MOT SO DE THI VAO 10 - MON TOAN

50 bài toán hình học lớp 9
Đề số 1
Bài 1. Cho biểu thức:








+










+
+=
1
2
1
1
:
1
1

aaaa
a
a
a
a
P
a. Rút gọn P. b. Tìm a sao cho P>1. c. Cho
3819a =
. Tính P.
Bài 2: Cho hệ phơng trình:



=+
=
12
7
2
yx
yxa
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là ( x , y) . Tìm các giá trị của a để x + y = 2 .
Bài 2 Cho phơng trình : 2x
2
( m+ 1 )x +m 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1 .
b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng .
Bài 4. Một ngời lái xe ôtô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc dự định là 60km/h. Sau
khi đi đợc nửa quãng đờng AB với vận tốc ấy, ngời lái xe đã cho xe tăng vận tốc mỗi giờ 5km,
do đó đã đến thành phố B sớm hơn 30 phút so với dự định.

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vuông góc
với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh:
a. Tứ giác CPKB nội tiếp.
b. AI.BK=AC.CB.
c. APB vuông.
Đề số 2
Bài 2. Cho biểu thức
3
3
1
2
32
1926
+

+


+
+
=
x
x
x
x
xx
xxx
P
a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P khi

347x =

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 Cho phơng trình : x
2
( m+2)x + m
2
1 = 0 (1)
a) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m thoả mãn x
1
x
2
= 2 .
b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau .
Bài 3. Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đó 24 phút, trên
cùng tuyến đờng đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h. Biết quãng
đờng Nam Định-Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy xuất phát, hai xe gặp
nhau ?
Bài 4. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN
với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm
thứ hai của đờng thẳng CE với (O).
a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC
c. Chứng minh BI//MN.
d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Đề số 3

Bài 1. Cho biểu thức









+











+

+
+

+
=
xx

x
x
x
xx
x
x
x
x
P
2
3
2
2
:
4
424
22
2
a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P>0 c. Tìm các giá trị của x để P= -1
1
50 bài toán hình học lớp 9
d. Với giá trị nào của x thì
PP >
Bài 2.
Cho hệ phơng trình:



=
=+

8050)4(
16)4(2
yxn
ynx
1. Giải hệ phơng trình.
2. Tìm n để hệ phơng trình có một nghiệm sao cho x+ y > 1.
Bài 3. Một ôtô và một xe đạp đi trên quãng đờng AB. Vận tốc xe đạp là 15km/h còn vận tốc của
ôtô là 50km/h. Biết rằng ngời đi xe đạp chỉ đi đoạn đờng bằng
1
2
đoạn đờng của ôtô và tổng thời
gian đi của hai xe là 4 giờ 16 phút. Tính chiều dài quãng đờng cả hai đã đi.
Đề số 4
Bi 1.(2im)
a) Thc hin phộp tớnh:
1 2 1 2
: 72
1 2 1 2

+

ữ
ữ
+

b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s
( )
2 3y m x= +
ng bin.
Bi 2. (2im) a) Gii phng trỡnh :

4 2
24 25 0x x =
b) Gii h phng trỡnh:
2 2
9 8 34
x y
x y
=


+ =

Bi 3. (2im)
Cho phng trỡnh n x :
2
5 2 0x x m + =
(1)
a) Gii phng trỡnh (1) khi m =
4
.
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim dng phõn bit x
1
; x
2
tho
món h thc
1 2
1 1
2 3
x x

+ =
ữ
ữ

Bi 4. (4im)
Cho na ng trũn (O; R) ng kớnh BC. Ly im A trờn tia i ca tia CB. K tip
tuyn AF ca na ng trũn (O) ( vi F l tip im),
tia AF ct tip tuyn Bx ca na ng trũn ti D. Bit AF =
4
3
R
.
a) Chng minh t giỏc OBDF ni tip. nh tõm I ng trũn ngoi tip t
giỏc OBDF.
b) Tớnh Cos
ã
DAB
.
c) K OM BC ( M AD) . Chng minh
1
BD DM
DM AM
=
2
n
m
/
/
=

=
M
K
O
H
E
N
C
B
A
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
§Ò sè 5
Bài 1. ( 2điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 5
15
5 3
 
+
 ÷
 ÷
 
b)
( ) ( )
11 3 1 1 3+ + −
Bài 2. ( 1,5điểm) Giải các phương trình sau: a) x
3
– 5x = 0 b) x+
1.22 −=− xx
Bài 3. (2điểm)

Cho hệ phương trình :
2 5
3 0
x my
x y
+ =


− =

( I )
a) Giải hệ phương trình khi m = 0 .
b) Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm ( x; y) thoả mãn hệ thức:
m+1
x - y + 4
m-2
= −
Bài 4. ( 4,5điểm).
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM=2R.
Gọi H là trực tâm tam giác .
a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ
giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn.
c) Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh
ba điểm N,H,E thẳng hàng.
d) Giả sử AB = R
3
. Tính diện tích phần chung của
đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN.
§Ò sè 6

Bài 1. (2,5điểm) 1. Rút gọn các biểu thức :
a) M =
( ) ( )
2 2
3 2 3 2− − +
b) P =
( )
2 3
5 1 5 1
5 1
 
+ + −
 ÷
 ÷
−
 
2. Xác định hệ số a và b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số là đường thẳng song
song với đường thẳng y = 2x và đi qua điểm A( 1002;2009).
Bài 2.(2,0điểm) Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là Parabol (P) và đường thẳng (d): y = 2x + m .
1. Vẽ (P).
2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.Tính toạ độ giao điểmcủa (P) và (d)
khi m = 3.
Bài 3. (1,5điểm). Giải bài toán sau Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác
vuông nội tiếp đường tròn bán kính 6,5cm.Biết rằng hai cạnh góc vuông của tam giác hơn
kém . nhau 7cm .
Bài 4.(4điểm) Cho tam giác ABC có
·
0

45BAC =
, các góc B và C đều nhọn. Đường tròn
đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tai D và E. Gọi H là giao điểm của CD và BE.
1. Chứng minh AE = BE.
2. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn
3
45
°
O
=
=
K
H
E
D
C
B
A
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE.
3. Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
4. Cho BC = 2a.Tính diện tích phân viên cung DE của đường tròn (O) theo a.

§Ò sè 7
Bài 1. ( 1,5điểm).a) Rút gọn biểu thức : Q =
x y y x
x y
−
−
với

0x ≥
;
0y ≥
và
x y≠

b)Tính giá trị của Q tại x =
26 1+
; y =
26 1−
Bài 2. (2điểm) .Cho hàm số y =
2
1
2
x
có đồ thị là (P). a) Vẽ (P).
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N có hoành độ lần lượt bằng –1 và 2. Viết p trình đường
thẳng MN.
c) Tìm trên Oy điểm P sao cho MP + NP ngắn nhất.
Bài 3 . (1,5điểm) .
Cho phương trình : x
2
– 2( m – 1)x + m – 3 = 0 a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Chứng minh rằng, với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4. (4,5điểm) .
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai
tiếp tuyến AB, AC ( với B, C là
hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và
BC.
a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội

tiếp.
b) Tính tích OH.OA theo R.
c) Gọi E là hình chiếu của điểm C trên đường
kính BD của đường tròn (O).Chứng minh
·
HEB
=
·
HAB
.
d) AD cắt CE tại K. Chứng minh K là trung
điểm của CE.
e) Tính theo R diện tích hình giới hạn bởi hai
tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC của đường
tròn(O) trong trường hợp OA = 2R.
K
H
O
A
B
C
D
E
Bài 5: (0,5điểm)
Tìm các giá trị của m để hàm số y =
( )
2
3 2 5m m x− + +

4

50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
là hàm số nghịch biến trên R .
§Ò sè 8
Bài 1. ( 1,5điểm).
a) Rút gọn biểu thức : Q =
x y y x
x y
−
−
với
0x
≥
;
0y ≥
và
x y
≠

b)Tính giá trị của Q tại x =
26 1+
; y =
26 1−
Bài 2. (2điểm) .
Cho hàm số y =
2
1
2
x
có đồ thị là (P).
a) Vẽ (P).

b) Trên (P) lấy hai điểm M và N có hoành độ lần lượt bằng –1 và 2.
Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Tìm trên Oy điểm P sao cho MP + NP ngắn nhất.
Bài 3 . (1,5điểm) .
Cho phương trình : x
2
– 2( m – 1)x + m – 3 = 0
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Chứng minh rằng, với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt.
Bài 4. (4,5điểm) .
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( với B, C là
hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b) Tính tích OH.OA theo R.
c) Gọi E là hình chiếu của điểm C trên đường kính BD của đường tròn (O).
Chứng minh
·
HEB
=
·
HAB
.
d) AD cắt CE tại K. Chứng minh K là trung điểm của CE.
5
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
e) Tính theo R diện tích hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung
nhỏ BC của đường tròn(O) trong trường hợp OA = 2R.
Bài 5: (0,5điểm)
Tìm các giá trị của m để hàm số y =

( )
2
3 2 5m m x− + +
là hàm số nghịch biến
trên R .
§Ò sè 9
Bài 1.Thu gọn các biểu thức sau:
a) A =
15 12 1
5 2 2 3
−
−
− −
b) B =
2 2 4
2 2
a a
a
a a a
 
− +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
+ −
 
 
(với a>0 , a

≠
4)
Bài 2.Giải hệ phương trình và phương trình sau: a)
x
3
2
3
y
x y

+ =



− =

b)
1 2 5
1 1 3x x
+ =
− +
Bài 3. Cho hàm số y = ax
2
có đồ thị là một parabol đi qua A(– 4; – 8).
a)Tìm a . Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
b)Trên (P) tìm được ở câu a lấy điểm B có hoành độ bằng 2.
Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Tìm điểm M trên Oy sao cho AM + MB ngắn nhất.
Bài 4. Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến ADE không đi qua tâm O. Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh các điểm A, B , H, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh AB
2
= AI. AH
d) BH cắt đường tròn (O) ở K. Chứng minh AE//CK.
Bài 5.Cho phương trình :
( )
4 2
2 1 4 0x m x m− + + =
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
§Ò sè 10
Bài 1 . a) Cho hàm số y = (1 – m)x + 4.
6
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm (– 3; 10) . Vẽ đồ thị hàm số ứng với m tìm được.
b)Giải hệ phương trình sau:
2
3
x y
x y
=


− = −

Bài 2. Cho biểu thức : P =
2
2
1

1
x x x x
x x x
+ +
− +
− +
với x > 0
a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x để P = 2. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 3. Cho phương trình ẩn x: x
2
– 5x + 7 – m = 0 Tìm các giá trị của m để phương
trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn đẳng thức x
1
2
= 4x
2
+ 1
Bài 4. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía
với nửa đường tròn. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B). Tiếp tuyến tại M
của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N.
a) Chứng minh AOME và BOMN là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AE. BN = R
2
.
c) Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh
AK MN⊥

.
d) Giả sử
·
MAB
α
=
và MB < MA. Tính diện tích phần tứ giác BOMH ở bên ngoài nửa
đường tròn (O) theo R và
α
.
e) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O) .
§Ò sè 11
Bài 1Rút gọn A =
3 2 3 6
3 3 3
−
+
+

B =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
−
 
−
 ÷
+ + + +

 
( x > 0 và x
≠
1) Tìm x khi B = – 3
Bài 2. 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a)
2
2 3 2 0x x− + =
b)
1 3
5
5 2
2 5
x y
x y
−

+ =



− =

2. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A
đến bến B, nghỉ 30phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25km để đến bến C. Thời gian
kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước
yên lặng , biết rằng vận tốc nước chảy là 1km/h.
Bài 3 1. Cho phương trình bậc hai : x
2
+ 4x + m +1 = 0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x

1
, x
2
thoả mãn
1 2
2 1
10
3
x x
x x
+ =
2. Cho parabol (P) có phương trình
2
1
4
y x=
và đường thẳng (d) có phương trình :
y x m
= +
. Xác định m để (d) tiếp xúc với (p) và tìm toạ độ giao điểm.
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ). Đường tròn đường kính BC cắt AB,
AC theo thứ tự tạiE và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D. a, Chứng minh tứ giác
AEHF nội tiếp và AH vuông góc với BC. b, Chứng minh AE.AB =AF.AC. c, Gọi O là tâm
7
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC .Tính tỉ số
OK
BC
khi tứ giác
OHBC nội tiếp. d, 4.Cho HF = 3, HB = 4, CE = 8 và HC >HE. Tính HC.

§Ò sè 12
Bài 1. Rút gọn :
( )
2
7 4 28− −
Cho biểu thức : P =
4
.
2 2 4
x x x
x x x
 
−
+
 ÷
 ÷
− +
 
với x > 0 và x ≠ 4. Rút gọn P. Tìm x để P > 3
Bài 2. a, Giải hệ phương trình:
4 1
2 7 8
x y
x y
+ =


− =

b, Giải phương trình:

1 3
2
2 6x x
−
+ =
− −
Bài 3 Cho phương trình: 2x
2
– 5x + 1 = 0 Không giải phương trình hãy tính
1 2 2 1
x x x x+
Bài 4. Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF (E
∈
(O
1
) và F
∈
(O
2
), EF và điểm B nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ O
1
O
2
) Qua A kẻ cát tuyến
song song với EF cắt đường tròn (O
1

) và (O
2
) theo thứ tự tại C và D. Đường thẳng CE và DF
cắt nhau tại I.
1. Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh tam giác CAE cân và IA vuông góc với CD.
3. Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF.
4. Cho biết R
1
= 2,67cm ; R
2
= 1,97cm ; O
1
O
2
= 4,04cm. Tính độ dài EF
Bài 5. (0,5điểm).
Cho hàm số y = (– m
2
+ 2m + 3)x + 1 có đồ thị là đường thẳng (d
1
) và đường thẳng (d
2
):
y = 5x. Chứng tỏ rằng với mọi m , (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
§Ò sè 13

Bài Cho phương trình: x
2
– 4x + n = 0 (1) với n là tham số.
1.Giải phương trình (1) khi n = 3.
2. Tìm n để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2 Giải hệ phương trình:
2 5
2 7
x y
x y
+ =


+ =

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x
2
và điểm B(0;1)
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số góc là k.
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với
mọi k.
3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x
1
và x
2
. Chứng minh rằng x
1
.
x
2

= - 1, từ đó suy ra
tam giác EOF là tam giác vuông.
8
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
Bài 4 Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G
(khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ
G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại C và D.
1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO
nội tiếp
2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra
CN DN
CG DG
=
.
3. Đặt
·
BOD
α
=
Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và α. Chứng tỏ rằng tích AC.BD
chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc α.
§Ò sè 14
Câu 1 : a, Giải hệ phương trình :
2 1
3 4 14
x y
x y
+ = −



+ = −

B, Trục căn ở mẫu :
25 2
; B =
7 2 6
4 + 2 3
A =
+
Câu 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng . Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm
vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? (biết
rằng mỗi xe chở số hàng như nhau )
Câu 3 : ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x
2
– 4x – m
2
+ 6m – 5 = 0 với m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
, hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức
3 3
1 2
P x x= +
Câu 4 : ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB
= 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC

a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và
tính diện tích trong trường hợp này
§Ò sè 15
Câu 1 1) Giải phương trình:
x 1 x 1
1
2 4
− +
+ =
2) Giải hệ phương trình:
x 2y
x y 5
=


− =

Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A =
2( x 2) x
x 4
x 2
−
+
−
+
với x
≥
0 và x

≠
4.
9
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
b) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm
2
.
Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Câu 3: Cho phương trình: x
2
- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
a) Giải phương trình với m = 3.
a) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và thỏa
mãn điều kiện: x
1
2
– 2x
2
+ x
1
x
2
= - 12
Câu 4: Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn
( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D.
a) Chứng minh: NE

2
= EP.EM
a) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp.
b) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K
( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN
2
+ NK
2
= 4R
2
.
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
6 4x
x 1
−
+
§Ò sè 16
Bài 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức A =
124
2
1
3279
−−−+−
xxx
với x > 3
a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.
Bài 2 (1,5 điểm) Cho hàm số y = ax + b.
Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng

2
3
.
Bài 3 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức: P =








−
+
−
−
+








−
−
1
2
2

1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
với a > 0, a
4,1
≠≠
a
.
Bài 4 (2 điểm). Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.
b/ Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
Tìm m để 3( x
1
+ x
2
) = 5x

1
x
2
.
Bài 5 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC có góc A bằng 60
0
, các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD
và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
10
d
O
H
E
D
C
B
A
50 bài toán hình học lớp 9
a/ Chng minh t giỏc ADHE ni tip.
b/ Chng minh tam giỏc AED ng dng vi tam giỏc ACB.
c/ Tớnh t s
BC
DE
.
d/ Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Chng minh OA vuụng gúc
vi DE.
Gợi ý đáp án câu 5:
a. Xét tứ giác ADHE có
ã

ã
AEH ADH=
= 90
0
=> Tứ giác ADHE nội tiếp.
b. Ta có tứ giác BEDC nội tiếp vì
ã
ã
BEC BDC=
=90
0
=>
ã
ã
EBC ADE=
( Cùng bù với
ã
EDC
)
=> ADE đồng dạng với ABC.
(Chung góc A và
ã
ã
EBC ADE=
)
c. Xét AEC có
ã
0
90AEC =
và

à
0
60A =
=>
ã
0
30ACE =
=> AE = AC:2 (tính chất)
Mà ADE đồng dạng với ABC
=>
1
2
ED AE
BC AC
= =
d. Kẻ đờng thẳng d OA tại A
=>
ã
ã
ABC CAd=
(Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn một cung)
Mà
ã
ã
EBC ADE=
=>
ã
ã
EDA CAd=
=> d//ED

Ta lại có d OA (theo trên) => EDOA
11
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
§Ò sè 17
Câu 1 Rút gọn (không dùng máy tính cầm tay) các biểu thức:
a)
342712 +−
. b)
( )
2
5251 −+−
2. Giải phương trình (không dùng máy tính cầm tay): x
2
- 5x + 4 = 0
Câu 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = -2x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d).
a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục toạ độ
b) Tìm trên (d) điểm có hoành độ bằng tung độ.
Câu 3 Cho phương trình bậc hai: x
2
- 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Câu 4 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m
2
, nếu tăng chiều dài thêm 6m và
giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước mảnh vườn
Câu 5 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm
O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không
đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C
( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với

đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D
kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO),
DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm
của DO và BC.
1. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp
được.
2. Chứng minh OH.OA = OI.OD.
3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của
đường tròn (O).
4. Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của
phần tam giác OAM nằm ngoài đường
tròn (O).
12
50 bài toán hình học lớp 9
Đề số 18
Câu I: 1) Giải phơng trình: 2(x - 1) = 3 - x 2) Giải hệ phơng trình:
y x 2
2x 3y 9
=


+ =

Câu II : 1) Cho hàm số y = f(x) =
2
1
x
2

. Tính f(0);

( )
f 2
;
1
f
2

ữ

;
( )
f 2

2) Cho phơng trình (ẩn x):
2 2
x 2(m 1)x m 1 0
+ + =
. Tìm giá trị của m để phơng trình có
hai nghiệm
1 2
x ,x
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2
x x x x 8+ = +
.
Câu III : 1) Rút gọn biểu thức:
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2 x 1

=
ữ
+ + + +

với x > 0 và x

1
2) Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ
10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đờng AB
là 300 km.

Câu IV : Cho đờng tròn (O), dây AB không đi
qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M
không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc
với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN
( )
K AN
.
1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K
thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh: MN là phân giác của
góc BMK.
3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB.
Gọi E là giao điểm của HK và BN.
Xác định vị trí của điểm M để
(MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.
E
O

H
K
N
M
B
A
Đề số 19
1. Cho B =
1 2
: 1-
1 1 1
x x x x
x x x x x

+ +

ữ ữ
+ +

Rỳt gn v tớnh
B
khi x = 5+2
3
, Tỡm x nguyờn 2B nguyờn.
2. Cho d
1
: y

=
( )

1
1
3
m x
, d
2
: y

=
3
5
2
mx +
,
13
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
a, Tìm m để d
1
//

d
2 ,
d
1
⊥

d
2
b, Khi m = 2 hãy xác định giao điểm của d
1

và

d
2 .
c, Tìm m để d
1
,

d
2
đồng quy với d
3
: y = x - 1.
3. Hai người thợ cùng làm một việc 7h 12 phút thì xong. Nếu người 1 làm 5h, người 2 làm 6h
thì chỉ làm được 3/4 công việc. Hỏi mỗi người làm riêng trong mấy giờ thì xong công việc.
4. Giải các phương trình sau:
a,
2 5 1x x− − − =
; b,
2 2
4 4 9 6 1x x x x− + + − − =
5. cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Hai điểm C, D chia đường tròn thành 3
phần bằng nhau (D ở gần A). I là trung điểm AD. OI cắt (O) tại K. Tiếp tuyến tại K cắt OI tại E
cắt BD tại F.
a, BCDO là hình gì? Chứng minh.
b, Chứng minh: 1. ED là tiếp tuyến của (O). 2. OE = AF. 3. Tính số đo
·
OKC
§Ò sè 20
Bài 1. (1,5 điểm) a) Cho biết: A = 9 + 3

7
và B = 9 - 3
7
. Hãy so sánh A + B và A.B.
b) Tính giá trị của biểu thức:
1 1 5 5
M :
3 5 3 5 5 1
−
 
= −
 ÷
− + −
 
Bài 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một tam giác có chiều cao bằng
2
5
cạnh đáy.
Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14
dm
3
.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 3. (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By.
Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần
lượt ở E và F.
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.
b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK
với KH.
d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng:

1 r 1
3 R 2
< <
Bài 4. (2 điểm) Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2cm
2
, chu vi là 6cm và AB > AD.
Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình gì? Hãy tính thể tích và
diện tích xung quanh của hình được tạo thành.
ĐỀ SỐ 21
14
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1
 
 
= − +
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Rút gọn biểu thức K. b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Bài 2. (2 điểm) Cho hệ phương trình:
mx y 1

x y
334
2 3
− =



− =


a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.
Bài 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao
cho AI =
2
3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN
sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM
2
= AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI
2
.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác CME là nhỏ nhất.
Bài 4. (2 điểm) Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm
3
. Sau đó người
ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại

trong ly.
ĐỀ SỐ 22
Bài 1. Cho hàm số:
y f (x) 2 x x 2= = − + +
a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Chứng minh f(a) = f(- a) với
2 a 2− ≤ ≤
c) Chứng minh
2
y 4≥
.
Bài 2. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật
mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã
hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: x
2
- 2mx + (m - 1)
3
= 0 với x là ẩn số, m là tham số (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 1.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình
phương của nghiệm còn lại.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, Â = 45
0
. Vẽ các đường cao BD và CE
của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: HD = DC. c) Tính tỉ số:
DE
BC

.
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.
15
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
ĐỀ SỐ 23
Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức
4 x 8x x 1 2
P :
4 1
2 x x 2 x x
   
−
= + −
 ÷  ÷
−
+ −
   
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P = - 1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có
m( x 3)P x 1− > +
Bài 2. (2 điểm) a) Giải phương trình: x
4
+ 24x
2
- 25 = 0
b) Giải hệ phương trình:
2x y 2
9x 8y 34
− =



+ =

Bài 3.Cho hình bình hành ABCD có đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM
cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn.
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì
·
·
BMD BCD+
không đổi.
c) DB.DC = DN.AC.
Bài 4.Chứng minh rằng: Nếu x, y là các số dương thì:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi nào?
ĐỀ SỐ 24
Bài 1. Cho
1 1
A
2(1 x 2) 2(1 x 2)
= +
+ + − +
. a) Tìm x để A có nghĩa. b) Rút gọn A.
16
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
Bài 2. a) Giải phương trình
2

2x 5 2x 4 2 0− + =
b) Giải hệ phương trình
3x 2y 5
15
x y
2
+ =



− =


Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của
các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. a) Chứng minh BC // DE.
b) Chứng minh các tứ giác CODE; APQC nội tiếp được. c) Tứ giác BCQP là hình gì ?
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
P (x 2010) (x 2011)= + + +
ĐỀ SỐ 25
Bài 1: Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = - 3x + m. Xác định (D) trong mỗi trường hợp
sau:
a) (D) đi qua điểm A(-1; 2). b) (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng
2
3
−
.
Bài 2: Cho biểu thức A =
2

2
2 3x x+ +
a) Tìm tập xác định của A.
b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường
tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung
điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng.
b)
·
·
BQD APB=
.C) Tứ giác APBQ nội tiếp.
Bài 4: Giải phương trình sau: a,
7 3 5x x x+ − + = +
b,
4 9 3x x x+ = + − +
ĐỀ SỐ 26
Bài 1: Tìm x biết
x 12 18 x 8 27+ = +
.
Bài 2:Cho phương trình bậc hai 3x
2
+ mx + 12 = 0. (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài 3: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ
thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ.Tính vận tốc dự định và thời gian
dự định.
Bài 4:Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC, và cát tuyến AKD sao cho
BD song song với AC. Nối BK cắt AC ở I. a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC.

17
50 bài toán hình học lớp 9
b) Chng minh : IC
2
= IK.IB c) Cho gúc
ã
o
BAC 60=
. Chng minh cỏt tuyn AKD i qua O.
S 27
Bài 1 (2,5 điểm): Cho biểu thức :
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
+
+



+
+

=
a) Rút gọn P. b) So sanh P vi
3

2
c) Tìm m để có x thỏa mãn : P.(
x
+ 3) = m
B i 2 (2.5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định.Sau khi làm đợc 2h với
năng xuất dự kiến ,ngời đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng xuất đợc 2 sản phẩm mỗi
giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất dự kiến
ban đầu.
Bài 3 Cho Parabol (P): y =-x
2
và đờng thẳng (d) y =mx-1
1) Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi x
1
,x
2
là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để : x
1
2
x
2
+x
2
2
x
1
- x
1
x

2
=3
Bài 4: (3.5điểm) Cho đờng tròn (O;R) , đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn tại hai điểm
phân biệt A,B. Từ một điểm C trên d ( C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đ-
ờng tròn ( M, N thuộc O). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt tia CN tại K.
1) Chứng minh: 4 điểm C, O, H, N cùng thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh: KN. KC = KH. KO
3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I. Chứng minh: I cách đều 3 cạnh CM, CN, MN.
4) Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F. Xác định
vị trí của điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.
Bài 5:(0.5điểm) Giải phơng trình :
x
2
+3x +1=(x+3)
1
2
+x
S 28
Bài 1 : Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2

++
+



=
a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều dài bằng
3
2
chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì diện
tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Bài 3: Cho phơng trình : ( m 1) x
2
mx + 1 = 0
a) GiảI phơng trình với m = 2
18
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt tháa m·n: 2x
1
+ x
2

- 1 = 0
Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC ( gãc A nhän) néi tiÕp ®êng trßn (O). Hai ®êng cao BE, CF thø tù c¾t
®êng trßn (O) t¹i E’ vµ F’ ; BE c¾t CF t¹i H .
a) Chøng minh : Tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®ỵc trong ®êng trßn.
b) Chøng minh : EAF lµ tam gi¸c c©n.
c) Chøng minh : OA vu«ng gãc víi EF.
d) Tia AO c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iĨm thø hai D. Gäi I lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n BC. Chøng minh
H, I, D th¼ng hµng vµ AH = 2. IO
Bµi 5: Cho x,y,z là các số thực thoã mãn điều kiện x + y + z + xy + xz + yz = 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : P = x
2
+ y
2
+ z
2


ĐỀ SỐ 29
Bài 1 Cho hàm số bậc nhất
( )
1 2y m x= − +
,
m
là tham số
1.
2. Với giá trị nào của
m
thì hàm số đã cho đồng biến trên R ?
3. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số trên đi qua điểm
( )

2;1A
.
4. Vẽ đồ thị hàm số
1
2
2
y x= − +
trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 2 Cho ph¬ng tr×nh x
2
-2(m+1)x+m-4=0 (x lµ Èn)
a. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu.
b. CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m.
c. CM biĨu thøc
)x1.(x)x1.(xM
1221
−+−=
kh«ng phơ thc m.
Bài 3 Cho biểu thức
1. Rút gọn biểu thức
4 2 1 1
:
4
2 2
x x x
P
x
x x x x
   
+ −

= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
, với
0x
>
và
2x
≠
.
2. Tính giá trị của P khi
3 2 2x = −
.
Bài 4 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính AO. Qua
B vẽ tiếp tuyến BK với đường tròn tâm I ( K tiếp điểm ), tiếp tuyến này cắt đường tròn tâm O
tại C.
1. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc CAO.
2. Tính diện tích của tam giác ABC theo R.
ĐỀ SỐ 30
Bài 1 a) Rút gọn biểu thức A = (
5).534520
+−
b) Tính B =
3)13(
2
−−
Bài 2 a) Giải phương trình

03013
24
=−− xx
b) Giải hệ phương trình







=−
=−
8
12
7
13
yx
yx
Bài 3 Cho hai hàm số y = 2x
2
có đồ thị (P) và y = x + 3 có đồ thị (d).
19
50 bµi to¸n h×nh häc líp 9
a) Vẽ các đồ thị (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) có hoành độ âm. Viết phương trình của
đường thẳng (
∆
) đi qua A và có hệ số góc bằng - 1.
c) Đường thẳng (

∆
) cắt trục tung tại C, cắt trục hoành tại D. Đường thẳng (d) cắt trục
hoành tại B. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và tam giác ABD.
Bài 4 Cho hai đường tròn (C) tâm O, bán kính R và đường tròn (C') tâm O', bán kính R' ( R >
R' ) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn ( M
∈
(C), N
∈
(C')
). Đường thẳng AB cắt MN tại I (B nằm giữa A và I ). a) Chứng minh rằng
NMB
ˆ
=
BAM
ˆ

b) Chứng minh rằng IN
2
= IA.IB
c) Đường thẳng MA cắt đường thẳng NB tại Q, đường thẳng NA cắt đường thằng MB tại
P. Chứng minh rằng MN song song với QP.
Hết –
ĐỀ SỐ 31
Câu 1 1) Giải phương trình a)
2
4 0
3
x − =
; b)
4 2

3 4 0x x− − =
2) Rút gọn biểu thức
3 3
1 1
a a a a
N
a a
   
+ −
= + × −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
với a ≥ 0 và a ≠ 1
Câu 2 1) Cho hàm số bậc nhất y = ax + 1. Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
1 2+
2) Tìm số nguyên m để hệ phương trình
3
2 3
x y m
x y
+ =


− = −

có nghiệm (x;y) thỏa mãn đ/k
x

2
+ xy = 30
Câu 3 Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy
định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ
quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1
ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?
Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF của tam giác
ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại E' và F' (E' khác B và F' khác C).
1) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh EF song song với E'F'
3) Kẻ OI vuông góc với BC (I∈BC). Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng AB
tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh tam giác IMN cân.
20
50 bài toán hình học lớp 9
S 32
Bi 1 Rỳt gn
2
16 8 1M x x= + +
. Tớnh giỏ tr ca M ti x = 2.
Bi 2 1) V th ca cỏc hm s sau trờn cựng mt mt phng ta :
2
( ) :P y x=
;
( ) : 2 3d y x= +
2) Tỡm ta giao im (nu cú) ca (d) v (P).
Bi 3 1) Gii phng trỡnh
2
5 6 0x x+ + =
2) Gii h phng trỡnh
3 4

2 5 7
x y
x y
+ =


+ =

Bi 4 1) Mt ngi d nh i xe gn mỏy t a im A n a im B cỏch nhau 90km. Vỡ cú
vic gp phi n B trc gi d nh l 45 phỳt nờn ngi y phi tng vn tc lờn mi gi 10
km . Hóy tớnh vn tc m ngi ú d nh i .
2) Chng minh rng phng trỡnh
( )
2
2 2 1 4 8 0 x m x m + =
(m l tham s) luụn cú 2
nghim phõn bit v khỏc 1 vi mi m R
Bi 5 Mt hỡnh vuụng ABCD ni tip trong ng trũn Tõm O bỏn kớnh R . Mt im M di
ng trờn cung ABC , M khụng trựng vi A,B v C, MD ct AC ti H.
1) Chng minh t giỏc MBOH ni tip c trong ng trũn v DH.DM = 2R
2
.
2) Chng minh tam giỏc MDC ng dng vi tam giỏc MAH .
3) Hai tam giỏc MDC v MAH bng nhau khi M mt v trớ c bit M. Xỏc nh
im M. Khi ú MD ct AC ti H. ng thng qua M v vuụng gúc vi AC
ct AC ti I. Chng minh rng I l trung im ca HC .
Đề 33
Câu1 : a, Cho biểu thức A=
2
)1(

:
1
1
1
1
2
2233











+
+








+

x
xx
x
x
x
x
x
x
Với x
2
;1
.a, Rút gọn biểu thức A .b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x=
226 +
c. Tìm giá trị của x để A=3
b, Cho biểu thức: P =
( )









+

+
+



1
122
:
11
x
xx
xx
xx
xx
xx
a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Câu 3: Cho parabol (P) : y = -x
2
và đt (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4: Bài 1: Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2

+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3
2
3
1
xx
=50
Bài 2: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)
a. Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
1
+ x
2
2
(với x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình (1))
Câu 5: Một ngời đự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20 km trong một thời gian đã định.
Sau khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, do đờng khó đi nên ngời đó giảm vận tốc đi 2km/h trên
21

50 bài toán hình học lớp 9
quãng đờng còn lại, vì thế ngời đó đến B chậm hơn dự định 15 phút. Tính vận tốc dự định của
ngời đi xe đạp.
Câu 6: Cho góc vuông xOy , trên Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là
một điểm bất kỳ trên AB .
Dựng đờng tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A , đờng tròn tâm O2 đi qua M
và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N .
a, Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB .
b, Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi .
c, Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất .
Đề 34
Bi 1. 1. Thc hin phộp tớnh :
( )
1 2
15 2 6
5 2 6 5 2 6

+ +
ữ
+

2. a) Rỳt gn biu thc : Q =
2 2
:
x
x y
x y xy
xy
y
+

vi x > 0 ; y > 0 v
x y


b)Tớnh giỏ tr ca Q ti x =
6 2 5+
; y = 5
Bi 2.Cho hm s y =
2
ax
cú th l (P).
a) Tỡm a bit (P) i qua im ( 4 ; 4). V (P) vi a tỡm c.
b) Trờn (P) ly hai im A v B cú honh ln lt bng 1 v 2. Vit ptt AB.
c)Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P) tỡm c cõu a.
Bi 3 Mt ca nụ xuụi mt khỳc sụng di 50km, ri ngc dũng tr li 32km ht tt c 4gi
30phỳt. Tớnh vn tc dũng nc bit vn tc thc ca ca nụ l 18km/gi.
Bi 4. 1. Cho phng trỡnh 3x
2
5x 4 = 0. (1)
Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc A = x
1
3
x
2
+ x
1
x
2

3
.
Vi x
1
, x
2
l hai nghim ca phng trỡnh (1)
2. Trong mt phng to Oxy cho Parabol (P) cú phng trỡnh y =
2
2
x
.
Gi (d) l ng thng i qua im M(0; 2) v cú h s gúc k. Chng t (d) luụn ct (P) ti
hai im phõn bit khi k thay i.
Bi 5 . Cho phng trỡnh : x
2
2( m 1)x + m 3 = 0 (1)
a) Gii phng trỡnh (1) khi m = 0.
b) Tỡm m (1) cú hai nghim trỏi du m nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn.
Bi 6. T im A ngoi ng trũn (O;R) k hai tip tuyn AB, AC ( vi B, C l
hai tip im). Gi H l giao im ca OA v BC.
a) Chng minh t giỏc ABOC l t giỏc ni tip. Tớnh tớch OH.OA theo R.
b) Gi E l hỡnh chiu ca im C trờn ng kớnh BD ca ng trũn (O).
Chng minh
ã
HEB
=
ã
HAB
.

c) AD ct CE ti K. Chng minh K l trung im ca CE.
d) Tớnh theo R din tớch hỡnh gii hn bi hai tip tuyn AB, AC v cung nh BC ca
ng trũn(O) trong trng hp OA = 2R.
22
50 bài toán hình học lớp 9
Đề 35
Bài 1 : Cho biểu thức:P=
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++

+


++
a, Rút gọn P b, Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 2 : Cho phơng trình :
( )
021
22
=+ aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của ph/trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho hàm số :
2
2xy
=
(P) Vẽ đồ thị (P), Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ
độ Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
1= mxy
theo m

Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 4: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe
con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc
4
3
quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5
Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ
20 phút.
Bài 5: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng
tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm
Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB. CMR tứ giác QBOA nội
tiếp đợc. Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của
E khi Q chuyển động trên Ax. Hạ BK Ax , BK cắt QO
tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ
tích của điểm H
(AH = AO H thuc ng trũn tõm A bỏn kớnh AO)
Bài 6: 1) Giải phơng trình: 2x
4
- 11 x
3
+ 19x
2
- 11 x + 2 = 0
2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A =
x
+
y
Giải
23
H

O
A
Q
B
E
K
50 bài toán hình học lớp 9
Xét A
2
= (
x
+
y
)
2
= x + y + 2
xy
= 1 + 2
xy
(1) Ta có:
2
yx +

xy
(Bất đẳng thức Cô
si) => 1 > 2
xy
(2) Từ (1) và (2) suy ra: A
2
= 1 + 2

xy
< 1 + 2
= 2
Max A
2
= 2 <=> x = y =
2
1
, max A =
2
<=> x = y =
2
1
Bài 6: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và
cắt đờng tròn tại M .
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Đề 36
Bài 1: Cho biểu thức:P=
12
.
1
2
1
12
1

+


+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P b/ Cho P=
61
6
+
tìm giá trị của a c/ Chứng minh rằng P>
3
2
Bài 2: Cho phơng trình
( )
04412

2
=+ mxxm
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1. b, Giải và biện luận HP (1)
b) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 3: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình



=+
=+
2ã
1
yax
ayx
a) Có một nghiệm duy nhất b/Vô nghiệm
Bài 4: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d)
12 = mmxy

a) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy
bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì
sẽ đợc
5

1
bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
24
50 bài toán hình học lớp 9
Bài 5: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm
C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 90
0
và
0
90

=DOC
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao
cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM ,
BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F .
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại
M và cắt các tia OC , OD lần lợt tại I , K . CMR
các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí
của D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng
thuộc một đờng tròn
F
E
O
A
B
C
D

M
K
I
S
Bài 6. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng
thời :
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
Tính giá trị của biểu thức :
2007 2007 2007
A x y z= + +
.
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =

Cộng từng vế các đẳng thức ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =

1 0
1 0
1 0
x
y
z
+ =


+ =


+ =

1x y z = = =

Câu 1: Cho Biu Thc : A = ( + ) : ( - ) +
a, Rỳt gn bt A . b, Tớnh giỏ tr ca A khi x = 7 + 4 c , Vi giỏ tr no ca x thỡ A t
Min ?
Câu 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với
vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng

còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Câu3: Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:(P): y=mx
2
(d): y=2x+m ( m0)
1. Với m=
3
, tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi m0, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt.
3. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ là
( )
.)21(;21
3
3
+


25