de cuong on tap khoi 10 ban co ban hoc ki II

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II
TOÁN 10 – NĂM 2009-2010
I.ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2. Giải bất phương trình
2
2
) 0 ) – 6 9 5
3 1
) 12 3 1 10 ) 2
2 1
2 1 1
) 0 )
3 1 1 2
a b x x
x
c x x d
x
x
e f
x x x
> + − >
− +
− + + < − ≤ −
+
+
≤ >
+ − −
(5 -x)(x - 7)
3. Giải bất phương trình
) 3 1 ) 5 8 11

) 3 5 2
a x b x
c x
− ≥ − − ≤
− <
4) Giải hệ bất phương trình sau
( )
5 1
6 4 7 15 2 2
7 3
) )
8 3 3 14
2 5 2 4
2 2
3 1 2 7
)
4 3 2 19
x x x x
a b
x x
x x
x x
c
x x
 
+ < + − > +
 
 
 
+ −

 
< + − <
 
 
+ ≥ +


+ < +


1. Xét dấu biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
) 2 1 5 7
5 8
) ) 3 2 5
3
) 4 4 ) 8 4 4
a f x x x x
x
b g x c h x x x
x
d k x x x e l x x x
= − − −
+
= =− + +
−

= − + = − +
5) Với giá trị nào của m, phương trình sau
có nghiệm?

( )
2
2
) 3 3 2 0
)( 1) 2( 3) 2 0
a x m x m
b m x m x m
+ − + − =
− − + − + =

6) Cho phương trình :
2
( 5) 4 2 0m x mx m− − + − =
Với giá nào của m thì :
a) Phương trình vô nghiệm
b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
7) Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là
¡
:
2 2
2
) 2 ( 9) 3 4 0
) 3 ( 6) 5 0
a x m x m m
b x m x m
− − + + + ≥

− − − + − ≤
CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
1. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44 44 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 54
54 54 50 50 50 50 48 48 48 48
48 48 48 48 48 48 50 50 50 50
a/Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm
từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156
148 148 158 155 149 152
152 150 160 150 163 171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165);
[165; 175].
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
3. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra
học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau:
2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10.
a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau
khi đã làm tròn).
b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên.
4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây )

a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp :
[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]
b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh.
c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố.
5. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở
bảng sau:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Số khách 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình
b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. a) Cho sinα =
5
3
; và
πα
π
<<
2
.Cho Tính cosα, tanα, cotα.
b) Cho tanα = 2 và
2
3
π
απ
<<
Tính sinα, cosα.
2. a) Cho cosα =
12
13

−
; và
πα
π
<<
2
. Tính
sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2
α α α α
b) Cho cotα = 2 và
0
4
π
α
< <
. Tính
sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2
α α α α
.
c) Cho
1
sin cos
5
α α
− =
. Tính
sin 2 , cos 2
α α
.
3. a) Cho sinα =

5
9
−
; và
πα
π
<<
2
. Tính
sin , cos , tan , cot
2 2 2 2
α α α α
.
b) Cho cos α =
5
13
và
3
2
2
π
α π
< <
. Tính
sin , cos , tan , cot
2 2 2 2
α α α α
.
4. Chứng minh rằng:
( ) ( )

( ) ( )
3 3
2 2 2 2
2 6
2 2 2
2 2
2 2 3 3
) 1 tan sin 1 tan cos sin cos
sin 2cos 1 sin tan
) sin ) tan
cot cos cot
) cot tan cot tan 4 ) cos 4 sin 4 1 2sin 2
sin cos tan 1 sin cos
) ) 1
1 2sin cos tan 1 sin cos
a
b c
d e
f g
α α α α α α
α α α α
α α
α α α
α α α α α α α
α α α α α
α α α α α
+ + + = +
+ − −
= =
−

+ − − = − = −
− − +
= =
+ + +
2
2
2
sin cos
4sin 1 cos sin
) 16cos ) cot
2 1 cos sin 2
1 cos
2
sin 2 sin
) tan
1 cos 2 cos
h k
l
α α
α α α α α
α
α α
α α
α
α α
−
+ −
= = −
− −
−

+
=
+ +
5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
( )
)sin sin ) sin cos
2 2
A B C
a A B C b
+
 
+ = =
 ÷
 

6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
0 0 0 0
0 0 0
3 tan30 cos60 cot 30 2 2 sin 45
)
6 sin90 .cos 45 sin 60
2 tan sin cos 3cot
6 2
6 4 6 4
) ) 3 cot sin cos
3 2 5
2 3 3 6
2sin 6cos 5tan
4 3 6
a P

b Q c R
π π π π
π π π
π π π
− −
=
− +
= = −
+ −
7. Chứng minh rằng:
( )
0 0 0 0 0 0
0 0
4
1
) cos cos cos cos3 ) 5 2sin cos 4 cos 2 sin
3 3 4
sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 60 sin 70 13 sin sin3 sin5
) ) tan3
cos10 cos50 6 cos cos3 cos5
3 4cos 2 cos 4
) tan
3 4cos2 cos4
a x b Sin
c d
e
π π
α α α α α α α α
α α α
α

α α α
α α
α
α α
   
− + = − + =
 ÷  ÷
   
+ +
= =
+ +
− +
=
+ +
II.HÌNH HỌC.
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
1.Tích vô hướng của hai vectơ.
Định nghĩa
Tính chất của tích vô hướng.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Độ dài của vectơ và khoảng cách
giữa hai điểm.
2. Các hệ thức lượng trong tam giác
Định lí côsin, định lí sin.
Độ dài đường trung tuyến trong
một tam giác.
Diện tích tam giác.
Giải tam giác.
CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.Phương trình đường thẳng

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường
thẳng.
Góc giữa hai vectơ.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường
thẳng.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt
nhau, song song, trùng nhau, vuông
góc với nhau.
Khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng.
2.Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn với tâm cho
trước và bán kính cho trước.
Nhận dạng phương trình đường tròn.
Phương trình tiếp tuyến của đường
tròn.
®Ị c¬ng «n tËp khèi 10
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC có
µ
0
60A =
, cạnh CA = 8, cạnh AB = 5
1) Tính cạnh BC
2) Tính diện tích tam giác ABC
3) Xét xem góc B tù hay nhọn
4) Tính độ dài đường cao AH

5) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 2. Cho tam giác ABC có a = 13 ; b = 14 ; c = 15
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Góc B nhọn hay tù
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam
giác
d) Tính độ dài đường trung tuyến m
a

Bài 3 Cho tam giác ABC có a = 3 ; b = 4 và góc C = 60
0
; Tính các góc A, B, bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến m
a
.
Bài 4 Viết phương trình tổng qt, phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường
hợp sau:
a) Đi qua A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0.
b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và N(3;2).
c) Đi qua điểm P(2;1) và vng góc với đường thẳng x - y + 5 = 0.
Bài 5. Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).
Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.
Bài 6. Cho tam giác ABC có: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết phương trình tổng quát của:
a) 3 cạnh AB, AC, BC
b) Đường thẳng qua A và song song với BC
c) Trung tuyến AM và đường cao AH của tam giác ABC
d) Đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với AC
e) Đường trung trực của cạnh BC
Bài 7. Cho tam giác ABC có: A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).:
a) Viết phương trình tổng quát của 3 cạnh AB, AC, BC

b) Viết phương trình đường trung bình song song cạnh AB
c) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai trục tọa độ tại M,N sao cho AM = AN
d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân đường cao kẻ từ A trong tam giác ABC
Bài 8. Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và
a) đi qua điểm A(3;5).
b) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình x + y = 1.
Bài 9. Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình:
x
2
+ y
2
- 4x - 6y + 9 = 0.
Bài 10. Cho đường tròn có phương trình:
Tổ Tốn Trường THPT Đức Trí 5
®Ị c¬ng «n tËp khèi 10
x
2
+ y
2
- 4x + 8y - 5 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1;0).
Bài 11. Viết phương trình đường tròn (C) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc với
(d): x + 3y + 2 = 0 tại điểm B(1 ; –1)
Bài 12 : Cho đường thẳng d :
2 4 0x y− + =
và điểm A(4;1)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A xuống d
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d
Bài 13 Cho đường thẳng d :
2 2 0x y− + =

và điểm M(1;4)
a) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên d
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d
Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số :
2 2
3
x t
y t
= +


= +

a) Tìm điểm M trên d sao cho M cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
b) Tìm giao điểm của d và đường thẳng
: 1 0x y∆ + + =
Bài 15 Tính bán kính đường tròn tâm I(3;5) biết đường tròn đó tiếp xúc với đường thẳng
:3 4 4 0x y∆ − − =

PHƯƠNG PH P TỐ Ạ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
Chuyªn ®Ị 1 : VÐc tơ và tọa độ vÐc tơ.
A. tãm t¾t lÝ thut.
I. Hệ Trục toạ độ
II. Tọa độ vÐc tơ.
1. Đị nh ngh ĩ a .

( ; )u x y u xi y j= ⇔ = +
r r r r
2. C¸c tÝnh ch ấ t .
Trong mặt phẳng

Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y= =
r r
, ta cã :
a.
( '; ')u v x x y y+ = + +
r r
b.
( ; )ku kx ky=
r
.
c.
. ' 'u v xx yy= +
r r
.
d.
2
2 2 2 2
' ' .u x x u x x= + ⇒ = +
r r
e.
. 0 ' ' 0.u v u v xx yy⊥ ⇔ = ⇔ + =
r r r r
f
,u v
r r
cïng phương
.
' '

x y
x y
⇔ =
g.
'
'
x x
u v
y y
=

= ⇔

=

r r
.
3. VÝ d ụ .
VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cđa vÐc tơ sau :
;a i= −
r r

5 ;b j=
r r

3 4 ;c i j= −
r r r

1
( );

2
d j i= −
ur r r

0,15 1,3 ;e i j= +
r r r

0
(cos24 ) .f i j
π
= −
ur r r
VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ :
(2;1); (3;4); (7;2)a b c= = =
r r r
.
a. T×m toạ độ của vÐc tơ
2 3 .u a b c= − +
r r r r
b. T×m toạ độ của vÐc tơ
x
r
sao cho
.x a b c+ = −
r r r r
Tổ Tốn Trường THPT Đức Trí 6
đề cơng ôn tập khối 10
c. Tìm các s
,k l

c ka lb= +
r r r
.
Ví dụ. Trong mt phng to
Oxy
cho các véc t :
(3;2); ( 1;5); ( 2' 5)a b c= = =
r r r
.
a. Tìm to của véc t sau

2 4 .u a b c= +
r r r r

2 5v a b c= + +
r r r r
;
w 2( ) 4 .a b c= + +
uur r r r
b. Tìm các s
,x y
sao cho
.c xa yb= +
r r r
c. Tính các tích vô hng
. ; . ; ( ); ( )a b b c a b c b a c+
r r r r r r r r r r
Ví d 4. Cho
1
5 ; 4 .

2
u i j v ki j= =
r r r r r r
Tìm
k

,u v
r r
cùng phng.
III. To ca im.
1. nh ngh a .
( ; ) ( ; ) .M x y OM x y OM xi y j= = = +
uuuur uuuur r r
2. M i liên h gi a to i m v to c a véc t .
Trong mt phng to
Oxy
cho hai im
1 1 2 2 3 3
( ; ); ( ; ); ( ; )A x y B x y C x y
. Khi đó:
a.
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
( ; ) ( ) ( )AB x x y y AB x x y y= = +
uuur uuur
.
b. To trung im
I
ca on
AB

l :
1 2 1 2
( ; )
2 2
x x y y
I
+ +
.
c. To trng tâm
G
ca
ABC
l :
1 2 3 1 2 3
( ; )
3 3
x x x y y y
G
+ + + +
.
d. Ba im
, ,A B C
thng hng
,AB AC
uuur uuur
cùng phng.
3. Ví d .
Ví d 1. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.

a. Chng minh ba im không thẳng hng.
b. Tính chu vi
ABC

.
c. Tìm ta trc tâm
H
.
Ví d 2. Cho ba im
( 3;4), (1;1), (9; 5)A B C
.
a. Chng minh
, ,A B C
thẳng hng.
b. Tìm to
D
sao cho
A
l trung im ca
BD
.
c. Tìm to iểm
E
trên
Ox
sao cho
, ,A B E
thẳng hng.
Ví d 3. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C

.
a. Chng minh ba im
, ,A B C
to thnh tam giác.
b. Tìm to trng tâm
ABC

.
c. Tìm to im
E
sao cho
ABCE
l hình bình hnh.
đờng thẳng.
Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng.
A. kiến thức cơ bản.
I. Véc tơ chỉ ph ơng và véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng.
1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ
0n
r r
đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng

nếu nó có
giá


.
2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ
0u
r r

đợc gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng

nếu nó có
giá song song hoặc trùng với đờng thẳng

.
* Chú ý:
T Toỏn Trng THPT c Trớ 7
đề cơng ôn tập khối 10
- Nếu
;n u
r r
là véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

thì
0k

các véc tơ
;kn ku
r r
cũng tơng
ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

.
- Nếu
( ; )n a b=
r
là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

thì véc tơ chỉ phơng là

( ; )u b a=
r
hoặc
( ; )u b a=
r
.
- Nếu
1 2
( ; )u u u=
r
là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

thì véc tơ pháp tuyến là
2 1
( ; )n u u=
r
hoặc
2 1
( ; )n u u=
r
.
II. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ pháp tuyến
);( ban =

r
. Khi đó
phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi phơng trình :

0)()(
00
=+ yybxxa
(1). (
.0
22
+ ba
)
III. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ chỉ phơng
);(
21
uuu =
r
. Khi đó
phơng trình tham số của

đợc xác định bởi phơng trình :

+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
(2) . (
.Rt

)
* Chú ý : Nếu đờng thẳng

có hệ số góc k thì có véc tơ chỉ phơng là
);1( ku =
r
IV. Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng quát và ph ơng trình tham số .

1. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (1) thì
);( ban =

r
. Từ đó đờng thẳng

có vtcp là
);( abu =

r
hoặc
);( abu =

r
.
Cho
0
xx =
thay vào phơng trình (2)
.
0
yy =
Khi đó ptts của

là :




=
+=
atyy
btxx
0
0
(
t Ă
).

2. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (2) thì vtcp
);(
21
uuu =

r
. Từ đó đờng thẳng

có vtpt là
);(
12
uun =

r
hoặc
);(
12
uun =

r
. Và phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi :

0)()(
0102
= yyuxxu
.

* Chú ý :
- Nếu
0
1
=u
thì pttq của

là :
0
0
= xx
.
- Nếu
0
2
=u
thì pttq của

là :
.0
0
= yy
B. bài tập cơ bản.
I. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có một vtcp
1 2

( ; )u u u=
r
.
Ví dụ 1 : Viết phơng trình đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1; 2)M
và có một vtcp
(2; 1)u =
r
.
b. Đi qua hai điểm
(1;2)A
và
(3;4)B
;
( 1;2)A
và
( 1;4)B
;
(1;2)A
và
(3;2)B
.
c. Đi qua
(3;2)M
và
1 2
// : ( )

x t
d t
y t
= +



=

Ă
.
d. Đi qua
(2; 3)M
và
: 2 5 3 0d x y + =
.
II. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có một vtpt
( ; )n a b=
r
.
Ví dụ 2 : Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1;2)M

và có một vtpt
(2; 3)n =
r
.
b. Đi qua
(3;2)A
và
// : 2 1 0.d x y =
T Toỏn Trng THPT c Trớ 8
đề cơng ôn tập khối 10
c. Đi qua
(4; 3)B
và
1 2
: ( )
x t
d t R
y t
= +



=

Ă
.
III. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0

( ; )M x y
và có hệ số góc k cho trớc.
+ Phơng trình đờng thẳng

có dạng
y kx m= +
.
+ áp dụng điều kiện đi qua
0 0
( ; )M x y
m
.
Ví dụ 3 : Viết phơng trình đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
( 1;2)M
và có hệ số góc
3k
=
.
b. Đi qua
(3;2)A
và tạo với chiều dơng trục
Ox
góc
0
45
.
III. Luyện tập.

1. Viết phơng trình đờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(3;2)A
và
( 1; 5)B
;
( 3;1)M
và
(1; 6)N
;
b. Đi qua
A
và có vtcp
u
r
, nếu :
+
(2;3)A
và
( 1;2)u =
r
.
+
( 1;4)A
và
(0;1)u =
r
.

c. Đi qua
(3; 1)A
và
// : 2 3 1 0d x y+ =
.
d. Đi qua
(3;2)M
và
(2;2)n =
r
.
e. Đi qua
(1;2)N
và

với :
+ Trục
Ox
.
+ Trục
.Oy
f. Đi qua
(1;1)A
và có hệ số góc
2k =
.
g. Đi qua
(1;2)B
và tạo với chiều dơng trục
Ox

góc
0
60
.
2. Viết phơng trình các cạnh
ABC
biết :
a.
(2;1); (5;3); (3; 4).A B C
b. Trung điểm các cạnh là :
( 1; 1); (1;9); (9;1).M N P
c.
( 4; 5)C
và hai đờng cao
( ) :5 3 4 0;( ):3 8 13 0AH x y BK x y+ = + + =
.
d.
( ): 5 3 2 0AB x y + =
và hai đờng cao
( ) : 4 3 1 0;( ): 7 2 22 0AH x y BK x y + = + =
.
e.
(1;3)A
hai trung tuyến
( ) : 2 1 0;( ) : 1 0BM x y CN y + = =
.
f.
(4; 1)C
đờng cao
( ) : 2 3 0AH x y =

trung tuyến
( ) : 2 3 0.BM x y+ =
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
A. tóm tắtlí thuyết.
I. Bài toán: Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai đờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song song hay rùng nhau ?
Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
II. Phơng pháp.
1. Cách 1:
Nếu
1 2
1 2
a a

b b

thì hai đờng thẳng cắt nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
=
thì hai đờng thẳng song song nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
= =
thì hai đờng thẳng trùng nhau.
2. Cách 2:
T Toỏn Trng THPT c Trớ 9
đề cơng ôn tập khối 10
Xét hệ phơng trình
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =

+ + =

(1)
Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đờng thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ.
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau.
Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi
( )
;x y
thì hai đờng thẳng trùng nhau.
* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
b. bài tập cơ bản.
I. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
: 2 0; :2 3 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
1 4
: 2 4 10 0; : ( )
2 2
x t
x y t
y t
=

+ =

= +

Ă
c)
1
1 5 6 5 '
: ( ) : ( ' )
2 4 2 4 '
2
x t x t
t t
y t y t
= = +



= + =

Ă Ă
II. Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
2 2
1 2
: ( 3) 2 1 0; : ( 1) 0m x y m x my m + + = + + =
Tìm
m
để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 1 0; : 2 0mx y m x my + = + + =
Biện luận theo

m
vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
III. Luyện tập.
Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
:8 10 12 0; : 4 3 16 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
5
:12 6 10 0; : ( )
3 2
x t
x y t
y t
= +

+ =

= +

Ă
c)
1
6 5 '
: ( ) : ( ' )
1 2
2 4 '
10 5

2
x t
x t
t t
y t
y t
=

= +




=
= +



Ă Ă
Bài 2: Biện luận theo
m
vị trí các cặp đờng thẳng sau
a)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y m x my m + = + =
b)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y x my m + + = + + + =
Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.
A. tóm tắt lí thuyết.

I. Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng
1 2
;
cắt nhau. Khi đó góc giữa
1 2
;
là góc nhọn và đợc kí
hiệu là:
( )
1 2
,
.
* Đặc biệt:
- Nếu
( )
1 2
, 90
o
=
thì
1 2

.
- Nếu
( )
1 2
, 0
o
=
thì

1 2
//
hoặc
1 2

.
II. Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ.
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
T Toỏn Trng THPT c Trớ 10
đề cơng ôn tập khối 10
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
Khi đó góc giữa hai đờng thẳng
( )
1 2

,
đợc xác định theo công thức:
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
=
+ +
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phơng của chúng.
b. bài tập cơ bản.
I. Xác định góc giữa hai đờng thẳng.
Ví dụ: Xác định góc giữa hai đờng thẳng
1 2
: 4 2 6 0; : 3 1 0x y x y + = + =
( )
1 2
:3 2 1 0; :
7 5
x t
x y t
y t
=

+ =

=

Ă
( ) ( )
1 2
'
: : '
9 1
1 3
'
5 5
2 2
x t
x t
t t
y t
y t
=
=





=
= +



Ă Ă

II. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc và tạo với đờng thẳng cho trớc một góc
cho trớc.
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng
:3 2 1 0d x y + =
và
( )
1;2M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d
một góc
45
o
.
Ví dụ 2: Cho
ABC

cân đỉnh
A
. Biết
( ) ( )
: 1 0; : 2 3 5 0AB x y BC x y+ + = =
.
Viết phơng trình cạnh
AC
biết nó đi qua

( )
1;1M
.
Ví dụ 3: Cho hình vuông
ABCD
biết
( )
3; 2A
và
( )
: 7 27 0BD x y+ =
.
Viết phơng trình các cạnh và các đờng chéo còn lại.
III. Luyện tập.
Bài 1: Xác định góc giữa các cặp đờng thẳng sau
a)
1 2
: 2 5 0; :3 0x y x y + = =
b)
1 2
: 2 4 0; : 2 6 0x y x y + + = + =
c)
1 2
: 4 2 5 0; : 3 1 0x y x y + = + =
Bài 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 3 7 0; : 1 0x y mx y + = + + =
Tìm
m
để

( )
1 2
, 30
o
=
.
Bài 3: Cho đờng thẳng
: 2 3 0d x y + =
và
( )
3;1M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d
một góc
45
o
.
Bài 4: Cho
ABC
cân đỉnh
A
, biết:
( ) ( )
: 2 5 0 :3 6 1 0AB x y ; AC x y + = + =
Viết phơng trình

BC
đi qua
( )
2; 1M
.
Bài 5: Cho hình vuông tâm
( )
2;3I
và
( )
: 2 1 0AB x y =
.
Viết phơng trình các cạnh, các đờng chéo còn lại .
Bài 6: Cho
ABC
cân đỉnh
A
, biết:
( ) ( )
:5 2 13 0 : 4 0AB x y ; BC x y+ = =
Viết phơng trình
AC
đi qua
( )
11;0M
.
Bài 7: Cho
ABC
đều, biết:
( )

2;6A
và
( )
: 3 3 6 0 BC x y + =
T Toỏn Trng THPT c Trớ 11
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cßn l¹i.
§êng trßn.
A. Tãm t ắ t lý thuy ế t.
1. Ph ươ ng tr×nh chÝnh t ắ c.
Trong mặt phẳng
Oxy
cho đường trßn t©m
( ; )I a b
b¸n kÝnh
R
. Khi đã phương tr×nh chÝnh tắc của
đường trßn là :
2 2 2
( ) ( ) .x a y b R− + − =
2. Ph ươ ng tr×nh tæng qu¸t.
Là phương tr×nh cã dạng :
2 2
2 2 0x y Ax By C+ + + + =
Với
2 2
A B C+ >
. Khi ®ã t©m
( ; )I A B− −
, b¸n kÝnh

2 2
R A B C= + −
.

3. B à i to¸n vi ế t ph ươ ng tr×nh đườ ng trßn.
VÝ dụ 1. Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh
AB
, với
(1;1), (7;5)A B
.
§¸p số :
2 2
( 4) ( 3) 13x y− + − =
hay
2 2
8 6 12 0x y x y+ − − + =
.
VÝ dụ 2. Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp
ABC∆
, với
( 2;4), (5;5), (6; 2)A B C− −
.
§¸p số :
2 2
4 2 20 0x y x y+ − − − =
.
VÝ dụ 3. Viết phương trình đường tròn có tâm
( 1;2)I −
và tiếp xóc với đường thẳng
: 2 7 0x y∆ − + =

.
§¸p số :
2 2
4
( 1) ( 2)
5
x y+ + − =
.
VÝ dụ 4. Viết phương tr×nh đường trßn qua
( 4;2)A −
và tiếp xóc với hai trục toạ độ.
§¸p số :
2 2
( 2) ( 2) 4x y+ + − =
hoặc
2 2
( 10) ( 10) 100x y+ + − =
.
4. B à i toán tìm tham s ố để ph ươ ng trình d ạ ng
2 2
2 2 0x y Ax By C+ + + + =
l à ph ươ ng trình c ủ a m ộ t
đườ ng tròn.
Điều kiện :
2 2
A B C+ >
.
VÝ dụ 1. Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, phương tr×nh nào là phương tr×nh của một đường trßn. X¸c
định t©m và tÝnh b¸n kÝnh.
a.

2 2
4 2 6 0x y x y+ − + + =
. c.
2 2
6 8 16 0x y x y+ + − + =
.
b.
2 2
4 5 1 0x y x y− + − + =
. d.
2 2
2 2 3 2 0x y x+ − − =

§¸p số : c )
( 3;4), 3I R− =
. d)
3 5
( ;0), .
4 4
I R =
VÝ dụ 2. Cho phương tr×nh :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + − − + + − =
.
a. T×m điều kiện của
m
để pt trªn là đường trßn.
b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.
VÝ dụ 3. Cho phương tr×nh
2 2

( 15) ( 5) 0x y m x m y m+ + − − − + =
.
Tổ Toán Trường THPT Đức Trí 12
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
a. T×m điều kiện của
m
để pt trªn là đường trßn.
b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.
VÝ dụ 4. Cho phương tr×nh
( )
m
C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + − − − + =
.
a. T×m
m
để
( )
m
C
là phương tr×nh của một đường trßn.
b. T×m
m
để
( )
m
C
là đường trßn t©m

(1; 3).I −
Viết phương tr×nh đường trßn này.
c. T×m
m
để
( )
m
C
là đường trßn cã b¸n kÝnh
5 2.R =
Viết phương tr×nh đường trßn này.
d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn
( )
m
C
.
II. B I TÀ ẬP.
1. T×m phương tr×nh đường trßn
( )C
biết rằng :
a.
( )C
tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã b¸n kÝnh
3R
=
.
b.
( )C
tiếp xóc với
Ox

tại
(5;0)A
và cã b¸n kÝnh
3R
=
.
c. Tiếp xóc với
Oy
tại
(0;5)B
và đi qua
(5;2)C
.
2. T×m phương tr×nh đường trßn
( )C
biết rằng :
a. T×m
(1; 5)I −
và qua gốc toạ độ.
b. Tiếp xóc với trục tung và tại gốc
O
và cã
2R =
.
c. Ngoại tiếp
OAB∆
với
(4;0), (0; 2)A B −
.
d. Tiếp xóc với

Ox
tại
(6;0)A
và qua
(9;3)B
.
3. Cho hai đi ểm
( 1;6), ( 5;2)A B− −
. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C
, biết :
a. Đường kÝnh
AB
.
b. T©m
O
và đi qua
A
; T ©m
O
và đi qua
B
.
c.
( )C
ngoại tiếp
OAB∆
.
4. Viết phương tr×nh đường trßn đi qua ba điểm :
a.

(8;0) , (9;3) , (0;6)A B C
.
b.
(1;2) , (5;2) , (1; 3)A B C −
.
B. B à i t ậ p c ơ b ả n.

1. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
cã t©m là điểm
(2;3)I
và thoả m·n điều kiện sau :
a.
( )C
cã b¸n kÝnh
5.R
=
b.
( )C
tiếp xóc với
Ox
.
c.
( )C
đi qua gốc toạ độ
O
.
d.
( )C
tiếp xóc với

Oy
.
e.
( )C
tiếp xóc với đường th¼ng
: 4 3 12 0.x y
∆ + − =
2. Cho ba điểm
(1;4) , ( 7;4) , (2; 5)A B C
− −
.
a. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C
ngoại tiếp
ABC
∆
.
b. T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh.
3. Cho đường trßn
( )C
đi qua điểm
( 1;2) , ( 2;3)A B
− −
và cã t©m ở trªn đường thẳng
:3 10 0x y
∆ − + =
.
a. T×m toạ độ t©m của đường trßn
( )C
.

b. TÝnh b¸n kÝnh
R
.
c. Viết phương tr×nh của
( )C
.
4. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C
đi qua hai điểm
(1;2) , (3;4)A B
và tiếp xóc với đường thẳng
:3 3 0x y
∆ + − =
.
5. Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh
AB
trong c¸c trường hợp sau :
a.
( 1;1) , (5;3)A B
−
. b.
( 1; 2) , (2;1)A B
− −
.
Tổ Toán Trường THPT Đức Trí 13
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
6. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C
tiếp xóc với c¸c trục toạ độ và đi qua điểm
(4;2)M

.
7. T×m tọa độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh của c¸c đường trßn sau :
a.
2 2
( 4) ( 2) 7x y+ + − =
d.
2 2
10 10 55x y x y+ − − =
b.
2 2
( 5) ( 7) 15x y− + + =
e.
2 2
8 6 8 0x y x y+ + − + =
c.
2 2
6 4 36x y x y+ − − =
. f.
2 2
4 10 15 0x y x y+ + + + =
8. Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh
AB
trong c¸c trường hợp sau :
a.
(7; 3) , (1;7)A B
−
b.
( 3;2) , (7; 4)A B
− −
9. Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp

ABC
∆
biết :
(1;3) , (5;6) , (7;0)A B C
10. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
tiếp xóc với c¸c trục toạ độ và :
a. Đi qua
(2; 1).A
−
b. Cã t©m thuộc đường th¼ng
:3 5 8 0x y
∆ − − =
.
11. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
tiếp xóc với trục hoành tại điểm
(6;0)A
và đi qua điểm
(9;9).B
12. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
đi qua hai điÓm
( 1;0) , (1;2)A B
−
và tiếp xóc với đường thẳng
: 1 0x y
∆ − − =
.
Tổ Toán Trường THPT Đức Trí 14