De thi HSG toan 9 (thang 11/2010)

TRNG THCS THIU
QUANG
THI HSG LP 9
NM HC 2010-2011
Mụn: Toỏn
Thi gian lm bi:150 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Bài 1: (6 điểm)
1. Giải phơng trình:
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:
1 1 2
a b b c c a
+ =
+ + +
3. Chng minh rng vi mi s nguyờn a thỡ: (a
3
+ 11a ) chia ht cho 6
Bài 2: (4 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+

.
2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
2 3 2 4 3 0x y xy x y+ + + =
Bài 3: (6 điểm)
Cho õổồỡng troỡn (O , R) vaỡ õióứm A vồùi OA = 2R. Tổỡ A
veợ 2 tióỳp tuyóỳn AE vaỡ AF õóỳn (O). (E, F laỡ 2 tióỳp õióứm).
ổồỡng thúng OA cừt (O) taỷi C vaỡ D (O nũm giổợa A vaỡ C)
a) Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc AECF theo R.
b) Tổỡ O veợ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi OE cừt AF taỷi
M. Tờnh tyớ sọỳ dióỷn tờch hai tam giaùc OAM vaỡ OFM.
c) ổồỡng thúng keớ tổỡ D vuọng goùc vồùi OE cừt EC taỷi
Q. Chổùng minh caùc õổồỡng thúng AC, EF vaỡ QM õọửng qui.
Bi 4 (4,0 )
a./ Tỡm a thc f(x) bit rng f(x) chia cho (x-3) d 7.
f(x) chia cho (x-2) d 5. f(x) chia cho (x-3)(x-2) thỡ thng tỡm c l 3x
v cũn d.
b./ Với giá trị nào của góc nhọn

thì biểu thức 3sin 3 cosP

= + có giá
trị lớn nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Hết
Đáp án và thang điểm:
CHNH THC
Bài
ý
Nội dung Điểm
1. 6,0

1.1
( 3,0 điểm)
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
( ) ( )
2 2
4 4
1 3 2x x + =
( )
4 4 4
1 3 2 (1) 1 3 2 0; 0 (2)x x y y y x x + = + = =
(1)
1,0

0 1: 1 0, 3 0y y y <
, nên
(2) 1 3 2 1y y y + = =
(thoả
ĐK)
1x = là một nghiệm của phơng trình (1)
0.5

1 3: 1 0, 3 0y y y< >
, nên pt (2)
1 3 2 0 0y y y + = =
do đó pt (2) có vô số nghiệm y (
1 3y<
), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x (
1 81x
<

).
0.5

3: 1 0, 3 0y y y> > >
, nên pt (2)
1 3 2 3y y y + = =
, pt vô
nghiệm.
Vậy tập nghiệm của pt (1) là:
[ ]
1; 81S =

1,0
1.2
(3,0 điểm)
1 1 2
1 1 1 1
(*)
a b b c c a
a b c a c a b c
+ =
+ + +
=
+ + + +
0,50
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 c b
A

a b c a
a b c a
c b
a b c a b c

= =
+ +
+ +

=
+ + +
0,50
Theo giả thiết:
2
2
a c
b a c b b a c b
+
= + = =
, nên:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a b a
b a
A
a b b c c a a b b c c a
+

= =

+ + + + + +
1,0
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
b a b c c a
A
c a b c
b c c a b c c a
+ +
= = =
+ +
+ + + +

Đẳng thức (*) đợc nghiệm đúng. 1,0
2.
4,0
2.1
(2,0 điểm)
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=

+
(xác định với mọi
x R
)
( )
2
1 3 5 0 (**)y x x y + =
0,5

1:y =
pt (**) có nghiệm
4
3
x =

1:y
để pt (**) có nghiệm thì:
2
9 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y = = +
0.5
( ) ( )
2
25 5 5 5 1 11
3 0 3 3 1
4 2 2 2 2 2
y y y y y
0.5
Vậy tập giá trị của y là
1 11
;

2 2



, do đó
11 1
;
2 2
Max y Min y= =
0,5
2.2
(2,0 điểm)
( )
2 2 2 2
2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y+ + + = + + + =
(***)
0,5
Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:
( )
( )
2
2 2
3 2 4 2 4 3 4 8y y y y y = + = +
là số chính phơng.
( ) ( )
2
2 2 2
4 8 2 12y y k k y k + = + =Z
( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a + + + =
0.5

Ta có: Tổng
( )
2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ + + + = +
là số chẵn, nên
( )
2 ; ( 2 )y k y k+ + +
cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích
1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau:
2 2 2 6 2 6 2 2
; ; ; ;
2 6 2 2 2 2 2 6
y k y k y k y k
y k y k y k y k
+ = + = + = + =


+ + = + + = + + = + + =

0,5
Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a):
( ) ( ) ( ) ( )
2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k= = = = = = = =
Thay các giá trị
2; 6y y= =
vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm
nguyên (x; y) là:
( 1; 2), ( 3; 2);( 11; 6),( 9; 6)x y x y x y x y= = = = = = = =
0,5
b/Ta cú: a
3

+ 11a = (a
3
- a) + 12a = a(a -1)(a + 1) + 12a
(0.5)
Vỡ
a Z
nờn a; a -1; n + 1 l ba s nguyờn liờn tip

a(a 1)
M
2 ;
a(a +1)(a 1)
M
3 (0,5)
Vỡ (2, 3) = 1 nờn a( a-1)( a+1)
M
6; 12 a
M
6 (0,5)

a( a -1)( a +1) + 12a
M
6 Vy (a
3
+ 11a )
M
6 vi

a

Z (0,5)
Baỡi 4 (4 õióứm)
Veợ hỗnh chờnh xaùc (0,25 õ)
I
M
Q
O
C
D
G
E
F

a) (1,25 õ)
Ta coù AE = AF (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ OE = OF = R nón OA laỡ
õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn thúng EF. Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa
AC vaỡ EF taỷi I thỗ OA EF vaỡ IE = IF
OEA coù
ã
OEA
= 90
0
(t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA
nón OE
2
= OI . OA

2 2
OE R R
ịOI = = =

OA 2R 2
OIE (
ã
OIE
= 90
0
) nón EI
2
= OE
2
- OI
2
= R
2
-

2 2
R 3R 3.R
= ị EI =
4 4 2
EF = 2EI =
3
.R vaỡ AC = AO + OC = 2R + R = 3R
S
AECF
=
1
2
. AC . EF =
1

2
. 3R .
3
. R =
2
3 3
R
2
b) (1,25 õ)
Ta coù OM // AE ( OE) nón
ã
ã
MOA = OAE
maỡ
ã
ã
OAE = OAM
Do õoù
ã
ã
MOA = OAM
Suy ra OMA cỏn taỷi M

MO = MA
OAM
OFM
S
AM OM
= =
S FM FM

=
ã
1
cos OMF
maỡ
ã
ã
ã
OMF = EAF = 2EAO
sin
ã
EAO
=
ã
EAO
0
OE R 1
= = ị =30
OA 2R 2
Do õoù
ã
OMF
= 60
0
nón
OAM
OFM
S
S
=

0
1
cos60
=
1
2
1
2
=
c) (1,25 õ)
- Chổùng minh DEQ = OFM
Suy ra: QD = OM
- Chổùng minh QDMO laỡ hỗnh bỗnh haỡnh
Suy ra QM vaỡ DO giao nhau taỷi trung õióứm cuớa mọựi õổồỡng
Maỡ I laỡ trung õióứm cuớa OD (OI = ID =
R
2
)
nón I laỡ trung õióứm cuớa QM
Vỏỷy AC, EF vaỡ QM õọửng quy taỷi I.
1.
Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 ab cd a c b d ab cd a c b d + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a b c d abcd a b a d b c c d + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 0 0ad bc ad bc ad bc +
: đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì.
Vậy:
( ) ( )
2 2 2 2
0 , , , ,ab cd a c b d a b c d + + + R
Dấu đẳng thức xảy ra khi 0ad bc = hay
( )
0, 0
c d
a b
a b
=
áp dụng kết quả trên, ta có:
3sin 3 cos 0P

= + >
nên
(
)
( )
2
2 2 2
3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3P

= + + + =
max
2 3P = khi

0
sin 3
3cos 3sin 0 3 60
cos
3
tg



= = = =