Đề thi HSG toán tỉnh Bình Định 2010

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY: 23 - 3 - 2010

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 23/3/2010

Bài 1: (3,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3 3
2 81 7 18x x+ − =
2. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng
2010
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phương trình
2 2
2 2 1 0x mx m− + − =
(1) ( m là tham số).
1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
2. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn hệ
thức: x
1
3
+ x
2
3
- x

1
2
- x
2
2
= -2
Bài 3: (4,0 điểm)
1. Tìm x,y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất
2 2
3 11 2 2 6 1.P x y xy x y= + − − + −
2. Cho đa thức P(x) bậc 5 có các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá
trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng:
Với mọi x ∈ Z thì P(x) không thể có trị số bằng 2010.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần lượt
cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu S
ABC
là diện tích tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 4S
ABC
b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.
Bài 5: (4,0 điểm)
1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
3 3 3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
bc ca ab
a c b b a c c b a
+ + ≥ 2
+ + +
2. Cho ba số thực α, β, γ > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M =
.
x y z
y z z x x y
α β γ
+ +
+ + +
Với mọi x, y, z > 0