Chuyên đề phương trình , bất phương trình và hệ phương trình pps

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 1
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =

•
A = 0 và B
≠
0 : phương trình vô nghiệm
•
A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
•
A > 0 :
A
B
x >

•
A < 0 :
A
B
x <

•
A = 0 và B
≥

0 : vô nghiệm
•
A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :



=+
=+
///
cybxa
cbyax

2/. Cách giải :
baab
ba
ba
D
//
//
−==


bccb
bc
bc
D
x

//
//
−==


caac
ca
ca
D
y
//
//
−==

∗
D
≠
0 : hệ có nghiệm duy nhất







=
=
D
D
y

y
D
D
x
x

∗
D = 0 và D
x

≠
0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và D
y

≠
0
∗
D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c
/

Sơ đồ: a c b
a’ c’ b'
D
D
y

D
x



NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

2
∗

∆
= b
2
– 4ac
∆
> 0
a

b
x
2
1
∆+−
=
,
a
b
x
2
2
∆−−
=

∆
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==

∆
< 0 Vô nghiệm
∗

∆

/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x
//
2
∆−−
=

∆
/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx

/
21
−==

∆
/
< 0 Vô nghiệm
Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x
1
= 1, x
2
=
a
c

a – b + c = 0 : nghiệm x
1
= –1, x
2
=
a
c
−

NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a
≠
0)
x
–

∞

a
b
−
+
∞

f(x)

Trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a





<
<∆
0
0
a

f(x) > 0,
∀
x


f(x) < 0,
∀
x



>
=∆
0
0
a




<
=∆
0

0
a

f(x) > 0,
∀
x
≠

a
b
2
−


f(x) < 0,
∀
x
≠

a
b
2
−


∆
> 0
x –
∞
x

1
x
2
+
∞

f(x)

cùng 0 true 0 cùng
dấu a


NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI CÁC SỐ
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

3
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0) và
α
,
β
là hai số thực
1/. Muốn có x
1
<

α
< x
2
ta phải có af(x) < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
>
α
ta phải có







>−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af

3/. Muốn có x
1
< x
2
<
α
ta phải có







<−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af

4/. Muốn có x
1
<
α

<
β
< x
2
ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af

5/. Muốn có x
1
<
α
< x
2
<
β
ta phải có



>

<
0)(
0)(
β
α
af
af

6/. Muốn có



<<<
<<<
21
21
xx
xx
βα
βα
ta phải có
0)()(
<
β
α
ff

7/. Muốn có
α
< x

1
< x
2
<
β
ta phải có









<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af

 Chú ý:

1/. Muốn có x
1
< 0 < x
2
ta phải có P < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> 0 ta phải có





>
>
>∆
0
0
0
S
P

3/. Muốn có x
1
< x
2

<
α
ta phải có





<
>
>∆
0
0
0
S
P

NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA

2
2
0

2/.



≥≥
=
⇔=
)0(0
22
hayBA
BA
BA
KK

NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

4
1/.





<

>
≥
⇔<
K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0

2/.










>
≥




≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0

3/.
12
12
+
+
<⇔<
K
K
BABA

NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.











≥
−=



≥
=
⇔=
0
0
B
BA
B
BA
BA

2/.



−=
=

⇔=
BA
BA
BA

Chú ý:










≤
=−



≥
=
⇔=
0
)()(
0
)()(
)()(
x

xgxf
x
xgxf
xgxf

NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA

2/.














≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA
B
BA
3/.
22
BABA >⇔>


NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Đònh nghóa :
Dạng : A > B, A
≥
B
A < B, A

≤
B
2/. Tính chất :
a)
abba
<
⇔
>

b)
ca
cb
ba
>⇒



>
>

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

5
c)
cbcaba
+
>
+
⇔

>

d)



<<
>>
⇔>
0,
0,
cbcac
cbcac
ba

e)
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>

f)
bdac
dc
ba

>⇒



>>
>>
0
0

g)






<>
><
⇒>
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba

3/. BĐT Cô Si :

Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
, , a
n

n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321
≥
++++

hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa







++++
≤


321
321

Dấu đẳng thức xảy ra
⇔
a
1
= a
2
= a
3
= = a
n

4/. BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a
1
, a
2
, a
3

, , a
n
, b
1
, b
2
, b
3
, , b
n
là những số tực khi đó:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++

Dấu đẳng thức xảy ra
⇔
a
i
= k.b
i

, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n
∈
N Ta có : (1 + a)
n

≥
1 + na
Đẳng thức xảy ra



=
=
⇔
1
0
n
a

6/. BĐT tam giác :

BABA +≤+

Đẳng thức xảy ra
⇔
AB
≥
0

NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/.
1
22
=+ xCosxSin

2/.
Cosx
Sinx
Tanx =

3/.
Sinx
Cosx
Cotx =

4/.
1.
=
CotxTanx

5/.
x
Cos
xTan
2
2
1

1 =+

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

6
6/.
x
Sin
xCot
2
2
1
1 =+

Điều kiện tồn tại :
•
Tanx là x
≠

π
/ 2 + k
π
, k
∈
Z
•
Cotx là x
≠
k

π
, k
∈
Z
•
Sinx là – 1
≤
Sinx
≤
1
•
Cosx là – 1
≤
Cosx
≤
1
Chú ý :
•
a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
•
a
3
+ b
3

= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/.
SinaSinbCosaCosbbaCos
−
=
+
)(

8/.
SinaSinbCosaCosbbaCos
+
=
−
)(

9/.
CosaSinbSinaCosbbaSin
+
=
+
)(

10/.
CosaSinbSinaCosbbaSin
−
=
−

)(

11/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
−
+
=+
1
)(

12/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
+
−
=−
1
)(

13/.
Cotb
Cota
CotaCotb
baCot
+
−
=+

1
)(

14/.
Cotb
Cota
CotaCotb
baCot
−
+
=−
1
)(

C. CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
SinaCosaaSin 22
=

16/.
aSinaCosaSinaCosaCos
2222
21122 −=−=−=

17/.
a
Tan
Tana
aTan

2
1
2
2
−
=


II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343
3
−=

19/.
aSinSinaaSin
3
433 −=

20/.
a
Tan
aTanTana
aTan
2
3
3
1
3
3

−
−
=

III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2
aCos
aSin
−
=

⇒

aSinaCos
2
221 =−

22/.
2
21
2
aCos
aCos
+
=

⇒

aCosaCos
2
221 =+

23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
−
=

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

7
24/.
4
33
3
aCosCosa
aCos
+
=

IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)
25/.
2

1
2
t
t
Sinx
+
=

26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx
+
−
=
, với
2
x
Tant =

27/.
2
1
2
t
t

Tanx
−
=

D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
2
2
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−
+
=+

29/.
2
2
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−
+
−=−

30/.

2
2
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina
−
+
=+

31/.
2
2
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina
−
+
=−

32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)(
+
=+

33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)(
−
=−

34/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)(
+
=+

35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)(
−
−
=−




E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)

36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=

37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=

38/.
[ ]
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=

F. CUNG LIÊN KẾT :
Cos đối
Cos(–
α
) = Cos
α
; Sin(–
α

) = – Sin
α

Sin bù
Sin(
π
–
α
) = Sin
α
; Cos(
π
–
α
) = – Cos
α

Phụ chéo
Sin(
π
/2 –
α
) = Cos
α
; Cos(
π
/2 –
α
) = Sin
α

Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
) = Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π
/2 +
α
) = Cos
α
; Cos(
π
/2 +
α

) = – Sin
α

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

8
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv



+−=
+=
⇔
ππ
π
2
2
kvu
kvu
k
∈
Z
Cosu = Cosv
π
2kvu
+
±

=
⇔

Tanu = Tanv
π
kvu
+
=
⇔

Cotu = Cotv
π
kvu
+
=
⇔

Sinu = 0
π
ku
=
⇔

Sinu = 1
π
π
22/ ku
+
=
⇔

Sinu = –1
π
π
22/ ku
+
−
=
⇔

Cosu = 0
π
π
ku
+
=
⇔
2/

Cosu = 1
π
2ku
=
⇔

Cosu = – 1
π
π
2ku
+

=
⇔

B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng aSinx + bCosx = c ( a
2
+ b
2

≠
0 )
Phương pháp :
Cách 1: Chia hai vế cho
22
ba +

Đặt :
αα
Sin
ba
b
Cos
ba
a
=
+
=
+
2222
;

Ta có
22
)(
ba
c
xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1
22
≤
+ ba
c


222
cba ≥+⇔

(*) Vô nghiệm khi
222
cba <+⇔


Cách 2:
•

Kiểm chứng x = (2k + 1)
π
có phải là nghiệm của phương trình hay không?
•
Xét x
≠
(2k + 1)
π
Đặt :
2
x
Tant =

Thế
2
2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx
+
−

=
+
=

Vào phương trình
⇒
t ?

⇒
x ?
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a
≠
0
0
2
=++ cbSinxxaSin
( đặt
1, ≤= tSinxt
)

0
2
=++ cbCosxxaCos
(đặt
1, ≤= tCosxt
)

0

2
=++ cbTanxxaTan
( đặt
π
π
kxTanxt +≠=
2
,
)
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

9

0
2
=++ cbCotxxaCot
( đặt
π
kxCotxt
≠
=
,
)
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)

0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)
Phương pháp :
Cách 1:
∗
Kiểm x =
π
/ 2 + k
π
có phải là nghiệm của phương trình ?
∗
Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về
dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2
xSin
SinxCosx =
thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt :

2),
4
(2
≤+=+= txSinCosxSinxt
π


0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat


t
⇒
( nếu có)

x
⇒

Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :
Đặt :
2),
4

(2
≤−=−= txSinCosxSinxt
π


0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat

⇒
t ? ( nếu có)
⇒
x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
•
A
2
+ B
2
+ + Z
2
= 0

⇔
A = B = = Z = 0
•
A
≥
0, B
≥
0, , Z
≥
0
Ta có : A + B + + Z = 0
⇔
A = B = = Z = 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*)
Nếu ta chứng minh



≥
≤
KB
KA





=
=

⇔
KB
KA
(*)

3/.





+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA

4/.
1,1 ≤≤ BA

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

10




=
=
⇔=
1
1
1
B
A
AB
hay



−=
−=
1
1
B
A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)

Hàm số Cosin

•

bcCosAcba
2
222
−+=

•

bc
acb
CosA
2
222
−+
=


Hàm số Sin

•

R
SinC
c
SinB
b
SinA

a
2
===

•

R
a
SinARSinAa
2
,2
==

Hàm số Tan
•

ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−
2
2

Các chiếu

•

cCosBbCosCa
+
=

Trung tuyến
•

4
)(2
222
2
acb
m
a
−+
=

Phân giác
•

2 .
2
a
A
bc Cos
l

b c
=
+

Diện tích

Diện tích
•

cba
chbhahS
2
1
2
1
2
1
===

•

abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===

•

prS
=

•

R
abc
S
4
=

•

))()(( cpbpappS −−−=

Chú ý:
•

2
)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp

A
Tanap
p
S
r −=−=−==

•

SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2
2
2
4
====

•
a, b, c : cạnh tam giác
•
A, B, C: góc tam giác
•
h
a

: Đường cao tương ứng với cạnh a
•
m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A
•
R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
•

2
cba
p
+
+
=
Nữa chu vi tam giác.
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

11
H
B
C
A
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•

AC
AB
BC

AH
CHBHAH
.
.
.
2
=
=



•

BCBHAB
.
2
=

•

CBCHAC
.
2
=

•

222
ACABBC +=

NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
Cho tam giác ABC :
1/.
2
2
2
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++

2/.
2
2
2
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++

3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA

=

+
+
( tam giác ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2
2
2
2
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++

5/.
1
2
.
2

2
.
2
2
.
2
=++
A
Tan
C
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan

6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin 22
222
+=++
7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos
21
222
−=++

8/.
SinCBASin
=
+
)(

CosCBACos
−
=
+
)(
;
2
2
C
Cos
BA
Sin =
+

2
2
C
Sin
BA
Cos =
+
;
2
2

C
Cot
BA
Tan =
+

9/.
8
33

≤SinCSinBSinA

10/.
8
1

≤CosCCosBCosA

11/.
8
33
2
.
2
.
2
≤
C
Cos
B

Cos
A
Cos

12/.
8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin

13/.
4
3
222
≥++ CCosBCosACos

14/.
9
4
222

≤++ CSinBSinASin

15/.
9
222
≥++ CTanBTanATan

16/.
1
2
2
2
4
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin

222
111
AC
AB
AH
+=
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2

- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

12
17/.
4
9
2
2
2
2
222
≤++<
C
Cos
B
Cos
A
Cos

18/.
1
2
2
2
222
≥++
C
Tan
B
Tan

A
Tan

19/.
9
2
2
2
222
≥++
C
Cot
B
Cot
A
Cot

20/.
2
33
222
≤++ CSinBSinASin

21/.
2
3
222
−≥++ CCosBCosACos

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC

Đònh nghóa 1: Hàm số
)(
xfy
=
gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/.
)(
xf
xác đònh tại điểm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→

Đònh nghóa 2:
)(xf
liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔
−+
→→

Đònh lý : Nếu
)(xf
liên tục trên [a, b] và
0)().(
<
bfaf

thì tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a, b)
sao cho
0)(
=
cf

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
1/. Đònh nghóa : Cho a > 0, a
≠
1 ( cố đònh). Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức :
y = a
x
( x
∈
R)
2/. Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = a
x
> 0 mọi x
∈
R
c) a > 1 : Hàm số đồng biến
21
21
xxaa
xx
<⇔<

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến

21
21
xxaa
xx
>⇔<

Chú ý :
)10(
21
21
≠<=⇔< axxaa
xx

3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1
0 x 0 x



NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a) Cho
0,1,0
>
≠

>
Naa

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a
M
= N
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

13
Ký hiệu : log
a
N = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a
≠
1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức:
y = log
a
x ( với x > 0, a > 0, a
≠
1)
2/. Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn
TC1 : log
a
N = M
⇔
a
M
= N

TC2 : log
a
a
M
= M ,
Ma
M
a
=
log

TC3 : log
a
1 = 0, log
a
a = 1
TC4 : log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N
TC5 :
NM
N
M
aaa
logloglog −=

TC6 : Đổi cơ số

a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;
log
log
log
==

3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1
0 x 0 x

4/. Phương trình Logarit :

)()()(log)(log xgxfxgxf
aa

=⇔=

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a
≠
1 )
5/. Bất phương trình Logarit :

(*))(log)(log xgxf
aa
<





<
>
→←
>
)()(
0)(
(*)
1
xgxf
xf
a






>
>
 →←
<<
)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0

∈
( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x
0
nếu giới
hạn
0→∆
∆
∆
xkhi
x
y
tồn tại.

x
xfxxf
x
y
xf
xx
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)(
00
00
0
'

∗
Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x
∆
∆
=

−
→∆
−
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
∗
Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
∆
∆
=
+
→∆
+
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x
0

∈

(a, b)
⇔
f
‘
(x
0
+
) = f
’
(x
0
–
)
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

14
II/. Qui tắc tính đạo hàm :
1/.
''''
) ( cbacba +++=+++

2/.
'''
)( babaab +=


''''
)( cbacbacbaabc ++=

3/.
2
''
'
b
abba
b
a −
=






( b
≠
0)

)(.)(
''
Rcuccu ∈=

2
'
'
1
u
u
u

−=







III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
TT

Hàm số Đạo hàm
1
y = c y
’
= 0
2
y = x y
’
= 1
3
α
xy =
α
uy =
1'
.
−
=
α

α
xy
'1'
uuy
−
=
α
α

4
x
y
1
=
xy =


uy =

2
'
1
x
y −=

x
y
2
1
'

=

u
u
y
2
'
'
=

5
Sinuy
Sinxy
=
=

Cosuuy
Cosxy
.
''
'
=
=

6
Cosxy
=

Cosuy
=

Sinxy −=
'

Sinuuy
.
''
−=

7

Tanxy
=


Tanuy
=

x
Cos
y
2
'
1
=

u
Cos
u
y

2
'
'
=

8

Cotxy
=


Cotuy
=

x
Sin
y
2
'
1
−=

u
Sin
u
y
2
'
'
−=

9
arcSinxy
=

2
'
1
1
x
y
−
=

10
arcCosxy
=

2
'
1
1
x
y
−
−=

11
arcTanxy
=

2
'
1
1
x
y
+
=

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 15
12
arcCotxy
=

2
'
1
1
x
y
+
−=

13
x
ay =

u

ay =

Lnaay
x
=
'

Lnaauy
u

''
=

14
u
ey =

u
ey =

x
ey =
'

u
euy
''
=

15

Lnxy
=



Lnuy
=

x
y
1
'
=

u
u
y
'
'
=

16
xLny =


uLny =

x
y
1

'
=

u
u
y
'
'
=

17
xy
a
log
=

xLna
y
1
'
=

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x =
c , c
∈
(a, b)
f(b) – f(a) = f
‘
(c)(b – a)

NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :

[ ]
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(

với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :

∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ].[

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :

[ ]
∫∫

=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
)(.)()(
'

với x =
ϕ
(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm
ϕ
’
(t) liên tục trên [a, b] ,
α

≤
t
≤

β

a =
ϕ
(
α
), b =
ϕ

(
β
), f[
ϕ
(t)] là hàm số liên tục trên [
α
,
β
]
4/. Tính chất :
a)
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(

b)
0)( =
∫
a
a
dxxf

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 16
c)
∫∫∫

+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(

d)
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

e)
∫ ∫
∈=
b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(

f) Nếu m

≤
f(x)
≤
M thì

)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫




5/. Bảng tích phân :
TT

Công thức
1
)1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫
α
α
α

α
c
x
dxx

2
c
bax
a
dxbax +
+
+
=+
∫
+
1
)(
.
1
)(
1
α
α
α

3
∫
≠+
−
−=

−
)1(
)1(
11
1
α
α
αα
c
x
dx
x

4
∫
≠+
+−
−=
+
−
)1(
))(1(
1
)(
1
α
α
αα
c
baxabax

dx

5
∫
+= cxLn
x
dx

6
∫
++=
+
cbaxLn
a
b
ax
dx
1

7
∫
∈+= RKcKxKdx
,
8
∫
+= cedxe
xx

9
∫

+=
++
ce
a
dxe
baxbax
1

10
∫
+= c
Lna
a
dxa
x
x

11
∫
+−= cCosxSinxdx

12
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin
)(
1
)(
13

∫
+= cSinxCosxdx

14
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos
)(
1
)(
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 17
15
∫
+= cTanx
x
Cos
dx
2

16
∫
+−= cCotx
x
Sin
dx
2

17

∫
+=
+
carcTanx
x
dx
1
2

18
∫
+=
+
c
a
x
arcTan
a
a
x
dx
1
22

19
∫
+
+
−
=

−
c
ax
ax
Ln
a
ax
dx
2
1
22

20
∫
+
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
a
xa
dx
2
1
22

21
∫
>+=
−
)0(
22
ac
a
x
arcSin
xa
dx

22
chxxLn
hx
dx
+++=
+
∫
2
2

23
∫
>++−=−
)0(
2
2
2

2222
ac
a
x
arcSin
a
xa
x
dxxa

24
chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+
∫
222
2
2

NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP
1/. Hoán vò :
!
nP
n
=

2/. Tổ hợp :
)!(!

!
KnK
n
C
K
n
−
=


Kn
n
K
n
CC
−
=


1
0
==
n
n
n
CC


K
n

K
n
K
n
CCC =+
−
−−
1
11


nn
nnn
CCC 2
10
=+++

3/. Chỉnh hợp :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K
n
≤≤
−
=

NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗
Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z
±
z’ = ( a
±
a’) + ( b
±
b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗
z = r.(Cos
α
+ i.Sin
α
)
z’ = r’(Cos
β
+ i.Sin
β
) z, z’
≠
0
z.z’ = r.r’[Cos(
α
+

β
) + i.Sin(
α
+
β
)]

)]()([
'
'
βαβα
−+−= iSinCos
r
r
z
z

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

18
2/. MoaVrơ :

)()]([
αααα
iSinnCosnriSinCosr
nn
+=+

3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos

α
αα
α
+ i.Sin
α
αα
α
) :

)
2
.
2
(
n
K
Sini
n
K
CosrZ
n
K
π
α
π
α
+
+
+
=

với K = 0, 1, 2, , n – 1




NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•

→→→
+=⇔
21
),( yexeOMyxM

•
Cho A( x
A
, y
A
)
B( x
B
, y
B
)
1).
),(
ABAB
yyxxAB −−=

→

2).
2
),(
ABAB
yyxxAB −−=

3). Tọa độ trung điểm I của AB :







+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x

4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k

≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k
yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.

• Phép toán : Cho ),(
21
aaa =

→

),(
21
bbb =
→

1).



=
=
⇔=
→→
22
11
ba
ba
ba

2).
),(
2211
bababa ±±=±
→→

3).
),(.
21

mamaam =
→

4).
2211
bababa +=
→→

5).
2
2
2
1
aaa +=
→

6).
0
2211
=+⇔⊥
→→
bababa
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 19
7).
2
2
2
1
2

2
2
1
2211
.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=






→→

B. ĐƯỜNG THẲNG
1/. Phương trình tham số :



+=
+=
tayy
taxx
20

10

Vectơ chỉ phương
),(
21
aaa =
→



2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
≠≠
≠
0)
• Pháp vectơ ),( BAn =
→

y

• Vectơ chỉ phương ),( ABa −=
→
( hay ),( ABa −=
→
)
• Hệ số góc )0( ≠−= B

B
A
K

0

x

3/. Phương trình pháp dạng :
0
222222
=
+
+
+
+
+ BA
C
y
BA
B
x
BA
A

4/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0
) có hệ số góc K :

)(
00
xxKyy −=−
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) :
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B
– x
A
)
hay
AB
A
AB
A

yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−

6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)
1=+
b
y
a
x

7/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00
−
=
−








=
→
),(),,(
00
baayxM

* Quy ước :
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx


0
0
0
00
=−⇔
−
=

−
yy
yy
a
xx

8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :
1=+
b
y
a
x

9/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến Ax + By + C = 0 :
22
00
BA
CByAx
+
++

10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B

1
y + C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 20

2
1
2
1
B
B
A
A
D =


2
1
2

1
B
B
C
C
D
x
−
−
=


2
1
2
1
C
C
A
A
D
y
−
−
=

* d
1
cắt d
2

0
≠
⇔
D
*



≠
=
⇔
0
0
//
21
x
D
D
dd
hay



≠
=
0
0
y
D
D

*
0
21
===⇔≡
yx
DDDdd
Chú ý :
A
2
, B
2
, C
2

≠
0
d
1
cắt d
2

2
1
2
1
B
B
A
A

≠⇔


2
1
2
1
2
1
21
//
C
C
B
B
A
A
dd ≠=⇔


2
1
2
1
2
1
21
C
C
B

B
A
A
dd ==⇔≡

11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=
ϕ

12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1

và d
2
:

2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++

* Chú ý :
Dấu của
→→
21
nn
Phương trình đường phân

giác góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2

Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d
1
, d
2

– t
1
= t
2
t
1
= – t
2

+ t
1
= – t
2
t
1
= t
2

C. ĐƯỜNG TRÒN :

1/. Đònh nghóa : M
∈ (c) ⇔ OM = R
2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :
Dạng 1 :
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
− + − =

Dạng 2 :
2 2
2 2 0
x y ax by c
+ − − + =

Với
2 2 2
0
R a b c
= + − ≥

3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x
0
, y
0
)
(x
0
– a).(x – a) + (y
0

– b).(y – b) = R
2
( Dạng 1)
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0 ( Dạng 2)
D. ELIP
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 21
PT chính tắc

Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
>

2 2

2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
<

Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
– b
2
c
2
= b
2
– a
2

Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F

1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=

c
e
b
=

Đường chuẩn
a

x
e
= ±

b
y
e
= ±

Bán kính qua tiêu
MF
1
= a + ex
MF
2
= a – ex
MF
1
= b + ey
MF
2
= b – ey
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2

1
x x y y
a b
+ =

0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =

Pt hình chữ nhật cơ
sở
x a
y b
= ±


= ±


x a
y b
= ±


= ±


Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0

A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2

E. HYPEBOL
PT chính tắc

Lý thuyết
2 2
2 2

1
x y
a b
− =

2 2
2 2
1
y x
b a
− =

Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= a
2
+ b
2

Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F

2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh A
1,2
( ± a, 0) B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=

c
e
b
=

Đường chuẩn
a
x
e
= ±

b
y

e
= ±

Tiệm cận
b
y x
a
= ±
b
y x
a
= ±
Bán kính qua tiêu
M
∈
nhánh phải
MF
1
= ex + a
MF
2
= ex – a
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ex + a)
M
∈

nhánh phải
MF
1
= ey + b
MF
2
= ey – b
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ey + b)
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 22
MF
2
= – (ex – a) MF
2
= – (ey – b)
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y

a b
− =

0 0
2 2
1
y y x x
b a
− =

Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0

A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2
B
2
b
2
– A
2
a

2
= C
2

F. PARAPOL
Pt chính tắc
Lý thuyết
y
2
= 2px y
2
= – 2px y
2
= 2py y
2
= – 2py
Tiêu điểm
,0
2
p
F
 
 
 

,0
2
p
F
 

−
 
 

0,
2
p
F
 
 
 

0,
2
p
F
 
−
 
 

Đường chuẩn
2
p
x
= −

2
p
x

=

2
p
y
= −

2
p
y
=

Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0

B
2
p = 2AC B
2
p = – 2AC A
2
p = 2BC A
2
p = – 2BC
NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•

( )
1 2 3

, ,
M x y z OM x e y e z e
→ → → →
⇔ = + +

•

1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , )
a a a a a a e a e a e
→ → → → →
= ⇔ = + +

•
Cho
( , , ), ( , , )
A A A B B B
A x y z B x y z

1).
( , , )
B A B A B A
AB x x y y z z
→
= − − −

2).
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A

AB x x y y z z
= − + − + −

3). Tọa độ trung điểm I của AB :
2
2
2
A B
A B
A B
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=




4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k
≠
1 :
1
1
1
A B
A B
A B
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
+

=

−

+

=


−

+

=

−


•
Phép toán : Cho
1 2 3
( , , )
a a a a
→
=


1 2 3
( , , )
b b b b
→
=

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

23
1).
1 1

2 2
3 3
a b
a b a b
a b
→ →
=


= ⇔ =


=


2).
1 1 2 2 3 3
( , , )
a b a b a b a b
→ →
± = ± ± ±

3).
1 2 3
( , , )
m a ma ma ma
→
=

4).

1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
→ →
= + +

5).
2 2 2
1 2 3
a a a a
→
= + +

6).
1 1 2 2 3 3
0
a b a b a b a b
→ →
⊥ ⇔ + + =

7).
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
,
.
a b a b a b
Cos a b
a a a b b b
→ →
+ +

 
=
 
 
+ + + +

8). Tích vô hướng của hai Vectơ

3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, , ,
a a
a a a a
a b
b b b b b b
→ →
 
 
=
 
 
 
 
 

Điều kiện đồng phẳng :

, ,
a b c

→ → →
Đồng phẳng
, 0
a b c
→ → →
 
⇔ =
 
 

* Diện tích tam giác ABC :
1
,
2
S AB AC
→ →
 
=
 
 

B. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :
1/. Phương trình tham số :
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,( , )
x x a t b t
y y a t b t t t R
z z a t b t

= + +


= + + ∈


= + +


Cặp Vectơ chỉ phương ( VCP)
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )
a a a a b b b b
→ →
= =

2/. Phương trình tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0

( , , )
n A B C
→
=
Vectơ pháp tuyến ( VPT)
Đặc biệt :
•
By + Cz + D = 0 song song trục ox
•
Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy
•

Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ
•
By + Cz = 0 chứa trục ox
•
z = 0 mặt phẳng oxy
3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x
0
, y
0
, z
0
) ,có VPT
( , , )
n A B C
→
=
là:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

24
4/. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ:
1

x y z
a b c
+ + =


5/. Cho
α : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
β: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
a/. Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :

1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.

A A B B C C
Cos
A B C A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +

b/. Vuông góc :
1 2 1 2 1 2
0
A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =

c/. Vò trí tương đối :
•

α
cắt
β

1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
⇔ ≠

•

1 1 1 1

2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =

•

1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠

Với A
2
, B
2
, C
2
, D
2

≠
0
d/. Phương trình của chùm mặt phẳng có dạng

1 1 1 1 2 2 2 2

( ) ( ) 0
m A x B y C z D n A x B y C z D
+ + + + + + + =

Với m
2
+ n
2

≠
0 và
α
cắt
β

C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
1/. Phương trình tham số :
0 1
0 2
0 3
,
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈



= +


Với
1 2 3
( , , )
a a a a
→
=
Vectơ chỉ phương
2/. Phương trình tổng quát :

1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


Với
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C

≠


2 2 2
1 1 1
0
A B C
+ + >


2 2 2
2 2 2
0
A B C
+ + >

d có Vectơ chỉ phương là
1 2
,
a n n
→ → →
 
=
 
 

3/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A

, z
A
), B(x
B
, y
B
, z
B
) là

A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −

D. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1/. Hai đường thẳng :
d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )
a a a a

→
=

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

25

'
d
qua
' ' '
0 0 0
( , , )
N x y z
có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )
b b b b
→
=

* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng
, . 0
a b MN
→ → →
 
⇔ =
 
 

* d chéo d’
, . 0
a b MN
→ → →
 
⇔ ≠
 
 

* Góc giữa d và d’ là :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a b a b a b
Cos
a a a b b b
ϕ
+ +
=
+ + + +

2/. Đường thẳng và mặt phẳng :
•
d qua M(x
0
, y
0
, z

0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )
a a a a
→
=

•
mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến
( , , )
n A B C
→
=

* d // (
α
)
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →


=
⇔


+ + + ≠



* d cắt (
α
)
. 0
a n
→ →
⇔ ≠

* d
α
⊂

0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →


=
⇔

+ + + =




* d
α
⊥

1 2 3
: : : :
a a a A B C
⇔ =

* Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi công thức

1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
.
a A a B a C
Sin
a a a A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +


E. KHOẢNG CÁCH :
1/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y

0
, z
0
) đến Ax + By + Cz + D = 0

0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +

2/. Khoảng cách từ một điểm N(x’
0
, y’
0
, z’
0
) đến một đường thẳng d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) và
có VCP là
1 2 3
( , , )
a a a a
→

=
là :

,
MN a
a
→ →
→
 
 
 

3/. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau d và d’ :
,
,
a b MN
a b
→ → →
→ →
 
 
 
 
 
 