
(g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tơng ứng)
Bài 11: Cho hình vẽ bên A B
trong đó AB // HK; AH // BK
Chứng minh: AB = HK; AH = BK.
Giải:
Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K
A
1
= K
1
(so le trong)
AH // BK
A
2
= K
2
(so le trong)
Do đó:
KHAABK =
(g.c.g)
Suy ra: AB = HK; BK = HK
Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đờng thẳng qua D và song
song với BC cắt AC tại E, đờng thẳng qua E song song với BC cắt BC ở F, Chứng
minh rằng
a. AD = EF
b.
EFCA DE =
A
c. AE = EC
Giải:
a.Nối D với F do DE // BF A
EF // BD nên
FBDDEF =
(g.c.g)
Suy ra EF = DB
Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF D E
b.Ta có: AB // EF
A = E (đồng vị)
AD // EF; DE = FC nên D
1
= F
1
(cùng bằng B)
Suy ra
EFCA DE =
(g.c.g) B F C
c.
EFCADE
=
(theo câu b)
suy ra AE = EC (cặp cạnh tơng ứng)
Tiết 11:
Bài 13: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC vẽ F
sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh: A
14
a. DB = CF
b.
FCDBDC
=
D F E
c. DE // BC và DE =
2
1
BC
Giải: B C
a.
CEFAED
=
AD = CF
Do đó: DB = CF (= AD)
b.
CEFAED =
(câu a)
suy ra ADE = F
AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le)
AB // CF
BDC = FCD (so le trong)
Do đó:
ECDBDC
=
(c.g.c)
c.
ECDBDC =
(câu b)
Suy ra C
1
= D
1
DE // BC (so le trong)
FCDBDC =
BC = DF
Do đó: DE =
2
1
DF nên DE =
2
1
BC
Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. Kẻ Ot
nằm giữa Ox và Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các điểm A, B, C,
D sao cho OA = OC và OB = OD. Chứng minh hai đờng thẳng AD và BC vuông
góc với nhau.
Giải:
Xét tam giác OAD và OCB có t z
OA = OC, O
1
= O
3
(cùng phụ với O
2
)
OD = OB (gt) x C
Vậy
OCBOAD =
(c.g.c) A D F
A = C mà E
1
= E
2
(đối đỉnh)
Vậy CFE = AOE = 90
0
AD
Bc
O B y
Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD = BM
(M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I.
a. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng
b. Chứng minh: AM // DB
c. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = AD
Chứng minh EC // DB
Giải: D A E
a. AD // Bm (gt)
DAB = ABM
IBMIAD =
có (AD = BM; DAM = ABM
(IA = IB)
Suy ra DIA = BIM mà
DIA + DIB = 180
0
nên BIM + DIB = 180
0
B M C
15
Suy ra DIM = 180
0
Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng
b.
BIDAIM =
(IA = IB, DIB = MIB)
ID = IM
BDM = DMA
AM // BD.
c. AE // MC
EAC = ACM; AE = MC (AC chung)
Vậy
CMAAEC =
(c.g.c)
Suy ra MAC = ACE
AM // CE mà AM // BD
Vậy CE // BD
Bài 16: ở hình bên có A
1
= C
1
; A
2
= C
2
. So sánh B và D chỉ ra những cặp đoạn
thẳng bằng nhau.
Giải: B C
Xét tam giác ABC và tam giác CDA
chúng có:
A
2
= C
2
; C
1
= A
1
cạnh Ac chung
Vậy
CDAABC =
(g.c.g) A D
Suy ra B = D; AB = CD Và BC = DA
Bài 17: Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua
I kẻ đờng thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đờng thẳng này với AB, AC
theo thức tự là D và E. Chứng minh rằng DE = BD.
Giải: A
DI // DC
I
1
= B
1
(so le)
BI là đờng phân giác của góc B
B
1
= B
2
D I E
Suy ra I
1
= B
2
Tam giác DBI có:
I
1
= B
2
Tam giác DBI cân BD = BI (1) B C
Chứng minh tơng tự CE = EI (2)
Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DE
Bài 18: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC,
CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
Giải: A
Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF
Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F
Hay BD = CE = AF
Tam giác ABC đều A = B = C = 60
0
B E C
BEDADF =
(c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tơng ứng)
FCEEBD
=
(c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tơng ứng)
Do đó: DF = DE = EF
Vậy tam giác DEF là tam giác đều.
Tiết 12 - 16: Dãy số bằng nhau - Làm tròn
A. Mục tiêu:
16
- Nắm vững tính chất của tỉ lệ thức, nhận biết đợc tỉ lệ thức và các số hạng của tỉ lệ
thức.
- Vận dụng vào giải toán.
- Nắm vững tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
- Nắm vững và vân dụng thành thạo các quy ớc làm tròn số.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài.
C. Bài tập:
Tiết 12:
Bài 1: Tìm hai số x và y biết
52
yx
=
và x + y = - 2
Giải: Ta có
3
7
21
5252
=
=
+
+
==
yxyx
63
2
== x
x
153
5
== y
y
Bài 2: So sánh các số a, b và c biết rằng
a
c
c
b
b
a
==
Giải: Ta có:
cba
acb
cba
a
c
c
b
b
a
===
++
++
=== 1
Bài 3: Tìm các số a, b, c biết rằng
432
cba
==
và a + 2b - 3c = - 20
Giải:
5
4
20
1262
32
12
3
6
2
2
=
=
+
+
===
cbacba
a = 10; b = 15; c = 20
Bài 4: Tìm các số a, b, c biết rằng
432
cba
==
và a
2
- b
2
+ 2c
2
= 108
Giải:
1694432
222
cbacba
====
4
27
108
3294
2
3294
222222
==
+
+
===
cbacba
Từ đó ta tìm đợc: a
1
= 4; b
1
= 6; c
1
= 8
A
2
= - 4; b
2
= - 6; c
2
= - 8
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a
2
= bc (với a
b, a
c) thì
ac
ac
ba
ba
+
=
+
Giải: từ a
2
= bc
ac
ac
ba
ba
ac
ba
ac
ba
a
b
c
a
+
=
+
=
+
+
==
Tiết 13:
Bài 6: Ngời ta trả thù lao cho cả ba ngời thợ là 3.280.000 đồng. Ngời thứ nhất làm
đợc 96 nông cụ, ngời thứ hai làm đợc 120 nông cụ, ngời thứ ba làm đợc 112 nông
cụ. Hỏi mỗi ngời nhận đợc bao nhiêu tiền? Biết rằng số tiền đợc chia tỉ lệ với số
nông cụ mà mỗi ngời làm đợc.
17
Giải: Gọi số tiền mà ngời thứ nhất, thứ hai, thứ ba đợc nhận lần lợt là x, y, z
(đồng). Vì số tiền mà mỗi ngời đợc nhận tỉ lệ với số nông cụ của ngời đó làm đợc
nên ta có:
10000
328
3280000
1121209611212096
==
++
++
===
zyxxyx
Vậy x = 960.000 (đồng)
y = 1.200.000 (đồng)
z = 1.120.000 (đồng)
Ngời thứ nhất, ngời thứ hai, ngời thứ ba lần lợt nhận đợc là: 960.000 (đồng);
1.200.000 (đồng); 11.120.000 (đồng)
Bài 7: Tổng kết học kỳ lớp 7A có 11 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 25 học sinh
trùng bình, không có học sinh kém. Hãy tính tỉ lệ phần trăm mỗi loại học sinh của
lớp.
Giải: Số học sinh của lớp 7A là: 11 + 14 + 25 = 50 (học sinh)
Số học sinh giỏi chiếm: 11 : 50 . 100% = 22%
Số học sinh khá chiếm: 14 : 50 . 100% = 28%
Số học sinh trung bình chiếm: 25 : 50 . 100% = 50%
Bài 8: Tìm x biết
a.
( ) ( )
542521032
210
54
25
32
++=++
+
+
=
+
+
xxxx
x
x
x
x
1082520630420
22
+++=+++ xxxxxx
41033634 =+=+ xxx
b.
( ) ( )
xxxx
x
x
x
x
32554034513
345
325
540
13
=
=
22
15125120100034510215 xxxxxx +=+
7966138
==
xx
Bài 9: Ba số a, b, c khác nhau và khác số 0 thoả mãn điều kiện
ba
c
ca
b
cb
a
+
=
+
=
+
Tính giá trị của biểu thức P =
c
ba
b
ca
a
cb +
+
+
+
+
Giải:
Theo đề bài ta có:
ba
c
ca
b
cb
a
+
=
+
=
+
thêm 1 vào mỗi phân số ta có:
ba
cba
ca
cba
cb
cba
ba
c
ca
b
cb
a
+
++
=
+
++
=
+
++
+
+
=+
+
=+
+
111
( ) ( ) ( )
ba
cba
ca
cba
cb
cba
+
++=
+
++=
+
++
1
.
1
.
1
.
Vì a, b, c là ba số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
=+
=+
=+
=++
bca
acb
cba
cba 0
Thay vào P ta đợc
18
P =
c
ba
b
ca
a
cb +
+
+
+
+
=
3)1()1()1( =++=
+
+
c
c
b
b
a
a
Vậy P = - 3
Tiết 14:
Bài 10: Tìm x biết
=
84
25
44
63
10
45:31
9
1
1
3
1
2:
4
3
4 x
160
13
10.4.7.4
7.13
310
9
.
28.9
217
.
4
13
9
310
:
252
217
.
4
13
31.
9
1
1
3
1
2:
84
25
44
63
10
45.
4
3
4 ====
=x
160
13
= x
Bài 11: Tỉ số chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật bằng
2
3
. Nếu chiều
dài hình chữ nhật tăng thêm 3 (đơn vị) thì chiều rộng của hình chữ nhật phải tăng
lên mấy đơn vị để tỉ số của hai cạnh không đổi.
Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lợt là a, b. Khi đó ta có
ba
b
a
32
2
3
==
Gọi x (đơn vị) phải thêm vào chiều rộng thì
xba
xb
a
3362
2
33
+=+=
+
+
mà 2a = 3b
3b + 6 = 3b + 3x
x = 2
Vậy khi thêm vào chiều dài 3 (đơn vị) thì phải thêm vào chiều rộng 2 (đơn
vị) thì tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng vẫn là
2
3
.
Bài 12: Giá trị (làm tròn đến hàng đơn vị) của biểu thức M = 1,85 x 4,145 là
A. 7,6 B. 7 C. 7,66 D. 8 E. Không có các kết quả trên
Bài 13: Giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) của biểu thức
H = 20,83 : 3,11 là
A. 6,6 B. 6,69 C. 6,7 D. 6,71 E. 6,709
Bài 14: Giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) của biểu thức
N =
827,19
35
.854,1
là
A. 3 B. 3,3 C. 3,27 D. 3,28 E. 3,272
Bài 15: Thực hiện phép tính rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
2,0
9
2
83
11
.
99
166
83
11
.
99
21
9
5
1
9
3
38
11
.21,05,13,0 ===
+=+
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai thì đợc 0,22
Tiết 15:
19
Bài 16: Tìm x, gần đúng chính xác đến chữ số thập phân: 0,6x. 0,(36) = 0,(63)
4
7
6,0
63
99
.
99
63
6,0
99
63
99
36
.6,0 === xxx
)66(91,2
12
35
3
5
.
4
7
10
6
:
4
7
==== xxx
Lấy chính xác đếm 1 chứ số thập phân thì x
2,9
Bài 17: Tính
3
1
2
1
+
a. 0,4(3) + 0,6(2). 2
2
3
9
14
30
13
53
50
:
90
53
6
5
2
5
.
90
56
90
39
53
50
:
)8(5,0
3
1
2
1
2
1
+=+=
+
45
22
90
44
90
13514039
==
+
=
b.
( )
5
42
:
11
5
2.4,2
49
4
.
2
1
3
(= 1)
c.
( ) ( )
[ ]
( )
2
1
11:1
77
333
.
999
231
3.
9
3
:36,063,0 =+=
++
Bài 18: Chứng tỏ rằng
a. 0,(37) + 0,(62) = 1
Ta có: 0,(37) =
99
37
và 0,(62) =
99
62
Do đó: 0,(37) + 0,(62) =
99
37
+
99
62
=
1
99
99
=
b. 0,(33) . 3 = 1
Ta có: 0,(33) =
3
1
99
33
=
Do đó: 0,(33) .3 =
13.
3
1
=
Bài 19: Tìm các số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu a - b bằng thơng a : b và bằng hai
lần tổng a + b.
Giải: Theo đề bài ra ta có: a - b = 2(a + b) = a : b (1)
Từ a - b = 2a + 2b
a = - 3b hay a : b = - 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
=+
=
5,1
3
ba
ba
(3)
Từ (3) ta tìm đợc: a =
25,2
2
)5,1()3(
=
+
b = - 1,5- (- 2,5) = 0,75
Vậy hai số a, b cần tìm để lập đợc
a - b = a : b = a( a+ b) là: a = - 2,25; b = 0,75
Bài 20: Có 16 tờ giấy màu loại 2.000 đồng; 5.000 đồng và 10.000 đồng trị giá mỗi
loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
20
Giải:
Gọi số tờ giấy bạc loại 2.000; 5.000; 10.000 theo thứ tự là x, y, z (x, y, z
N)
Theo đề bài ta có: x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi: 2000x = 5000y = 10000z
12510000
10000
10000
5000
10000
2000 zyxzyx
====
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
2
8
16
125125
==
++
++
===
zyxzyx
Suy ra x = 2.5 = 10; y = 2.2 = 4; z = 2.1 = 2
Vậy số tờ giấy bạc loại 2.000đ; 5.000đ; 10.000đ theo thứ tự là: 10; 4; 2.
Tiết 16 - 18: Định lý Pitago - trờng hợp bằng nahu của
hai tam giác vuông.
A. Mục tiêu:
- Nắm đợc định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định lý
Pitago đảo.
- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài của một cạnh tam giác vuông khi biết
độ dài của hai cạnh kia.
- Biết vận dụng định lý đảo của định lý Pitago để nhận biết một tam giác vuông.
- Nắm đợc các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, vận dụng định lý
Pitago để chứng minh trờng hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác
vuông.
- Vận dụng để chứng minh các độan thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
- Rèn luyện khả năng phân tích, tìm cách giải và trình bày bài toán chứng minh
hình học.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C. Bài tập
Tiết 16: A D
Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết A B
AD
DC; DC
BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm
13 15 12
Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Giải:
Vì AH
BC (H
BC) B H C
AH
BC; DC
BC (gt)
AH // DC
mà HAC và DCA so le trong. Do đó: HAC = DCA
Chứng minh tơng tự cũng có: ACH = DAC
Xét tam giác AHC và tam giác CDA có
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC
21
Do đó:
CDAAHC =
(g.c.g)
AH = DC
Mà DC = 12cm (gt)
Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH
2
+BH
2
= AB
2
BH
2
= AB
2
- AH
2
= 13
2
- 12
2
= 5
5
= 25
BH = 5 (cm) (2)
Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH
2
+ HC
2
= AC
2
HC
2
= AC
2
- AH
2
= 15
2
- 12
2
= 91 = 9
2
HC = 9 (cm)
Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)
Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc AMC =
135
0
. Tính độ dài đoạn thẳng MC. A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D.
Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A. M
Ta có: AD = MA = 2 cm
AMD = 45
0
; DMC = AMC - AMD = 90
0
B C
Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM D
DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với A
góc CAM); AC = AB (gt)
Do đó:
AMBADC
=
(c.g.c)
DC = MB
Tam giác vuông AMD vuông ở A D
nên MD
2
= MA
2
+ MC
2
(pitago)
Do đó: MD
2
= 2
2
+ 2
2
= 8 B C
Tam giác MDC vuông ở M nên
DC
2
= MD
2
+ MC
2
(Pitago)
Do đó: 3
2
= 8 + MC
2
MC
2
= 9 - 8 = 1
MC = 1
Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC;
BC tỉ lệ với
a. 9; 12 và 15 b. 3; 2,4 và 1,8
c. 4; 6 và 7 d. 4 ; 4
2
và 4
Giải:
a.
==
==
==
===
22
22
22
22515
14412
819
15129
kBCkBC
kACkAC
kABkAB
k
BCACAB
AB
2
+ AC
2
= 81k
2
+ 144k
2
= 225k
2
= BC
2
Vậy tam giác ABC vuông ở A.
b.
==
==
==
===
22
22
22
497
366
164
764
kBCkBC
kACkAC
kABkAB
k
BCACAB
22
AB
2
+ AC
2
= 16k
2
+ 36k
2
= 52k
2
49k
2
= BC
2
Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông.
c. Tơng tự tam giác ABC vuông ở C (C = 90
0
)
d. Làm tơng tự tam giác ABC vuông cân (B = 90
0
)
Tiết 17:
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 90
0
), kẻ AH
BC
Chứng minh: AB
2
+ CH
2
= AC
2
+ BH
2
Giải: A
áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông
Tam giác ABH có H = 90
0
AB
2
= AH
2
+ HB
2
AB
2
- HB
2
= AH
2
AHC
có H = 90
0
AC
2
= AH
2
+ HC
2
AC
2
- HC
2
= AH
2
AB
2
- HB
2
= AC
2
- HC
2
B H C
AB
2
+ CH
2
= AC
2
+ BH
2
Bài 5: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC thì
cạnh nào là cạnh lớn nhất? A
Giải:
* Kẻ AD
AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC
BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông ở A
BD
2
= AB
2
+ AD
2
AB
2
< BD
2
AB < BD (2) B E D C
Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE
AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông ở A
EC
2
= AE
2
+ AC
2
AC
2
< EC
2
hay AC < EC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC
Vậy cạnh lớn nhất là BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đờng vuông góc với AB và từ C
kẻ đờng vuông góc với AC. Hai đờng này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng
a.
AMCAMB =
b. AM là đờng trung trực của đoạn thẳng BC.
Giải: A
a. Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau
vì cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt)
b. Do
AMCAMB =
A
1
= A
2
B C
Gọi I là giao điểm của AM và BC
Xét hai tam giác AIB và AIC M
23
A
1
= A
2
(c/m trên); AB = AC
(Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên
AICAIB
=
(c.c.c)
Suy ra IB - IC; AIB = AIC
mà AIB + AIC = 180
0
(2 góc kề bù nhau)
Suy ra AIB = AIC = 90
0
Vậy
AM
BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC
nên AM là đờng trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 7:
a. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là
tia phân giác của góc A.
b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB.
Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
Giải: A
a. Xét hai tam giác vuông CDB và ADC
có canh AD là cạnh chung; AB = AC
ADCADB =
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
BAD = CAD (cặp góc tơng ứng)
Do đó: AD là tia phân giác của góc A B D C
b. Hớng dẫn A
Chứng minh
AECADB =
(cạnh huyền - góc nhọn)
AD = AE (cặp cạnh tơng ứng)
AEKADK =
(cạnh huyền - cạnh góc vuông) E D
A
1
= A
2
Do đó Ak là tia phan giác của góc K. B C
Tiết 18:
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đờng trung trực
của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đờng thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đờng thẳng
AC. Chứng minh rằng BH = CK A
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta có: K
CMIAMI =
(c.g.c) B M
Vì BM = CM; IM chung; M
1
= M
2
C
IB = IC (cặp góc tơng ứng) H
AKIAHI =
(cạnh huyền - góc nhọn) I
IH - IK
IKCIHB =
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
BH = CK.
Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có
4
3
=
AC
AB
và BC = 15cm. Tìm các
độ dài AB; AC B
Giải:
Theo đề ra ta có:
24
16943
22
ACABACAB
==
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau A C
và định lý Pitago ta có:
9
25
15
25169169
222222
===
+
+
==
BCACABACAB
Suy ra: AB
2
= 9.9 = 9
2
AB = 9 cm
AC
2
= 16.9 = (4.3)
2
= 12
2
AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm
Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là tam
giác vuông cân.
Giải: B
Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1
Theo định lý Pitago ta có:
AB
2
= 1
2
+ 2
2
= 1 + 4 = 5 C
BC
2
= 1
2
+ 2
2
= 1 + 4 = 5 A
AC
2
= 1
2
+ 3
2
= 1 + 9 = 10
Do AB
2
= BC
2
nên AC = AB
Do AB
2
+ BC
2
= AC
2
nên ABC = 90
0
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 90
0
). Chứng minh rằng
a. Nếu AB =
2
1
BC thì C = 30
0
C
b. Nếu C = 30
0
thì AB =
2
1
BC
Giải:
Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB
Nối CD thì ta có:
DACBAC
=
(c.g.c)
CB = CD (1) B A D
a. Nếu AB =
2
1
BC và AB = AD =
2
1
BD
Thì BC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB = BD
Vậy tam giác BCD đều
BCA = ACD =
2
1
BCD =
00
3060.
2
1
=
b. CB = CD
Tam giác CBD cân
Nếu BCA = 30
0
; BCD = 60=0
suy ra tam giác
BCD đều
BD = BC
2AB = BC
AB =
2
1
BC
Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE
AC và CF
AB. Biết BE = CF = 8cm. độ dài
các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.
25
