bồi dưỡng toán 6

®Çy ®ñ c¸c d¹ng bµi to¸n båi giái 6
®· tæng hîp
D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt
Bµi 1: TÝnh:
A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
HD:
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bµi 2: TÝnh:
A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101
HD:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99)
Bµi 3: TÝnh:
A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
HD:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99)
Bµi 4: TÝnh:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
HD:
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-
97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
Bµi 5: TÝnh:
A = 1
2

+2
2
+3
2
+ +99
2
+100
2
HD:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100)
Bµi 6: TÝnh:
A = 2
2
+4
2
+6
2
+ +98
2
+100
2
HD:
A = 2
2
(1
2
+2
2

+3
2
+ +49
2
+50
2
)
Bµi 7: TÝnh:
A = 1
2
+3
2
+5
2
+ +97
2
+99
2
HD:
A = (1
2
+2
2
+3
2
+ +99
2
+100
2
)-(2

2
+4
2
+6
2
+ +98
2
+100
2
)
A = (1
2
+2
2
+3
2
+ +99
2
+100
2
)-2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+ +49
2

+50
2
)
Bµi 8: TÝnh:
A = 1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+ +99
2
-100
2
HD:
A = (1
2
+2
2
+3
2
+ +99
2
+100
2
)-2(2
2
+4

2
+6
2
+ +98
2
+100
2
)
Bµi 9: TÝnh:
A = 1.2
2
+2.3
2
+3.4
2
+ +98.99
2
HD:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99)
Dãy các số viết theo qui luật
Bài 1: Tính:
A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
HD:
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bài 2: Tính:
A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101

Bài 3: Tính:
A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
HD:
Bài 4: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
Bài 5: Tính:
A = 1
2
+2
2
+3
2
+ +99
2
+100
2
Bài 6: Tính:
A = 2
2
+4
2
+6
2
+ +98
2
+100
2
Bài 7: Tính:
A = 1
2

+3
2
+5
2
+ +97
2
+99
2
Bài 8: Tính:
A = 1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+ +99
2
-100
2

Bài 9: Tính:
A = 1.2
2
+2.3
2
+3.4
2
+ +98.99

2
CHUYÊN Đ ề ƯC - BC
Bài toán mẫu : Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan
h c bit gia CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b,
ú l : ab = (a, b).[a, b], trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN
ca a v b. Vic chng minh h thc ny khụng khú :
Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n
thuc Z
+
; (m, n) = 1 (*)
T (*) => ab = mnd
2
; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd
2
= ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) =
6.
Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b)
= 5.
Bài toán 5 :
Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a,
b)
CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT
D ¹ng 1 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng b t u t b i toán tính t ng r t quen thu c sau : ắ đầ ừ à ổ ấ ộ
B i toán A :à
Tính t ng : ổ

L i gi i :ờ ả
Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có b i à
toán khó h n chút xíuơ
B i 1 :à Tính t ng : ổ
V t t nhiên ta c ng ngh n b i toán ng c. à ấ ũ ĩ đế à ượ
B i 2 :à Tìm x thu c N bi t : ộ ế
H n n a ta có : ơ ữ
ta có b i toán à
B i 3 :à Ch ng minh r ng : ứ ằ
Do v y, cho ta b i toán ậ à t ng nh khó“ ưở ư ”
B i 4 :à Ch ng t r ng t ng : ứ ỏ ằ ổ
không ph i l s nguyên. ả à ố
Chúng ta c ng nh n ra r ng n u aũ ậ ằ ế
1
; a
2
; ; a
44
l các s t nhiên l n à ố ự ớ
h n 1 v khác nhau thì ơ à
Giúp ta n v i b i toán đế ớ à Hay v à Khó sau :
B i 5 :à Tìm các s t nhiên khác nhau aố ự
1
; a
2
; a
3
; ; a
43
; a

44
sao cho
Ta còn có các b i toán “g n g i” v i b i toán 5 nh sau : à ầ ũ ớ à ư
B i 6 :à Cho 44 s t nhiên aố ự
1
; a
2
; ; a
44
th a mãn ỏ
Ch ng minh r ng, trong 44 s n y, t n t i hai s b ng nhau. ứ ằ ố à ồ ạ ố ằ
B i 7 :à Tìm các s t nhiên aố ự
1
; a
2
; a
3
; ; a
44
; a
45
th a mãn aỏ
1
< a
2
a
3
< < a
44
< a

45
v à
Các b n còn phát hi n c i u gì thú v n a r i ch ng ?ạ ệ đượ đ ề ị ữ ồ ă
D¹ng 2: so s¸nh
Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2
L i gi i :ờ ả Có khá nhi u cách ch ng minh nh “ ánh giá” v trái b i ề ứ ờ đ ế ở
các ki u khác nhau. Ta g i v trái c a b t ng th c l A. ể ọ ế ủ ấ đẳ ứ à
Cách 1 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5
= 6/5 (1)
1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 +
1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2)
T (1) v (2) => : ừ à
A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2
Cách 2 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3)
1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4)
T (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 ừ
Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5)
1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6)
T (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 ừ
Cách 4 : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = 1 (7)
1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8)
T (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 ừ
Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9)
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10)
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11)
T (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. ừ
ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO
1. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục
lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3.
b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 5.
2. * Ghi số nhỏ nhất có:a) chín chữ số
b) n chữ số (n∈ N*)
c) mười chữ số khác nhau
** Ghi số lớn nhất có: a) chín chữ số
b) n chữ số (n∈ N*)
c) mười chữ số khác nhau
3. Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Hỏi:
a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy?
b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó của số tự
nhiên nào?
4. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông:
a) 2  {1; 2; 6} e) ∅  {a}
b) 3  {1; 2; 6} f) 0  {0}
c) {1}  {1; 2; 6} g) {3; 4}  N
d) {2;1; 6}  {1; 2; 6} h) 0  N*
5. Trong đợt thi đua "Bông hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giáo Việt Nam -
Lớp 6/1 có 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lên, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lên,
15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lên, 9 bạn đạt 4 điểm 10, không có ai đạt trên 4
điểm 10. Hỏi trong đợt thi đua đó, lớp 6/1 có tất cả bao nhiêu điểm 10?
6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phù Đổng", kết quả điều tra ở một lớp cho
thấy; có 25 học sinh thích bóng đá, 22 học sinh thích điền kinh, 24 học sinh
thích cầu lông, 14 học sinh thích bóng đá và điền kinh, 16 học sinh thích
bóng đá và cầu lông, 15 học sinh thích cầu lông và điền kinh, 9 học sinh
thích cả 3 môn, còn lại là 6 học sinh thích cờ vua. Hỏi lớp đó có bao nhiêu
học sinh?
7. Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 phải dùng bao nhiêu chữ

số 5?
8. Điền các chữ số thích hợp vào ô trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng
23:
9. Tìm số có hai chữ số sao cho số đó lớn hơn 6 lần tổng các chữ số của nó
là 2 đơn vị.
10. Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phép chia là 15 và số
dư là 36.
11. Em hãy đặt các dấu (+) và dấu (-) vào giữa các chữ số của số 1 2 3 4 5 6
7 8 9 (có thể ghép chúng lại với nhau) để kết quả của phép tính bằng 200.
12. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó là 11 và
nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị.
13. Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương
là 4 và số dư là 7. Tìm số bị chia và số chia.
14. So sánh: 2
1000
và 5
400
15. Tìm n ∈ N, biết:
6 8
a) 2
n
. 8 = 512 b) (2n + 1)
3
= 729
16. Tính giá trị của biểu thức:
a) 3
9
: 3
7
+ 5 . 2

2
b) 2
3
. 3
2
- 5
16
: 5
14
17. Tìm x, y ∈ N, biết rằng: 2
x
+ 242 = 3
y

18. Tìm x ∈ N, biết:
a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 2
4
. 3
b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0
19. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 2
15
: 2
13
b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 19
0
c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15}
d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 3
16
: 3

12
20. Tìm x biết:
a) (x - 15) : 5 + 22 = 24
b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6
c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86
21. Xét xem:
a) 2002
2003
+ 2003
2004
có chia hết cho 2 không?
b) 3
4n
- 6 có chia hết cho 5 không? (n ∈ N*)
c) 2001
2002
- 1 có chia hết cho 10 không?
22. Tìm x, y để số
xy30
chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2.
c)
4
7
. 3
4
. 9
6
6
13
d)

2
16
+ 2
8
2
13
+ 2
5
23. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho
9.
NANG CAO
B i toán 6 : Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t a + b = 128 v (a, b)à ố ươ ế à 3
CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT 3
D¹ng 1 : T M T BÀI TOÁN T NH T NGỪ Ộ Í Ổ 3
B i 1 : Ch ng minh r ng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2à ứ ằ 4
S H C 6 NÂNG CAOĐỀ Ố Ọ 4
B i 1 à
Cho số M = (1/16)2002. Tính tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của số M khi
viết dưới dạng số thập phân.
B i già ải :
Vì 1/16 < 1/10 nên M = (1/16)2002 < (1/10)2002 = (0,1)2002 = 0, 00 01 ( 2001 chữ số
0).
Do đó M phải có ít nhất l 2002 chà ữ số 0 ngay sau dấu phẩy. Từ đó ta có tổng của 2002
chữ số đầu tiên sau dấu phẩy khi viết M dưới dạng số thập phân l 0. à
Nhận xét :
+ Nhiều bạn nêu ra mấy trường hợp :
1/16 = 0,0625 ; (1/16)2 = 0,00390625 ; (1/16)3 = 0,000244140625
V tà ừ đó => (1/16)2002. có 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy khi viết M ở dạng số thập
phân. Từ mấy trường hợp riêng m => trà ường hợp chung thì điều đó chỉ l dà ự đoán
(cần phi chứng minh). Trong toán học, người ta gọi phép suy diễn đó l phép qui nà ạp

không ho n to n. à à
+ Bạn Ho ng Minh Hià ếu, 7C, THCS Lê Quý Đôn, Bỉm Sơn, Thanh Hóa đánh giá :
M = (1/16)2002 = (1/2)8008 = (1/2)8.(1/2)8000
< ((1/2)10)8000 < (1/1024)800 < (1/1000)800 = (1/10)2400
= 0,00 01 (2399 chữ số 0).
Từ đó có thể thấy tổng của 2400 chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy của M viết dưới
dạng số thập phân cũng bằng 0.
+ Bạn Phạm Huy Ho ng, 9B, trà ường THPTNK Trần Phú, Hi Phòng nhận xét : “Nếu M =
(1/16)k với k N thì M = (1/16)k = (0,625/10 )k . Từ đó tổng của k chữ số đầu tiên ngay
sau dấu phẩy ở dạng viết thập phân của M sẽ bằng 0.
B i 4: Em hãy thay mà ật chữ cái bởi mật chữ số để phép tính dưới đây đúng (chữ cáI
A
D
khác nhau thì thay chữ số khác nhau)
TIME + TIME = MONEY
Đẳng thức trên còn có ý nghĩa gì nữa không?
B I già ải: Từ MONEY = TIME + TIME ≤ 9999 + 9999 = 19998.
=> M = 1, do đó E = 2 v Y = 4. à
Lại vì : MONEY ≥ 10000 nên TIME ≥ 5000 => T ≥ 5 .
1) Nếu I = 0 thì N = 0 (loại vì I ≠ N ).
2) Nếu I = 3 thì N = 6.
a) Với T = 5 thì có O = 0 ,vậy nghiệm b i toán l TIME = 5312 v MONEY = 10624 (1).à à à
b) Với T = 7 có O = 4 (loại vì O = Y).
c) Với T = 8 có O = 6 (loại vì O = N).
d) Với T = 9 thì có O = 8 ta có nghiệm thứ hai của b i toán : à
TIME = 9312 , MONEY = 18624 (2).
3) Nếu I = 5, thì N = 0.
a) Với T = 6, có O = 3, nghiệm thứ ba của b i toán l TIME = 6512 v MONEY = 13024à à à
(3).
b) Với T = 7 => O = 5 (loại vì O = I), còn với T = 9 thì O = 9 ( loại)

c) Với T = 8 có O = 7, nghiệm thứ tư của b i ra l : TIME = 8512 v MONEY = 17024 à à à
(4).
4) Nếu I = 6 thì N = 2 (loại vì N = E)
5) Nếu I = 7 thì n = 4 (loại vì N = Y)
6) Nếu I = 8 thì N = 6, ta thấy các khả năng T = 5 v t = 9 không thoà ả mãn điều kiện b ià
toán. Với T = 7 thì O = 5, ta có nghiệm thư năm của b i toán l : à à
TIME = 7812 v MONEY = 15624 (5). à
7) Nếu I = 9 thì N = 8, dễ thấy trường hợp T = 5 bị loại.
Với T = 6 thì O = 3, còn với T = 7 có O = 5. Nghiệm thứ sáu v thà ứ bẩy của b i toán l :à à
TIME = 6912 v MONEY = 13824 (6) à
TIME = 7912 v MONEY = 15824 (7) Và ậy bái toán có bẩy nghiệm như đã khẳng định
ở trên.
Đẳng thức TIME + TIME = MONEY còn có ý nghĩa l : Chúng ta phà ải qíy trọng thời
gianvì rằng " Thời gian l v ng bà à ạc"
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng b t u t b i toán tính t ng r t quen thu c sau : ắ đầ ừ à ổ ấ ộ
B i toán A :à
Tính t ng : ổ
L i gi i :ờ ả
Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có b i toán khó h n à ơ
chút xíu.
B i 1 :à Tính t ng : ổ
V t t nhiên ta c ng ngh n b i toán ng c. à ấ ũ ĩ đế à ượ
B i 2 :à Tìm x thu c N bi t : ộ ế
H n n a ta có : ơ ữ
ta có b i toán à
B i 3 :à Ch ng minh r ng : ứ ằ
Do v y, cho ta b i toán ậ à t ng nh khó“ ưở ư ”
B i 4 :à Ch ng t r ng t ng : ứ ỏ ằ ổ
không ph i l s nguyên. ả à ố

Chúng ta c ng nh n ra r ng n u aũ ậ ằ ế
1
; a
2
; ; a
44
l các s t nhiên l n h n 1 v khác à ố ự ớ ơ à
nhau thì
Giúp ta n v i b i toán đế ớ à Hay v à Khó sau :
B i 5 :à Tìm các s t nhiên khác nhau aố ự
1
; a
2
; a
3
; ; a
43
; a
44
sao cho
Ta còn có các b i toán “g n g i” v i b i toán 5 nh sau : à ầ ũ ớ à ư
B i 6 :à Cho 44 s t nhiên aố ự
1
; a
2
; ; a
44
th a mãn ỏ
Ch ng minh r ng, trong 44 s n y, t n t i hai s b ng nhau. ứ ằ ố à ồ ạ ố ằ
B i 7 :à Tìm các s t nhiên aố ự

1
; a
2
; a
3
; ; a
44
; a
45
th a mãn aỏ
1
< a
2
a
3
< < a
44
<
a
45
v à
Các b n còn phát hi n c i u gì thú v n a r i ch ng ?ạ ệ đượ đ ề ị ữ ồ ă
B i 1 :à Ch ng minh r ng : ứ ằ
1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2
L i gi i :ờ ả Có khá nhi u cách ch ng minh nh “ ánh giá” v trái b i các ki u khác ề ứ ờ đ ế ở ể
nhau. Ta g i v trái c a b t ng th c l A. ọ ế ủ ấ đẳ ứ à
Cách 1 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1)
1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 +
1/11 + 1/11 = 7/11 (2)

T (1) v (2) => : ừ à
A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2
Cách 2 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3)
1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4)
T (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 ừ
Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5)
1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6)
T (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 ừ
Cách 4 : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = 1 (7)
1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8)
T (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 ừ
Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9)
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10)
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11)
T (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. ừ
B i 2 :à Tìm t ng các ch s c a 99999999998ổ ữ ố ủ
2
.
L i gi i :ờ ả Ta có :
A = 99999999998
2
= (99999999998 + 2)(99999999998 - 2) + 4
= 100 000 000 000 x 99999999996 + 4
= 99999999996000000000004
T ó ta có t ng các ch s c a A l ừđ ổ ữ ố ủ à
9 x 10 + 6 + 4 = 100.
Nh n xét :ậ
1) Các b n có m t s cách khác tính A. ạ ộ ố để
Ch ng h n :ẳ ạ

A = (10
11
- 2)
2
= 10
22
- 4.10
11
+ 4. Tuy nhiên m t s b n ch tính 98ộ ố ạ ỉ
2
; 998
2
; 9998
2

r i => A m không h ch ng minh. ồ à ề ứ
B i 2(1) :à Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
a) Bi t A có 40 s h ng. Tính giá tr c a A. ế ố ạ ị ủ
b) Bi t A có n s h ng. Tính giá tr c a A theo n. ế ố ạ ị ủ
L i gi i :ờ ả
a) Ta có A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
= (1 -7) + (13 - 19) + (25 - 31) +
= (-6) + (-6) + (-6) +
Vì A có 40 s h ng nên s có 20 c p s có giá tr b ng -6. ố ạ ẽ ặ ố ị ằ
Do ó A = (-6) . 20 = -120. đ
b) Ta xét 2 tr ng h p : ườ ợ
Tr ng h p 1 :ườ ợ V i n ch n. T ng t câu a, vì A có n s h ng nên s có c p s n/2 ớ ẵ ươ ự ố ạ ẽ ặ ố
c p s . ặ ố
Do ó A = (-6).n/2 = - 3n. đ
Tr ng h p 2 :ườ ợ V i n l , khi ó n - 1 ch n. ớ ẻ đ ẵ

Ta có A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 +
= 1 + (- 7 + 13) + (- 19 + 25) +
= 1 + 6 + 6 +
Vì A có (n - 1)/2 c p s có giá tr b ng 6 nên ặ ố ị ằ
A = 1 + 6 .(n - 1)/2 = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2
V y A = -3n (v i n ch n) ; A = 3n - 2 (v i n l ). ậ ớ ẵ ớ ẻ
B i 4(1) :à Cho 6 s t nhiên aố ự
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
tho mãn : ả
2003 = a
1
< a
2
< a
3
< a
4
< a
5
< a

6
.
1) N u tính t ng hai s b t kì thì c bao nhiêu t ng? ế ổ ố ấ đượ ổ
2) Bi t r ng t t c các t ng trên l khác nhau. Ch ng minh aế ằ ấ ả ổ à ứ
6
2012. ≥
L i gi i :ờ ả
1) Các t ng ó l aổ đ à
1
+ a
2
, a
1
+ a
3
, a
1
+ a
4
, a
1
+ a
5
, a
1
+ a
6
, a
2
+ a

3
, a
2
+ a
4
, a
2
+ a
5
, a
2
+
a
6
, a
3
+ a
4
, a
3
+ a
5
, a
3
+ a
6
, a
4
+ a
5

, a
4
+ a
6
, a
5
+ a
6
.
V y có t t c : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 t ng. ậ ấ ả ổ
2) Ph n ch ng aả ứ
6
2011, => a≤
5
2010. ≤
T ng nh nh t l : ổ ỏ ấ à
a
1
+ a
2
2003 + 2004 = 4007. ≥
T ng l n nh t l : ổ ớ ấ à
a
5
+ a
6
2010 + 2011 = 4021. ≤
Nh ng ta chú ý r ng có t t c 15 s t nhiên 4007 v 4021. ư ằ ấ ả ố ự ≥ à≤
Do 15 t ng trên khác nhau, => aổ
1

+ a
2
= 4007 v aà
5
+ a
6
= 4021, t c l aứ à
2
= 2004, a
6

= 2011, a
1
= 2010.
Nh ng khi ó ta l i có aư đ ạ
1
+ a
6
= a
2
+ a
5
= 2014. Mâu thu n v i gi thi t. V y aẫ ớ ả ế ậ
6
≥
2012
Nh n xét :ậ
1) R t nhi u b n nh n xét sai r ng : Ch có 14 s t nhiên 4007 v 4021 ! ấ ề ạ ậ ằ ỉ ố ự ≥ à≤
2) M t s ít b n ch ng minh c kh ng nh m nh h n aộ ố ạ ứ đượ ẳ đị ạ ơ
6

> 2012. Th t ra chúng taậ
có th ch ng minh aể ứ
6
2015, v không có k t qu t t h n, ví d a≥ à ế ả ố ơ ụ
1
= 2003, a
2
=
2004, a
3
= 2005, a
4
= 2007, a
5
= 2010, a
6
= 2015.
B i 5(1) :à B n hãy khôi ph c l i nh ng ch s b xóa ( l i v t tích c a m i ch ạ ụ ạ ữ ữ ố ị để ạ ế ủ ỗ ữ
s l m t d u *) phép toán úng. ố à ộ ấ để đ
L i gi i :ờ ả thu n l i, chúng ta t l i phép tính b i ra nh sau : Để ậ ợ đặ ạ ở à ư
T phép tính trên d nh n th y bừ ễ ậ ấ
2
= b
3
= 0. Vì nhân v i 2 c ớ đượ nên
a
1
5. L i vì ≥ ạ nhân v i bớ
1
c đượ => b

1
= 1 (do a
1
5). Do ó≥ đ
M t khác ặ (s có 7 ch s ) ố ữ ố . V y ậ
phép toán úng sau khi ã khôi ph c nh ng ch s b xóa i l : đ đ ụ ữ ữ ố ị đ à
B i 1(2) :à Tìm t t c các s chính ph ng d ng ấ ả ố ươ ạ .
L i gi i :ờ ả
Do l s chính ph ng nên à ố ươ = k
2
.
L i vì : 10001 ạ ≤ 99999, => 101 k < 317. V y k ph i l s có ba ch s . ≤ ≤ ậ ả à ố ữ ố
t k = Đặ . C ng t gi thi t b i toán ũ ừ ả ế à l s chính ph ng nên a thu c {1, 4, à ố ươ ộ
5, 6, 9}.
+) N u a = 1 thì : 100 < ế < 142 (trong ó p = 1 ho c p = 9) đ ặ
V i p = 1, ta có các s th a mãn i u ki n b i toán l : 101ớ ố ỏ đề ệ à à
2
= 10201, 111
2
= 12321,
121
2
= 14641 ; còn v i p = 9 ta th y không có s n o th a mãn i u ki n b i. ớ ấ ố à ỏ đề ệ đề à
+) N u a = 4 thì : 200 < ế < 224 (p = 2 ho c p = 8). Th tr c ti p ta có các s ặ ử ự ế ố
th a mãn l :ỏ à
202
2
= 40804, 212
2
= 44944.

+) N u a = 5 thì : 223 < ế < 245 (trong ó p = 5). Trong tr ng h p n y không có đ ườ ợ à
s n o th a mãn i u ki n b i. ố à ỏ đề ệ đề à
+) N u a = 6 thì : 244 < ế < 265 (p = 4 ho c p = 6). Ch có m t s th a mãn ặ ỉ ộ ố ỏ
tr ng h p n y l : 264ườ ợ à à
2
= 69696.
+) N u a = 9 thì : 300 < ế < 317 (p = 3 ho c p = 7). Tr ng h p n y c ng ch có ặ ườ ợ à ũ ỉ
m t s th a mãn l : 307ộ ố ỏ à
2
= 94249. Tóm l i có 7 s th a mãn i u ki n b i ra : ạ ố ỏ đề ệ à
10201, 12321, 40804, 14641, 44844, 69696, 94249.
Nh n xét :ậ
- N u b i toán có thêm i u ki n a, b, c ôi m t khác nhau thì ch có 5 s th a ế à đề ệ đ ộ ỉ ố ỏ
mãn b i. đề à
B i 1(4) :à Cho s : ố
g m 2003 ch s 1 bên trái d u * v 2003 ch s 3 bên ph i d u *. Hãy thay ồ ữ ố ở ấ à ữ ố ở ả ấ
d u * b ng ch s n o c m t s chia h t cho 7. ấ ằ ữ ố à đểđượ ộ ố ế
L i gi i :ờ ả
ý r ng :Để ằ
M t khác 10ặ
3
trùng v i -1 (mod 7) => : 10ớ
2003
trùng v i 5 (mod 7) ớ
=> 10
2003
- 1 trùng v i 4 (mod 7) => 2 (mod 7) (2)ớ
10
2004
trùng v i 1 (mod 7) => ớ

10
2004
+ 3 trùng v i 4 (mod 7) (3)ớ
A chia h t cho 7, t (1), (2), (3) => A trùng v i (*).5 + 2.4 trùng v i (*).5 + 1 Để ế ừ ớ ớ
trùng v i 0 (mod 7). ớ
Chú ý r ng 0 * 9, t ó => ngay * = 4. ằ ≤ ≤ ừđ
V y s c n tìm l : ậ ố ầ à
Nh n xét :ậ M t s b n t v n hãy tìm s x sao cho : ộ ố ạ đặ ấ đề ố
B i 2(5) :à Phân s Ai C p ố ậ
Bi u di n phân s 1/2 d i d ng t ng c a 3 phân s d ng có t s b ng 1. Có bao ể ễ ố ướ ạ ổ ủ ố ươ ử ố ằ
nhiêu cách ?
L i gi i : ờ ả
* B i toán có th phát bi u d ói d ng : à ể ể ư ạ
Gi i ph ng trình : ả ươ
Do vai trò c a x, y, z nh nhau nên không m t tính t ng quát, gi s x y z v tủ ư ấ ổ ả ử ≥ ≥ à ừ
(1) ta => :
1/x 1/y 1/z < 1/2 => x y z 3 (2) ≤ ≤ ≥ ≥ ≥
T (1), (2) => 1/2 = 1/x + 1/y + 1/z 3/z ừ ≤
=> z 6 => 3 z 6 => z thu c {3 ; 4 ; 5 ; 6}. ≤ ≤ ≤ ộ
* V i z = 3, ta có : ớ
1/x + 1/y + 1/3 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/3 = 1/6
=> 6x + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36
=> (x - 6)(y - 6) = 36.
Do x, y thu c Zộ
+
, x y z, ta có b ng : ≥ ≥ ả
* V i z = 4, ta có : ớ
1/x + 1/y + 1/4 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/4 = 1/4
=> : 4x + 4y = xy => => (x - 4)(y - 4) = 16.
Do x, y thu c Zộ

+
, x y z, ta có b ng : ≥ ≥ ả
* V i z = 5, ta có : ớ
1/x + 1/y + 1/5 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/5 = 3/10
=> 10x + 10y = 3xy => (3x - 10)(3y - 10) = 100. Do x, y thu c Zộ
+
, x y z, ta có ≥ ≥
b ng : ả
* V i z = 6, ta có : ớ
1/x + 1/y + 1/6 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/6 = 1/3
=> : 3x + 3y = xy => => (x - 3)(y - 3) = 9.
Do x, y thu c Zộ
+
, x y z, ta có b ng : ≥ ≥ ả
* V y ph ng trình (1) có các nghi m l : (42 ; 7 ; 3), (24 ; 8 ; 3), (18 ; 9 ; 3), (15 ; ậ ươ ệ à
10 ; 3), (12 ; 12 ; 3), (20 ; 5 ; 4), (12 ; 6 ; 4), (8 ; 8 ; 4), (10 ; 5 ; 5), (6 ; 6 ; 6), cùng
các hoán v . T ây, d d ng => phân s có th bi u di n c d i d ng t ng c a ị ừđ ễ à ố ể ể ễ đượ ướ ạ ổ ủ
3 phân s d ng có t s b ng 1 v i úng 10 cách : ố ươ ử ố ằ ớ đ
B i 3(5) :à So sánh A v B bi t : à ế
A = (2003
2002
+ 2002
2002
)
2003

B = (2003
2003
+ 2002
2003

)
2002

L i gi i :ờ ả (c a b n ủ ạ Võ V n Tu nă ấ )
Ta s ch ng minh b i toán t ng quát : ẽ ứ à ổ
(a
n
+ b
n
)
n + 1
> (a
n + 1
+ b
n + 1
)
n
v i a, b, n l các s nguyên d ng. ớ à ố ươ
Th t v y, không m t tính t ng quát, gi s a b. (aậ ậ ấ ổ ả ử ≥
n
+ b
n
)
n + 1
= (a
n
+ b
n
)
n

.(a
n
+ b
n
) >
(a
n
+ b
n
)
n
.a
n
= [(a
n
+ b
n
)a]
n
= (a
n
.a + b
n
.a)
n
(a≥
n
.a + b
n
.b)

n
= (a
n + 1
+ b
n + 1
)
n
.
V i a = 2003, b = n = 2002, ta có A > B. ớ
B i 1(6) :à Cho a, b l các s nguyên d ng th a mãn p = aà ố ươ ỏ
2
+ b
2
l s nguyên t , p à ố ố
- 5 chia h t cho 8. Gi s các s nguyên x, y th a mãn axế ả ử ố ỏ
2
- by
2
chia h t cho p. ế
Ch ng minh r ng c hai s x, y chia h t cho p. ứ ằ ả ố ế
L i gi i :ờ ả t p = 8k + 5, k thu c N. Đặ ộ
Chú ý : (ax
2
)
4k + 2
- (by
2
)
4k + 2
chia h t cho (axế

2
- by
2
).
T ó ta => : aừ đ
4k + 2
.x
8k + 4
- b
4k + 2
y
8k + 4
chia h t cho p. ế
Ta l i có :ạ
a
4k + 2
.x
8k + 4
- b
4k + 2
.y
8k + 4
=(a
4k + 2
+ b
4k + 2
).x
8k + 4
- b
4k + 2

(x
8k + 4
+ y
8k + 4
)
M t khác : aặ
4k + 2
+ b
4k + 2
= (a
2
)
2k + 1
+ (b
2
)
2k + 1
chia h t cho (aế
2
+ b
2
) = p v b < p, do à
ó xđ
8k + 4
+ y
8k + 4
chia h t cho p . (*) ế
N u trong hai s x, y có m t s chia h t cho p thì t (*) ta => s th hai c ng chia ế ố ộ ố ế ừ ố ứ ũ
h t cho p. ế
N u c hai s x, y không chia cho p, theo nh lí Fecma xế ả ố đị

8k + 4
trùng v i 1 (mod p), ớ
y
8k + 4
trùng v i 1 (mod p). Khi ó x8k+4 + y8k+4 2 (mod p). Mâu thu n v i (*). ớ đ ẫ ớ
V y c hai s x, y chia h t cho p. ậ ả ố ế
B i 2(6) : Cho mà ột hình lập phương. Người ta gắn cho 8 đỉnh của nó bắt đầu từ đỉnh A,
đi theo chiều mũi tên 8 số tự nhiên liên tiếp v thà ực hiện : mỗi lần cộng v o 4 à đỉnh của
một mặt cùng với một số nguyên n o à đó. Hỏi sau bao nhiêu lần thực hiện như vậy thì ta
được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ?
Lời giải : Kí hiệu các đỉnh theo chiều mũi tên lần lượt bởi các chữ cái A, B, C, D, E, G,
H, I. Giả sử các số nguyên gắn tương ứng với các đỉnh n y l a, b, c, d, e, g, h, i, ta xét :à à
S = (b + d + g + i) - (a + c + e + h).
Nhận thấy 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cùng một mặt sẽ gồm 2 số trong các số g, d, g, i v 2 à
số trong các số a, c, e, h. Do đó khi cộng 4 số n y và ới cùng một số nguyên thì S không
thay đổi.
Ban đầu a, b, c, d, e, g, h, i l các sà ố tự nhiên liên tiếp nên S = 4. Vì vậy dù có thực hiện
bao nhiêu lần việc cộng với cùng một số nguyên cho 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cùng một
mặt thì S vẫn bằng 4, tức l S à ≠ 0. Chứng tỏ không thể l m cho 8 sà ố ở 8 đỉnh bằng
nhau.
Nhận xét : Một số bạn mắc các sai lầm khác nhau khi lập luận :
- Chỉ dùng một số nguyên xác định cho tất cả các lần cộng.
- Mỗi mặt chỉ thực hiện một lần cộng 4 đỉnh với cùng một số nguyên.
- Tám số đầu tiên l 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. à
B i 2(8) : Cho dãy sà ố tự nhiên liêp tiếp : 150 O 149 O 148 O O 51 O 50. Ch… ứng minh
rằng, nếu điền v o các vòng tròn “O” dà ấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả không thể bằng
2003.
Lời giải : Các bạn đã lí luận bằng nhiều cách để chỉ ra : khi điền v o các hình tròn dà ấu
“+” hoặc dấu “-” thì kết quả l mà ột số chẵn nên kết quả không thể bằng 2003.
Cách 1 : Nếu điền v o tà ất cả các hình tròn dấu “+” ta có :

S = 150 + 149 + 148 + + 51 + 50 = (150 + 50).101/2 = 10100, l s… à ố chẵn.
Trong tổng S, nếu thay mỗi dấu “+” trước một số a bất kì bởi dấu “-” thì S sẽ giảm đi
2a (l mà ột số chẵn). Như vậy, nếu thay bao nhiêu dấu “+” trong S bởi dấu “-” thì S sẽ
vẫn l mà ột số chẵn.
Cách 2 : Ta thấy rằng, mỗi cặp số tự nhiên liên tiếp đều có tổng hoặc hiệu l mà ột số lẻ.
Các số tự nhiên liên tiếp từ 150 đến 51 có tất cả 50 (l sà ố chẵn) cặp như vậy. Tổng hoặc
hiệu của một số chẵn các số lẻ luôn l mà ột số chẵn nên giữa các số tự nhiên liên tiếp từ
150 đến 51, đặt bất kì dấu “+” hay dấu “-” thì kết quả đều l sà ố chẵn ; cộng hay trừ
với số còn lại của dãy số đã cho l sà ố 50 cho kết quả cuối cùng l mà ột số chẵn
B i 3(9) :à Trong m t gi i bóng á Nhi ng theo th th c thi u vòng tròn m t ộ ả đ đồ ể ứ đấ ộ
l t. Th ng c 3 i m, hòa 1 i m, thua 0 i m. i M ng Non ch hòa 1 tr n, ượ ắ đượ để để để Độ ă ỉ ậ
thua 1 tr n v c t t c 16 i m. Ch ng minh r ng v o b t kì lúc n o c ng tìm ậ àđượ ấ ả để ứ ằ à ấ à ũ
c ít nh t hai i ã u cùng s tr n.đượ ấ độ đ đấ ố ậ
L i gi i :ờ ả i M ng Non ch hòa 1 tr n, thua 1 tr n v c 16 i m nên t ng s Độ ă ỉ ậ ậ àđượ để ổ ố
i m c a các tr n th ng l : 16 - 1 = 15 ( i m). Do ó i n y ã th ng 15 : 3 = 5 để ủ ậ ắ à để đ độ à đ ắ
(tr n) v thi u t t c 7 tr n. Vì gi i u theo th th c vòng tròn m t l t nên s ậ à đấ ấ ả ậ ả đấ ể ứ ộ ượ ố
i d gi i l : 7 + 1 = 8 ( i)độ ự ả à độ
Chia các i th nh các nhóm m m i nhóm g m các i có cùng s tr n ã u thìđộ à à ỗ ồ độ ố ậ đ đấ
nhi u nh t ch có 7 nhóm vì n u có nhóm ch a á tr n n o thì không có nhóm ã ề ấ ỉ ế ư đ ậ à đ
á 7 tr n. C th ch có các nhóm v i s tr n ã á l : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ho c đ ậ ụ ể ỉ ớ ố ậ đ đ à ặ
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7.
Vì có 8 i m ch có 7 nhóm nên theo nguyên lí i-rích-lê thì t n t i hai i độ à ỉ Đ ồ ạ độ ở
cùng m t nhóm t c l hai i ã á cùng s tr n. ộ ứ à độ đ đ ố ậ
Nh n xét :ậ H u h t các b n u gi i úng nh s d ng nguyên lí i-rích-lê nh ầ ế ạ đề ả đ ờ ử ụ Đ ư
trên. Nh ng các b n “nh y c m” h n nh n ra b i toán ã cho th a gi thi t, ó l ư ạ ạ ả ơ ậ à đ ừ ả ế đ à
nh ng thông tin v i M ng Non ! Th c ra ta có th ch ng minh : Trong m t gi i ữ ềđộ ă ự ể ứ ộ ả
u theo th th c u vòng tròn m t l t (có ít nh t 2 i tham gia) thì t i b t c đấ ể ứ đấ ộ ượ ấ độ ạ ấ ứ
th i i m n o c ng tìm c 2 i có s tr n ã u nh nhauờ để à ũ đượ độ ố ậ đ đấ ư
B i 1(11) :à Phân tích s 8030028 th nh t ng c a 2004 s t nhiên ch n liên ti p. ố à ổ ủ ố ự ẵ ế
L i gi i : ờ ả

Ta th y : T ng c a 2004 s t nhiên ch n liên ti p l S = a + (a + 2) + + (a + ấ ổ ủ ố ự ẵ ế à
4006) = [ a + (a + 4006)] : 2 x 2004 = (a + 2003) x 2004.
Do ó S = 8030028 t ng ng v i (a + 2003) x 2004 = 8030028 hay a = 2004. đ ươ đươ ớ
V y 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010. ậ
Nh n xét :ậ H u h t các b n gi i úng. M t s b n tính S h i khác m t chút : S = ầ ế ạ ả đ ộ ố ạ ơ ộ
2004a + (2 + 4 + + 4006)
B i 2(11) :à Tìm s nguyên a l n nh t sao cho s T = 4ố ớ ấ ố
27
+ 4
1016
+ 4
a
l s chính à ố
ph ng. ươ
L i gi i :ờ ả Ta xét a l s nguyên th a mãn a 27 v T l s chính ph ng. Nh n à ố ỏ ≥ à à ố ươ ậ
xét T = 4
27
(1 + 4
989
+ 4
a - 27
) = (2
27
)
2
. (1 + 2
1978
+ (2
a - 27
)

2
), => S = 1 + 2
1978
+ (2
a - 27
)
2

l s chính ph ng. à ố ươ
Chú ý : 1 + 2
1978
+ (2
a - 27
)
2
> (2
a - 27
)
2
=> 1 + 2
1978
+ (2
a - 27
)
2
(2≥
a - 27
+ 1)
2

T c l ta có 2ứ à
1978
2.2≥
a - 27

=> 1978 a - 26 => 2004 a. ≥ ≥
V i a = 2004 thì T = (2ớ
27
)
2
. (2
1977
+ 1)
2
l s chính ph ng. à ố ươ
V y s nguyên a l n nh t c n tìm l a = 2004. ậ ố ớ ấ ầ à
Nh n xét :ậ H u h t các b n g i l i gi i cho tòa so n u nhìn th y s c n tìm a =ầ ế ạ ử ờ ả ạ đề ấ ố ầ
2004, nh ng lúng túng trong lí lu n. Lí lu n chính c a l i gi i l : n u S l s ư ậ ậ ủ ờ ả à ế à ố
chính ph ng v S > n2 (n thu c N) thì => S (n + 1)ươ à ộ ≥
2
.
B i 3(11) :à B n H i ã l m b i toán nhân úng b ng cách s p các ch s r i. H , ạ ả đ à à đ ằ ắ ữ ố ờ à
em c a H i, ã i ch m t s ch s nh bên. Hãy s p l i v trí các ch s ban ủ ả đ đổ ỗ ộ ố ữ ố ưở ắ ạ ị ữ ố
u m H i ã l m úng. đầ à ả đ à đ
L i gi i :ờ ả (c a b n Võ Thái Thông)ủ ạ
Theo gi thi t, các ch s có m t trong phép nhân úng không b thêm b t (k c ả ế ữ ố ặ đ ị ớ ể ả
s ch s trên m i h ng ; s l n xu t hi n c a m i ch s ). Nh v y phép nhân ố ữ ố ỗ à ố ầ ấ ệ ủ ỗ ữ ố ư ậ
úng có d ng (hình bên):đ ạ
trong ó a, b, c, , m ch g m : sáu ch s 1 ; m t ch s 2 ; hai ch s 5 ; m t ch đ … ỉ ồ ữ ố ộ ữ ố ữ ố ộ ữ
s 7 ; ba ch s 9. (1) ố ữ ố

+ Vì có 3 ch s nên ab > 1 v d > 1 => b 1 v d 1. (2) ữ ố à ≠ à ≠
+ N u b = 2 ho c d = 2 thì g ch n, vô lí vì ch có m t ch s ch n duy nh t l ch ế ặ ẵ ỉ ộ ữ ố ẵ ấ à ữ
s 2 => b 2 v d 2. (3) ố ≠ à ≠
+ N u b = 5 ho c d = 5 thì g = 5, xu t hi n ba ch s 5, vô lí vì ch có hai ch s 5ế ặ ấ ệ ữ ố ỉ ữ ố
=> b 5 v d 5. (4) ≠ à ≠
+ N u b = 7 => d = 9 ho c d = 7 ; => b = 9 (do (1), (2), (3), (4)). C hai tr ng h p ế ặ ả ườ ợ
u d n n g = 3, vô lí vì trong phép nhân không có ch s 3 => b 7 v d 7. đề ẫ đế ữ ố ≠ à ≠
(5)
+ T (1), (2), (3), (4), (5) => ừ b = 9 v à d = 9.
+ Xét phép nhân Vì b = 9 ; d = 9 => ef = a x 9 + 8 . L n l t ki m tra v iầ ượ ể ớ
a = 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 9, ch có tr ng h p a = 1 th a mãn (1). V y a = 1. ỉ ườ ợ ỏ ậ
+ Xét phép nhân ab x c = hi => hi = 19 x c. N u c = 7 ho c c = 9 thì 19 x c có ba ế ặ
ch s , khác hi (có hai ch s ). N u c = 2 thì i = 8, không th a mãn (1). V y c = 1 ữ ố ữ ố ế ỏ ậ
ho c c = 5, thay v o phép nhân v ki m tra, ta th y ch cóặ à à ể ấ ỉ c = 5 th a mãn i u ki nỏ đ ề ệ
b i. đề à
Phép nhân m b n H i ã l m c xác nh xong. à ạ ả đ à đượ đị
Nh n xét :ậ 1) T t c các b n u tìm c k t qu úng, tuy nhiên ch có ít b n ấ ả ạ đề đượ ế ảđ ỉ ạ
bi t cách l p lu n ch t ch , ng n g n. M t s b n ch “mò” ra áp s , trong ó có ế ậ ậ ặ ẽ ắ ọ ộ ố ạ ỉ đ ố đ
m t b n tâm s : “Em ngh b i toán n y không th dùng suy lu n b ng l i m ch ộ ạ ự ĩ à à ể ậ ằ ờ à ỉ
có th oán k t qu . Vì th , em m i trình b y ng n g n nh v y”. ểđ ế ả ế ớ à ắ ọ ư ậ