PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ
TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN
Biên soạn: Gv Nguyễn Trung Kiên 0988844088
(Dành cho học sinh lớp 11 và LTĐH)
Trong khai triển nhị thức Niu tơn ta thường gặp hai cách khai triển sau
nn
n
n
n
n
n
knk
n
k
k
n
n
aCabCbCbaCba
+++==+
−−
=
∑
)(
110
0
(1)
)2( )(
110
0
nn
n

n
n
n
n
kkn
n
k
k
n
n
bCbaCaCbaCba
+++==+
−−
=
∑
Ngoài ra học sinh cần nắm chắc các hệ thức sau
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
k n k
n n
k k k
n n n
k k

n n
k k
n n
k k
n n
C C
C C C
n k
C C
k
C C
k n
kC nC
−
−
− −
−
+
+
−
−
=
= +
− +
=
=
+ +
=
( ) ( )
[ ]

( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 !
1 1
( 2)
( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! !
k
m k
k m k m m k m k
m
m k k
C m k m m k m m k m k
+
+
 
+ − + − − + − +
−
= = + − + = −
 
+ − + − − + +
 
 
1 2
1
1 1 1
2
k k
m k m k
m

m C C
+ +
− + +
 
−
= −
 
−
 
Các hệ quả cần nắm
n
n
n
n
n
n
n
nn
nnnn
n
CxCxCx
xCxCxCCx
+++=+
++++=+
−
)1(
)1(
110
2210
n

n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nnnnn
n
CxCxCxCx
xCxCxCxCCx
++−=−
++−+−=−
−−
)1(
)1(
22110
332210
Dạng 1: Tính tổng các số hạng trong khai triển
Ví dụ 1: Tính các tổng sau
12
12
3
12
1
123
2
2

2
2
0
22
10
1
3
2
1
+
+++
+++=
+++=
++=
n
nnn
n
nnn
n
nnn
CCCS
CCCS
CCCS
Giải:
1. Xét khai triển
nn
nnnn
n
xCxCxCCx
++++=+

)1(
2210
cho x=1 ta có ngay S
1
=2
n
2. Xét khai triển
n
nnnn
n
CxCxCCx
2
2
22
2
1
2
0
2
2
)1(
++++=+
Cho x=1 ta có
n
nnnn
n
CCCC
2
2
2

2
1
2
0
2
2
2
++++=
8
Xét khai triển
n
nnnn
n
CxCxCCx
2
2
22
2
1
2
0
2
2
)1(
+−+−=−
(1)
Cho x= 1 ta có 0=
n
nnnn
CCCC

2
2
2
2
1
2
0
2

+−+−
(2)
Cộng 2 vế (1) và (2) ta có S
2
= 2
2n-1
Hs tự tính câu S
3
tương tự như tính S
2
Dạng 2: Tìm số hạng thứ k trong khai triển
Phương pháp: Viết khai triển ở dạng tổng quát
Tách riêng phần số và chữ trong khai triển
Giải điều kiện tìm hệ số
Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển
a. (1+x
2
)
8

c.
103
)
1
1(
x
x
++
b.
4 6
(1 )x x+ +
d.
12
)21)(23( xx ++
Giải:
a.Ta có
∑
=
=+
8
0
2
8
82
)1(
k
kk
xCx

X

10
ứng với 2k=10
⇔
k= 5 hệ số đó là
5
8
C
b.Ta có
4 6
(1 )x x+ +
=
k
k
kk
xxC
−
=
+
∑
6
6
0
4
6
)1(
=
++++
541
6
60

6
)1()1( xxCxC
482
6
)1( xxC
+
+… +
246
6
xC
Ta thấy x
10
chỉ tồn tại trong khai triển
482
6
)1( xxC
+
và nó ứng với phần hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển (1+x)
4
nhân với
2
6
C

⇒
hệ số chứa x
10
trong khai triển là

2
4
2
6
CC
.
c.Ta có
103
)
1
1(
x
x
++
=
10
104
)1(
x
xx ++
số hạng chứa x
10
trong khai triển ứng với số hạng chứa x
20

trong khai triển
1042
)1( xx
++
Cách tìm số hạng chứa x

20
như trong câu b
d.
12
)21)(23( xx ++
=
1212
)21(2)21(3 xxx +++
Từ đó tìm số hạng chứa x
10
trong 2 khai triển và cộng lại
Dạng 3:Chứng minhh một hệ thức tổ hợp
1) Dùng các khai triển để tính tổng
Ví dụ 1):Chứng minh các hệ thức sau
a.
k
nm
mk
n
m
m
k
nm
k
nm
k
nm
CCCCCCCCC
+
−−−

=++++

22110
b.
n
n
n
nnnn
CCCCC
2
2222120
)( )()()(
=++++
Giải
Theo kt niu tơn ta có:
mm
mmmm
m
nn
nnnn
n
xCxCxCCx
xCxCxCCx
+++=+
++++=+
)1(
)1(
2210
2210
Từ đó suy ra

=+
+nm
x)1(
) )( (
22102210 mm
mmmm
nn
nnnn
xCxCxCCxCxCxCC
+++++++=
(1)
9
Mặt khác theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có
nmnm
nm
kk
nmnmnmnm
nm
xCxCxCxCCx
++
+++++
+
++++++=+
)1(
2210
(2)
Phần hệ số chứa x
k
trong (1) là
mk

n
m
m
k
nm
k
nm
k
nm
CCCCCCCC
−−−
++++

22110
Phần hệ số chứa x
k
trong (2) là C
k
m+k
Từ đó suy ra điều phải cm.
Câu b chỉ là một kết quả của câu a.
Ví dụ 2:
Đặt S=
223222120
)()1( )()()()(
n
n
nn
nnnn
CCCCC

−++−+−
Chứng minh rằng S=0 nếu n lẻ
S=
n
nnn
n
4.2
)2) (4)(2(
)1(
2
++
−
nếu n chẵn.
0 1 2 2
(1 ) ( 1) (1)
n n n n
n n n n
x C C x C x C x
− = − + − + −
)2(
1

111
)
1
1(
3
3
2
210

n
n
nnnnn
n
x
C
x
C
x
C
x
CC
x
+++++=+
Nhân từng vế (1) và (2) ta có
)
1

11
)()1( (
)1(
2
2102210
2
n
n
nnnn
nn
n
n

nnn
n
n
x
C
x
C
x
CCxCxCxCC
x
x
++++−+−+−=
−
Số hạng không chứa x ở vế phải của đẳng thức là
223222120
)()1( )()()()(
n
n
nn
nnnn
CCCCC
−++−+−
Khi n lẻ mọi số hạng trong khai triển đều chứa lũy thừa bậc chẳn của x từ đó suy ra số hạng
không chứa x bằng 0
Khi n chẳn dễ thấy số hạng không chứa x ở vế trái ứng với số hạng chứa x
n
trong khai triển (1 –
x
2
)

n
và số hạng đó là
22
)1(
n
n
n
C
−
đó là điều phải cm.
2) Dùng đạo hàm để tính tổng
Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số C
k
n
mà có chứa các số hoặc tích các số thì
thông thường ta phải dùng một khai triển sau đó xét đạo hàm của nó để suy rs tổng cần tính
Ví dụ 1) Tính tổng sau
a)
0 1 2
2 3 ( 1)
n
n n n n
S C C C n C= + + + +
b)
( )
0 1 2
2 3 4 2
n
n n n n
S C C C n C= − + − + +

Với n là số tự nhiên chẵn
GIẢI:
a) Xét khai triển
( )
0 1
0
1
n
n
k k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
=
+ = = + + +
∑
Nhân hai vế của đẳng thức với x ta có
( )
0 1 2 1
0
1
n
n
k k n n
n n n n
k
x x C x C x C x C x
+
=
+ = = + + +

∑
Lấy đạo hàm cả hai vế ta có
( ) ( )
1
0 1 2
1 1 2 3 ( 1)
n n
n
n n n n
x nx x C C C n C
−
+ + + = + + + +
Cho x=1 ta có S=2
n
+n.2
n-1

10
b) Xét khai triển
( )
0 1
0
1
n
n
k k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
=

+ = = + + +
∑
nhân hai vế của đẳng thức với x
2
ta có
( )
2 0 2 1 3 2
0
1
n
n
k k n n
n n n n
k
x x C x C x C x C x
+
=
+ = = + + +
∑
lấy đạo hàm hai vế ta có
( ) ( )
1
2 0 1 2 2 3 1
2 1 1 2 3 4 ( 2)
n n
n n
n n n n
x x nx x C x C x C x n C x
−
+

+ + + = + + + + +
Cho x=-1 ta có S=0
3) Dùng tích phân để tính tổng
Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số tổ hợp có chứa các phân số hoặc tích các phân
số thì ta phải xét một tổng thích hợp sau đó dùng phép tính tích phân để tính tổng. Việc lấy
cận tính tích phân là tuỳ thuộc vào tổng cần tính
Ví dụ) Tính các tổng sau
a)
0 1 2
1 1 1

2 3 1
n
n n n n
S C C C C
n
= + + + +
+
b)
0 1 2
1 1 1 1

2 4 6 2 2
n
n n n n
S C C C C
n
= + + + +
+
c)

2 4 2 2
0 1
2 1 2 1 2 1

2 4 2 2
n
n
n n n
S C C C
n
+
− − −
= + + +
+
Giải
a) Ta có
( )
0 1
0
1
n
n
k k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
=
+ = = + + +
∑
. Lấy tích phân trên

[ ]
0;1
cả 2 vế ta có

( )
( )
( )
1
1 1
0 1 1 0 1 2 1 1
0 0
0 0
1
1 1
1 ( )
1 2 1
n
n
n n n n
n n n n n n
x
x dx C C x C x dx C x C x C x
n n
+
+
+
+ = + + + ⇔ = + + +
+ +
∫ ∫
1

2 1
1
n
S
n
+
−
⇒ =
+
b) Xét
( )
2 2 0 1 2 2 4 2
0
1
n
n
k k n n
n n n n n
k
x C x C C x C x C x
=
+ = = + + + +
∑
. Nhân x vào 2 vế ta có
( ) ( )
2 0 1 3 2 5 2 1
1
n
n n
n n n n

x x C x C x C x C x
+
+ = + + + +
Lấy tích phân trên
[ ]
0;1
cả hai vế ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 0 1 3 2 5 2 1
0 0
1
2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 1
0
0
1
2 1 0 1 2
0
1
1
1 1 1 1 1
1 ( 1)
2 2 4 6 2 2
1 1 1 1 1
1
2 1 2 4 6 2 2

1
2
2 1
n
n n
n n n n
n
n n
n n n n
n
n
n n n n
n
x x dx C x C x C x C x dx
x d x C x C x C x C x
n
x C C C C
n n
S
n
+
+
+
+
+ = + + + +
 
⇔ + + = + + + +
 ÷
+
 

⇔ + = + + + +
+ +
⇒ =
+
∫ ∫
∫

c) Xét
( )
2 2 0 1 2 2 4 2
0
1
n
n
k k n n
n n n n n
k
x C x C C x C x C x
=
+ = = + + + +
∑
. Nhân x vào 2 vế ta có
11
( ) ( )
2 0 1 3 2 5 2 1
1
n
n n
n n n n
x x C x C x C x C x

+
+ = + + + +
Lấy tích phân trên
[ ]
1;2
cả hai vế ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 0 1 3 2 5 2 1
1 1
2
2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 2
1
1
2 4 6 2 2
1
2 2 0 1 2
1
1
1 1 1 1 1
1 ( 1)
2 2 4 6 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
2 1 2 4 6 2 2
n
n n

n n n n
n
n n
n n n n
n
n
n n n
x x dx C x C x C x C x dx
x d x C x C x C x C x
n
x C C C C
n n
+
+
+
+
+ = + + + +
 
⇔ + + = + + + +
 ÷
+
 
− − − −
⇔ + = + + + +
+ +
∫ ∫
∫
( )
1 1
5 2

2 1
n
n
n n
S
n
+ +
−
⇒ =
+
4) Ứng dụng số phức để tính tổng
Để giải quyết các bài toán dạng này học sinh cần nắm chắc dạng đại số và dạng lượng giác của
số phức từ đó áp dụng nhị thức Niu tơn
Chú ý: Nếu số phức có dạng lượng giác là
n
( os isin ) z ( osn isinn )
n
z r c r c
α α α α
= + ⇒ = +
Ta hãy xét ví dụ sau:
Tính các tổng sau:
a)
2 4 6
1
1
n n n
S C C C= − + − +
b)
1 3 5 7

2

n n n n
S C C C C= − + − +
Ta có
( )
1 2 2 2 4 6 1 3 5 7
1 1 (1 ) ( )
n
n n
n n n n n n n n n n
i C i C i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + + − + − +
Mặt khác ta có
( )
n n
1 2( os isin ) 1 2 ( os isin )
4 4 4 4
n
n
i c i c
π π π π
+ = + ⇒ + = +
Từ dó suy ra
1
2
n
2 os
4
n
2 sin

4
n
n
S c
S
π
π
=
=
Ta có kết quả sau (
2 4 6
1
n n n
C C C− + − +
)
2
+(
1 3 5 7

n n n n
C C C C− + − +
)
2
=2
n
Các em học sinh hãy vận dụng để tính giá trị biểu thức sau:
0 2 4 2010
1 2010 2010 2010 2010
1 3 5 2009
2 2010 2010 2010 2010

S C C C C
S C C C C
= − + − −
= − + − +
5) Một số bài tập khác
Ví dụ 1) Tính tổng sau
12
2 2 2
0 1

1 2 1
n
n n n
C C C
S
n
     
= + + +
 ÷  ÷  ÷
+
     
Giải:
Ta có
1
1
1 ! 1 ( 1)!
. .
1 1 !( )! 1 ( 1)!( )! 1

k k
n n
C C
n n
k k k n k n k n k n
+
+
+
= = =
+ + − + + − +
Từ đó suy ra
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1
1 1 1
2
1

1
n
n n n
S C C C
n
+
+ + +
 
= + +
 
 

+
Phần tiếp theo Hs tự tính
Ví dụ 2) Chứng minh rằng
1
0
2002
1 1
2000
n
k
k
k
C
+
=
+
<
∑
Ta có
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 !
1 1
( 2)
( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! !
k
m k

k m k m m k m k
m
m k k
C m k m m k m m k m k
+
+
 
+ − + − − + − +
−
= = + − + = −
 
+ − + − − + +
 
 
1 2
1
1 1 1
2
k k
m k m k
m
m C C
+ +
− + +
 
−
= −
 
−
 

Từ đó ta có
1 1 2 1
0
1
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
n
k n
k
m k m m n m
m m
C m C C m C m
+ +
=
+ + −
 
− −
= − < =
 
− − −
 
∑
Thay m=2002 ta có kết quả cần
tìm
Thay m=2010 ta có kết quả sau
1 2 3 1
2010 2010 1 2010 2 2010
1 1 1 1 1

2008

n
n
C C C C
+
+ + +
+ + + + <
Ví dụ 3) Tính tổng sau
0 1 2
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2)
n
n n n n
S C C C C
n n
= + + + +
+ +
Ta có
1
1
1 1 ! 1 1 ( 1)! 1 1
. . .
( 1)( 2) ( 1)( 2) !( )! ( 1) ( 2) ( 1)!( )! ( 1) ( 2)
k k
n n
n n
C C
k k k k k n k n k k n k n k
+
+

+
= = =
+ + + + − + + + − + +
13
2
2
1
( 1)( 2)
k
n
C
n n
+
+
=
+ +
Từ đó ta có
( )
( )
2 3 2
2 2 2
0 1 2 3 2 0 1
2 2 2 2 2 2 2
2
2 0 1
2 2
1

( 1)( 2)
1

( 1)( 2)
1 2 3
2
( 1)( 2) ( 1)( 2)
n
n n n
n
n n n n n n n
n
n
n n
S C C C
n n
C C C C C C C
n n
n
C C
n n n n
+
+ + +
+
+ + + + + + +
+
+
+ +
 
= + + + =
 
+ +

 
+ + + + + − + =
 
+ +
− −
 
− + =
 
+ + + +
Dạng 4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Phương pháp
Viết khai triển niutơn ở dạng tổng quát
Tách riêng phần hệ số và phần biển trong khai triển
Kí hiệu các hệ số tương ứng là A
0
, A
1, …
A
k
, …A
n
A
k
là hệ số lớn nhất khi nó thỏa mản điều kiện
A
k
≥ A
k-1
và A
k

≥ A
k+1
giải hệ hai bpt ta suy ra giá trị của k
Ví dụ: Xét khai triển
12
12
2
210
12
)21( xAxAxAAx
++++=+
Tìm max { A
1
, A
2
,……A
n
}
Giải
Ta có
kk
k
k
xCx 2)21(
12
0
12
12
∑
=

=+
từ đó suy ra A
k
=
kk
C 2
12
giả sử A
k
là hệ số max
Ta có A
k
≥ A
k-1

A
k
≥ A
k+1


⇔
kk
C 2
12
≥
11
12
2
++ kk

C

⇔
12! 2
k
/(12-k)! k! ≥12! 2
k+1
/(12-k-1)! (k+1)!

kk
C 2
12
≥
11
12
2
−− kk
C
12! 2
k
/(12-k)! k! ≥ 12! 2
k-1
/ (12- k +1)! (k -1)!

⇔

112
12
1
2

12
1
+−
≥
+
≥
−
kk
kk

⇔

253
233
≤
≥
k
k

⇔

3,86,7
≤≤
k
vì k là số nguyên nên k=8
Hệ số max là A
8
=
88
12

2C
CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HƠP
Thi chung năm 2008
Khối A: Cho khai triển
( )
2
0 1 2
1 2
n
n
n
x a a x a x a x+ = + + + +
. Biết

1 2
0
4096
2 4 2
n
n
a
a a
a + + + + =
. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số
0 1
; ; ;
n
a a a
Khối B: Chứng minh rằng
14

1
1 1
1 1 1 1
2
k k k
n n n
n
n C C C
+
+ +
 
+
+ =
 ÷
+
 
(Với n,k là các số nguyên dương và
k n
≤
)
Khối D: Tìm số nguyên dương n thoả mãn

1 3 5 2 1
2 2 2 2
2048
n
n n n n
C C C C
−

+ + + + =

Thi chung năm 2007
Khối A
Chứng minh rằng:
12
12
2
1

6
1
4
1
2
1
2
12
2
5
2
3
2
1
2
+
−
=++++
−
n

C
n
CCC
n
n
nnnn
Khối B. Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức newton
của
( )
n
x+2
biết
( )
20481 3333
3322110
=−++−+−
−−− n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCCC

Khối D
Tìm hệ số
5
x
trong khai triển đa thức của
( ) ( )
10
2
5
3121 xxxx ++−
Thi chung năm 2006
Khối A
Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức newton của
n
x
x






+
7
4
1
. Biết rằng

12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC
Khối B
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4
phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm
{ }
nk , 3,2,1∈
sao cho số tập
con gồm k phần tử của A lớn nhất.
Khối D
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm
vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy
Thi chung năm 2005
Khối A
Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
200512 2.42.32.2
12

12
4
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
nnnnn
CnCCCC
Khối B
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1
nữ.
Khối D
Tính giá trị của biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+

n
AA
M
nn
.Biết
15

14922
2
4
2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
Thi chung năm 2004
Khối A
Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức
( )
[ ]
8
2
11 xx −+

Khối B
Một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15
câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi dó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác
nhau, sao cho trong mỗi đề nhât thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi
không ít hơn 2.
Khối D
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton
7
4
3
1








+
x
x
với x > 0
Thi chung năm 2003
Khối A
Tìm hệ số chứa
8
x
trong khai triển nhị thức newton của
n

x
x






+
5
3
1

biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n
n
n
n
Khối B
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12

3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+
−
++
−
+
−
+
+
Khối D
Với n là số nguyên dương, gọi

33 −n
a
là hệ số của
33 −n
x
trong khai
triển đa thức của
( )
( )
n
n
xx 21
2
++
. Tìm n để
26
33
=
−n
a
Thi chung năm 2002
Khối A
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x

n
n
x
n
x
n
n
x
x
CCC








+

















++
















=









+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
0
3
2
1
222 2222
Biết rằng trong khai triển đó
13
5

nn
CC =
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm x và n.
Khối B
Cho đa giác đều
n
AAA
221

;
( )
2≥n
n nguyên. nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có
các đỉnh là 3 trong 2n điểm
n
AAA
221

, nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong
2n điểm
n
AAA
221

, tìm n.
Khối D
Tìm số dương n sao cho
2432 42
21
0

=++++
n
n
n
nn
n
CCCC
QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN
A.Lý thuyết
16
B.Cách giải
Bài 1: Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi.
a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B?
b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B?
c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không
đi quá một lần.
Bài 2: Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy
cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc.
Bài 3: Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.
Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu:
a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần?
b) Không đến thăm bạn quá một lần.
Bài 4: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi cso bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình
bắt đầu ở một nhà ga và chấm dứt ở một nhà ga khác, biết từ ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ
một nhà ga khác.
Bài 5: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một bàn ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho.
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ.
b) Nam, nữ ngoài xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi cạnh nhau.
Bài 6: (Đại học Quốc Gia TPHCM 99)
Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6

học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi
cho các trường hợp sau?
a) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau huặc đối diện nhau thì khác trường nhau.
b) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
Bài 7:
Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác
nhau và.
a) Gồm 3 chữ số?
b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400.
c) Gồ 3 chữ số chẵn?
d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5?
Bài 8: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1997G).
Có 10.000 vé được đánh số 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 9: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997).
Xé dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn trong dãy số tự nhiên) thoả mãn chữ số
vị trí thứ 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, cá chữ số 4,5,6 đôi một khác nhau hỏi
có bao nhiêu cách?
Bài 10: (Đại học Y Hà Nội 1997).
Cho chữ số 0, 1, 2, 3, …., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000
xây dựng từ các chữ số trên.
Bài 11. Cho
{ }
,5,4,3,2,1,0=X
. Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có
mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
Bài 12: (Đại học Huế 1999).
17
Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu
nhiên thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Bài 13: (Đại học Y Hà Nội 1999).
Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9.
Bài 14:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của mỗi số là
một số lẻ.
Bài 15:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 16:
Cho
{ }
5,4,3,2,1,0=X
.
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một.
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.
Bài 17: (Đại học Nông Lâm 1999)
Cho
{ }
5,4,3,2,1,0=X
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó
không chia hết cho 3.
HOÁN VỊ -
A.Lý thuyết
B.Cách giải
Bài 18:
Giải phương trình
( )
( )
6

1
!1
!1!
=
+
−−
x
xx
Bài 19:
Giải bất phương trình
12
4
15
.
−+
+
<
nnn
n
PPP
P
Bài 20:
Gọi
n
P
là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh:
a)
( )
11
1

−−
−=−
nnn
PnPP
b)
( )
PnPnPPP
n
=−+++++
−1321
1 321
Bài 21: Chứng minh với mọi
n
n
nNn






+
≤∈
2
1
!:
.
Bài 22:
Một tạp chí thể thao định ra cho 22 kỳ báo chuyên đề về 22 đội bóng, mỗi kỳ có một đội.
Hỏi có bao nhiêu cách cho.

a) Kì báo đầu tiên nói về đội bóng A?
b) Hai kì báo liên tiếp nói về hai đội bóng A và B?
Bài 23:
Tên 12 tháng trong năm được liệt kê theo thứ tự tùy ý sao cho tháng 5 và tháng 6 không
đứng kề nhau. Hỏi có mấy cách?
18
Bài 24: Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, có chia thành 5 chủ đề, mỗi
chủ đề gồm 10 câu. Cần sắp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu có cùng một chủ đề đứng gần
nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chru đề 2, 3, không đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
Bài 25: Một công ty cần thực hiện một cuộc điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng về sản
phẩm của mình. Công ty đưa ra 10 tính chất của sản phẩm và yêu cầu khách hàng sắp xếp thứ
theo mức độ quan trọng giảm dần. Giả sử tính chất 1 và tính chất 10 đã được xếp hạng. Hỏi có
mấy cách xắp xếp?
Bài 26:
Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước khác nhau đôi một. Có bao nhiêu cách sắp xếp các
bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau.
Bài 27: (Đại học Hàng Hải 1999)
Có bao nhiêu các xếp 5 học sinh A, B , C, D, E vào 1 ghế dài sao cho
a) C ngồi chính giữa
b) A, E ngồi hai đầu ghế.
Bài 28: (Đại học Cần Thơ 1999).
Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10
học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu.
a) Các học sinh ngồi tuỳ ý.
b) Các học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi một bàn.
Bài 29: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1999D).
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn sách văn, 2 sách
toán, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn
sách cùng một môn sắp xếp kề nhau?
Bài 30: (Đại học Ngoại Thương 2001A)

Từ
{ }
6,5,4,3,2,1=X
thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi các số đã lập có bao
nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.
Bài 31: (Học viện Ngân Hàng 1999D).
Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và một chữ số 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.
Hỏi có bao nhiêu số mà?
a) Năm chữ số 1 xếp kề nhau?
b) Các chữ số được xếp tuỳ ý.
Bài 32: (Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2000).
Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9
sao cho chữ số chẵn không đứng kề nhau?
Bài 33: (Đại học Huế 1997D).
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng
các số trên.
Bài 34: (Đại học An Ninh 2000D).
Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4
có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần?
CHỈNH HỢP -
A.Lý thuyết
B.Cách giải
Bài 35:
19
Chứng minh rằng với mọi n, k thuộc số tự nhiên
nk <≤2
.
a)
1
11

−
−−
+=
k
n
k
n
k
n
AAA
b)
n
kn
n
kn
n
kn
AkAA
+
+
+
+
+
=+ .
212
Bài 36: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001D).
Giải phương trình
( )
xxxx
PAAP 2672.

22
+=+
Bài 37: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1998B).
Giải bất phương trình
xAA
xx
215
23
≤+
Bài 38: (Đại học An Ninh 2001G).
Tìm số âm trong dãy
n
xxxx ,,
321
. với
nn
n
n
PP
A
x
4
143
2
4
4
−=
+
+
Bài 39: (Đại học An Ninh 2001A)

Chứng minh với
2≥∈ nNn
thì
n
n
AAA
n
11

11
22
3
2
2
−
=+++
Bài 40:
Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B ,…Z
và tiếp theo là 5 chữ cái khác nhau không có số 0.
Bài 41:
Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi
đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu?
a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào?
b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được.
c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào
cũng được?
Bài 42:
Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3
cây bút máy để tặng cho 3 học sinh, mỗi em có một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có bao
nhiêu cách?

Bài 43:
Một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3 tiết mục múa
trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau nếu các bài hát
được xếp kề nhau và các tiết mục múa được xếp kề nhau?
Bài 44:
Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con. Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về đích nhất,
nhì, ba.
Bài 45: (Học viện Ngân Hàng TPHCM 2000).
Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái
lấy từ 26 chữ cái A, B, C…Z. Các chữ số lấy từ 0, 1, …9.
a) Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ số cái khác chữ số O và các chữ số đôi một
khác nhau.
b) Có mấy biẻn số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ
đó giống nhau.
Bài 46.
Có 30 học sinh dự thi học sinh toán toàn quốc. Có 6 giải thường xếp hạng từ 1 đến 6 và
không ai được nhiều hơn 1 giải. Hỏi?
20
a) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có?
b) Nếu đã biết học sinh A chắc chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt
giải có thể có?
Bài 47:
Một lớp có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó
học tập và một lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 48:
Có 6 người đi vào 1 thang máy của một nhà trung cư 10 tầng. Hỏi có bao nhiêu cách để.
a) Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau.
b) 6 người này, mỗi người đi vào một tầng bất kì nào đó?
Bài 49: (Đại học quốc gia Hà Nội 1997)
Có 100000 chiếc vé số được đánh từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác

nhau là bao nhiêu.
Bài 50: (Đại học Cảnh Sát 1999).
Với 10 chữ số
9, ,1,0
. Có thể lập bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 51: (Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác
nhau
Bài 52: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001).
Từ 0, 1, 3, 5, 7. Có thể thiết lập bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không
chia hết cho 5.
Bài 53: (Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2001).
Từ
{ }
6,5,4,3,2,1,0=X
lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau trong đó nhất thiết phải
có mặt chữ số 5.
Bài 54: (Đại học An Ninh 1997).
Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số
khác nhau.
Bài 55: (Đại học Quốc Gia TPHMC 1999).
Cho
{ }
7,6,5,4,3,2,1,0=X
. Có thể lập bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ
X mà.
a) n chẵn.
b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.
Bài 56: (Đại học dân lập Thăng Long 1998).
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 có thể có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập
bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt mà tron đó có 2 chữ số 1, 2.

Bài 57: (Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông 1999).
Từ 10 chữ số
9 ,2,1,0
có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số
đó đều phải có mặt 0, 1.
Bài 58: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2001).
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0).
Trong đó có một chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
Bài 59: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 - 2001).
Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8.
TỔ HỢP -
A.Lý thuyết
B.Cách giải
21
Bài 60:
Giải phương trình
xxx
CCC
654
111
=−
Bài 61: (Đại học Hàng Hải 1999).
Tìm n sao cho
3
4
1
3
1
14
1

P
A
C
n
n
n
<
+
−
−
Bài 62: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 2000).
Tìm x thoả mãn:
10
6
2
1
322
2
+≤−
xxx
C
x
AA
Bài 63: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 2001).
Tìm x, y thoả






=−
=+
8025
9052
y
x
y
x
y
x
y
x
cA
CA
Bài 64: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1999).
Cho k, n thỏa
2≥≥ kn
Chứng minh
( ) ( )
2
2
11
−
−
−=−
k
n
k
n
CnnCkk

Bài 65: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997).
Cho
nk ≤≤4
. Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
4
4321
464
+
−−−−
=++++
Bài 66: (Cao Đẳng Sư Phạm TPHCM 1998).
Tìm
Nk ∈
sao cho
1
14
2

1414
2
++
=+
kkk
CCC
Bài 67: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2000A)
Chứng minh nếu
Nk
∈
và
20000
≤≤
k
1001
2001
1000
2001
1
20012001
CCCC
kk
+≤+
+
Bài 68: (Đại học Y - Dược 1998).
Với mọi n, k thuộc số nguyên
nk ≤≤0
. Chứng minh rằng
( )
2

222
.
n
n
b
kn
n
kn
CCC ≤
−+
Bài 69: (Đại học Sư Phạm Vinh 2001).
Cho n nguyên dương, cố định và
Nk ∈
.
Chứng minh
k
n
C
lớn nhất nếu k không vượt quá
2
1+n
Bài 70: (Trung tâm bồi dưỡng cán bộ Y tế 1998).
Cho
Nnm ∈,
. Chứng minh rằng:
a)
1
1
−
−

=
m
n
m
n
nCmC
b)
1
1
11
2
1
1

−
−
−−
−
−
−
++++=
m
m
m
m
m
n
m
n
m

n
CCCCC
Bài 71: (Trung tâm bồi dưỡng cán bộ Y tế 2001).
Chứng minh
20020
1
2001
2002
2001
20022001
2001
2002
1
2002
2001
2002
0
2001
2.1001 =+++++
−
−
CCCCCCCC
k
k
k
Bài 72:
Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn câu trả lời 8 câu.
a) Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý?
b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?
c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?

22
Bài 73:
Có 12 học sinh ưu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc.
Có mấy cách chọn.
a) Tuỳ ý?
b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?
c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi huặc không cùng đi?
Bài 74:
Một người phụ nữ có 11 người bạn thân trong đó có 6 nữ. Cô ta định mời ít nhất 3 người
trong 11 người đó đến dự tiệc. Hỏi?
a) Có mấy cách mời?
b) Có mấy cách mời để trong buổi tiệc gồm cô ta và các khách mời, số nam và nữ bằng
nhau.
Bài 75:
Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho
mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn.
Bài 76: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997).
Có 12 học sinh ưu tú củ môộ trường trung học. Muốn chon một đoàn đại biểu gồm 5
người (một trưởng đoàn, một thư ký và 3 thành viên ) đi dự trại quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn? (hãy giải thích).
Bài 77: (Đại học Luật 1999).
Một đoàn tàu có 3 toa chở khách, toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi
tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi?
a) Có bao nhiêu cách xếp 4 hành khách lên 3 toa?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị
khách.
Bài 78: (Thi Đại học 2004B).
Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có
thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại
(Khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?

Bài 79: (Đại học Y Hà Nội 1998)
Một chi đoàn có 200 đoàn viên trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ công tác có 5
người. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ.
Bài 80: (Đại học Kiến Trúc 1998)
Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ sư
là tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ
công tác?
Bài 81: (Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội 1999)
Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chon ra 1 tốp
ca gồm 5 em trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 82: (Học viện Kỹ Thuật Quân Sự).
Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A,
2 người làm tại B còn lại 4 người trục đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
Bài 83: (Đại học Y Hà Nội 2000).
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Muốn lập một đoàn công
tác có 3 người gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 84: (Học viện Chính Trị 2001)
23
Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn
nghệ:
a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau.
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá một nam.
Bài 86:
Một bộ bài 52 lá, có 4 loại cơ , rô, chuồn, bích mỗi loại có 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá bài
trong đó phải có đúng một lá có, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. Hỏi có mấy cách?
Bài 87:
Có 2 đường thẳng song song (d
1
) và (d
2

). Trên (d
1
) lấy 15 điểm phân biệt. Trên (d
2
) lấy 9
điểm phân biệt. Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy.
Bài 88: (Đại học Giao Thông Vận Tải 2000).
Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi
dự đại hội của trường sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp.
Bài 89: (Học viện Quân Sự 2001).
Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá và 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người , đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.
Bài 90: (Trường Hàng Không 2000).
Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người ta muốn
chọn 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho.
a) Mỗi loại có đúng 2 cây?
b) Mỗi loại có ít nhất một cây?
Bài 91: (Đại học Huế 2000).
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập 1 tốp ca.
Hỏi có bao nhêiu cách chọn khác nhau phải có ít nhất 2 nữ.
Bài 92: (Đại học Nông Nghiệp 2000B).
Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các
phần tử.
Bài 93: (Đại học Sư Phạm Vinh 1999).
Một tổ sinh viên có 20 em. Trong đó chỉ có 8 em biết nói tiếng Anh, 7 em biết tiếng Pháp
và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng
Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi cso bao nhiêu cách lập nhóm.
Bài 94: (Đại học Nông Lâm 2001D).
Trong 1 hộp có 7 quả cầu xanh. 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đen khác
nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu

chọn có đủ 3 màu.
Bài 95:
Một hộp chứa 6 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi có mấy cách chọn 4 bi.
a) Màu tuỳ ý?
b) Gồm 2 bi trắng và 2 bi đen?
Bài 96: (Đại học Dân Lập Thăng Long 1999).
Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 tới 6
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5
4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số.
b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số?
Bài 97: (Đại học Cần Thơ 2000).
24
Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách
chọn ra:
a) 6 viên bi đó có đúng 2 viên bi đỏ?
b) 6 viên bi trong đó số bi xanh đúng bằng số bi đỏ?
Bài 98: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2000)
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi
một khác nhau). Người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn 1 bó
hoa trong đó
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
Bài 99: (Học viện Quân Y 2000).
Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh có bán kính giống nhau vào 1 hộc có 7 ô
trống.
a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau so cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh
nhau?
Bài 100: (Đại học Huế 1999).

Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn từ 4 hộp. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu?
Bài 101: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1998).
a) Cho
nkvank <,
chứng minh rằng
1
1
1 +
+
+
=+
k
n
k
n
k
n
CCC
b) Một đa giác lồi n cạnh có mấy đường chéo.
Bài 102: (Học viện Ngân Hàng 2000A).
Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H.
a) Có bao nhiêu đa giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh
của H.
b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có mấy tam giác không có cạnh
nào là cạnh của H?
Bài 103: (Đại học Ngoại Thương 2001A)
Trên mặt phẳng toạ độ co 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của
thập giác. Hỏi trong số các cạnh của tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều
không phải là 3 cạnh của thập giác?

Bài 104: (Tuyển sinh đại học khối B 2002).
Co đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n Є N và
2≥n
) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số
tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4
trong 2n đỉnh A
1
A
2
…A
n
. Tìm n.
Bài 105: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 1999).
Trong một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4
cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội cháu ngoan
Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 106:
Lớp học có 4 nữ, 10 nam. Cần chia là hai tổ, mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam. Hỏi có mấy cách?

Bài 107:
A, B, C đến nhà D mượn sách. D có 1 cuốn tiểu thuyết và 8 cuốn sách giáo khoa khác
nhau. A mượn 2 cuốn trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết. B mượn 2 cuốn giáo khoa và C mượn 3
cuốn giáo khoa. Hỏi có mấy cách khác nhau để D cho mượn sách?
25
Bài 108:
Có một tờ bạc 5000 đ, 1 tờ bạc 20 000đ và 1 tờ bạc 50 000đ. Từ các tờ bạc này có thể tạo
ra bao nhiêu tổng số tiền khác nhau?
Bài 109: (Đại học Kinh Tế TPHCM 2001)
Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Người ta muốn
chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau?
a) Trong tổ phải có mặt cả nam và nữ?
b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt
trong tổ?
Bài 110.
Số 210 có bao nhiêu ước.
CÁC BÀI TOÁN HỖN HỢP
A.Lý thuyết
B.Cách giải
Bài 111:
Một cuộc khiêu vũ có 10 nam, 6 nữ. Cần chọn 3 nam, 3 nữ lập thành 3 cặp. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn?
Bài 112:
Có 5 bưu thiếp khác nhau, 6 bì thư khác nhau. Cần chọn 3 bưu thiếp, bỏ vào 3 bì thư, mỗi
bì một bưu thiếp và gửi cho 3 người bạn mỗi bạn một bưu thiếp. Hỏi có mấy cách?
Bài 113:
Có 4 người Việt, 4 người Nhật và 4 người Trung Quốc và 4 người Triều Tiên. Cần chọn
6 người đi dự hội nghị. Hỏi có mấy cách chọn sao cho?
a) Mỗi nước đều có đại biểu?
b) Không có nước nào có hơn một đại biểu?

Bài 114
a) Có 10 cái bánh khác nhau và 5 cái hộp khác nhau. Hỏi có mấy cách xếp mỗi hộp hai
bánh?
b) Nếu có 10 bánh khác nhau và 5 hộp giống nhau thì có bao nhiêu cách?
Bài 115: (Đại học Quốc Gia 2000).
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh
văn và 3 sách Hoá. Ông lấy 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên những cuốn sách thuộc loại A văn
và Văn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.
b) Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong mỗi loại Văn, Anh văn, Hoá còn ít
nhất một quyển. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
Bài 116: (Đại học Quốc Gia 1999).
Cho
{ }
8,7,6,5,4,3,2,1=A
a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123.
Bài 117: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2000)
Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó 1 và 6 đều
có mặt đúng 2 lần còn các chữ số khác xuất hiện một lần.
Bài 118: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2000).
26
a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là số
lẻ?
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3
chữ số chẵn.
Bài 119: (Đại học Quốc Gia 2001D).
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có
mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần?
NHỊ THỨC NEWTON

TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
A.Lý thuyết
B.Cách giải
Bài 120: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1998)
Khai triển
( )
16
13 −x
Suy ra
1616
16
2
16
141
16
150
16
16
2 333 =+++− CCCC
Bài 121:
Chứng minh
a)
nn
nn
n
n
n
n
n
CCCC 3 222

22110
=++++
−−
b)
( )
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
CCCC 21 333
22110
=−+++−
−−
Bài 122:
Chứng minh
( )
122
1
1
1
−=
−
−
=
∑

n
n
k
k
n
C
;
( )
01
0
=−
∑
=
n
k
k
k
n
C
Bài 123: (Đại học Hàng Hải 2001).
Chứng minh
( )
1223 3.3
21222
2
44
2
22
2
0

2
+=++++
− nnnn
nnnn
CCCC
Bài 124: (Đại học Kiến Trúc Hà Nội 1998).
Tìm hệ số đứng trước
5
x
trong khai triển nhị thức sau thành đa thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7654
12121212 +++++++= xxxxxf
Bài 125: (Tuyển sinh Đại Học khối A 2003)
Tìm số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức
n
x
x






+
5
3

1
biết rằng
( )
3
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n
n
n
n
Bài 125 b: (Tuyển sinh Đại học 2006).
Tìm số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton biết rằng
n
x
x







+
7
4
1
biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC
Bài 126: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2000)
Biết rằng tổng các hệ số của khai triển
( )
n
x 1
2
+
bằng 1024. Hãy tìm hệ số a của số hạng
12
ax
trong khai triển đó.
Bài 127:
27

Tìm hệ số đứng trước
4
x
trong khai triển
( )
10
2
31 xx ++
Bài 128: (Tuyển sinh Đại học khối A 2004)
Tìm hệ số
8
x
trong khai triển
( )
[ ]
8
2
11 xx −+
Bài 129: (Tuyển sinh đại học khối A 2002)
Cho
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x

n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+









=








+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2

1
1
2
1
0
3
2
1
222 22222
. Biết
rằng
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.
Bài 130: (Đaị học Kinh Tế Quốc Dân 1997).
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
1






+
x
x
Bài 131: (Tuyển sinh khối D 2004).

Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển








+
4
3
1
x
x
Bài 132: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 năm 2000)
Trong khai triển
n
xxx








+
15
28

3
Hãy tìm hệ số không phụ thuộc vào x biết rằng
79
21
=++
−− n
n
n
n
n
n
CCC
Bài 133:
Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỷ.
( )
124
4
53 −
.
Bài 134: (Tuyển sinh Đại Học 2004D).
Gọi
33 −a
a
là hệ số của
33 −n
x
trong khai triển thành đa thức của
( )
( )
n

n
xx 2.1
2
++
. Tìm n
để
na
n
26
33
=
−
.
Bài 135: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2001).
Trong khai triển
10
3
2
3
1






+ x
thành đa thức
10
1010

xaxaa +++
;
( )
Ra
k
∈
Hãy tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
ĐẠO HÀM 2 VẾ CỦA KHAI TRIỂN NHỊ THỨC
A.Lý thuyết
B.Cách giải
Bài 136:
Chứng minh:
a)
1321
2 32
−
=++++
nn
nnnn
nnCCCC
b)
( )
01 32
1
321
=−+−+−
−

n
n
n
nnn
nCCCC
c)
( )
nnCCCC
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=−+−+−
−
−−−
1
332111
1 2.322
28
Bài 137: (Đại học Hàng Hải 1998)
Cho
( )
100
100
2

210
100
2 xaxaxaax ++++=−
. Tính
a)
97
a
b)
10010
aaaS +++=
c)
10021
100 2 aaaM +++=
Bài 138: (Đại học An Ninh 1998)
Cho
( ) ( )
21 ≥+= nxxf
n
a) Tính
( )
1f
′′
b) Chứng minh
( ) ( )
2432
211 3.4.2.3.1.2
−
−=−++++
nn
nnnn

nnCnnCCC
Bài 139: (Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2000).
Chứng minh
144332111
3 2.4.2.322
−−−−−
=+++++
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
nnCCCCC
Bài 140: (Đại học Luật 2001)
Chứng minh
1332211
4 3.33.23
−−−−
=++++
nn
n
n
n
n
n
n

n
nnCCCC
Bài 141: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1999).
Tính
( )
n
n
n
nnnn
nCCCCCA
1
4321
1 432
−
−++−+−=
Bài 142:
Chứng minh rằng với
2>∈ nvaNn
.
( )
! 2
1
21
nnCCC
n
n
nnn
<+++
Bài 143:
Chứng minh

a)
( ) ( )
232
211 3.22.1
−
−=−+++
nn
nnn
nnnCnCC
b)
( ) ( )
011 3.22.1
2
32
=−−++−
−
n
n
n
nn
nCnCC
c)
( ) ( )
23221
311 2.32
−−−
−=−+++
nn
nn
n

n
n
nnnCnCC
d)
( ) ( ) ( )
111 2.4.32.32
2
423221
−=−−+−+−
−
−−−
nnnCnCCC
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Bài 144:
Chứng minh
a)
( ) ( )
nCnCC
nn
nnn
+=++++
−

623 4.3
110
b)
( ) ( )
031 43
10
=+−++−
n
n
n
nn
CnCC
TÍCH PHÂN 2 VẾ
A.Lý thuyết
B.Cách giải
Bài 145: (Đại học Mở 1999)
Cho
2
≥∈
nvaNn
a) Tính
( )
∫
+=
1
0
32
1 dxxxI
29
b) Chứng minh

( ) ( )
13
12
13
1

9
1
6
1
3
1
1
210
+
−
=
+
++++
+
n
C
n
CCC
n
n
nnnn
Bài 146: (Đại học Giao Thông Vận Tải 2000)
Chứng minh
∑

=
+
+
−
=
+
n
k
n
k
n
nk
C
0
1
1
12
1
Bài 147: (Tuyển sinh Đại học khối B 2003).
Tính
n
n
n
nnn
C
n
CCCS
1
12

3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+
−
++
−
+
−
+=
+
Bài 148: (Đại học Giao Thông Vận Tải 1996)
Chứng minh
( ) ( )
1
11
2
1
1
2
3
1
2

2
1
2
123120
+
−+
=
+
−
+++−
+
n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn
Bài 149:
Chứng minh
a)
( ) ( )
( )
1
1
1
1

2
1
11
1
1
0
+
−
=
+
++−+−
−
n
C
n
CC
n
n
nn
n
n
n
b)
( )
1
1
1
1
1
2

1
10
+
=
+
−++−
n
C
n
CC
n
nnn
Bài 150: (Đại học Nông Nghiệp Hà Nội 1999)
Tính
( )
∫
−
1
0
19
1 dxxx
Rút gọn
19
19
18
19
2
19
1
19

0
19
21
1
20
1

4
1
3
1
2
1
CCCCCS −+−+−=
Bài 151: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1997)
a) Tính
( )
∫
−
1
0
2
1 dxxx
n
b) Chứng minh
( )
( )
12
1
22

1

8
1
6
1
4
1
2
1
3210
+
=
+
−
++−+−
n
C
n
CCCC
n
n
b
nnnn
Bài 152:
Chứng minh
( )
( )( )( )
321
222

3
1

4
1
3
1
21
10
+++
−++
=
+
+++
+
nnn
nn
C
n
CC
n
n
nnn
30
31