Bài kiểm tra điều kiện môn Hóa Lượng tử

Họ và tên: Trần Anh Sơn
Sinh ngày: 10 10 1982
Chuyên nghành: Hóa hữu cơ
Bài kiểm tra điều kiện môn Hóa Lợng Tử
Điểm Lời nhận xét của Giảng viên
Đề bài:
Câu 1: Viết phơng Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian:
a) Cho các hệ đơn giản:
- Dao động tử điều hòa.
- Nguyên tử hydro
- Ion phân tử hydro (H
2
+
)
b)
Năng lợng điều hòa
Năng lợng phi điều hòa
Câu 2: Nêu quy tắc sắp xếp số hạng nguyên tử. Viết cấu hình electron của Ni có
Z=28; Ni
2+
Tìm số hạng của chúng tơng ứng với trạng thái có năng lợng thấp nhất.
Câu 3: Cho phân tử F
2
và I
2
. Có các giá trị hằng số điều hòa
e
-
e
X
e

sau:

e
(cm
-1
)
e
X
e


(cm
-1
)
F
2
924 16,0
I
2
214,519 0,0074
Hãy tính năng lợng các trạng thái dao động với hai phân tử kể trên đối với số l-
ợng tử v=0, 1, 2, 3.
Công thức chỉ áp dụng:
E
v
= hc[
e
(v + 1/2) -
e
X

e
(v + 1/2)
2
]
h=6,6262.10
-34
(J.s)
c=2,9676.10
10
(cm/s)
Bài làm
Câu 1: Phơng trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian là:
Phơng trình tổng quát:
0)(
8
2
2
=+ VE
h
m

(1)
Trong đó: : hàm trạng thái
E: Thế năng
V: Động năng
Dạng viết gọn của phơng trình (1) là:
H=E (2)
Trong đó: H: Toán tử Hamilton
E: Toán tử năng lợng
a) Phơng trình Schrodinger đối với một số hệ đơn giản là:

- Hạt thực hiện dao động điều hòa đơn giản:
0)
2
1
(
8
2
2
2
2
2
=+

kxE
h
m
dx
d

(3)
ở đây: V=
2
1
kx
2
và k gọi là hằng số lực.
- Hạt trong hộp thế một chiều:
0
8
2

2
2
2
=+

E
h
m
dx
d

(4)
Do hạt tự do nên V=0
- Nguyên tử Hydro:
0)
1
.
4
(
8
0
2
2
2
=++
r
e
E
h
m

(5)
Trong đó: :
0
độ thẩm điện môi chân không.
- Ion phân tử hydro (H
2
+
)
0)
111
4
(
8
110
2
2
2
=






+++
ABBA
rrr
e

E
h
m


(6)
b) Xét dao động điều hòa tuyến tính:
Phơng trình Schrodinger:
0)
2
1
(
8
2
2
2
2
2
=+

kxE
h
m
dx
d

(a)
Đặt:
E
h

m
a
2
2
8

=
h
mk
b

2
=
Thay vào phơng trình (a) ta có:
0)(
22
2
2
=+

xba
dx
d
(b)
Đặt tham số mới:
xb.=

Từ (b) ta suy ra
0)(
2

2
2
=+



b
a
d
d
(c)
Xuất phát từ hàm liên tục, đơn trị, hữu hạn, ta tìm nghiệm của nó ở dạng mà
>
b
a
, tức là giải phơng trình:
0
2
2
2
=



d
d
(d)
Nghiệm phơng trình (d) có dạng:
2
2

= e
Nghiệm thỏa mãn chọn:
2
2


= e
Giải nghiệm gần đúng:
2
2
).(



= ef
(e)
Sau khi thực hiện biến đổi toán học ta thu đợc:
f

- 2f

+ (
b
a
- 1)f = 0 (f)
Ta tìm thử nghiệm phơng trình (f) ở dạng:

=
=
0k
k
k
af

Ta viết đạo hàm:









=
=
+++=



=


=

2
2''

1
1'
2
2
1
10

k
k
k
k
k
k
kaf
kaf
aaaf



thay vào (f) ta có:


=

=

=

+
012

2
)1(2)1(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
b
a
kakka

(g)

)1)(2(
12
2
++
+
=
+
kk
b
a
k
aa

ka
(h)
Bằng cách trên ta đã tìm đợc nghiệm của phơng trình vi phân (f) có dạng:
22
22
2


eee ==

Ta có thể thay hàm f() bằng
2

e
, ta có:
22
22
2


eee ==

(i)
Điều đó có nghĩa ở các giá trị lớn hàm không hồi quy, nó không đáp
ứng tính chất hữu hạn. Do đó các hệ số a
k
phải đợc chọn ở một giá trị nhất định
mà sau nó tất cả phải bằng 0: a
0
30; a

1
0; ; a
n
0.
Còn a
n+1
= a
n+2
= = 0.
Với (h) thì:
0
)1)(2(
12
2
=
++
+
=
+
nn
b
a
n
aa
nn
(k)
từ (k) ta có:
012 =+
b
a

n
(m)
Với
E
h
m
a
2
2
8

=
và
h
mk
b

2
=
thay vào (m) và biến đổi ta có:


hnn
m
kh
E
n
)
2
1

()
2
1
()(
2
+=+=
(n)
- Vậy năng lợng của dao động điều hoà tính theo công thức:
1
( )
2
n
E n h= +
(7)
Trong đó: n nhận giá trị nguyên dơng, kể cả 0
- Năng lợng của dao động phi điều hoà tính theo công thức:
2 2
2
1 1
[( ) ( ) ]
2 4 2
v
h v
E hv v v
D
= + + +
(8)
Ta rút gọn:
( )
.

v v
E hc G=
(9)
Câu 2: Quy tắc sắp xếp số hạng nguyên tử, tuân theo ba quy tắc Hund nh sau:
1) Trạng thái có năng lợng thấp nhất, ứng với số hạng có spin tổng lớn nhất, tức
là có độ bội lớn nhất, cũng có nghĩa là trạng thái năng lợng thấp nhất ứng với cấu
hình có số electron độc thân là tối đa.
2) Trong nhóm số hạng có độ bội nh nhau, trạng thái có năng lợng thấp nhất ứng
với số hạng có giá trị L lớn nhất.
3) a. Nếu cấu hình cha qúa nửa hoặc bằng một nửa số e thì trạng thái năng lợng
thấp nhất ứng với số hạng có
min
J L S=
, tức là J có giá trị nhỏ nhất.
b. Nếu cấu hình là quá nửa số e thì trạng thái năng lợng thấp nhất ứng với số
hạng có
max
J L S= +
, tức là J có giá trị lớn nhất.
* Cấu hình e của Ni có Z = 28, Ni
2+
nh sau:
- Nguyên tử Ni có cấu hình e: 1s
2
2s
2
2p
6
3s
2

3p
6
3d
8
4s
2
- Ion Ni
2+
có cấu hình e : 1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
8
- Để tìm số hạng của chúng, ứng với trạng thái có năng lợng thấp nhất ta xét cấu
hình 3d
8
, đó là
m
l
: +2 +1 0 -1 -2
Ta có:
max
max

1
2. 1
2
s si
M m s= = = =

Suy ra độ bội của cấu hình: 2s +1 = 2.1 + 1 = 3
Lại có:
( )
max
max
1 2 3
L l
M m L= = + = =

Với L = 3 suy ra trạng thái F
J L S= +
đến
L S
, tức là J nhận các giá trị 4, 3, 2
Do nguyên tử Ni và ion Ni
2+
có cấu hình là quá nửa số e, nên theo quy tắc
Hund 3, b thì trạng thái năng lợng thấp nhất ứng với số hạng có
max
J L S= +
, nh
vậy ta tìm đợc số hạng cần tìm là:
3
4

F
Câu 3:
Từ công thức:
E
v
= hc[
e
(v + 1) -
e
X
e
(v + 1/2)
2
]
Chúng ta áp dụng để tính cho:
+ Đối với phân tử F
2
thì năng lợng các trạng thái dao động tại:
E
0
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[924(0 + 1/2) 16,0 (0 + 1/2)
2
]
hay: E
0
= 9006,0700.10

-24
(J)
E
1
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[924 (1 + 1/2) - 16,0 (1 + 1/2)
2
]
hay: E
1
= 26546,28.10
-24
(J)
E
2
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[924 (2 + 1/2) - 16,0 (2 + 1/2)
2
]
hay: E
2
= 43457,24.10
-24
(J)

E
3
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[924 (3 + 1/2) - 16,0 (3 + 1/2)
2
]
hay: E
3
= 59738,96.10
-24
(J)
+ Đối với phân tử I
2
thì năng lợng các trạng thái dao động tại:
E
0
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[214,519(0 + 1/2) 0,0074 (0 + 1/2)
2
]
hay: E
0
= 2109,1.10
-24

(J)
E
1
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[214,519 (1 + 1/2) - 0,0074 (1 + 1/2)
2
]
hay: E
1
= 6327,096.10
-24
(J)
E
2
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[214,519 (2 + 1/2) - 0,0074 (2 + 1/2)
2
]
hay: E
2
= 10544,797.10
-24
(J)
E

3
= 6,626.10
-34
.2,9676.10
10
[214,519 (3 + 1/2) - 0,0074 (3 + 1/2)
2
]
hay: E
3
= 14762,21.10
-24
(J)
Nh vậy từ các kết quả tính đợc ta thấy rằng năng lợng phi điều hòa của
phân tử F
2
lớn hơn rất nhiều so với phân tử I
2
ứng với các số lợng tử tơng ứng.