Đáp án bồi dưỡng Toán 9 đề 2

Bài 1:
a) Giải phương trình căn thức:
b) Chứng minh đẳng thức:
Lời giải:
a) Ta có:





Kết luận, nghiệm của phương trình đã cho là hoặc
b) Ta có:


Suy ra:
Tương tự như vậy, ta có:

Từ đó, ta có:

Và ta có đpcm.

Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k
thành các thừa số.
b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp.
Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương
liên tiếp.
Lời giải:
a) Ta có:

b) Giả sử tồn tại số nguyên A thỏa mãn điều bài toán, khi đó tồn tại 2 số nguyên
dương p và q sao cho:
Khi đó:

(1)
Vì phương trình (1) có nghiệm nguyên p nên:
là số chính phương.
Mặt khác:
Hay là: (2)
Lại có:
Hay là (3)
Từ (2) và (3) suy ra:

Do đó không thể là số chính phương. Điều này cho
thấy giả sử ban đầu về sự tồn tại A là sai. Từ đó ta có ĐPCM.
Bài 3: Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn điều kiện:
(1)
a) Chứng minh bất đẳng thức :
(2)
Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao?
b)Cho p, q, r là 3 số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất
đẳng thức:
Lời giải:
a) Ta có:

Vì
Nên (*)
Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử a=max{a, b, c}. Khi đó:
(*)
Như vậy:
Ngoài ra: và
Suy ra:
Hay là: .(đpcm.)
b) Không thể được, chẳng hạn, với . Ta có (2) nhưng không
có (1)
c) Thay ta được:


(**)
Với (**) hiển nhiên đúng, và ta có (đpcm.)
Với , ta có:
(**)

(***)
(***) đúng theo như điều kiện ban đầu, suy ra (**) đúng, và ta cũng có (đpcm.)
Bài 4: Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình ; c,d là hai
nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức :