on thi vao thpt co he thong li thuyet

Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Tài liệu ôn thi vào thpt 2010
a. Ôn tập đạI Số
Ôn lại kiến thức lớp 8
Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phơng của một tổng
( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
2. Bình phơng của một hiệu
( a - b )
2
= a
2
- 2ab + b
2
3. Hiệu hai bình phơng
a
2
- b
2
= ( a + b )( a b )
4. Lập phơng của một tổng
( a + b )
3
= a
3

+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5. Lập phơng của một hiệu
( a - b )
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6. Tổng hai lập phơng
a
3
+ b
3
= ( a + b )( a
2
ab + b
2
)
7. Hiệu hai lập phơng
a
3

- b
3
= ( a - b )( a
2
+ ab + b
2
)
Nhân hai đa thức: Nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
tổng hạng tử của đa thức kia
( a + b )( c + d ) = ab + ad + bc + bd
Lu ý: Khi nhân các hạng tử ta nhân cả dấu hai hạng tử cùng dấu ta đặt dấu trừ tr-
ớc kết quả, hai hạng tử khác dấu ta đặt dấu cộng trớc kết quả,
Các phơng pháp phân tích đa thúc thành nhân tử
1. Đặt nhân tử chung
2. Dùng hằng đẳng thức
3. Nhóm các hạng tử
4. Phối hợp nhiều phơng pháp
5. Tách thêm bớt một hạng tử
Phần I: Căn Bậc hai
I. Kiến thức cần nắm
1. Các khái niệm
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a
Số dơng a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là
a
và -
a
* Căn bậc hai số học của một số dơng a là số dơng x sao cho x
2

= a
Số x là căn bậc hai số học của a ( a

0 ) viết x =
a

2
0x
x a




=

2. Các tính chất
*
A
xác định với mọi A 0
* Với a, b là các số dơng, ta có
- Nếu a < b thì
a
<
b
- Nếu
a
<
b
thì a < b
Hệ quả áp dụng

Nếu : m> 1 thì
m
> 1
Nguyễn Ngọc Trang
1
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Nếu : 0 < m < 1 thì
m
< 1
Nếu : m > 1 thì m >
m
Nếu: 0< m < 1 thì m <
m
3. Các công thức biến đổi căn bậc hai :
* Hằng đẳng thức

2
A
=
A

* Khai căn một tích - nhân hai căn bậc hai

AB
=
A
.
B
(Với A 0 và B 0)

* Khai căn một thong - chia căn thức bậc hai

B
A
=
B
A
(Với A 0 và B > 0)
* Đa thừa số ra ngoài dấu căn

BA
2
=
BA
( B

0)
* Đa thùa số vào trong dấu căn
A
BAB
2
=
(Với A 0 và B 0)
A
BAB
2
=
(Với A< 0 và B 0)
* Khử mẫu biểu thức lấy căn

AB
BB
A 1
=
(Với AB 0 và B 0)
* Trục căn thức ở mẫu

B
BA
B
A
=
(Với B> 0)

2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A 0 và A B
2
)

BA
BAC

BA
C

=

)(
(Với A 0 ,B 0 và A B)
3. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
* Điều kiện xác định của biểu thức chứa căn bậc hai
Các căn thúc có nghĩa
Mẫu của các phân thức khác không
* Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ta vận dụng tổng hợp các phép tính và các phép
biến đổi căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
II. Các dạng bài tập
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức
3 8 3 8A = +
1 1
-
10 -3 10 3
B =
+
.
H =
25
1
25
1

+
+

I 4 9 4 2
= +
Nguyễn Ngọc Trang
2
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
13 20 4 9 4 2C = + +
7 4 3 7 4 3D = + +
( )
( )
2
1 1 15
6 5 120
2 4 2
3 2 3 2 2
3 3 2 2
3 2 1
E
F
= +
+
= + +
+
G =
4
3 2 5 8 2 18
2
+
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3

K
+
= +
+ +
L =
( ) ( )
( )
5 3 50 5 24
75 5 2
+

2 5 24
M
12
+
=
N =
4
12
3 5
+
+

Bài 2. Chng minh ng thc:
a.
2 3 1
5 3 6 3 6 5
+ =
+
.

b.
9 4 2 2 2 1+ = +
.
c.
549045316013 =+
Bài 3. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
232
12
+
+
=A
;
222
1
+
=
B
;
123
1
+
=C
Bài 4. Cho biểu thức:
1,0;1
1
1
1

+
+
+
=
aa
a
aa
a
aa
A
.
1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm a 0 và a1 thoả mãn đẳng thức: A= -a
2
Bài 5. Cho biểu thức:
1,0;
1
1
2
12
2
>
+












++
+
=
xx
x
x
x

x
xx
x
Q
.
a. Chứng minh
1
2

=
x
Q
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
Bài 6. Cho biu thc
x 1 2 x
P 1 : 1
x 1
x 1 x x x x 1

= +
ữ ữ
+
+

a) Tỡm iu kin P cú ngha v rỳt gn P.
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc
P x

nhn giỏ tr nguyờn.
Nguyễn Ngọc Trang

3
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bài 7. Cho biu thc
( ) ( )
a 3 a 2 a a 1 1
P :
a 1
a 1 a 1
a 2 a 1

+ + +


= +
ữ


+
+


a) Rỳt gn P.
b) Tỡm a
1 a 1
1
P 8
+

Bài 8. Cho biểu thức A =

2
2
2
1 1 1
. 1
2
1 1
x
x
x x


+ +
ữ
+

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Giải phơng trình theo x khi A = 2.
Bài 9. Cho biểu thức :
P=
1
2
1
2
+
+

+
+

a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 10. Cho biểu thức
P=








+

+

+
+

+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a=
32
và b=
31
13
+

Bài 11. Cho biểu thức :
xxxxxx
x
A
++
+
=
2
1
:
1
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 12. Cho biểu thức
2 3 2 2 4
4
2 2 2 2
( ) :( )
x x x x
P
x
x x x x x
+ +
= +

+
a) Rút gọn P
b) Cho
2

3
11
4
x
x

=
. Hãy tính giá trị của P.
Bài 13. Cho biểu thức : A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a a
a a a a a
+ +
+ +
+ + + +
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
Phần ii: phơng trình bất ph ơng trình hệ ph ơng trình
Nguyễn Ngọc Trang
4
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
I. Kiến thức cần nắm
1. Ph ơng trình bậc nhất: Dạng ax+b =0.(1)
-Nếu a 0 thì (1) là phơng trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm duy nhất x=
a
b
-Nếu a = 0

==
=
. nghiệmsố vôn nê00x dạng (1)có0b
nghiệm. vôn nê0b0x dạng có)1(0b
2. Bất phơng trình bậc nhất: ax + b > 0

ax > - b
- Nếu a > 0 bất phơng trình có nghiệm x >
a
b
( Chia cả hai vế bpt cho số a > 0 bpt giữ
nguyên dấu )
- Nếu a < 0 bất phơng trình có nghiệm x <
a
b
( Chia cả hai vế bpt cho số a < 0 dấu của
bpt đổi chiều )
3. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :
a)Dạng tổng quát :



=+
=+
''' cybxa
cbyax
(I) (Trong đó

0
0
b
a
)
*(I) có nghiệm duy nhất khi
'' b
b
a
a

.
*(I) có vô số nghiệm khi
''' c
c
b
b
a
a
==
*(I) vô nghiệm khi
''' c
c
b
b
a

a
=
.
b) Phơng pháp giải hệ phơng trình :
+ Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
+ Giải hệ phơng trình bàng phơng pháp cộng đại số.

4. Phơng trình bậc hai : Dạng ax
2
+bx +c = 0 (a 0). (1)
a)Công thức nghiệm tổng quát :
Biệt thức = b
2
4ac.
-Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2

.
-Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x

1
= x
2
=
a
b
2
-Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm .
b)Công thức nghiệm thu gọn :
* Khi có hệ số b = 2b . ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn :
Biệt thức = b
2
ac.
-Nếu > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x
1
=
a
b '' +
; x
2
=
a
b ''
.
-Nếu = 0 Phơng trình có nghiệm kếp x
1
= x
2
=
a

b'
Nguyễn Ngọc Trang
5
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
-Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm .
c)Cách nhẩm nghiệm :
+Nếu (1) có a+b+c = 0 thì (1) có 2 nghiệm :
x
1
= 1 ; x
2
=
a
c

+Nếu (1) có a b +c = 0 thì (1) có hai nghiệm :
x
1
= - 1; x
2
=
a
c
d)Hệ thức Viét:
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax

2
+ bx + c = 0 (a 0) thì







=

=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
d) Một số chú ý :
* (1) có nghiệm khi : 0.
* (1)Luôn có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0.
*(1) Có hai nghiệm dơng khi :

>=
>=+

0.
0
0
21
21
a
c
xx
a
b
xx
*(1) Có hai nghiệm âm khi :









>=
<=+

0.
0
0
21
21
a
c
xx
a
b
xx
II. Một số dạng bài tập
Bài 1. Giải phơng trình và hệ phơng trình
a.
2 3
5 4
x y
y x
=


+ =

b.



=+
=++
01

33
xy
xyyx

c.



=+
=++
01
33
xy
xyyx
d. x
2
10 x + 21 = 0
e. x
4
6x
2
- 16 = 0
f. 5x
2
+ 6 = 7x 2.
g.
4 2
6 8 0x x
+ =
h.

2 2
5 3 5 2
x y
x y
=



=


Bài 2. Giải hệ phơng trình
Nguyễn Ngọc Trang
6
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
a.







=



=

+

1
1
3
2
2
2
2
1
1
1
xy
yx
b.







=



=
+
+

4
1
2
1
5
7
1
1
1
2
yx
yx
c.



=+
=
8
16
22
yx
yx
i.
( )
( )
3 1 2 1
1 2 3 1
x y
x y

+ =


+ =


d.







=

+
=


5
2
34
1
2
11
yx
yx
e.

=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
g.
2 2
68
6
x y
x y

+ =

+ =

h.
1 1
3
2 3
1
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

Bài 3. Giải phơng trình
a.
xxx
1
1
1
3
1
=

+
+
b.
xx
x
xx
x
x
x
6
1

6
2
36
22
222
+

=





c.
5
12
412
=
+
+
+
x
x
x
x
d.
0
9
81
3

1
2
=+














x
x
x
x
( ) ( )
2
2 2
1 4 1 5x x
=
e.
2 2 2
5 5 25
5 2 10 2 50

x x x
x x x x x
+ +
=
+
g.
5
12
412
=
+
+
+
x
x
x
x
h.
2 2 2
5 5 25
5 2 10 2 50
x x x
x x x x x
+ +
=
+
Bài 4. Giải phơng trình chứa căn bậc hai và dấu giá trị tuyệt đối
a.
032
2

= xx
b.
xx =+ 332
c.
3 2 1 4x x+ =
d.



=+
=+
033yx
0y1x
e.
1 2
2 2
x y
x y
+ + =


+ =


f.
0113
22
=
xx
g.

2 2 2 1x x =
h. 1 x -
3 x
= 0
i.
2= xx
k.
2
3 4 3 4 0x x + =
l. 2x - 5 = 3
2+x
m. x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0
n. 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
p. (x
2
4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
226 =+ xx

Bài 5. Cho hệ phơng trình :



=+
=+
13
52
ymx
ymx
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1 .
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m .
Nguyễn Ngọc Trang
7
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
c) Tìm m để x y = 2 .
Bài 6. Cho hệ phơng trình:
( )
( )



=+
=+
24121
1213
yxm
ymx
1. Giải hệ phơng trình.

2. Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm sao cho x<y.
Bài 7. Cho hệ phơng trình :



=+
=+
13
52
ymx
ymx
a) Giải hệ phơng trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m .
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x
2
+ y
2
= 1 .
Bài 8. Cho hệ phơng trình .



=+
=
53
3
myx
ymx
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1 .
b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ;

1
3
)1(7
2
=
+

+
m
m
yx
Bài 9. Cho h phng trỡnh
( )
mx my 3
1 m x y 0
+ =


+ =

a)Gii h vi m = 2.
b) Tỡm m h cú nghim õm (x < 0; y < 0).
Bài 10. Cho hệ phơng trình :



=+
=+
64
3

ymx
myx
a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > 1 , y > 0 .
Bài 11. Cho phơng trình bậc hai :
2
3 5 0x x+ =
và gọi hai nghiệm của phơng trình
là x
1
và x
2
. Không giải phơng trình , tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2 2
1 2
1 1
x x
+
b)
2 2
1 2
x x
+

c)
3 3
1 2
1 1
x x

+
d)
1 2
x x+
Bài 12.
1. Cho phng trỡnh mx
2
2(m-1)x + m = 0 (1)
a) Gii phng trỡnh khi m = - 1.
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit.
c) Gi hai nghim ca (1) l x
1
, x
2
. Hóy lp phng trỡnh nhn
1 2
2 1
x x
;
x x
lm
nghim
Nguyễn Ngọc Trang
8
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
2.Chng minh rng nu
a b 2+
thỡ ớt nht mt trong hai phng trỡnh sau õy cú
nghim: x

2
+ 2ax + b = 0; x
2
+ 2bx + a = 0.
Bài 13. Cho phng trỡnh (m + 2)x
2
2(m 1) + 1 = 0 (1)
a) Gii phng trỡnh khi m = 1.
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim kộp.
c) Tỡm m (1) cú hai nghim phõn bit, tỡm h thc liờn h gia cỏc nghim
khụng ph thuc vo m.
Bài 14. Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có 2 nghiệm là:
53
4
;
53
4
21

=
+
= xx
Bài 15. Cho phơng trình : x
2
( m+2)x + m
2
1 = 0 (1)
a) Gọi x
1
, x

2
là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m thoả mãn x
1
x
2
= 2 .
b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau .
Bài 16. Cho phơng trình : 2x
2
+ ( 2m - 1)x + m - 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 11 .
2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m .
3) Với giá trị nào của m thì x
1
và x
2
cùng dơng .
Bài 17. 1. Giải và biện luận phơng trình :

(m
2
+ m +1)x
2
3m = ( m +2)x +3
2. Cho phơng trình x
2
x 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
, x
2
. Hãy lập phơng trình
bậc hai có hai nghiệm là :
2
2
2
1
1
;
1 x
x
x
x

Bài 18. Cho phơng trình x
2
2 (m + 1 )x + m
2
- 2m + 3 = 0 (1).
a) Giải phơng trình với m = 1 .

b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia .
Bài 19. Cho phơng trình : x
2
mx + m 1 = 0 .
1) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Tính giá trị của biểu thức .
2
212
2
1
2
2
2
1
1
xxxx
xx
M
+
+
=
. Từ đó tìm m để M > 0 .
2) Tìm giá trị của m để biểu thức P =
1
2
2

2
1
+
xx
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 20. 1. Cho hệ phơng trình .




=+
=
nyx
nymx
2
5
a) Giải hệ khi m = n = 1 .
b) Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm



+=
=
13
3
y
x
2. Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm của phơng trình là :
2
32

1

=x

2
32
2
+
=x
Nguyễn Ngọc Trang
9
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bài 21. Cho phơng trình x
2
( 2m + 1 )x + m
2
+ m 1 =0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x
1
, x
2
, là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m sao cho : ( 2x
1
x
2
)( 2x
2

x
1
) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất ấy .
c) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m .
Phần III: Ôn về hàm số và đồ thị
A,Kiến thức cần nhớ:
I. Hm s bc nht:
1. nh ngha hm s bc nht:
Hm s bc nht l hm s cho bi cụng thc:
y = ax + b
trong ú a v b l cỏc s thc xỏc nh v a

0
2. Tớnh cht hm s bc nht:
a. Hm s bc nht y = ax + b xỏc nh vi mi x thuc R
b. Trờn s thc R, hm s y = ax + b ng bin khi a > 0
v nghch bin khi a < 0
3. th hm s y = ax + b (a

0 )
l mt ng thng ct trc tung ti im cú tung bng b v song song vi ng
thng y = ax nu b

0, trựng vi ng thng y = ax nu b = 0.
4. Cỏch v th hm s y = ax + b (a

0 ) :
Cỏch 1 : Xỏc nh hai im bt k ca th.
Chng hn : A(1; a+b) va B(-1; b- a)
Cỏch 2 : Xỏc nh giao im ca th vi hai trc to
Chng hn : A(0 ; b) v B(-
a
b
; 0).
5. ng thng ct nhau:
Hai ng thng y = ax + b (a

0 ) v y = a
,
x + b
,
(a
,


0) ct nhau khi v ch khi a

a
,

Chỳ ý : Khi a

a
,
v b = b
,

thỡ hai ng thng ct nhau ti mt im trờn trc tung cú
tung chớnh l b.
6. Hai ng thng song song:
Hai ng thng y = ax + b (a

0 ) v y = a
,
x + b
,
(a
,


0) song song vi nhau khi
v ch khi: a = a
,
; b = b
,
v trựng nhau khi v ch khi: a = a
,
, b = b
,

7. ng thng vuụng gúc
Hai ng thng y = ax + b (a

0 ) v y = a
,
x + b
,

(a
,


0) vuụng gúc vi nhau khi
v ch khi a.a
/
= -1
8. H s gúc ca ng thng:
- Khi h s a dng thỡ gúc

to bi ng thng y = ax + b (a

0 ) vi tia Ox l
gúc nhn , a cng ln thỡ gúc

cng ln nhng nh hn 90
0

Nguyễn Ngọc Trang
10
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
- Khi h s a õm thỡ gúc

to bi ng thng y = ax + b (a

0 ) vi tia Ox l gúc
tự , a cng ln thỡ gúc

cng ln nhng nh hn 180
0

*Vỡ cú s liờn h gia h s a ca x v gúc to bi ng thng y = ax +b (a

0 ) vi
tia Ox nờn ngi ta gi:
a l h s gúc ca ng thng y = ax + b (a

0 )
II. Hàm số y = ax
2
(a 0)
- a > 0 : nghịch biến khi x < 0 , đồng biến khi x > 0
- a < 0: đồng biến khi x < 0 , nghịch biến khi x > 0
* Đồ thị là Parabol đối xứng nhau qua 0y
- Nếu a > 0 Parabol nằm trên trục hoành
- Nếu a < 0 Parabol nằm dới trục hoành
- Vẽ đồ thị hàm số y = a.x
2
B1: Lập bảng giá trị x, y tơng ứng
B2: Liệt kê các điểm thuộc đồ thị hàm số
B3: Biểu diễn các điểm thuộc đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ rồi nối chúng lại theo
một đờng cong
3,Sự tơng giao giữa các đồ thị các hàm số:
(d) : y = ax + b (a 0)
(P) : y = ax
2
(a 0)
+ d (P) tại hai điểm phân biệt

hệ PT



+=
=
baxy
axy
2
có 2 nghiệm hay pt : ax
2
= ax + b có 2 nghiệm phân biệt.
+d tiếp xúc (P) khi hệ PT



+=
=
baxy
axy
2
có 1 nghiệm hay pt : ax
2
= ax + b có nghiệm kép
+d không cắt P khi hệ PT



+=
=

baxy
axy
2
vô nghiệm hay pt: ax
2
= ax + b vô nghiệm
* Toạ độ giao điểm của (P) và d ( nếu có ) là nghiệm của hệ



=
+=
2
axy
baxy

* Hoành độ giao điểm điểm của (P) và d ( nếu có ) là nghiệm pt : ax
2
= ax + b
Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) .
a) Điểm A có thuộc (D) hay không ?
b) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P) đi qua A .
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (D) .
Bài 2. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)
1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 3 .
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5
Bài 3. Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x m + 3 (1)

a. Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) .
b. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m
Bài 4. Cho hàm số : y =
2
2
1
x

Nguyễn Ngọc Trang
11
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
a. Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.
b. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc
với đồ thị hàm số trên .
Bài 5. Cho hàm số : y = -
2
2
1
x
a. Tìm x biết f(x) = - 8 ; -
8
1
; 0 ; 2 .
b. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hoành độ lần
lợt là -2 và 1 .
Bài 6. Cho hàm số :
4
2
x

y
=
và y = - x 1
a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .
a. Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x 1 và cắt đồ thị
hàm số
4
2
x
y
=
tại điểm có tung độ là 4 .
Bài 7.
a) Tìm các giá trị của a , b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm
A( 2 ; - 1 ) và B (
)2;
2
1
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3 ; y = 3x 7 và đồ thị
của hàm số xác định ở câu ( a ) đồng quy .
Bài 8. Cho Parabol (P) : y =
2
2
1
x
và đờng thẳng (D) : y = px + q .
Xác định p và q để đờng thẳng (D) đi qua điểm A ( - 1 ; 0 ) và tiếp xúc với (P) .
Tìm toạ độ tiếp điểm .
Bài 9. Trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) :
2

4
1
xy =

và đờng thẳng (D) :
12 = mmxy
a) Vẽ (P) .
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) .
c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định .
.
Bài 10. Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là đờng cong Parabol (P) .
a) Chứng minh rằng điểm A( -
)2;2
nằm trên đờng cong (P) .
b) Tìm m để để đồ thị (d ) của hàm số y = ( m 1 )x + m ( m

R , m

1 ) cắt đ-
ờng cong (P) tại một điểm .
c) Chứng minh rằng với mọi m khác 1 đồ thị (d ) của hàm số y = (m-1)x + m
luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 11. Cho hàm số : y = ( 2m 3)x
2
.
1) Khi x < 0 tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1 , -1 ) . Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc .
Bài 12. Cho Parabol y=x

2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m
2
+4.
a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng
Nguyễn Ngọc Trang
12
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
b. Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của
chúng đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 13. Trên parabol
2
2
1
xy
=
lấy hai điểm A và B. Biết hoành độ của điểm A là x
A
=-2
và tung độ của điểm B là y
B
=8. Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Bài 14. Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x
2
/2 ; (d): y=mx-m+2 (m là tham số).
1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x=4.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm

phân biệt.
3. Giả sử (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là toạ độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
Chứng minh rằng
( )
( )
2121
122 xxyy
++
.
Bài 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x
2

(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x
1
, x
2
. Tìm a để x
1

2
+x
2
2
=6
Bài 16: Cho (P):
2
2
x
y

=
và đờng thẳng (D):
2y x
=
.
a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (P) bằng phép toán.
c) Viết phơng trình đờng thẳng (D') biết (D') // (D) và (D') tiếp xúc với (P).
Bài 17:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
(P)
b) Tìm hệ số góc của đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 sao
cho đờng thẳng ấy :
Cắt (P) tại hai điểm
Tiếp xúc với (P)
Không cắt (P)
D Phần IV: Giải BT bằng cách lập PT hoặc hệ PT
I) Kiến thức cơ bản cần nhớ:

Các bớc giải bài toán bằng cách lập PT (hệ PT):
B ớc 1: Lập phơng trình:
*Chọn ẩn, tìm ĐK cho ẩn , Đơn vị của ẩn.
*Biểu thị các đại lợng cha biết khác qua ẩn.
*Dựa vào mối quan hệ của đề bài để lập phơng trình hoặc hệ PT.
B ớc 2: Giải PT hoặc hệ PT.
B ớc 3: Kiểm nghiệm kết quả và trả lời.
B i1:
Nguyễn Ngọc Trang
13
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Mt ụ tụ i t A n B. Cựng mt lỳc ụ tụ th hai i t B n A vi vn tc bng
3
2
vn
tc ca ụ tụ th nht. sau 5 gi chỳng gp nhau. Hi mi ụ tụ i c quóng ng AB
mt bao lõu?
Bi 2:
Mt ụ tụ du lch i t A n C. Cựng mt lỳc t a im B nm trờn on ng AC,
cú mt ụ tụ vn ti cng i n C. Sau 5 gi hai ụ tụ gp nhau ti C. Hi ụ tụ du lch i
t A n B mt bao lõu, bit rng vn tc ca ụ tụ vn ti bng
5
3
vn tc ca ụ tụ du
lch?
Bi3:
ng sụng t thnh ph A n thnh ph B ngn hn ng b 10 km. i t A n
B, canụ i ht 3 gi 20 phỳt, ụ tụ i ht 2 gi. Vn tc ca canụ kộm vn tc ụ tụ 17
km/h. Tớnh vn tc ca canụ?

Bi4:
Mt ngi i xe p t tnh A n tnh B cỏch nhau 50km. Sau ú 1gi30phỳt, mt
ngi i xe mỏy cng i t A v n B sm hn 1gi. Tớnh vn tc ca mi xe, bit
rng vn tc xe mỏy gp 2.5 ln vn tc xe p?
Bi5:
Mt ngi i xe mỏy t A n B vi vn tc trung bỡnh 30km/h. Khi n B, ngi ú
nh 20phỳt ri quay tr v Avi vn tc trung bỡnh 25km/h. Tớnh quóng ng AB, bit
rng thi gian c i ln v l 5gi30phỳt.
Bi6:
Mt ụ tụ d nh i t tnh A n tnh B vi vn tc trung bỡnh 40 km/ h. Lỳc u ụ tụ
i vi vn tc ú, khi cũn 60 km na thỡ c mt na quóng ng AB, ngi lỏi xe
tng thờm vn tc 10 km/ h trờn quóng ng cũn li, do ú ụ tụ n tnh B sm hn 1
gi so vi d nh. Tớnh quóng ng AB.
Bi7:
Mt i mỏy kộo d nh mi ngy cy 40 ha. Khi thc hin, mi ngy i mỏy kộo cy
c 50 ha. vỡ vy,i khụng nhng ó cy xong trc thi hn 2 ngy m cũn cy
thờm c 42 ha na. Tớnh din tớch tha rung m i phi cy theo k hochó nh?
Bi 8:
Hai t cụng nhõn lm chung trong 12 gi s hon thnh xong mt cụng vic ó nh. H
lm chung vi nhau trong 4 gi thỡ t th nht c iu i lm vic khỏc, t th 2 lm
nt phn cụng vic cũn li trong 10 gi. Hi t th hai nu lm mt mỡnh thỡ sau bao
lõu s hon thnh cụng vic?
Bi 9:
Trong thỏng u, hai t cụng nhõn sn xut c 800 chi tit mỏy. Sang thỏng th hai,
t mt sn xut vt 15%, t 2 sn xut vt mc 20%, do ú cui thỏng c hai t sn
Nguyễn Ngọc Trang
14
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
xut c 945 chi tit mỏy. Hi rng trong thỏng u, mi t cụng nhnn xut c

bao nhiờu chi tit mỏy?
Bi 10:
Mt i cụng nhõn hon thnh mt cụng vic vi mc 420 cụng th. Hóy tinh s cụng
nhõn ca i, bit rng nu i tng thờm 5 ngi thỡ s ngy hon thnh cụng vic
s gim i 7 ngy.
Bi 11:
Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau
5
4
4
gi b y. Mi gi lng nc ca vũi
mt chy c bng
2
1
1
lng nc chy c cua vũi 2. Hi mi vũi chy riờng thỡ
trong bao lõu y b?
Bi 12:
Mt mỏy bm mun bm y nc vo mt b cha trong mt thi gian quy nh thỡ
mi gi phi bm c 10m
3.
. Sau khi bm c
3
1
dung tớch b cha, ngi cụng
nhõn vn hnh cho mỏy bm vi cụng xut ln hn, mi gi bm c 15m
3
. Do ú, b
c bm y trc 48phỳt so vi thi gian quy nh. Tớnh dung tớch ca b cha?
Bi 13:

Nm ngoỏi tng s dõn ca hai tnh A v B l 4 triu. Dõn s tnh A nm nay tng
1.2%, cũn tnh B tng 1.1%. Tng s dan ca hai tnh nm nay l 4045000 ngi. Tớnh
s dõn ca mi tnh nm ngoỏi v nm nay.
Bi 14:
Mt phũng hp cú 360 gh ngi c xp thnh tng dóy v s gh ca mi dóy u
bng nhau. Nu s dóy tng thờm mt v s gh ca mi dóy cng tng thờm mt thỡ
trong phũng cú 400 gh. Hi trong phũng hp cú bao nhiờu dóy gh v mi dóy cú bao
nhiờu gh?
Bi 15:
Mt ụ tụ d nh i t A n B trong mt thi gian nht nh. Nu xe chy vi vn tc
35km/h thỡ n chm mt 2 gi. Nu xe chy vi vn tc 50km/h thỡ n sm hn mt
gi. Tớnh quóng ng AB v thi gian d nh i lỳc u?
Bi16:
Hai canụ cựng khi hnh t hai bn A v B cỏch nhau 85 km v i ngc chiu
nhau.Tớnh vn tc riờng ca mi canụ, biột rng vn tc ca canụ i xuụi dũng thỡ ln
hn vn tc ca canụ i ngc dũng l 9 km/h v vn tc dũng nc l 3 km/ h.
Bi 17:
Hai ngi th cựng lm mt cụng vic trong 16gi thỡ xong. Nu ngi th nht
lm3gi v ngi th hai lm 6 gi thỡ h lm c 25% cụng vic. Hi mi ngi lm
cụng vic ú mt mỡnh thỡ trong bao lõu s hon thnh cụng vic?
Nguyễn Ngọc Trang
15
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bi 18:
Hai i xõy dng cựng lm chung mt cụng vic v d nh lm xong trong 12 ngy.
H cựng lm vi nhau c 8 ngy thỡ i mt c iu ng lm vic khỏc , cũn i
hai tip tc lm. Do ci tin k thut, nng xut tng gp ụi nờn i 2 ó lm xong phn
cụng vic cũn li trong 3 ngy ri.Hi nu mi i lm mt mỡnh thỡ sau bao nhiờu
ngy s lm xong cụng vic núi trờn (vi nng xut bỡnh thng) ?

Bi 19:
Nu hai vũi nc cựng chy vo b thỡ sau 1gi 20 phỳt b y. Nu m vũi th nht
chy trong 10 phỳt v vũi th 2 trong 12 phỳt thỡ y
15
2
b. Hi nu mi vũi chy mt
mỡnh thỡ phi bao lõu mi y b?
Bi20:
Hai vi chuyn ng trờn mt ng trũn cú ng kớnh 20m, xut phỏt cựng mt lỳc
t cựng mt im. Nu chỳng chuyn ng cựng chiu thỡ c sau 20giõy li gp nhau.
Nu chỳng chuyn ng ngc chiu thỡ c sau 4giõy li gp nhau. Tớnh vn tc ca
mi vt.
Bi 21:
Mt chic thuyn khi hnh t mt bn sụng A. Sau 5gi20phỳt, mt canụ chy t bn
A ui theo v gp thuyn cỏch bn A 20km. Hi vn tc ca thuyn, bit rng canụ
chy nhanh hn thuyn 12km1gi ?
Bi 22:
Quóng ng AB di 270km. Hai ụ tụ khi hnh cựng mt lỳc i t A nB. ễ tụ th
nht ch nhanh hn ụ tụ th hai 12km/h, nờn n trc ụ tụ th hai 40phỳt. Tớnh vn
tc ca mi xe.
Bi 23:
Ngi ta ho ln 8 gam cht lng ny vi 6 gam cht lng khỏc cú khi lng riờng nh
hn nú 20 kg/m
3
c mt hn hp cú khi lng riờng l 700 kg/m
3
. Tỡm khi
lng riờng ca mi cht lng.
Bi 24:
Cho mt s cú hai ch s. Tỡm s ú, bit rng tng hai ch s ca nú nh hn s ú 6

ln, nu thờm 25 vo tớch ca hai ch s ú, s c mt s vit theo th t ngc li
vi s ó cho.
Bi 25:
Mt tu thu chy trờn mt khỳc sụng di 80km, c i v v mt 8gi20phỳt. Tớnh vn
tc ca tu thu khi nc yờn lng, bit rng vn tc ca dũng nc l 4km/h .
Bi 26:
Mt vt l hp kim ng v km cú khi lng l 124g v cú th tớch l15cm
3
. Tớnh
xem trong ú cú bao nhiờu gam ng v bao nhiờu gam km, bit rng c 89g ng thỡ
cú th tớch l 10cm
3
v 7g km thỡ cú th tớch l 1cm
3
.
Nguyễn Ngọc Trang
16
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bi 27:
Hai canụ cựng khi hnh mt lỳc v chy t bn A n bn B. Canụ I chy vi vn tc
20km/h, canụ II chy vi vn tc 24km/h. Trờn dng i, canụ II dng li 40phỳt, sau
ú tip tc chy vớ vn tc nh c. Tớnh chiu di quóng sụng AB, bit rng hai canụ
n b cựng mt lỳc.
Bi 28:
Mt khu vn hỡnh ch nht cú chu vi l 280 m. Ngi ta lm mt li i quanh vn
(thuc t trong vn) rng 2 m. Tớnh kớch thc ca vn, bit rng t cũn li trong
vn trng trt l 4256 m
3
.

b. Ôn tập hình học
PHầN i. ÔN TậP Lý THUYếT về tam giác
i. Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác
Trờng hợp 1: Cạnh Cạnh Cạnh
Trờng hợp 2: Cạnh Góc Cạnh
Trờng hợp 3: Góc Cạnh Góc
* Đối với tam giác vuông luôn có một cặp góc bằng nhau
Trờng hợp 1: Hai cặp cạnh góc vuông
Trờng hợp 2: Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh góc vuông đó
Trờng hợp 3: Cạnh huyền - cạnh góc vuông
Trờng hợp 4: Cạnh huyền Góc nhọn
II. Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác
Trờng hợp 1: Cạnh Cạnh Cạnh
Trờng hợp 2: Cạnh Góc Cạnh
Trờng hợp 3: Góc Góc
III. Các đờng đồng quy trong tam giác
1. Đờng cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc hạ từ đỉnh xuống cạnh đối diện
Ba đờng cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm ba đờng cao gọi là trực
tâm của tam giác
Có AH, BK, CL là ba đờng cao của tam
giác cắt nhau tại M, M gọi là trực tâm của
tam giác
2. Đờng trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh
đối diện
Ba đờng trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của ba dờng trung
tuyến gọi là trọng tâm của tam giác. Giao điểm này cách mỗi đỉnh tam giác một khoảng
cách bằng 2/ 3 đờng trung tuyến đi qua đỉnh đó
Ba đờng trung tuyến AM, BN, CL cắt nhau tại I
ta có AI =
2

3
. AM, BI =
2
3
. BN
CI =
2
3
. CL
Nguyễn Ngọc Trang
17
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
3. Đờng phân giác của tam giác là phân giác của các góc trong tam giác
Ba đờng phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của ba đờng phân
giác trong tam giác là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
Ba đờng phân giác AI, BK, CL cắt nhau tại M thì
M cách đều ba cạnh của tam giác, M là tâm đờng
tròn nội tiếp tam giác
4. Đờng trung trực của tam giác là đờng trung trực của mỗi cạnh tam giác
Ba đờng trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của ba đờng trung
trực trong tam giác là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
Ba đờng trung trực AH, BK, CL của tam giác cắt
nhau tại M, điểm M cách đều ba cạnh của tam
giác , M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
IV. Đờng trung bình của tam giác: Là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh tam
giác
* Tính chất: Đờng trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba của tam
giác
V. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau

* Tính chất
+ Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau
+ Hai góc kề cạnh đáy của tam giác cân bằng nhau
+ Trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đờng cao, đờng phân giác,đờng trung trực
* C/m tam giác cân
+ Hai cạnh bằng nhau
+ Hai góc bằng nhau
+ Đờng trung tuyến đồng thời là đờng cao, đờng phân giác, đờng trung trực
VI. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
* Tính chất
+ Ba góc bằng nhau mỗi góc bằng 60
0
+ ba cạnh bằng nhau
+ Đờng trung tuyến đồng thời là đờng cao, đờng phân giác, đờng trung trực
* C/m tam giác đều
+ Ba cạnh bằng nhau
+ Ba góc bằng nhau
+ Tam giác cân có một góc bằng 60
0
VII. Tam giác vuông là tam giác có một goc vuông
* Tính chất
+ Hai góc nhọn trong tam giác cân có tổng bằng 90
0
+ Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
* C/m tam giác vuông
+ Tam giác có một góc bằng 90
0
+ Trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó
PHầN iI. ÔN TậP Lý THUYếT về tứ giác
Nguyễn Ngọc Trang

18
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
I. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360
0
II. Hình thang: là tứ giác có hai cạnh đối song song
* Trong hình thang hai góc kề cạnh bên bù nhau
* Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông
* Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai đờng chéo bằng nhau
Chứng minh một tứ giác là hình thang cân ta dựa vào định nghĩa hoặc chứng minh hình
thang có hai đờng chéo bằng nhau
* Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình
thang
Đờng trung bình của hình thang song song và bằng nửa tổng hai cạnh đáy
* Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao
III. Hình bình hành: Là tứ giác có các cạnh đối song song
* Tính chất: + Các cạnh đối của hình bình hành song song và bằng nhau
+ Các góc đối của hình bình hành bằng nhau
+ Hai đờng chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng
* Chứng minh một tứ giác là hình bình hành
+ Dựa vào định nghĩa hình bình hành
+ C/m có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
+ C/m hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng
+ C/m có các góc đối bằng nhau hoặc các góc kề bù nhau
* Diện tích hình bình hành bằng đáy nhân với chiều cao tơng ứng
IV. Hình chữ nhật: Là tứ giác có bốn góc vuông
* Tính chất có các tính chất của hình bình hành và có hai đờng chéo bằng nhau
* C/m tứ giác là hình chữ nhật
+ Hình bình hành có một góc vuông

+ Hình bình hành có hai đòng chéo bằng nhau
+ Hình thang cân có một góc vuông
+ Tứ giác có 3 góc vuông
* Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai cạnh
V. Hình thoi: Là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
* Tính chất các tính chất của hình bình hành và có hai đờng chéo vuông góc
* C/m tứ giác là hình thoi
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
+ Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
* Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đờng chéo hoặc bằng đáy nhân với chiều cao t-
ơng ứng
VI. Hình vuông: Là tứ giác có có bốn cạnh bằng nhau bốn góc bằng nhau
* Tính chất có tất cả các tính chất của hình thoi và hình chữ nhật
* C/m tứ giác là hình vuông
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
+ Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc với nhau
+ Hình thoi có một góc vuông
Phần iiI. ôn tập về hệ thức lợng trong tam giác vuông
I. Hệ thức lợng về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ứng với cạnh huyền BC
1. AB
2
+ AC
2
= BC
2
( Định lí pytago )
2. AB
2

= BH. BC, AC
2
= CH.BC
3. AH
2
= BH.CH
Nguyễn Ngọc Trang
19
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
4. AH.BC = AB.AC
5.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
II. Tỉ số lợng giác
Tam giác ABC vuông tại A, góc B bằng

ta có,
sin

=
AC
BC
cos

=
AB
BC

tg

=
AC
AB
cotg

=
AB
AC

* Nếu

và

là hai góc phụ nhau thì (

+

= 90
0
)
sin

= cos

cos

= sin

tg

= cotg


cotg

= tg

* Với

là góc nhọn ta có
sin
2

+ cos
2

= 1
tg

.cotg

= 1
III. Hệ thức lợng về cạnh và góc trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A ta có
AB = BC. sin C = BC. cosB
AC = BC. sinB = BC. cos C
AB = AC. tg C = AC. cotgB

AC = AB. tgB = AB. cotgC
Phần IV đờng tròn và một số vấn đề liên quan
I. Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đ-
ờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
II. Sự xác định đờng tròn
+ Một điểm luôn nhìn AB dới một góc vuông thuộc đờng tròn đờng kính AB
+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một đờng tròn. Tâm đờng tròn là giao điểm
của ba đờng trung trực của ba đoạn thẳng ấy
III. Tiếp tuyến của đờng tròn :
a. Định nghĩa :
Đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với
đờng tròn đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông
góc với bán kính đi qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì
Nguyễn Ngọc Trang
20
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
Giao điểm này cách đều hai tiếp điểm
Tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
Tia kẻ từ tâm đờng tròn đến giao điểm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đI
qua các tiếp điểm
c. Cách chứng minh :
Cách 1 : Chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .
Cách 2 : Chứng minh đờng thẳng cắt đờng tròn tại một điểm và vuông góc với bán kính
tại điểm đó
IV. Vị trí tơng đối:

* Của một điểm với một đờng tròn :
Xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
Vị trí tơng đối Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc
( O ; R)
OM = R
M nằm trong ( O ; R ) OM < R
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
Xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng
thẳng a )
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) 2 d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) 1 d = R
a và ( O ; R ) không
giao nhau
0 d > R
* Của hai đờng tròn :
Xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc 1
Nguyễn Ngọc Trang
21
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
nhau :
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
d = R + r

d = R r
Haiđờng tròn không
giao nhau :
+hai đờng tròn ở ngoài
nhau :
+đờng tròn lớn đựng đ-
ờng tròn nhỏ :
0
d > R + r
d < R -r
V . Quan hệ giữa đờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai
phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông
góc với dây cung ấy.
VI . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều
tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn
khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
VII. Góc trong đờng tròn:
1. Các loại góc trong đờng tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2. Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
VIII. T giỏc ni tip
1. Khỏi nim:
Nguyễn Ngọc Trang
22
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT

O
A
B
C
D
Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng trũn c gi l t giỏc ni tip ng trũn
(Gi tt l t giỏc nt tip)
2. nh lớ
- Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc i din bng 180
0
-Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i din bng 180
0
thỡ t giỏc ú ni tip ng
trũn.
3. Du hiu nhn bit (cỏc cỏch C/m ) t giỏc ni tip
- T giỏc cú tng s do hai gúc i din bng 180
0
.
- T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc trong ca nh i din.
- T giỏc cú bn nh cỏch u mt im(m ta cú th xỏc nh c). im ú l tõm

ng trũn ngoi tip t giỏc.
- T giỏc cú hai nh k nhau cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc

.
Phần v. chứng minh ba điểm thẳng hàng
hai đờng thẳng song hai đ ờng thẳng vuông góc
ba đờng thẳng đồng quy
I. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
* Chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng:
1. Các đờng thẳng MA, MB trùng nhau:
a) Do cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đờng thẳng thẳng thứ ba.
b) Do đối xứng với một đờng thẳng thứ ba qua một điểm hay qua một đờng thẳng. Hoặc
do M, A, B lần lợt là ảnh của 3 điểm thẳng hàng M
1
, A
1
, B
1
trong một phép quay.
2. Các tia MA, MB là 2 tia đối:
a) Do MA, MB tạo với một tia Mx thành 2 góc kề bù.
b) Do một số điều kiện đặc biệt. Chẳng hạn đờng tròn (M) nhận AB làm một đờng kính; M
là tâm hình bình hành có một đờng chéo là AB; hai đờng tròn (A), (B) tiếp xúc nhau ngoài
tại M.
3. Các tia MA, MB trùng nhau:
a) Do cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Mx sao cho xMA = xMB.
b) Do một số điều kiện đặc biệt: 2 đờng tròn (A), (B) tiếp xúc trong nhau tại M; các tia
MA, MB là phân giác của cùng một góc, MA là trung tuyến của một tam giác có trọng
tâm là B;
II. Chứng minh hai đờng thẳng song song hai đờng thẳng vuông góc

1. Chứng minh hai đờng thẳng song song
* Chứng minh cặp góc ở vị trí so le trong, cặp góc đồng vị bằng nhau. Cặp góc trong
cùng phía ngoài cùng phía bù nhau
* Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc hoặc cùng song song với đờng thẳng thứ
ba
* Hai đờng thẳng chứa hai cạnh đối của hình bình hành
2. Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
* Hai đờng thẳng cắt nhau tạo ra góc có số đo bằng 90
0
Nguyễn Ngọc Trang
23
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT
* Một đờng thẳng song song một dờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
III. Chứng minh ba đờng thẳng AB, CD, EF đồng quy.
Có thể chứng minh:
1. AB, CD, EF là 3 đờng cao, 3 đờng trung tuyến, 3 đờng trung trực, 3 đờng phân giác
trong, một đờng phân giác trong và 2 đờng phân giác ngoài của một tam giác.
2. AB, CD cắt nhau tại một điểm thẳng hàng với E, F.
3. AB, CD cắt nhau và đối xứng với nhau qua EF.
4. Có 3 đờng tròn (O
1
), (O
2
) và (O
3
) sao cho AB, CD, EF là dây chung (hoặc tiếp tuyến
chung trong) của các cặp đờng tròn tơng ứng: (O
1
) với (O

2
), (O
2
) với (O
3
), (O
3
) với (O
1
).
Bi 1: Cho

ABC vuụng A. Trờn AC ly dim M v v ng trũn ng kớnh MC.
K BM ct ng trũn ti D. ng thng DA ct ng trũn ti S. C/m :
a) T giỏc ABCD ni tip.
b)
ã
ã
ABD ACD=
c) CA l phõn giỏc ca
ã
SCB
Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tip na ng trũn ng kớnh AD. Hai ng chộo AC
v BD ct nhau ti E. V EF vuụng gúc vi AD. C/m :
a) T giỏc ABEF, t giỏc DCEF ni tip .
b) CA l phõn giỏc ca ộBCF.
c) Gi M l trung im ca DE. C/m t giỏc BCMF ni tip
Bi 3:T giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD . Hai ng chộo AC , BD
ct nhau ti E . Hỡnh chiu vuụng gúc ca E trờn AD l F . ng thng CF ct ng
trũn ti im th hai l M . Giao im ca BD v CF l N . C/m :

a. CEFD l t giỏc ni tip .
b. Tia FA l tia phõn giỏc ca gúc BFM .
c. BE . DN = EN . BD
Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng A v mt im D nm gia A v B . ng trũn
ng kớnh BD ct BC ti E . Cỏc ng thng CD , AE ln lt ct ng trũn ti cỏc
im th hai F , G . C/m :
a) Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD .
b) T giỏc ADEC v AFBC ni tip c trong mt ng trũn .
c) AC song song vi FG .
d) Cỏc ng thng AC , DE v BF ng quy .
Bi 5: Cho tam giỏc vuụng ABC (
0
90A =
; AB > AC) v mt im M nm trờn on
AC (M khụng trựng vi A v C). Gi N v D ln lt l giao im th hai ca BC v
MB vi ng trũn ng kớnh MC; gi S l giao im th hai gia AD vi ng trũn
ng kớnh MC; T l giao im ca MN v AB. C/m :
a. Bn im A, M, N v B cựng thuc mt ng trũn.
b. CM l phõn giỏc ca gúc
BCS
.
c.
TA TC
TD TB
=
.
Nguyễn Ngọc Trang
24
Trờng THCS Hải Giang - Hải Hậu - Nam Định
Tài liệu ôn thi vào THPT

Bi 6:Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi ng trũn. Qua A dng hai tip tuyn
AM v AN vi ng trũn (M, N l cỏc tip im) v mt cỏt tuyn bt kỡ ct ng
trũn ti P, Q. Gi L l trung im ca PQ.
a/ C/m 5 im: O; L; M; A; N cựng thuc mt ng trũn.
b/ C/m LA l phõn giỏc ca
ã
MLN
c/ Gi I l giao im ca MN v LA. C/m MA
2
= AI.AL
d/ Gi K l giao im ca ML vi (O). C/m KN // AQ.
e/ C/m

KLN cõn.
Bi 7:Cho ng trn (O; R) tip xc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H
khụng trựng vi im A v AH <R. Qua H k ng thng vuụng gúc vi d, ng
thng ny ct ng trn ti hai im E v B ( E nm gia B v H)
a. C/m gúc ABE bng gúc EAH v tam giỏc ABH ng dng vi tam giỏc EAH.
b. Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng thng CE ct AB ti
K. C/m AHEK l t giỏc ni tip.
c. Xỏc nh v trớ im H AB= R .
Bi 8: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O). Cỏc ng cao AD,
BE, CF ct nhau ti H v ct ng trũn (O) ln lt ti M,N,P. C/m :
a. Cỏc t giỏc AEHF, ni tip .
b.Bn im B,C,E,F cựng nm trờn mt ng trũn.
c. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
d. H v M i xng nhau qua BC.
e. Xỏc nh tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF
Bi 9: Cho DABC khụng cõn, ng cao AH, ni tip trong ng trũn tõm O. Gi
E, F th t l hỡnh chiu ca B, C lờn ng kớnh AD ca ng trũn (O) v M, N th

t l trung im ca BC, AB. C/m :
a. Bn im A,B, H, E cựng nm trờn ng trũn tõm N v HE// CD.
b. M l tõm ng trũn ngoi tip DHEF.
Bi 10: Cho ng trũn tõm O v im A bờn ngoi ng trũn. V cỏc tip tuyn
AB, AC v cỏt tuyn ADE vi ng trũn ( B v C l cỏc tip im). Gi Hl trung
im ca DE.
a. C/m A,B, H, O, C cựng thuc mt ng trũn. Xỏc nh tõm ca ng trũn ny.
b. C/m : HA l tia phõn giỏc
ã
BHC
.
c. Gi I l giao im ca BC v DE. C/m : AB
2
= AI.AH
c. BH ct (O) ti K. C/m : AE // CK.
Bi 11:T mt im S ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn SA, SB v cỏt tuyn
SCD ca ng trũn ú.
a.Gi E l trung im ca dõy CD. C/m 5 im S,A,E,O,B cựng thuc mt ng trũn
b.Nu SA = AO thỡ SAOB l hỡnh gỡ? ti sao?
Nguyễn Ngọc Trang
25