Lý thuyết về dao động ppsx

Trờng đại học thuỷ lợi
Bộ môn cơ học ứng dụng
[\ [\

GS.TS Nguyễn Thúc An
PGS.TS Nguyễn Đình Chiều
PGS.TS Khổng Doãn Điền







Lý thuyết dao động













H Nội 2003

Lời nói đầu

Giáo trình Cơ học Lý thuyết II Lý thuyết Dao động Tác giả PGS. PTS Nguyễn
Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trờng Đại học
Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành
Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao
động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt
chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài trờng hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ
có nguy cơ xuất hiện hiện tợng cộng hởng.
Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các
học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi
biên soạn và đa vào thêm: Chơng IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng
Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chơng V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi
tuyến) và có đa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi.
Tài liệu dùng để giảng dạy Lý thuyết dao động cho sinh viên các ngành Công trình,
Thuỷ điện, Cấp thoát nớc, Trạm bơm và giảng dạy môn Dao động kỹ thuật cho sinh
viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi. Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu
ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài
liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan.
Chúng tôi mong nhận đợc những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ
xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2003.


Các tác giả

1

Chơng mở đầu

Đ1. Một vi khái niệm v định nghĩa
1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lợng vô hớng đợc chia
thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động.
Quá trình dao động đợc đặc trng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của
các đại lợng biến đổi. Nó đợc mô tả bằng các phơng trình toán học.
Dao động trong đó các phơng trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính,
gọi là dao động tuyến tính. Ngợc lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến).
1.2. Chuyển động dao động đợc đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ.
Hàm f
*
(t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu nh tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn
điều kiện sau:
)nTt(f )T2t(f)Tt(f)t(f
****

=
=

=

= (1)
Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dơng.
Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao
động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà đợc miêu tả bởi hệ thức:
)ktsin(Aq

+
= (2)
ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc
toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và đợc gọi là biên

độ dao động; (kt+) là Argument của sin gọi là pha dao động; là pha ban đầu; k là tần số
vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức:


++=
+
+ 2kt)Tt(k , từ đó: )s/rad(
T
2
k

= (3)
Số lần dao động trong một đơn vị thời gian đợc tính theo công thức:


==
2
k
T
1
f
(4)
f đợc gọi là tần số; đơn vị thờng dùng là Hecz (Hz).

Đ2. Động năng của hệ

Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q
1
, q
2

, q
n
(q
i
, i =
n,1
).
Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm M
k
bất kỳ đợc biểu diễn:

)q ,,q,q(rr
nkk 21
=

2
Từ đó:

=



==
n
1i
i
i
kk
k

q
q
r
dt
rd
v (5)
Động năng của hệ xác định bằng biểu thức:

=
=
n
1k
2
kk
vm
2
1
T

Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý:
kk
2
k
v.vv =

Ta có:

=

=

n
1j,i
ji
ij
qqA
2
1
T
(6)
ở đây: A
ij
= A
ji
là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng. Khai triển chúng
theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng
)n,1i;0q(
i
==
và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta
nhận đợc biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá:


=

=
n
1j,i
ji
ij
qqa

2
1
T
(7)
Trong đó: gọi là các hệ số quán tính (thực tế là khối lợng hoặc mômen
quán tính).
0ijjiij
)A(aa ==
Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:
2
qa
2
1
T

= , trong đó a = A(0) (8)
Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đợc:









++=

2
2

22
21
12
2
1
11
2
2
1
qaqqaqaT (9)
ở đây:
022220121201111
)A(a;)A(a;)A(a
=
== . Các hệ số của dạng toàn phơng (7)
thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dơng), nghĩa là:

0
a aa
a aa
a aa
;;0
aa
aa
;0a
nn2n1n
n22221
n11211
2221
1211

11
>>>

Đ3. Thế năng của cơ hệ.
Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng:

)q ,,q,q(
n21
=
Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng
)n,1i;0q(
i
== , thế năng của hệ có giá trị cực
trị nên:

3

0
0
=

=
i
q
i
q
Với i =
n,1
(10)
Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế
năng của hệ cực tiểu. Khai triển
theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định
)n,i;q(
i
10 ==
, ta có:


==
++










+=

n
1i
n
1j,i
jiiji
0
i
0
qqc
2
1
q
q
)(
(11)
Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính
thì 0)(
0
=

và do (10) nên số
hạng thứ hai trong (11) bằng không. Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai
triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng. Do đó thế năng

của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phơng sau:


=
=
n

1j,i
jiij
qqc
2
1
(12)
ở đây:
0
ji
2
jiij
qq
cc










==
gọi là các hệ số cứng.
Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:

2
cq
2

1
=
, )0(c



=
(13)
Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đợc:
)qcqqcqc(
2
2222112
2
111
2
2
1
++= (14)
Trong đó:
0
2
2
2
22
0
21
2
12
0
2

1
2
11
q
c;
qq
c;
q
c










=

=










=

Tơng tự nh phần
Đ2, các hệ số c
ij
của dạng toàn phơng (12) thoả mãn điều kiện
xác định dơng.

Đ4. Hm hao tán.
Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc:
kkk
v.R =

Trong đó: là hệ số cản (nhớt);
0
k
>
k
v là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ.

Gọi toạ độ suy rộng của của hệ:
)n,1i(q
i
= . Các lực suy rộng tơng ứng với lực cản
bằng:

i
k
n
1k
k
k
i
k
n
1k
ki
q
r
v
q
r
RQ


=


=

==



4
Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: ,
q
r
q
r
i
r
i
k




=


ta có:

=


=

=



=

2
v
qq
r
rQ
2
k
n
1k
k
ii
k
k
n
1k

ki
Hay:
i
i
q
Q




=
(15)
ở đây ta đặt:

=
=
n
1k
2
k
k
2
v
(16)
đợc biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán. Ta có thể viết giống nh động năng T
trong tọa độ suy rộng:

=

=

n
1j,i
ji
ij
qqB
2
1
(17)
Trong đó: là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng:
jiij
BB = )n,1i(q
i
= . Khai triển chúng
theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng
)n,1i(;0q
i
== và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta
nhận đợc biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá:


=

=
n
1j,i
ji
ij
qqb
2
1

(18)
ở đây:
0ijjiij
)B(bb
=
= là các hệ số cản suy rộng.
Khi hệ có một bậc tự do (n = 1):
0)0(Bb;qb
2
1
2
>==

(19)
Khi hệ có hai bậc tự do (n = 2):
)qbqqb2qb(
2
1
2
2
22
21
12
2
1
1

++= (20)
Trong đó:
022220121201111

)B(b;)B(b;)B(b
=
== .
Các hệ số của dạng toàn phơng (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dơng.
ij
b

Đ5. Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động.

5.1. Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng trình Lagrăng II.
Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc
tự do là việc áp dụng phơng trình Lagrăng loại II.
Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách
sử dụng phơng trình Lagrăng loại II gọi là phơng pháp cơ bản.
Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập:
)n,i:q(q ,q,q
in
1
21
= , phơng trình Lagrăng loại II có dạng:
n,1i;Q
q
T
q
T
dt
d
i
i
i

==
















(21)

5
5.1a. Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế.
Ta có: n,1i;
q
QQ
i
ii
=


==

Phơng trình (21) trở thành:
n,1i;
qq
T
q
T
dt
d
ii
i
=


=

(21a)
Đa vào hàm Lagrăng:


= TL
, ta đợc:
n,1i;0
q
L
q
L
dt
d
i
i
==

(21b)
5.1b. Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt ta có:
n,1i;
q
q
QQQ
i
i
iii
=





=+=




Phơng trình (21) trở thành:
n,1i;
q
qq
T

q
T
dt
d
i
ii
i
=





=

(22)
Khi chú ý đến hàm Lagrăng L:
n,1i;0
q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
==


+

(22a)
5.1c. Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các
ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng của nó ký hiệu
Q
i
P
, ta có:
n,i;QQQQ
P
iiii
1=++=


Và phơng trình (21) viết ở dạng:

n,i;Q
q
qq
T
q
T
dt
d
P
i

i
ii
i
1=+





=
















(23)
Thí dụ 1:
Con lắc kép gồm hai thanh đồng chất: AB = BC = 2L, trọng lợng P
1

= P
2
= P nối với
nhau bởi bản lề B. Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh
vị trí cân bằng Ay; ngoài ra AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh bản lề B
(Hình 1).

6
Bài giải
Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do. Ta chọn
1
,
2
là các góc lệch của
thanh với phơng thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng. Tại vị trí cân bằng thì
1
=
2
= 0.
Phơng trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là:
Hình 1

A
x
B
D
C

y
P

1

P
2


1


2


2,1i;Q
TT
dt
d
i
i
i
==

(a)
Chọn hệ trục tọa độ Axy nh hình vẽ. Động năng
của hệ bằng:
2
2
Dz
2
D
2
D
BC
2
1
AzBCAB
J
2
1
yxm
2
1
J
2
1
TTT

+

++=+=

Ta có:
2
DzBC
2
Az
)L2(
g
P
12
1
J,
g
P
m,)L2(
g
P
3
1
J ===

+=
+=
)coscos2(Ly
)sinsin2(Lx
21D
21D
Ta có:






++=

)cos(34
g3
PL2
T
21
21
2
2
2
1
2

Xét dao động nhỏ:
1)cos(
21


, ta nhận đợc:

)34(
g3
PL2
T
21
2
2
2
1
2

++=
(b)
Thế năng của hệ bằng công trọng lợng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát
(
1
;
2
) tới vị trí cân bằng thẳng đứng (
1
= 0 ;
2
= 0), ta có:

[
]
)cos1()cos1(2PL)cos1(PL
211


+


+=
Rút gọn:
)coscos34(PL
21



=
Với nhỏ:
21
,
2
1cos;
2
1cos
2
2
2
2
1
1

Ta có: )3(
2
PL
2
2
2
1
+= (c)
Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận đợc phơng trình vi phân dao động nhỏ của hệ:

21
2
21
1
g3
L4
g
L2
;
g
L2
g3
L16
3

==

7
5.2. Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng pháp Đalămbe.
Theo nguyên lý Đalămbe: ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và
các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính. Từ đó:

()







=






++






=++

kkk
qt
kOkO
a
kO
kk
qt
kk
k
a
k
FmNmFm
FNF
0
0
(24)
Trong đó:
kk
qt
k
WmF =
5.3. áp dụng phơng pháp lực để lập phơng trình vi phân dao động nhỏ
(trờng hợp riêng của phơng pháp Đalămbe).
Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lợng tập trung
. Để lập phơng trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là
dùng phơng pháp lực. Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị.
n
m ,,m,m
21

Các dịch chuyển theo hớng i do lực đơn vị tác dụng theo hớng k gây ra gọi là dịch
chuyển đơn vị, ký hiệu

ik
. Các dịch chuyển đơn vị
ik
còn gọi là các hệ số ảnh hởng (Hình 2).

k


ik
P
k
= 1
i




Hình 2
m
1
m
n
m
3
m
2

Đối với các hệ đàn hồi, theo hớng k hệ chịu tác dụng của lực P
k
thì dịch chuyển do
nó gây ra theo hớng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là:
y
i
= P
k

ik
.
Do đó, dới tác dụng đồng thời của các lực P
1
, P
2
, , P
n
dịch chuyển toàn phần xác
định theo công thức:
(25)
ik
n
1k
ki
Py =

=
Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phơng trình vi phân dao động của hệ theo
phơng pháp lực.
Theo kết quả trong giáo trình SBVL, ta có các công thức xác định hệ số ảnh hởng

ik

sau đây:

8
5.3a. Xác định
ik
khi uốn của thanh:
Dùng công thức MO:

=
L
0
ki
ik
EJ
dx.M.M
(26)
Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn;
)x(M
i
và )x(M
k
là các mômen uốn do lực
đơn vị và gây ra (Hình 3).
1P
i
= 1P
k

=






P i = 1
M i =(x)
x
M k =(x)
x
P k = 1


5.3b. Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin:

EJ
M
*
k
i
ik

=
(27)
ở đây: là diện tích biểu đồ
i

*

ki
M,M là tung độ của biểu đồ
k
M tơng ứng hoành
độ trọng tâm của . Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho
trong mỗi đoạn của
i

k
M
là đờng thẳng. Theo định lý Macxoen ta luôn có:
kiik
=
Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh hởng trong trờng hợp dầm chịu các trọng tải tập
trung nh hình vẽ (Hình 4).






Hình 3

m
m
m
L/6 L/3 L/3 L/6
L/6 5L/6
P
1

= 1
M
1
5L
36

Hình 5a
Hình 4


9
Bài giải:
Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hởng)
ik
(i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng
các biểu đồ Mômen uốn
321
M,M,M tơng ứng với các lực đơn vị 1P,1P,1P
321
==
=
và
biểu diễn nh trên hình vẽ (Hình 5a, b, c).

L/2 L/2
P 2 = 1
4
M 2
L
Hình 5b
L/6
5L/6
M 3
P 3 = 1
36
5L
Hình 5c

Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:












+

== L
54
5
.L
36
5
.L
6
5
.
2
1
L
54
5
.L
36
5
.
6
L
.
2
1
EJ
1

3311


k75
EJ3888
L25
L
2
1
L
36
5
L
54
5
EJ
1
L
12
5
L
12
1
L
36
5
.L
54
5
.

EJ
1
3
===






+=
ở đây ta đặt:
EJ1296.9
L
k
3
=

k243
EJ1296.9
L
.243
EJ48
L
EJ96
L
.2
6
L
.

4
L
.
2
L
.
2
1
6
L
.
4
L
.
2
L
.
2
1
EJ
1
333
22
====

+=

Thực hiện tính toán một cách tơng tự, ta nhận đợc:
k117
EJ1296.9
L
117;k51
EJ1296.9
L
51
3
23322112
3
3113
========

Đ6. Xác định độ cứng của hệ dao động.
Các tính chất đàn hồi của hệ dao động trong mỗi trờng hợp cụ thể đợc đặc trng
bằng hệ số cứng C.
6.1. Thanh đàn hồi
6.1.1. Thanh đàn hồi không trọng lợng, chịu kéo nén (Hình 6).

10
Hình 6

P
L

L
Ta có:

EF
PL
L =

ở đây: E là môđun đàn hồi, F là diện tích tiết diện ngang.
Từ đó:
L.CL.
L
EF
P ==
Vậy, ta có:
L
EF
C =
(28)
6.1.2. Thanh đàn hồi không trọng lợng chịu xoắn (Hình 7) thì:

p
x
GJ
LM
=

Trong đó: G là môđun trợt, J
P
là mômen quán tính độc cực của
mặt cắt ngang. Suy ra:

== .C
L

GJ
M
p
x

Vậy, nhận đợc:
L
GJ
C
p
= (29)

Hình 7 Hình 8

L
M
x




L







6.1.3. Thanh đàn hồi không trọng lợng chịu uốn. Khi này: Hệ số cứng C còn phụ

thuộc vào điều kiện biên. Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8). Độ võng f
bằng:

EJ
PL
3
1
f
3
= , suy ra:
Cff
L
EJ3
P
3
==

ở đây: EJ là độ cứng chống uốn. Vậy độ cứng C bằng:
3
L
EJ3
C =
(30)
P

f

11
6.2. Hệ các lò xo.
6.2.1. Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9).

Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có:

CxxCxCF
21dh
=+=
C
C
1

C
2
Vậy, ta đợc: C = C
1
+ C
2
. Nếu hệ có n lò xo
mắc song song, tơng tự nhận đợc:
(31)

=
=
n
1i
i
CC
Hình 9
6.2.2. Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10).
Biểu thức tính lực đàn hồi bằng:
Hình 10

C
1

C
2

C


2211dh
xCxCF +
=

ở hệ thay thế tơng đơng hệ số cứng C, lò xo
dãn một đoạn:
CxF;xxx
dh21
=
+=
Ta có:
21
dh
2
2
1
1
C
1
C
1

C
1
C
F
C
F
C
F
x +==+=

Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng
C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:


=
=
n
1i
i
C
1
C
1
(32)
Nói chung độ cứng C đợc tính toán theo lý thuyết với các giả thiết nhất định và có
thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật.
Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bản thờng dùng trong tính toán
(bảng 1).

Bảng 1. Công thức xác định các hệ số cứng tơng đơng

STT Sơ đồ Hệ số C
1


iD8
Gd
C
4
= Với G: môđun trợt của
vật liệu; d: đờng kính dây lò xo;
i, D: số vòng và đờng kính lò xo.
2



C = C
1
+ C
2
C
1

C
2

C
1

C

2


12
3



21
21
CC
CC
C
+
=

4



3
L
EJ
3C =

5


a b

22
b
a
)ba(EJ3
C
+
=

6


b
a


)b4a3(ba
)ba(EJ12
C
23
3
+
+
=

7



a b

33
3
b
a
)ba(EJ3
C
+
=

8


L
b


2
b)Lb(
EJ3
C
+
=

9


L
b

2
b)L3b4(
EJ12
C
+
=

10


L


3
L
EJ24
C =

(EJ lµ ®é cøng khi uèn cña mét
trong hai lß xo ph¼ng)
11


N
L


LshLLch
LEJsh

C
ααα
αα
3
−
=
,
EJ
N
=α

12


L
N

()
LshLLchL
)L(EJsh
C
ααα
αα
2
−
=
EJ
N
=α

C
2

C
1


L

EJ

13

14


Chơng I
Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do


Đ1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do
1.1.1. Dao động tự do không cản
Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ
là q. Phơng trình Lagrăng II có dạng:
qq
T
q
T
dt
d

=

















Với dao động nhỏ thì:
2
2
1

= qaT;
2
cq
2
1

= : Thay vào phơng trình trên và rút gọn,
ta đợc: (1-1)
0qkq
2
=+

Trong đó:
a
c
k =
gọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị thờng dùng rad/s,
nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối lợng và độ cứng).
Phơng trình (1-1) là phơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính
một bậc tự do.
NTQ của (1-1) tìm đợc ở dạng:
q = C
1
coskt + C
2
sinkt (1-2)
Đặt: C
1
= Asin; C
2
= Acos
Ta viết đợc nghiệm (1-2) dới dạng biên độ:
q = Asin(kt +
) (1-3)
ở đây:
2

2
2
1
CCA += là biên độ dao động; (kt +) là pha dao động; là pha ban đầu;
k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ.
Chu kỳ dao động T tính theo công thức:
c
a
2
k
2
T =

=
(1-4)
Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó:

a
ck
T
f
2
1
2
1
===
(1-5)
Các hằng số A và
đợc xác định từ các điều kiện ban đầu. Giả sử tại t = 0: q(0) = q
0

và ta nhận đợc:
0
q)0(q

=
2
2
0
2
0
k
q
qA

+=
và
0
0
q
kq
arctg

=
. Do đó:

14

++=

0
0
2
2
0
2
0
q
kq
arctgktsin
k
q
qq
(1-6)
Nh vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều hoà.
Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên
cứu dao động tự do. Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản.
Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển -
vận tốc). Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ đợc đặc trng bằng dịch chuyển q và vận tốc
. Ta có trong trờng hợp khảo sát:

= qv





+==
+=

)ktcos(Akqv
)ktsin(Aq
(1-7)
Tập hợp các phơng trình này có thể khảo sát nh quỹ đạo pha cho ở dạng thông số.
Để nhận đợc phơng trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta đợc:
1
k
A
v
A
q
22
2
2
2
=+ (1-8)
Nghĩa là phơng trình Ellíp (Hình 11a). Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển động
đợc bắt đầu) tơng ứng với điều kiện đầu q(0) = q
0
và . Khi thay đổi điều kiện
ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác. Tập hợp trạng thái có thể của hệ đợc mô tả

bằng hệ các Ellíp (Hình11). Gốc toạ độ tơng ứng với trạng thái cân bằng của hệ (q
0
=0 và
). Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm.
0

q)0(q

=
0q
0
=



v
q
O
q
0
, v
0

O
q
v


Hình 11

Bảng 2: Tần số riêng của một số mô hình dao động


Stt Mô hình dao động Phơng trình k
2
1
Hệ khối lợng lò
xo đơn giản

0=+

x
m
C
x

(q = x)
m
C

x
m
C

15
2
Hệ khối lợng lò
xo trọng trờng

C

M
y


0=+

y
m
C
y
(q = y)
m
C

3 Con lắc toán học
L

O

0=+

L
g

(q = )
L
g

4 Con lắc vật lý

C

a
O

0
J
mga
O
=+


(q =

)
O
J
mga

5 Bàn quay


J
O
C

0
J
C

O
=+


(q = )
O
J
C

6
Hệ khối lợng vắt
qua ròng dọc

O
r
m
1
C


0y
m
C
rm
J
1
1
y
1
2

1
O
=
+
+


(q = y)
1
2
1
O
m
C
rm
J
1
1
+

7 Cơ cấu gõ nhịp


C
O
m
L

0
J

mgLC
O
=

+


(q = )
O
J
mgLC

8 Hệ con lăn lò xo
0x
m
C
mr
J
1
1
x
2
C
=
+
+


(q = x)
m

C
mr
J
1
1
2
C
+

9
Con lăn trên quỹ
đạo tròn

0
L
g
mr
J
1
1
2
C
=
+
+


(q = )
L
g

mr
J
1
1
2
C
+

m
m
J
O


y
x
C

O
r
J
m
C
L


J
C
C
m

r

16
10
Nửa đĩa tròn trên
mặt phẳng



r
C
m
r
C

0
)rr(mJ
mgr
2
CC
C
=
+
+

(q = )
m)rr(J
mgr
2
CC

C
+


1.1.2. Dao động tự do có cản.
ở trên ta coi sự hao tán năng lợng trong dao động không xảy ra và thiết lập đặc tính
không tắt dần của dao động tự do. Tuy nhiên các dao động gặp trong thực tế là tắt dần, do:
ma sát trong các bộ phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi trờng xung quanh v.v
Giả sử lực tác dụng lên hệ ngoài lực có thế còn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất
vào vận tốc. Khi đó phơng trình Lagrăng II có dạng:






=

q
qq
T
q
T
dt
d

Với dao động nhỏ: T =
2
2
1

qa
;
2
2
1
cq
=
;
2
2
1

= qb
. Thay vào phơng trình và rút
gọn, ta đợc:

02
2
=++

qkqnq (1-9)
ở đây:
a
b
n
=2 ,
a
c
k
=
2

Phơng trình (1-9) là phơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do tắt dần của hệ
tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-9) tìm đợc dới dạng: . Trong đó
đợc xác
định từ phơng trình đặc trng sau:
t
eq

=

2
+ 2n + k
2
= 0 (1-10)
Phơng trình (1-10) cho hai nghiệm số:

22
21
knn
,
= (1-11)
Ta khảo sát ba trờng hợp:
1.1.2a. Trờng hợp 1: n < k (lực cản nhỏ). Trong trờng hợp này phơng trình đặc
trng có nghiệm phức:

1
222
1121
=== i;nkk;ikn
,

Tích phân tổng quát của phơng trình (1-9) có dạng:
(
)
tksinCtkcosCeq
nt
1211
+=

(1-12)
Hay viết ở dạng biên độ: (1-13) )tksin(Aeq
nt
+=

1

17
Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q
0
, Ta có:
0
0

= q)(q











+

==







+

+=+=


0
0
22
0
2
1
22
2
0
0
2
0
2
2
2
1

nqq
nkq
arctg
C
C
arctg;
nk
nqq
qCCA
Vậy:

+

+







+
+=



nqq
nkq
arctgtksine
nk
nqq

qq
nt
0
22
0
1
22
2
0
0
2
0
(1-14)
ở đây:
22
1
nkk = gọi là tần số dao động tắt dần. Chu kỳ dao động tắt dần đợc
xác định bằng:
22
1
1
nk
2
k
2
T


=

=
(1-15)
Với n khá nhỏ ta viết đợc:














+=

+









=
22
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
k
n
T
k
n
k

k
n
T
T
(1-16)
Nghiệm (1-13) của phơng trình (1-9) chỉ ra rằng: Độ lệch A
nt
e của hệ có cản giảm
theo thời gian với quy luật hàm số mũ. Nó tiệm cận tới không và do đó dao động là tắt dần
(Hình 1-1).

t
O

q

y

y
1
T
1
T
1

Hình 1-1

Trong thực tế để đặc trng cho sự giảm biên độ ngời ta thờng dùng một đại lợng,
ký hiệu
và gọi là độ suy giảm Lôgarit của dao động:
1
2

2
1
1







====
n
k
nT
y
y
lnln
(1-17)
Muốn xác định
bằng thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng:

18

y
y

y
y
y
y
ln
yy
y
ln
y
y
ln










+

+

+=

==
2
1
1 (1-18)
1.1.2b. Trờng hợp 2: n > k (Lực cản lớn). Trong trờng hợp này cả hai nghiệm của
phơng trình đặc trng đều thực và âm:
22
2221
knk,kn
,
==

Phơng trình (1-9) có NTQ dạng:
)eCeC(eq
tk
tk
nt
2
2
21
+= (1-19)
Khi tính điều kiện ban đầu nh trờng hợp 1, ta có:

2
0
20
1
2k
q)nk(q
C

++
=
;
2
0
20
2
k2
q)nk(q
C


=

Từ đó:

+
++
=


tk
2
0
20
tk
2
0
20
nt
2
2
e
k2
q)nk(q
e
k2
q)nk(q
eq (1-20)
Hệ qua vị trí cân bằng tại các thời điểm thoả mãn phơng trình:
0
22

2
0
20
2
2
0
20
22
=









+
++

+
k
q)nk(q
e
k
q)nk(q
e
tkt)nk(

Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của phơng trình
0 khi t .
Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần.
1.1.2c. Trờng hợp 3: n = k (lực cản tới hạn). Trong trờng hợp này nghiệm của
phơng trình đặc trng là thực, âm và bằng nhau. NTQ của (1-9) có dạng:
)CtC(eq
21
nt
+=

(1-21)
Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động.
Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động ngời ta còn sử dụng khái niệm
độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, đợc xác định bởi hệ thức:
ac
b
ak
b
k
n
D
2
2
=== (1-22)
Phơng trình (1-9) có thể viết dới dạng:
02
2
=++

qkqDkq (1-23)

Do
222
1 Dknk =
, nên chuyển động của hệ đợc phân ra các trờng hợp:
D < 1: Độ cản nhỏ.
D > 1: Độ cản lớn.
D = 1: Độ cản tới hạn.

19
Nh thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần.
khi D 1 chuyển động
của hệ là tắt dần không dao động.
Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit , có liên hệ bằng hệ thức sau:
2
1
2
D
D

=
(1-24)
Thí dụ 1-1:
Xét dao động nhỏ của con lắc toán học có độ dài L, khối lợng m (Hình 1-2). Lấy
làm tọa độ suy rộng. Tọa độ của khối lợng m bằng: x = Lsin; y = Lcos. Do đó:

2
2
22
2
2

1
2
1
2
1

=








+== mLyxmmvT
x
Thế năng của con lắc bằng công của trọng lợng
gmP =
thực hiện trên di chuyển của nó từ vị trí khảo sát
(hình vẽ) tới vị trí cân bằng (thẳng đứng).


O
L
)cos(mgL

= 1
m
Do bé, 1-cos

2
2
1

nên:
2
2
1
= mgL

y
Hình 1-2
Thay các kết quả vào phơng trình Lagrăng loại II:


=

TT
dt
d

Ta nhận đợc phơng trình dao động nhỏ của con lắc:
0=+

L
g

Đó là dao động điều hoà với tần số riêng
L
g
k
= và chu kỳ
g
L
2T =
.
Thí dụ 1-2:


Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút dới của
thanh đàn hồi không trọng lợng dài L. Mút trên của thanh bị
ngàm (Hình 1-3). Gọi M là khối lợng của đĩa;
là bán kính
quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđun trợt của vật liệu
thanh; J
P

là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang thanh.
L
Độ cứng của thanh khi xoắn bằng
L
GJ
C
P
=
. Lấy là góc
quay của đĩa đối với vị trí cân bằng ổn định. Động năng của đĩa
bằng:
2
2
M
2
1
T

= . Thế năng đàn hồi của nó khi nhỏ (tuân
Hình 1-3

20
theo định luật Hooke) là
2
2
1
= C. áp dụng phơng trình LagrăngII nh thí dụ 1-1, ta
nhận đợc phơng trình dao động nhỏ khi xoắn:
0
2

=+

CM
Đó là dao động điều hoà với tần số riêng
2

=
M
C
k
và chu kỳ
C
M
T
2
2

=
.
Thí dụ 1-3:
Ngời ta treo tải trọng trọng lợng P bằng một thanh tuyệt
đối cứng dài 2L.
ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồi có cùng
độ cứng C. Tải trọng đợc ngâm trong bình chứa chất lỏng nhớt.
Trong quá trình tải trọng thực hiện dao động nhỏ tự do chất lỏng
gây ảnh hởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4). Tìm hệ số
ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳ dao động tắt dần của hệ T
1
= 1s;
các tham số của hệ lấy các giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm;

Đờng kính lò xo D = 2cm; đờng kính dây cuốn lò xo d = 2mm;
Môđun trợt của vật liệu làm lò xo G = 8.10
6
N/cm
2
; Số vòng
của mỗi lò xo i = 6.
L
C

C

Bài giải:
Hệ có một bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng q = là góc
lệch nhỏ của thanh so với phơng thẳng đứng. Phơng trình
Lagrăng II áp dụng cho trờng hợp này có dạng:






=

TT
dt
d

Ta có:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1

=






== L

g
P
L
g
P
V
g
P
T
;
2
C
2)cos1(L2.P
2

+=
= Lsin là độ co dãn của lò xo so với vị trí cân bằng
thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với nhỏ: 1- cos
2
2

; sin ;
Do đó thế năng của hệ bằng:
2
)CLP(L +=
Gọi là hệ số ma sát nhớt của hệ (chất lỏng), hàm hao tán xác định bằng công thức:

2
2
1

=
Thay các giá trị tính đợc vào phơng trình Lagrăng II và rút gọn, ta nhận đợc:
0
22
=
+
+

+

PL
g)CLP(
PL
g

P

L


Hình 1-4

21
Chu kỳ dao động tắt dần là:
22
1
2
nk
T

= (a)
k là tần số dao động tự do (khi không có lực cản) bằng:
g.
PL
CLP
k
2
+
=
(b)
Gọi C là độ cứng lò xo và đợc tính theo công thức sau:
iD8
Gd
C
3
4
=
Thay số vào ta đợc: C = 33,3 N/cm. Do đó, từ (b) sẽ tính đợc: k=14rad/s.
Từ (a) giải đợc:
2
1
2
2
4
2
T
kn

= ; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s.
Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:
g
nPL4
PL2
g
n2 =

= . Thay số ta đợc: = 76,5 NS.

Đ1.2. Dao động cỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do

Dao động cỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài. Các kích
động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm.
Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc
nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t:
)t(P .
Gọi Q
P
là lực suy rộng của lực kích động ngoài. Phơng trình Lagrăng II trong trờng
hợp này có dạng:

P
Q
q
qq
T
q
T
dt

d
+





=

















Với dao động nhỏ:
2
2
2
qb

2
1
;cq
2
1
;qa
2
1
T

===
Đặt: Q(t) =
P
Q
a
1
. Thay vào phơng trình trên và rút gọn ta nhận đợc:
(1-25) )t(Qqkqnq =++

2
2
Phơng trình (1-25) là phơng trình vi phân mô tả chuyển động dao động nhỏ cỡng
bức của hệ tuyến tính một bậc tự do.
Trong trờng hợp lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-25 ) có dạng:

q)ksin(Aeq
nt
++=

1

(1-26)
Trong đó
q là NR của phơng trình (1-25). Các hệ số A, đợc xác định từ điều kiện
ban đầu.

22
Ta tìm NR q ở dạng: )t(Zeq
nt
= (1-27)
Thay (1-27 ) vào (1-25). Ta nhận đợc phơng trình đối với hàm Z(t):
(1-28)
nt
e).t(QZkZ =+

2
1
Nghiệm của phơng trình (1-28) đợc tìm bằng phơng pháp biến thiên hằng số
Lagrăng, ta đặt:
Z(t) = C
1
(t)sink
1
t+ C
2
(t)cosk
1
t (1-29)
Thay (1-29 ) vaò (1-28) ta suy ra:
(1-30)

=







=+


)t(Qetksin)t(Ctkcos)t(Ck
0tkcos)t(Ctksin)t(C
nt
1
2
1
1
1
2
1
1
Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có:

;tkcos
k

)t(Qe
)t(C
nt
1
1
1
=

;tksin
k
)t(Qe
)t(C
nt
1
1
2
=


Từ đó ta có:




=

t
n
d.kcos
k

)(Qe
)t(C
0
1
1
1
;



=

t
n
d.ksin
k
)(Qe
)t(C
0
1
1
2
(1-31)
Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận đợc nghiệm của phơng trình (1-28):
=


d)t(ksin)(Qe
k
1

)t(Z
1
t
0
n
1
(1-32)
Vậy, NR
q của phơng trình (1-25) bằng:


==

t
0
1
)t(n
1
nt
d).t(ksin)(Qe
k
1
)t(Zeq (1-33)
NTQ của phơng trình (1-25) có dạng:


++=

t
0

1
)t(n
1
1
nt
d)t(ksin)(Qe
k
1
)tksin(Aeq (1-34)
Tích phân theo vế phải của (1-34) dẫn ra theo biến
. Vì vậy, khi tích phân coi t là
hằng số. Sau khi hoàn thành việc thay cận tích phân ta nhận đợc q là hàm của thời gian t.
1.2.1. Tính toán dao động cỡng bức không cản (n = 0).
Giả sử lực kích động ngoài biến đổi theo quy luật điều hoà: Q(t) = P
0
sinpt. Phơng
trình (1-25) trở thành:
ptsinPqkq
0
2
=+

(1-35)
Khi p
k, NTQ của (1-35) có dạng:

23