bo de chung minh bat dang thuc

Chuyên đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0≥x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0≤x
Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0
≤
a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "
0
≥
a
"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0a b a b
> ⇔ − >
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết
ba
≥
. Ta có:

0b-a
≥⇔≥
ba
2. Đònh nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≥

" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≤

được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1:
a b
a c
b c
>

⇒ >

>

2. Tính chất 2:

a b a c b c
> ⇔ + > +
Hệ quả 1:
a b a c b c> ⇔ − > −
Hệ quả 2:
a c b a b c
+ > ⇔ > −
3. Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>

> ⇔

<

Hệ quả 3:

a b a b> ⇔ − < −
Hệ quả 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c

>


> ⇔


<


1
5. Tính chất 5:
0
0
a b
ac bd
c d
> >

⇒ >


> >

6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
> > ⇔ < <
7. Tính chất 7:
nn
baNnba >⇒∈>>
*
,0

8. Tính chất 8:
n
baNnba >⇒∈>>
n

*
,0
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :

22
baba >⇔>
Nếu a và b là hai số không âm thì :

22
baba ≥⇔≥
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:

nếu x 0
( x )
nếu x < 0
≥

= ∈

−

x
x R
x
2. Tính chất :
2
2
0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤
3. Với mọi
Rba ∈,
ta có :
•
a b a b+ ≤ +
•
a b a b− ≤ +
•
. 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥
•
. 0a b a b a b− = + ⇔ ≤
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0

•
b c a b c− < < +
•
c a b c a− < < +
•
a b c a b− < < +
•
a b c A B C> > ⇔ > >
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

1 2
1 2

.

n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
2
Cho hai bộ số
1 2
( , , )
n
a a a
và
1 2
( , , , )

n
b b b
ta có :

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
1 1 1 1
( )
4a b a b
≤ +
+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau

1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + +
với mọi a,b
Ví dụ 2:
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b
0
≥
, chứng tỏ rằng:
3 3
3
( )
2 2
a b a b+ +
≥

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì
16)1
21
()1(
2
2

≥+++
x
x
x

2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
2 2 2
2( )+ + < + +a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
=+ yx
. Chứng minh rằng:

5
4
14
≥+
xx
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx 53423 ++≥++
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
)(2
11
22
yx
yx

yx +≥+++
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :

0)2()2()2( ≥−++−++−+ baccaacbbccbaab
3
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng :
zyxzyx ++≥++
333

Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng :
33≥xyx
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
9≥
++
+
++
+
++
c
cba
b
cba
a
cba
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
1≤++ zyx
. Chứng minh rằng :

10
111

≥+++++
zyx
zyx
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + +
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2
1cos
2
x
x −>
với mọi x > 0
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức:
xtgxx 2sin >+
với mọi
)
2
;0(
π
∈x
Ví dụ 4: Với
2
0

π
<< x
, chứng minh
1
2
3
sin2
222
+
>+
x
tgxx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I.BiÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng,®¸nh gi¸
Bµi 1: CMR
211
22
≥+−+++ aaaa
∀a.
Bµi 2: CMR
( )
zyxxzxzzyzyyxyx ++≥++++++++ 3
222222
∀ x,y,z.
Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ≥ 0 ∀x.
Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a
2
+ b
2

+ c
2
= 1. CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0
Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
1) NÕu ab ≥ 1 th×
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
2) NÕu a,b,c ≥ 1 th×
abc
cba
+
≥
+
+
+
+

+
1
3
1
1
1
1
1
1
333
.
Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n
bca
211
=+
. CMR
4
22
≥
−
+
+
−
+
bc
bc
ba
ba
.
Bµi 7: Cho a+b ≥ 0. CMR

3
33
22






+
≥
+ baba
.
Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++

+
++
+
++
.
Bµi 9: CMR
[ ]
1,021111
22
∈∀−≥−+≥−++ ttttt
.
Bµi 10: CMR 1. a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
≥ a( b + c + d + e ) ∀a,b,c,d,e
4
2.a
2
+ b
2
+ c
2
+ d

2
a( b + c + d) a,b,c,d.
Bài 11.Cho x>0 CMR
2
2
1 2
(x 1) ( 1) 16
x x
+ + +
Bài 12.Cho a,b>0 CMR
a b
a b
b a
+ +
.
Bài 13.Cho a,b>0 và
1 1 2
1+a 1 b
1 ab
+
+
+
(Nhân chéo và phân tích).
Bài 14.Cho a,b,c>0 và a,b,c

1,CMR
2 2 2
1 1 1 3
1+a 1 b 1 c 1 abc
+ +

+ + +
(AD bài 13 và ab

abc).
Bài 15.
II.Bất đẳng thức Côsi
Bài 1: Cho a,b,c > 0. CMR
1)
a
4
+ b
4
+ c
4
ab
3
+ bc
3
+ca
3
2)
3a
3
+ 7b
3
9ab
2
3)
53
532 abba +

4)
ba
a
b
b
a
++
5)
33335
2
5
2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
6)
a
c

c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
3
3
3
3
3
3
B i 2 : Cho x , y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. CMR
*
,3
2
1
2
1
2
1
Nn
zyx
nnn

+
+






+
+






+

Bài 3: Cho x,y,z > 0 thoả mãn x + y + z = 1.
a) CMR :

+
x
1
1








+
y
1
1
64
1
1






+
z
.

b) Tìm GTNN của : A =






+
x
3
2








+
y
3
2






+

z
3
2
.
Bài 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR:
a)
( )
a+1
( )
b+1
( )
( )
3
3
11 abcc ++
b)
( )( )( )
3
3
3
mnpabcpcnbma ++++
Bài 5: Cho a,b,c > 0. CMR:
a)
2
3

+
+
+
+

+ ba
c
ac
b
cb
a
(Bất đẳng thức Nesbit)
b) Nếu abc = 1 thì :
( ) ( ) ( )
2
3
222

+
+
+
+
+ bac
ab
acb
ca
cba
bc
.
Baì 6.
1. Cho a,b

0,CMR.
6
6 6

(a b)
a b
32
+
+
2.
a b b c c a 2( a b c).+ + + + + + +
Bài7.Cho a,b,c>0,CM các BĐT sau
5
1.
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2abc
+ +
+ + ≤
+ + +
.
2.
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 a b c
3,voi a +b +c =1
b c c a a b 2abc
+ +
+ + ≤ +
+ + +
3. Cho thªm ®k :a+b=1 CMR
•

2 2
1 1 25
(a ) (b )
a b 2
+ + + ≥
•
2 2
1 1 25
(a ) (b )
b a 2
+ + + ≥
•
1 1 25
(a )(b )
a b 4
+ + ≥
•
1 1 25
(a )(b )
b a 4
+ + ≥
Bµi 8:Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c,CM c¸c B§T sau:
1.
1 1 1 1 1 1
b c a c a b a b c a b c
+ + ≥ + +
+ − + − + −
2.
1 1 1 1 1 1
b c a c a b a b c a b c

+ + ≥ + +
+ − + − + −
3.
2 2 2
a b c
( ) ( ) ( ) 3
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
4.
a b c
3
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
5.
a b c
3
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
6.
a b c
3
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
Bµi 9.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau
1.
ab bc ca a b c

a b 2c b c 2a c a 2b 4
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
2.
1 1 1 1 1 1
a b 2c b c 2a c a 2b 4a 4b 4c
+ + ≤ + +
+ + + + + +
3.
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a 4a 4b 4c
+ + ≤ + +
+ + +
4.
a b c 3
2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
5.
bc ca ab 3
2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
6
6.
1 1 1 1 1 1 1
( )

2 a b c
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + ≤ + +
+ + + + + +
7.

Bài 9: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
33
1
11
33
3333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy
yx
Khi nµo đẳng thức xảy ra?
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x
R∈
, ta có:
xxx
xxx

543
3
20
4
15
5
12
++≥






+






+






Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn

4
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng :
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx
Bài 12: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức
abccabcab =++
, chứng minh
rằng:
3
222
222222
≥
+
+
+
+

+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
Bµi 13.(Kü tht co si ngỵc dÊu).
1. Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=3 CMR:
2 2 2
a b c 3
1 b 1 c 1 a 2
+ + ≥
+ + +
2. Cho a,b,c,d>0,CMR
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d a b c d
a b b c c d d a 4
+ + +
+ + + ≥
+ + + +
3. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1 a 1 b 1 c 1 d
+ + + ≥
+ + + +
4. Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR

2 2 2
a 1 b 1 c 1
3
b 1 c 1 a 1
+ + +
+ + ≥
+ + +
5. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR
2 2 2 2
a b c d
2
1 b 1 c 1 d 1 a
+ + + ≥
+ + + +
6. Cho a,b,c,d>0 CMR
4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 3 3
a b c d a b c d
a 2b b 2c c 2d d 2a 4
+ + +
+ + + ≥
+ + + +
7. Cho a,b,c
≥
0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR
2 2 2
2 2 2
a b c
1
a 2b b 2c c 2a

+ + ≥
+ + +
8. Cho a,b,c
≥
0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR
2 2 2
3 3 3
a b c
1
a 2b b 2c c 2a
+ + ≥
+ + +
9. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR
2 2 2 2
a 1 b 1 c 1 d 1
4
b 1 c 1 d 1 a 1
+ + + +
+ + + ≥
+ + + +
7
10.Cho a,b,c

0 thoả mãn a+b+c=3 CMR
2 2 2
2 2 2
a b c 3
a b b c c a 2
+ +
+ + +

Bài 14(Kỹ thuật thêm bớt trong BĐT COSI)
1. Cho a,b,c>0 CMR
2 2 2
a b c a b c
a b b c c a 2
+ +
+ +
+ + +
(Thêm (a+b)/4 hoặc COSI ngợc )
2. Cho a,b,c>0 CMR
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + + +
(Thêm a,b,c)
3. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + + +
(Thêm b+c)
4. Cho a,b,c>0 và abc=1,CMR

3 3 3
a b c 3
(1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 4
+ +
+ + + + + +

(Thêm(1+b)/8+(1+c)/8)
5. Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4,CMR

2 2 2 2
a b c d 4
b c d c d a d a b a b c 3
+ + +
+ + + + + + + +
(Thêm (b+c+d)/9 )
6. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
(Thêm a,b,c)
7. Cho a,b,c>0 CMR
4 4 4 3 3 3
2
2 2 2
a b c a b c
(Them a )
b c a b c a
+ + + +
8. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +

(Thêm ab,bc,ca)
9. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
+ +
+ +
+ + +
(Thêm
2 2 2
a(b+c)
a ,b ,c hoac
4
)
10.Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
a b c a b c a a
.(Them 1 )
b c a b c a b b
+ + + + + +
III.Bất đẳng thức BunhiacốpSki
Bài 1: Cho a,b,c > 0. CMR:
a)
( )
( )
2
333
111
cba

cba
cba ++






++++

b)
( )
( )
( )
222333
3 cbacbacba ++++++
c)
( )
( )
3
333
9 cbacba ++++
Bài 2 : Cho a,b,c
4
1

thoả mãn a+b+c = 1. CMR:
211414147 +++++< cba
Bài 3 : CMR :
a)

11 + xyyxxy
với x,y 1
b)
( ) ( )
cbccacab +
với 0 < c

a,b
Bài 4 : Cho a,b,c > 0. CMR:
8
a) ( a + b )
4


8(a
4
+ b
4
) ;
b)
( ) ( )
22
2222
dbcadcba ++++++
c)
17
98
2
22
+ ba

với 2a + 3b 7
d)
3
222
222222

+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
với ab + bc + ca = abc
Bài 5: Cho x,y > 0. Tìm GTNN:
a) A =
yx 4
14
+
với x + y = 1
b) B = x + y với
6
32
=+
yx

c) C =
2
4 xx +

d) D =
1
1
2
+
+
x
x
IV.Bất đẳng thức về trị tuyệt đối:
Bài 1: Cho
10=++ zyx
CMR:
4321 ++ zyx
Bài 2: CMR :
( )( )
( )( )
ababbababa ++++++ 11112
22
Bài tập thêm :
Bài 1: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a + b = c .CMR
4
3
4
3
4
3

cba >+
Bài 2: CMR
11
3
2
3
++ aaaa
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức:
a) A =
2
1
2
x
x +
với x > 0 ; B =
2
1
3
x
x +
với x > 0 ; C =
( )
2
2
2
1
1
x
x
+

+

b)
2
2
2
2
2
2
111
z
z
y
y
x
x +++++
biết rằng x,y,z > 0 và x + y + z

1
Bài 4: Cho x,y > 0 thoả mãn x
2
+ y
3
x
3
+ y
4
. CMR
2
2233

+++ yxyxyx

Bài 5:Cho x,y,z > 0 thoả mãn xyz( x + y + z) = 1.Tìm GTNN P = (x+y)(x+z)
Bài 6: Cho a,b,c > 0.CMR:
a)
ba
c
ac
b
cb
a
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<<
+
+
+
+
+
2
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) 16abc

c)
cba
b
ac
a
cb
c
ba
ab
c
ca
b
bc
a
++
+
+
+
+
+
++
222
222222333
Bài 7: Cho a,b,c [-1,1] thoả mãn a + b + c = 0.Tìm GTLN,GTNN của P = a
2
+ b
4
+ c
6
Bài 8: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c = 1.Tìm GTNN P =

ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
222
Bài 9: CMR:
a)
2222
11 yxyxyyxx +++++++
9
b)






+
+++++
2
311
22
yx

yyxx
c)
( )( )
( )( )
ababbababa ++++++ 11112
22
Bài 10.CMR với mọi a,b

R ta có
a b a b
1 a b 1 a b
+ +

+ + + +
,dấu = sảy ra khi nào?
Bài 11: CMR:
a
aa
+
+
233
844
2
V.Bất đẳng thức dùng tính chát tỉ số
A.T/C:Cho ba số dơng a,b,c
1. Nếu
a a a c
1 thi
b b b c
+

< <
+
2. Nếu
a a a c
1 thi
b b b c
+
> >
+
3. Nếu cho thêm d>0 thì Nếu
a c a a c c

b d b b d d
+

+
B.Bài tập
1. Cho a,b,c>0,CMR
a b c
1 2
a b b c c a
< + + <
+ + +
2. Cho a,b,c,d>0 CMR
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
3. Cho a,b,c,d>0 CMR

2a b c 2b c d 2c d a 2d a b
P
a b c b c d c d a d a b
+ + + + + + + +
= + + +
+ + + + + + + +
Không là số
tự nhiên
4. Cho a,b,c,d>0 CMR
a b b c c d d a
2 3
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
Bài tập củng cố :
1) CMR : với a,b,c > 0 bất kì ta có :
a)
2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab ++

+
+
+

+
+
b)
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++++
c)
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 a 2 b 2 c 1 1 1
a b b c c a a b c
+ + + +
+ + +
10