Hàm số và các bài toán có liên quan luyện thi đại học

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
DẠNG I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM THEO ĐỒ THỊ.
I- CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT VẼ.
II- Các kiểu biến đổi đồ thị.
a) Từ đồ thị y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị y = f(
x
).
b) Từ đồ thị y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị y =
)x(f
.
c) Từ đồ thị y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị
y
= f(x).
d) Từ đồ thị y =
)x(g
)x(f
suy ra cách vẽ đồ thị y =
)x(g
)x(f
hoặc y =
)x(f
)x(g
.
e) Từ đồ thị y = f(x). g(x) suy ra cách vẽ đồ thị y =
)x(f
.g(x).
III Biện luận số ngiệm của phương trình dựa vào đồ thị.
*) Dạng tổng quát: f(x) = f(m, x) trong đó:
+ y = f(x) là đồ thị đã vẽ.
+ y = f(m, x) là đường thẳng phụ thuộc vào tham số m.

Trường hợp 1: y = f(x, m) = f(m) (không có x).
Trường hợp 2: y = f(x, m) = k(x) + h(m) trong đó k là hằng số. Đây là tập
hợp các đường thẳng song song với nhau.
Trường hợp 3: y = f(x, m) = k(x - x
0
) + y
0
đây là chùm đường thẳng qua M
0
(x
0
,
y
0
).
Để xác định được số giao điểm và cách biện luận co các trường hợp 2 và 3 ta
phải:
TH
1
: Xác định các tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc k.
TH
2
: Xác định các tiếp tuyến kể đến đồ thị từ M
0.

IV Bài tập luyện.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau:
1) y =
1x
1xx

2
−
+−
.
2) y = x
3
- 3x
2
- 9x. 3) y = (x + 1)
2
(x - 1)
2
.
4) y = x
2
+
x
1
. 5) y =
2x2
6x2x
2
+
+−
.
6) y = x
4
+ 4x
3
- 2x

2
- 12x. 7) y = 2x
3
+ 3x
2
- 1.
8) y =
2x
3x4x
2
+
++
. 9) y =
1x
1xx
2
2
−
++
.
10) y = x
4
- 4x
3
+ 3. 11) y =
x2
1x2x3
2
++
.

12) y =
3
2
x
3
- x
2
+
3
1
. 13) y =
2x2
4x3x
2
−
+−
.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
1
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
14) y =
1x
2x2x
2
+
++
. 15) y =
1x
2x2
2

+−
+
.
16) y =
2x
3x3x
2
+
++
. 17) y =
1x
2x2x
2
−
+−
.
2) Biến đổi đồ thị - Biện luận số nghiệm theo đồ thị.
1) Cho hàm số: y =
1x
1xx
2
−
+−
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
2
1
log

1
x x
m
x
− +
=
−
c) Tìm m để phương trình:
2
2
1
1
1
x x
m
x
− +
= −
−
có bốn nghiệm phân biệt
2) Cho hàm số: y = x
3
– 3x.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Chứng minh rằng với
∀
m phương trình sau luôn có ba nghiệm phân biệt:
(1+m
2
)x

3
– 3(1+m
2
)x - 2m = 0
3) Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
- 9x.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số


Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
2
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
DNG II: IM C NH.
I - BI TON.
Cho hm s y=f(x,m)(1). Tỡm nhng im m th hm s:
+ Luụn i qua.
+ Khụng th i qua.
+ Cú 1, 2, 3 ng ca h i qua.
Cỏch gii:
+Gi M(x
0
,y
0
) l im thuc mt phng ta .
+S giao im ca m tha món h thc :
y
0

= f(x
0
,m) l s ng cong ca h (1) cú th hay khụng th i qua.
+a v phng trỡnh ca m bin lun s nghim ca m

im M(x
0
,y
0
).
*Chỳ ý: Chng minh qua nhiu im c nh.
Cỏch gi im c nh.
Gii v bt phng trỡnh 2 n v biu din trờn trc.
II. BI LUYN TP :
1. Chng minh rng th hm s : y=(1 - 2m).x
2

(3m - 1)x + 5m - 2 luụn i qua 2
im c nh .
2. Tỡm im c nh ca hm s : y=
mx
mx
+
+
2
2
.
s:m

2 i qua M
1
(-1;-1) v M
2
(1;1).
3. Chng minh : y=
1
1
+
+
mx
x

luụn i qua 1 im c nh vi mi m.
s: M(0;1)
4. Cho hm s : y=
mx
mxmx

+
22
.Tỡm nhng im c nh m h ng cong luụn i
qua vi mi m

0.
s: M(0;-1)
5. Cho hm s : y=
10
)1(
22

+
+++
x
mxmmx
.Tỡm nhng im m hm s luụn i qua .
s:
6. Cho hm s : y=
mx
mx
+
+ 4
(Cm).
a)Chng minh rng (Cm)luụn i qua 2 im c nh vi mi m


2.
s: M
1
(2;2) v M
2
(-2;-2)
b)Tỡm m tip tuyn vi (C
m
)ti 2 im ú song song vi nhau.
7. Cho hm s : y=
mx
mxm

+
22

)1(
(C). Chng minh ch cú 2 th (C) i A(a,b) (a >
0 cho trc ).
8. Cho ng cong x.y 2my 2mx + 2m
2
- 4m = 0 (1).
a) Tỡm nhng im m cú ỳng mt ng cong ca h (1) i qua.
b) Tỡm nhng im m cú ỳng 2 ng ca h (1) i qua.
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
3
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
9. Cho hàm số : y = mx
3
– mx + m(1). Tìm những điểm mà mọi đường đồ thị (1)
không đi qua.
10. Tìm những điểm trên đường thẳng x = 3 sao cho mọi đồ thị của hàm số:
y = 2x
3
– 3mx
2
+ (2m
2
– 1)x + m
2
đều không đi qua.
11.Chứng minh trừ loại trừ một giá trị đặc biệt của m đồ thị hàm số y =
mx
mxmx
+−
++−+ 1)1(2

2
luôn đi qua một điểm cố định .
12.Cho hàm số : y=
x
xm 1
22
+
a)Tìm những điểm trên y=1 sao cho không có giá trị nào của m để hàm số đi qua .
b)Tìm những điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua .
13. Cho hàm số :y=
ax
axx
+
−+−
2
2
. Chứng minh loại trừ hai giá trị đặc biệt của a, hàm số
luôn đi qua 2 điểm cố định.
14. Cho hàm số :y= x
3
– (m+1)x
2
+ 2x(m
2
- 3m+2)x + 2m(2m-1) .
a)Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
b)Tìm điều kiện để hàm số tiếp xúc với ox.
15. Cho hàm số : y= x
3
– 3(m + 1)x

2
+ 2x(m
2
+ 4m + 1) – 4m(m + 1).
a)Tìm những điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
b)Tìm điều kiện để hàm số tiếp xúc với ox.
16. Cho hàm số : y=
2
123
2
+
+++
x
aaxax
. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của hàm số
luôn đi qua một điểm cố định .
17. Cho hàm số : y=
1
)2(2
2
−
−+−
x
xmx
. Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả những điểm
mà đồ thị hàm số không thể đi qua với mọi m.
18. Cho hàm số : y=
mx
mmxm
−

+−−− )42()2(
2
. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà
đồ thị hàm số không thể đi qua với mọi m.
19. Cho hàm số : y=
mx
mmxm
+
+−+
2
)13(
(1) với m
≠
0. Trên đường thẳng x = 1 chỉ ra tất
cả các điểm mà không có đường nào của (1) đi qua.
20. Cho hàm số y = x
3
+ (m +
m
)x
2
– 4x – 4(m +
m
). Tìm những điểm cố định mà
đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
21. Cho hàm số y = mx
4
– (4m – 1)x
2
+ 3m + 1. Tìm các điểm trên y = x +1 mà không

có đồ thị nào của họ đã cho đi qua.
22. Cho hàm số : y=
1
95)74()1(
2
+
+−−+−
x
mxmxm
. Tìm tập hợp các điểm thuộc mặt
phẳng tọa độ mà không có đường nào của họ đã cho đi qua.
23. Cho hàm số : y=
mx
mxm
+
−−
2
)2(
22
và A(x
o
,y
o
) thuộc mặt phẳng tọa độ. Chứng minh
rằng nếu x
o
< - 3 thì luôn có 2 đồ thị của họ đi qua.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
4
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99

24. Cho hàm số y = m
2
x
4
– m(3m - 1)x
2
– 3mx – 4m
2
+ 2m +1. Tìm các điểm thuộc
mặt phẳng tọa độ mà họ luôn đi qua.
25. Cho hàm số : y=
2
2)6(2
2
+
+−+
mx
xmx
.
Chứng minh rằng loại trừ 2 giá trị đặc biệt của m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm
cố định.
26. Cho hàm số y = m(m + 1)x
3
– m(5m + 4)x
2
+ (4m
2
+ 1)x + 1. Tìm điểm mà họ
đường cong luôn đi qua.
27. Cho hàm số y = x

4
+ mx
2
- 3mx – 2m + 1(1). Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số
y = x
4
+ 4 tồn tại hai điểm mà đồ thị hàm số (1)không thể đi qua với mọi m.
28. Cho hàm số y = (x – 2)( x
2
+ mx +m
2
– 3). Tìm trên trục tung các điểm mà đồ thị
hàm số không thể đi qua với mọi m.
29. Cho hàm số y = mx
4
+ (m
2
+ 2m)x
2
+ m
3
. Chứng minh rằng với mọi điểm A cho
trước ta luôn tìm được 1 giá trị m thích hợp để hàm số luôn đi qua A.
30. Cho hàm số y = x
4
+ mx
2
– m – 5.
Với mọi m tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
31. Cho hàm số y = - (m

2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x – 6
Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m. Tiếp tuyến của hàm số tại
các điểm cố định tìm được có cố định không?
32. Cho hàm số y = x
3
– (2m + 1)x
2
+ (6m – 5)x – 3. Chứng minh rằng họ đường cong
luôn đi qua 2 điểm cố định.
33. Cho hàm số y = x
3
– (m + 4)x
2
+ 4x + m. Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi
qua với mọi m.
34. Cho họ đường cong y = mx
3
– (2m – 1)x
2
+ (m – 2)x – 2.
Chứng minh rằng mọi đường cong của họ tiếp xúc với nhau .
35. Cho hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2

+ 6m(m + 1)x + 1.
Tìm điểm cố định mà đường cong luôn đi qua.
36. Cho hàm số : y = x
3
+ mx
2
+ 2(m + 1)x + m + 3.tg
α
(C
1
), Y = mx
2
+2 – m (C
2
).
Tìm
α
để (C
1
),(C
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định .
37. Cho hàm số: y=
mmx
mmxx
+
++
2
. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với
mọi m

≠
0.
38.ĐH- TC-KT.
Cho hàm số : y =
mx
mmxx
−
−+−
22
.Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho có
đúng 2 đường của họ đi qua .
39. Cho hàm số : y=
x
x
+1
. Gọ I là giao của hai tiệm cận. Chứng minh không có bất
cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số qua I.
40. ĐH MỎ -99
Cho đường cong (C) có phương trình: y = 2x
4
– 3x
2
+ 2x +1 và đường thẳng d có
phương trình y = 2x - 1. Chứng minh d không cắt đường cong (C).
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
5
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
DNG III: TNH N IU CA HM S.
I - CC KIN THC C BN
II- BI TP LUYN

1. Tỡm m hm s y = ( m 3)x (2m +1). cosx luụn nghch bin.
2. Cho hm s y =
mx
mxmx

+++ 1)1(2
2
. Tỡm m hm s ng bin vi mi x >1.
3. Cho hm s: y =
3
3
x
-
2
1
(sina cosa)x
2
+
4
2sin3 a
x . a bng bao nhiờu hm s luụn
ng bin.
4. Cho hm s y = x
3
(m + 1)x
2
(2m
2
3m + 2)x + 2m(2m 1). m bng bao
nhiờu hm s ng bin vi mi x thuc on

[
)
+,2
.
5. Cho hm s: y =
2
26
2
+
+
x
xmx
m bng bao nhiờu hm s ng bin mi x thuc
on
[
)
+,1
6. Cho hm s: y =
3
3
mx
- (m 1)x
2
+ 3(m 2)x +
3
1
. m bng bao nhiờu hm s ng
bin vi

x

2
7. Cho hm s y = x
2
(m x) m. m bng bao nhiờu hm s ng bin trong khong
(1, 2).
8. Cho hm s y = -
3
1
x
3
+ (a - 1)x
2
+ (a + 3)x + 4. a bng bao nhiờu hm s ng
bin vi mi x thuc khong (0, 3).
9. Cho hm s y =
xm
mxmx

+++ 1)1(2
2
. m = ? hm s nghch bin

x

[
)
+;2
.
10. Cho hm s y =

mx
mmxx
2
32
22

+
.
a) m=? hm s cú 2 khong ng bin trờn ton min giỏ tr.
b) m=? hm s ng bin

x

( )
+;1
.
11. Cho hm s : y = -
6
3
x
+(a - 1)x
2
+ (a + 3)x. a bng bao nhiờu hm s ng bin
vi mi x thuc khong (0, 3).
12. Cho hm s : y =
1
1
2

+

x
mxx
. m bng bao nhiờu hm s ng bin trờn khong (-

, 1) v (1, +

).
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
6
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
13. Cho hm s : y = x
3
3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 4. Tỡm m hm s:
-ng bin trờn min xỏc nh.
-ng bin vi mi x thuc (2, +

).
-ng bin vi mi x thuc (-
)1,
v (2, +
)
.
-Nghch bin trong khong (0, 2).
14. Cho hm s : y =
mx
x

+1

2
. m bng bao nhiờu thỡ hm s:
a) Gim trờn tng khong xỏc nh.
b) Gim trờn khong (-

, 2).
15. Cho hm s : y = x + (m +1)sinx. m bng bao nhiờu thỡ hm s gim trờn R.
16. Cho hm s : y = 2mx 2cos
2
m.sinx.cosx +
4
1
cos
2
2x. m bng bao nhiờu thỡ
hm s ng bin trờn R.
17. Cho hm s :y = msinx + cosx + (m + 1)x . m bng bao nhiờu thỡ hm s ng
bin trờn R.
18. Cho hm s : y = 16(m +1)sinx sin2x (16m
2
+32m -10)x. m bng bao nhiờu
hm s nghch bin trờn R.
19. Cho hm s : y =
xm
mmxx

+
2
62
2

. m bng bao nhiờu hm s:
a) Nghch bin trờn ton min xỏc nh.
b) Nghch bin trờn khong (1, +

).
20. Cho hm s : y =
1
62)1(
2

+
x
mmxxm
.
a)Tỡm m hm s tng trờn tng khong xỏc nh.
b)Tỡm m hm s ng bin

x

( )
+;2
.
21. Cho hm s : y =
mx
mmxx

++ 22
2
. Tỡm m hm s ng bin

x >1.
22.Cho hm s : y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1)x + 4m. Tỡm m hm s nghch bin vi mi
x

(- 1;1).
23.Cho hm s : y=
1
2
+
++
mx
mxmx
. Tỡm m hm s ng bin vi mi x

(0;+

).
24.Cho hm s y=
3
1
x
3
mx
2
+(2m - 1)x + 2 m. Tỡm m hm s nghch bin vi
mi x

(-2;0).
25.CGTVT-99
Cho hm s : y=
1
32
2

+
x
mxx
.Tỡm m hm s ng bin trờn khong (1;+

)
26.HXD-99
Cho hm s : f(x)=
1
2
2
x
x
. Tỡm tp xỏc nh v tỡm khong ng bin, nghch
bin ca f(x).
27. H M - 01
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
7
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
Cho hàm số :
)mx(8
x8x

y
2
+
−
=
. Tìm m để hàm số đồng biến trên [1, +∞)
28. ĐH DƯỢC - 01.
Cho hàm số:
1x)2a(a3x)1a(3xy
23
+−+−−=
. Với giá trị nào của a thì hàm số
đồng biến trên trên tập hợp các giá trị của x sao cho:
2x1 ≤≤
29. ĐHTCKT - 01
Cho hàm số :
mx
)2mm(mx2x)1m(
y
232
−
+−−−+
=
. Xác định tất cả các giá trị
của m sao cho đồ thị hàm số luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của
nó.

Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
8
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99

DẠNG IV : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
A - CÁC VẤN ĐỀ LÍ THUYẾT :
1. Định nghĩa:
+) Cực đại tại x
0
nếu mọi x
∈
(x
0
-
δ
;x
0
+
δ
).trừ x=x
0
.
f(x)<f(x
0
)
+) Cực tiểu tại x
0
nếu mọi x
∈
(x
0
-
δ
;x

0
+
δ
).trừ x=x
0
.
f(x)> f(x
0
)
2. Dấu hiệu nhận biết cực trị:
+) Dấu hiệu 1:
+) Dấu hiệu 2:
∗
Chú ý : +) Đối với hàm phân thức y =
Vx
Ux
.nếu đạt cực trị tại x
o
thì giá trị cực
trị sẽ là.
y(x
o
) =
)('
)('
xoV
xoU
+) Đối với hàm đa thức : y = P(x) = nguyên (y’) +dư
⇒
giá trị cưc trị tại x

o
là y = dư (x
o
)
+) trong một số trường hợp thì y =
)(
)('
xV
xU
và y = dư chính là
phương trình đường thẳng qua cực đại .cực tiểu
3. Các bước tìm cực trị của hàm số.
+) TXĐ
+) Tính f
'
(x) và xét phương trình f(x) = 0
+)Xét dấu f
'
(x) và sử dụng 2 quy tắc
⇒
cực trị
B - BÀI TẬP LUYỆN
1. Cho hàm số : y =
1
2
222
+
++
x
mxmx

. m = ? để hàm số có cực trị.
2. Cho hàm số : y =
α
α
sin2
1cos.2
2
+
++
x
xx
. Tìm
α
để hàm số có cực trị.
3. Cho a, b, c thỏa mãn a < b < c chứng tỏ rằng hàm số y = (x – a)(x – b)(x – c) luôn
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
thỏa mãn: a < x
1
< b < x
2
< c.
4. Cho hàm số : y =
1
22
2
−
+−

x
xx
. Hãy xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.
5. Tìm a, b, c sao cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx + c bằng 1 khi x=0 và đạt cực trị khi x
= 2 và giá trị cực trị bằng 3.
6. Cho hàm số : y = - 2x + 2 + a
54
2
+− xx
. Tìm a để hàm số có cực đại.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
9
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
7. Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
+ y =
532
2
++ xx
+ y = cosx +
2
1
cos2x
8. Cho hm s y = x
3
2(m + 3)x
2

+ mx + m + 5. Tỡm m hm s t cc tr ti x =
2
9. Cho hm s y = x
4
2(1 m)x
2
+ m
2
3. Tỡm m hm s t cc tr ti x = 1.
10. a)Cho hm s : y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx 5. Tỡm m hm s t cc tiu khi x
= 1
b) Cho hm s y = - (m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x 6. Tỡm m hm s cú cc i.
12. Cho hm s : y = (1 m)x
4
mx
2
+ 2m 1. Tỡm m hm s cú ỳng mt cc tr.
13. Cho hm s : y =
mx
mmxx

+
2
. Tỡm m :
+Hm s cú cc tr
+Hm s cú giỏ tr cc i v cc tiu trỏi du.
14. Cho hm s : y =
mx
mxmmx

++ 12)2(
22
. Tỡm m hm s cú cc tr. Chng
minh rng vi m tỡm c trờn th hm s ó cho luụn cú hai im m tip
tuyn ti hai im ú vuụng gúc vi nhau.
15. Cho hm s : y = 2x 1 +
1
2
x
m
. Tỡm m hm s cú cc tr. Tỡm qu tớch ca cỏc
im cc tr ú.
16. Cho hm s : y =
3
3
x
+ mx
2
+ 2(5m 8)x + 1. Tỡm m :
+Hm s t cc tr ti x = 2.

+Hm s cú cc tr
+Hm s cú cc tr ti hai im cú honh > 1
17. Cho hm s : y = x
3
+ mx
2
+ 1. Chng minh rng vi mi m

0 hm s luụn cú
cc tr.
18. Xỏc nh m cỏc hm s sau cú hai cc tr, khi ú vit phng trỡnh ng thng
i qua hai im cc tr:
a) y =
3
3
x
- mx
2
+ 3x + 1
b) y =
3
52
2

+
x
mxx
c) y =
1
1

2
2

+
x
mxx
19. Cho hm s : y =
1
22
2
+
++
mx
mxx
. Tỡm m hm s cú cc tr, vit phng trỡnh
ng thng i qua hai im cc i v cc tiu khi ú.
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
10
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
20. Cho hm s y =
1
53
2
+
++
x
mx
. Tỡm m hm s cú 1 v ch 1 cc tr thuc
[ ]
1;1

.
21. Cho hm s : y =
3
3
x
- x
2
sin

+ ( 4sin
2

- 3)x + 1. Tỡm a hm s t cc i ti
1 im thuc
[ ]
1;0
v im cc tiu nm ngoi on ú.
22. Cho hm s : y = - 2x + m
2
1x +
. Tỡm m :
a) Hm s cú cc tr.
b) Hm s cú cc tiu.
c) Hm s cú cc tiu v giỏ tr cc tiu > 4/3.
23. Cho hm s : y = 2x
3
+ ax
2
12x + 13. Tỡm a hm s cú cc tr v hai im cc
i, cc tiu cỏch u oy.

24. Cho hm s : y = mx +
22
2
+ xx

a) Tỡm m hm s cú cc tiu?
b) Chng minh hm s khụng cú cc i vi mi m.
25. Cho m l s nguyờn , dng .Tỡm cc tr ca hm s : y=x
m
(4-x)
2
.
26. Cho hm s : y =
4
3
2

++
x
pxx
.Tỡm p hm s t cc i M, giỏ tr cc tiu m
ca sao cho: m - M = 4.
27. Cho hm s : y = (m + 1)x
2
2mx (m
3
m
2
- 2). Tỡm m hm s t cc tr
trờn (0;2).

28. Cho hm s : y = x +
mxx + 2
2
.Tỡm m hm s cú cc i v y
max
<3.
29. Cho hm s : y=
3
2
3
x
+ (cosa - 3sina)x
2
8(cos2a + 1) + 1.
a) Chng minh hm s luụn cú cc tr .
b) Gi s hm s t cc tr ti hai im x
1
,x
2
.Chng minh : x
2
1
+x
2
2

18.
30. Cho hm s : y=
1
123

2

+++
x
mmxmx
. Tỡm m hm s cú cc tr v 2 im cc tr
nm v 2 phớa so vi trc honh.
31. Cho hm s : y=
mx
mxx

+32
2
. Tỡm m hm s cú cc tr tha món iu kin :
ctc
yy
>8.
s: (
1 5 1 5
, ) ( , )
2 2
+
+
32. Cho hm s : y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x - 1. Tỡm m hm s cú cc tr v
ng thng qua cc tr ca th luụn song song vi ng thng: y = kx ( k
cho trc ) . Bin lun theo k s nghim m.

33. Cho hm s : y =
3
3
x
-
1
2
(sina+ cosa)x
2
+
3
4
sin2a.x. Tỡm a hm s cú cc tr,
gi x
1,
x
2
l honh ca cỏc im cc tr. Xỏc nh a : x
1.
x
2
= x
2
1
+x
2
2
.
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
11

Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
34. Cho hm s : y = (m + 1)
2
2
2
1
x
x


+

- 3m
2
2
1
x
x


+

+ 4m. Tỡm m hm s cú
duy nht mt cc tr.
35. Cho hm s : y = x
4
+ 4mx
3
+ 3(m + 1)x
2

+ 1. Tỡm m hm s cú cc i. Kim
nghim li rng cc i ca hm s khụng th cú honh dng.
36. Cho hm s : y = x
4
+ (m +1)x
3
+ (m + 1)x
2
. Tỡm m hm s cú cc tiu khụng
cú cc i.
37. Cho hm s : y = x
4
2mx
2
+ 2m + m
4
. Tỡm m hm s cú cc tr v cc i,
cc tiu lp thnh 1 tam giỏc u.
S: m =
3
3
38. Cho hm s : y = x
4
+ 8mx
3
+ 3(1 + 2m)x
2
4. Tỡm m hm s cú cc i khụng
cú cc tiu.
39. Cho hm s : y =

4
4
x
+
2
2
ax
+ bx +1
a, b phi tha món iu kin gỡ hm s cú cc tr v honh cỏc im cc tr
lp thnh mt cp s cng.
40. Cho hm s y = x
4
2mx
2
+ 2m. Tỡm m hm s cú cc tiu.
41. Cho hm s : y =
2
4
ax
- 2ax
3
+ (2a + 1)x
2
+ 1. Tỡm a hm s cú cc i m
khụng cú cc tiu.
42. Cho h s : y = x
4
+ 4x
3
+ mx

2
. Tỡm m hm s cú cc tiu m khụng cú cc i.
43. HNT - 98
Cho hm s : y = x
3
+ 3mx
2
+ 3(m
2
1)x + m
3
3m. Chng minh rng vi mi m
hm s luụn cú cc tr v khi m thay i thỡ cc tr ca hm s luụn chy trờn hai
ng thng c nh.
44. HQGHN D - 99
Cho hm s : y =
1
2
+
++
x
mxx
. Tỡm m th ca hm s cú cỏc im cc tr nm
v hai phớa ca trc tung.
45. HQG - A - 99
Cho hm s : y =
1
24)1(
22

++
x
mmxmx
. Tỡm m hm s cú cc tr v tớch cỏc
giỏ tr cc tr l nh nht.
s: m =
7
5
46. H T NHIấN - A - 99
Cho hm s : y =
3
1
x
3
mx
2
x + m +
3
2
. Cho m = 0 hóy vit phng trỡnh
parabol i qua im cc i v cc tiu ca hm s ó cho ng thi tip xỳc vi
ng thng y =
3
4
.
47. HTCKT 99.
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
12
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
Cho hàm số : y =

mx
mmxx
−
−+−
22
(C
m
).
+Tìm m để đường cong C
m
có cực trị.
+Với m vừa tìm được viết phương trình đường thẳng nối cực đại và cực tiểu của
đường cong.
48. ĐHCĐ – 99
Cho hàm số : y =
mx
mmxx
+
−+2
2
. Tìm m để hàm số có cực trị.
49. HVNH - 99
Cho hàm số : y = - x
3
+ ax
2
– 4. Tìm m để hàm số có cực trị.
50. ĐHTS - 99
Cho hàm số : y = 2x
3

– 3(3m + 1)x
2
+ 12(m
2
+ m)x + 1. Tìm m để hàm số có cực
trị. Lập phương trình đường thẳng qua cực đại và cực tiểu.
51. ĐH KIẾN TRÚC - 99
Cho hàm số : y = kx
4
+ (k – 1)x
2
+ (1 - 2k). Tìm k để hàm số chỉ có một điểm cực
trị.
52. ĐHAN – 99
Cho hàm số : y =
1
8
2
−
+−+
x
mmxx
. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị
của đồ thị và tiếp xúc với đường thẳng : 2x – y – 10 = 0.
53. ĐH THÁI NGUYÊN - 99
Cho hàm số y =
3
1
x
3

– mx
2
– x + m +
3
2
. Chứng minh rằng với mọi m hàm số
luôn có cực trị.
54. ĐHQG - A - 01
Cho hàm số : y = x
3
- 3x
2
+ m
2
x + m
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y =
2
5
x
2
1
−
.
55. ĐHSPHN - A - 01
Cho hàm số:
1x
2mx2x
y
2

+
++
=
. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ cực đại, cực tiểu đến đường thẳng x + y +
2 = 0 bằng nhau.
56. ĐHQG TPHCM - A - 01.
Cho hàm số :
m311x)3m(3x2y
23
−+−+=
. Tìm m để hàm số có hai cực trị.
Gọi M
1
, M
2
là các điểm cực trị. Tìm m để các điểm M
1
, M
2
và B(0, 1) thẳng
hàng.
Đs: m =
10
.
3
57. ĐH Y DƯỢC TPHCM - 01
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
13
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99

Cho hàm số:
mx
mm4x)1m(mx
y
322
+
++++
=
. Tìm các giá trị của tham số m để
đồ thị hàm số có một cực trị ở góc phần tư thứ II và một điểm cực trị ở góc phần
tư thứ IV của mặt phẳng tọa độ.
58. CĐSPHN - 01
Cho hàm số :
2x
3m2mxx
y
2
+
−++
=
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng với nhau
qua đường thẳng x + 2y + 8 = 0.
Đs: m = 1.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
14
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
DNG V: TIP TUYN CA TH.
I CC VN V Lí THUYT
II BI TP LUYN

1. Cho hm s: y =
4
4
x
- 3x
2
+
2
5
. Gi d l tip tuyn ca th ti im M cú honh
x
M
= a
+Vit phng trỡnh ng thng d
+Chng minh rng honh giao im ca d vi th l nghim ca phng
trỡnh:
(x a)
2
(x
2
+ 2ax + 3a
2
6) = 0
+Tỡm a d ct th ti 3 im phõn bit.
2. Cho hm s : y = x
3
3x + 1. Vit phng trỡnh tip tuyn vi th bit tip
tuyn ú i qua im M(
3
2

, -1).
3. Cho hm s : y = x
3
3x
2
+ 3x + 5
a) Chng minh rng trờn th khụng tn ti hai im m tip tuyn vi th ti
hai im ú vuụng gúc vi nhau
b) Xỏc nh k trờn th tn ti ớt nhõt 1 im m tip tuyn vi th ti ú
vuụng gúc vi ng thng y = kx ( k cho trc).
4. Cho hm s : y = x
3
3x
2
+ 2. Vit cỏc tip tuyn k n th t im (
9
23
, -2)
v cỏc tip tuyn k n th t im (
3
1
,2).
5. Cho hm s : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (1). Gi s a > 0 chng minh rng trong s
cỏc tip tuyn ca (1) thỡ tip tuyn ti im un cú h s gúc nh nht.
6. Cho hm s : y =
1

22
2
+
++
x
xx
v A l mt im thuc th cú x
A
= a
a) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s ti A (t
A
)
b) Tỡm v trớ ca A t
A
i qua im (1,0). Chng minh rng cú hai giỏ tr ca a
tha món iu kin bi toỏn v hai tip tuyn tng ng l vuụng gúc vi nhau.
7. Cho hm s : y =
1
22
2

+
x
xx
. Vit cỏc tip tuyn k n th t im (3, 0).
8. HKTQD 97
Cho hm s : y = (2 x
2
)
2

. Vit cỏc phng trỡnh tip tuyn k n th t im
A(0, 4).
9. HNNI - 97
Cho hm s : y = - x
3
+ 3x
2
2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi th ti im
un. Chng minh rng tip tuyn ti im un cú h s gúc ln nht.
10. HTM - 97
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
15
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
Cho hàm số y =
2
12
2
−
+−
x
xx
. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm
A(6, 4).
11. ĐH Y THÁI BÌNH - 97
Cho hàm số : y =
x
xx 14
2
++
. Qua A(1, 0) viết các phương trình đường thẳng tiếp

xúc với đồ thị hàm số .
12. Cho hàm số : y =
3
3
x
- x
2
+ 2x + 1(C). Tìm các giá trị của a để a là hệ số góc của
1 tiếp tuyến của đồ thị (C).
13. Cho hàm số : y =
1−
+
x
bax
. Tìm a, b để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0, -1) và nhận
đường thẳng : 3x + y +1 = 0 là tiếp tuyến.
14. HVBCVT – 98
Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
1
1
−
+
x
x
đều lập với 2 tiệm
cận một tam giác có diện tích là không đổi.
15. ĐHNNI – 98
Cho hàm số : y =
3
1

x
3
– 2x
2
– 3x. Qua A(
9
4
,
3
4
) kể được mấy tiếp tuyến đến đồ thị.
Viết phương trình các tiếp tuyến ấy.
16. ĐHNT – 98
Cho y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x + 1. Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ A(0, 1).
17. Cho hàm số : y =
1
12
2
−
+−
x
xx
. Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ
điểm ( -1, 7)
18. Cho hàm số : y = x
4

– 4x
3
+ 3. Viết các tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với
đường thẳng y = - 8x.
19. Cho hàm số : y = x
4
– x
2
+ 1. Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm (0, -4).
20. Cho hàm số : y =
2
3
2
+
++
x
xx
. Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm (1, 0).
21. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2
a) Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ A(1, 0).
b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp
tuyến đi qua A.
22. Cho hàm số : y = x
3
+ 3x
2

– 9x + 5. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị, hãy tìm
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
23. Cho hàm số : y =
1
12
2
−
−+
x
xx
a) Viết các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
b) Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn thẳng bị chắn bởi hai tiệm
cận.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
16
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
24. Cho hm s : y =
1
1
2
+
++
x
xx
. Vit cỏc phng trỡnh ng thng i qua im (0,
2
5
) v tip xỳc vi th.
25. Cho y = 3x 4x
3

. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th k t A(1, 3).
26. Cho hm s : y =
3
53
+
+
x
x
. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit tip
tuyn song song vi ng thng y = 1 x.
27. Cho hm s : y = x
4
2x
2
- 3. Lp phng trỡnh tip tuyn qua A(2, -4).
28. Lp cỏc phng trỡnh tip tuyn ca y = x
3
+ 3x
2
8x + 1 bit tip tuyn song
song vi y = x.
29. Lp cỏc phng trỡnh tip tuyn ca y = 2x
3
+ 3x
2
1 xut phỏt t M(1, 4).
30. HSPII - 99
Cho hm s : y = -x
3
+ 3x + 2. Tỡm trờn trc honh nhng im m t ú k c

3 tip tuyn n th.
31. H DC 99
Cho hm s : y =
1
22
2
+
++
x
xx
. Chng minh rng cú 2 tip tuyn ca th i qua
A(1, 0) v vuụng gúc vi nhau.
32. HVBCVT -99
Cho hm s : y = - x
3
+ 3x
2
2. Tỡm cỏc im thuc th m qua ú k c 1
v ch 1 tip tuyn vi th.
33. HKT 99
Cho hm s : y = kx
4
+ (k 1)x
2
+ (1 - 2k). Vit cỏc phng trỡnh tip tuyn ca
th i qua gc ta vi k = 0,5.
34. HNNHN 99
Cho hm s y =
4
4

x
- 2x
2
-
4
9
. Lp phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti
giao im ca nú vi ox.
35. HNNI A - 99
Cho hm s y =
1+x
x
. Gi I l giao im hai tim cn. Chng minh rng khụng
cú bt c ng tip tuyn no ca th hm s qua I.
36. HNNI B 99
Cho hm s : y = x
3
3x
2
+ 2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit
tip tuyn ú vuụng gúc vi ng thng 5y 3x +4 = 0.
37. H LUT 99
Cho hm s : y =
2
12)4(2
2

++
x
mxmx

. Vi m = - 3 vit phng trỡnh tip tuyn
vi th ú bit nú song song vi ng thng y = x + 4.
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
17
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
DẠNG VI: TIẾP TUYẾN CỐ ĐỊNH – ĐƯỜNG CONG CỐ ĐỊNH.
I – CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT.
II – BÀI TẬP LUYỆN.
1. Cho hàm số : y =
mx
mmxm
−
+−−− )42()2(
2
. Chứng minh với mọi m
≠
-2 đồ thị hàm số
luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
2. Cho đường thẳng : y = mx + 1 – m
2
. Chứng minh rằng đường thẳng luôn tiếp xúc
với 1 parabol cố định.
3. Cho họ đường cong : y = x
3
+
16
49
x
2
+

2
1
mx + m
2
+ 1. Chứng minh rằng họ đường
cong luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định.
4. Cho hàm số : y =
mx
mxmx
+−
++−+ 1)1(2
2
(Cm). Chứng minh với mọi m khác 1 (Cm)
luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
5. Cho hàm số : y =
mx
mxm
+
++ )1(
. Chứng minh với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn
tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
6. Cho hàm số : y =
mx
mmxm
−
−−−− 4)2()2(
2
. Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc
với hai đường thẳng cố định.
7. Cho hàm số : y =

ax
aaaxax
cos
sincossincos
22
+
+++
. Chứng minh tiệm cận xiên của hàm
số đã cho luôn tiếp xúc với một parapol cố định.
8. Cho hàm số : y =
mx
mmxm
+
+−+
2
)13(
(1). Chứng minh họ đường cong 1 luôn tiếp xúc
với hai đường thẳng cố định. Với mọi m khác 0.
9. Cho (p): y = x
2
+(2m+1) + m
2
-1. Chứng minh: với mọi m , (P) luôn tiếp xúc với
một đường thẳng cố định.
10. Cho hàm số : y =
1)1(
2)1(
−+
+++−
xm

xxm
. Chứng minh : với mọi m khác 0 đồ thị hàm số
luôn tiếp xúc với 1 một đường thẳng cố định tại một điểm cố đinh.Tìm đường thẳng
đó.
11. Cho hàm số : y =
mx
mmmxxm
−
−−−−+ )2(2)1(
232
. Xác định tiệm cận xiên của hàm
số. Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.
12. Cho hàm số : y =
mx
mxm
−+
−+−
1
23)2(
. Chứng minh với mọi m khác 0 đồ thị hàm số
luôn tiếp xúc vơi nhau tại một điểm cố định. Xác định phương trình tiếp tuyến chung
của họ (Cm) tại đó.
13. Cho họ (Cm) : y =
1
4)2()12(
223
−
−++++−
x
mxmmxmx

. Chứng minh với mọi m
khác 1 (Cm) luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
18
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
14. Cho hàm số : y = (m + 2)x
3
+ mx
2
+ x - 5. Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc
với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
15. Cho hàm số y =
1
1
−+
−+
mx
mmx
. Chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một
đường thắng cố định. Xác định đường thẳng cố định đó.
16. (ĐHĐN - 98)
Cho hàm số y =
1
22
2
−+
−++
kx
kkxx
. Chứng minh với mọi k khác 2 đồ thị hàm số luôn

tiếp xúc với một đường thảng cố định tại một điểm cố định.
17. Cho họ đường thẳng phụ thuộc vào a: (x – 1)cosa + (y – 1)sina – 4 = 0. Chứng
minh với mọi a đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
18. (ĐHAN - 97) .
Cho hàm số y =
mx
mxm
−
−+
22
)1(
. Trong trường hợp tổng quát: chứng minh với mọi
m khác 0 hàm số có tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một (P) cố định.
19. Trong mặt phẳng tọa độ cho A(0, 2), B(m, -2). Hãy viết phương trình của đường
trung trực d của AB. Chứng minh D luôn tiếp xúc với đường cong (C) cố định khi
m thay đổi.
20. (ĐH_Hàng Hải_97)
Cho hàm số : y = (-m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+6x -6. Chứng minh các đường cong của
họ đã cho luôn tiếp xúc với nhau.
21. Cho họ đường cong y = mx
2
– 2(2m +1)x + 4m + 1 với mọi m khác 0.
Chứng minh các đường cong của họ luôn tiếp xúc với nhau tại điểm A. Lập
phương trình tiếp tuyến chung của họ tại A.

22. (ĐHĐN - A)
Cho hàm số : y =
1
2102
2
−+
−++
kx
kxx
. Chứng minh rằng với mọi k
≠
2 đồ thị hàm số
luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
23. ĐHĐN – B – 98
Cho hàm số : y =
1
1
−+
−+
mx
mmx
. Chứng minh rằng với mọi m
≠
1 đồ thị hàm số luôn
tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
19
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
DẠNG VII: TÌM ĐIỂM KHI BIẾT SỐ TIẾP TUYẾN KẺ ĐẾN ĐỒ THỊ.
I – CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT.

II – BÀI TẬP LUYỆN.
1. Cho hàm số : y =
2
3
2
+
−+
x
xx
. Tìm điểm thuộc ox sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được
đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị.
2. Cho hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2. Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó kẻ được
đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3. Cho hàm số : y = x
4
– x
2
+ 1. Tìm các điểm thuộc oy mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến
đến đồ thị hàm số
4. Cho hàm số : y =
mx
mxmmx
−
−−−+ 12)2(
22
a) Tìm m để hàm số có cực trị.

b) Chứng minh rằng với mọi m tìm được ở trên đồ thị hàm số luôn tìm được hai
điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
5. Cho hàm số : y = (x – m)(x – n)(x – p). Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị hàm số
mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị.
6. Cho hàm số : y =
1
12
2
−
+−
x
xx
. Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có đúng 4
điểm từ đó kẻ được đến đồ thị 2 tiếp tuyến hợp với nhau góc 45
o
.
7. Cho hàm số : y = x
4
– 4x
3
+ 3. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến tiếp
xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
8. Cho hàm số : y =
x
xx 1
2
++
.Tìm trên đường tiếp tuyến x = -1 các điểm mà từ đó có
thể kẻ đến đồ thị hàm số :
+) ít nhất một tiếp tuyến.

+) Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
9. Cho hàm số : y = x
3
- 3x
2
+ 2. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà từ đó kẻ đến đồ
thị hàm số 3 tiếp tuyến ,2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
10.Cho hàm số : y = x
4
- x
2
+1.Tìm A thuộc oy sao cho qua A kẻ được đến đồ thị hàm
số 3 tiếp tuyến .
11.Cho hàm số : y =
2
12
x
x −
. Tìm các điểm trên oy sao cho từ mỗi điểm đó ta có thể kẻ
đến đồ thị hàm số 2 tiếp tuyến .Khi đó viết phương trình đường tiếp tuyến đi qua 2
điểm đó.
12.Cho hàm số : y = ax
3
+ bx
2
+cx + d . Chứng minh tồn tại duy nhất một tiếp tuyến đi
qua điểm uốn.
13.Cho hàm số : y = x +
1
1

+x
. Chứng minh không tồn tại tiếp tuyến nào đi qua giao
điểm 2 tiệm cận của nó.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
20
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
14.Cho hàm số : y = x +
124
2
++ xx
. Tìm những điểm thuộc oy sao cho từ mỗi điểm
ấy kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (-
2
1
< y
0
≤
1).
15.Cho hàm số : y =
1
1
2
+
++
x
xx
.Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó kẻ đến đồ thị 2
tiếp tuyến vuông góc .
16.Cho hàm số : y =
1

1
2
+
−+
x
mx
. Xác định m để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại 1 điểm
sao cho từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau .
17.Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 mà từ đó kẻ được 1 và chỉ
1 tiếp tuyến với đồ thị .
18.ĐHY-TPHCM-98
Cho hàm số y = - x
4
- 2x
2
- 1 . Tìm các điểm thuộc oy sao cho từ mỗi điểm đó có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị .
19.ĐHQG-HCM-98
Cho hàm số : y =
1
2
−x
x
. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ được 2
tiếp tuyến vuông góc với đồ thị .

20.ĐHKT – HN – 98
Cho hàm số : y =
1
12
2
+
++
x
xx
. Tìm trên oy những điểm sao cho từ đó có thể kẻ đến
đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau .
21.ĐHQG-HN-98
Cho hàm số : y =
1
1
−
+
x
x
. Tìm những điểm trên oy mà từ đó chỉ kẻ được đúng một
tiếp tuyến đến đồ thị hàm số .
22.ĐHTN-99
Cho hàm số y =
3
1
x
3
– mx
2
– x + m +

3
2
.Cho m = 0 ,viết phương trình của parabol
đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số đã cho, đồng thời tiếp xúc với
đường thẳng y=
3
4
. Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với
parabol vừa tìm được .
23.ĐHTDTT-99
Cho hàm số y =
1
1
2
+
++
x
xx
. Tìm trên oy các điểm mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến .
24. ĐHQG - D - 01
Cho hàm số:
1x
x
y
2
−
=
(C). Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi
điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45

o
.
25. ĐHXD - 01.
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x.lnx đi qua điểm M(2,1).
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
21
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi dìng kiÕn thøc – LT Tel: 016.55.25.25.99
26. ĐHAN - A - 01
Cho hàm số: y =
1x
2xx
2
−
++
. Tìm trên đồ thị các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị
tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của đồ thị.
27. ĐHSP TPHCM - A - 01
Cho hàm số:
1x
2x
y
−
+
=
. Cho điểm A(0, a), xác định a để từ A kẻ được hai tiếp
tuyến đến đồ thị sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối cới trục ox.
.
Sè 8/462 ®êng Bëi, Ba ®×nh, HN §T: 04.62.92.0398
22
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99

DNG VIII: S TNG GIAO CA HAI TH.
I .CC VN V L THUYT:
II.BI LUYN TP:
1. Cho hm s y = x
3
3(m+1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x 4(m+1)m.
a) Tỡm im c nh m hm s luụn i qua vi mi m.
b) Tỡm m th hm s ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh >1.
2. HNN-97
Cho hm s : y = x
3
4x
2
+x .tỡm k y = kx ct th ti 3 im phõn bit .
3. HTL-97
Cho hm s : y =
3
1a
x
3
+ ax
2
+ (3a - 2)x. Tỡm a th hm s ct ox ti 3 im
phõn bit .
4. HY-DC-97
Cho hm s : y=

2
3)12(
2
+
++++
x
axaax
. Tỡm a th hm s tip xỳc vi ng
thng y = a+4.
5. HSPII-97
Cho hm s : y = (1 - m)x
4
mx
2
+ 2m - 1. Tỡm m th hm s ct ox ti 4
im phõn bit .
6. Cho hm s : y =
24
4
2
+

x
xx
(C).Gi d l ng thng cú h s gúc l m v qua A(-
2;4).Hóy tỡm m :
a) d ct (C) ti 2 im phõn bit .
b) d tip xỳc vi (C).
c) d ct (C) ti 2 im nm trờn 2 nhỏnh khỏc nhau .
d) d ct (C) ti 2 im cựng thuc 1 nhỏnh ca th .

7. Cho hm s : y = 4x
3
-3x
2
+1 (C) v ng thng d: y = kx + 1 .Tỡm k :
a) d ct (C) ti 3 im phõn bit .
b) d tip xỳc vi (C) . xỏc nh ta tip im .
c) d ct (c) ti 3 im phõn bit trong ú cú 2 im cú honh õm.
8. Cho hm s : y = x
3
+ mx
2
m . Tỡm m th hm s ct ox ti 3 im phõn
bit .
9. Cho hm s : y =
3
3
x
- mx
2
+ mx -
3
m
. Tỡm m th hm s ct ox ti 3 im
cú honh dng.
10. Cho hm s : y= x
3
+mx
2
-1

a) Tỡm m phng trỡnh :x
3
+ mx
2
1= 0 cú nghim duy nht .
b) Tỡm m phng trỡnh :x
3
+ mx
2
1= 0 luụn cú nghim dng .
c) Chng minh rng vi mi m

0 hm s luụn cú cc tr .
d) Tỡm m th hm s ct ng thng y = 8x - 1 ti 3 im phõn bit .
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
23
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
11. Cho hm s : y =
1
2
x
x
. Tỡm k ng thng y = kx + 1 tip xỳc vi th .Tỡm
ta tip im
12. Tỡm m cỏc th hm s sau tip xỳc vi nhau:
a) y= - x
3
+ 2(m + 1)x
2
5mx + 2m.

b) y = x
3

2
9
x
2
+ 6x + m.
13. Cho hm s : y = x
3
(m +1)x
2
(2m
2
- 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (C
m
).
a) Tỡm im c nh m h (C
m
) luụn i qua .
b) Tỡm m th hm s tip xỳc vi ox.
c) Tỡm m th hm s tip xỳc vi ng thng y = - 49x + 98.
14. Cho hm s : y =
2
4
x
- 3x
2
+
2

5
(C).
a) Gi A l mt im trờn (C) cú x
A
= 0. Vit phng trỡnh tip tuyn d vi (C) ti
A.
b) Chng minh honh giao im ca d v (C) l nghim ca phng trỡnh : (x
a)
2
(f(x) = 0
c) Tỡm a d ct (C) ti 2 im phõn bit khỏc A.
15. Cho hm s: y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
x
3
. Chng minh hm s khụng th ct ox ti
3 im phõn bit.
16. Chng minh rng cú mt ng thng duy nht tip xỳc vi cỏc th hm s sau
ti hai im phõn bit. tỡm ng thng ú.
a) y = x
4
x
3
+ 3 b)y = x
4
2x
3
2x

2
+
4
5
c) y = x
4
4x
3
+ 4x.
17. Cho hm s : y = x
3
3x
2
- 12x + m. Tỡm m th hm s ct ox ti 3 im cú
honh dng.
18. Tỡm m th hm s : y = 2x
3
3mx
2
+ 6(m 1) 3m +7 ct (P) y = 6x
2
+ 1
ti 3 im phõn bit cú honh dng.
19. Cho hm s : y =
3
3
x
- m(m + 1). m bng bao nhiờu hm s tip xỳc vi ox.
20. (H Cn Th- 98)
Cho hm s : y = -x + 3 +

1
3
x
. Chng minh y = 2x + m luụn ct th ti hai
im cú hũanh x
1
, x
2
. Tỡm m A = (x
1
x
2
)
2
t giỏ tr nh nht.
21. (H Cụng on)
Cho hm s : y =
2
14
2
+
++
x
xx
. tỡm y = mx +2 m ct th ti 2 im phõn bit
thuc cựng mt nhỏnh ca th.
22. (H Hu 98)
Cho hm s : y = x + 3 m +
mx +
1

. Vi mi m = 2 thỡ a bng bao nhiờu : y =
a(x + 1) ct th ti hai im phõn bit cú honh trỏi du.
23. (H Hu 98)
Cho hm s : y = x
4
+ mx
2
(m + 1). m bng bao nhiờu th hm s tip xỳc vi
y = 2(x + 1) ti im cú honh x = 1.
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
24
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức LT Tel: 016.55.25.25.99
24. (H Kinh T - 98)
Cho hm s : y = x
3
+ 3x
2
+ 1 v ng thng d qua A(-3, 1) cú h s gúc k. Tỡm m
d ct (C) ti 3 im phõn bit.
25. (H M - 98)
Cho hm s y = x
3
+ 6x
2
+ 9x. Tỡm m ng thng y = mx ct th hm s ti 3
im phõn bit.
26. (H NN I 98)
Cho hm s : y = (x -1)(x
2
+ mx + m). m = ? th hm s tip xỳc vi ox. Xỏc

nh honh tip im.
27. (H thng Mi -98)
Cho hm s : y = 2mx
3
(4m
2
+ 1)x
2
+ 4m
2
. Tỡm m th hm s tip xỳc vi
ox.
28. (PVBCTT 98)
Cho hm s : y =
1
1
2

+
x
xx
. Tỡm m y = - x + m ct th ti hai im phõn
bit thuc cựng mt nhỏnh.
29. Cho hm s : y =
1
1

+
x
x

(C). Gi d l ng tip tuyn 2x y + m = 0. Chng
minh d ct th (C) ti hai im phõn bit thuc hai nhỏnh ca th.
30. Cho hm s y =
1
1
2

+
x
xx
. tỡm m th hm s tip xỳc vi (P): y = x
2
+ a.
31. (HBK -99)
Cho hm s y = x
3
+ax +2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a th hm s ct ox ti
1 v ch 1 im.
32. (HVNH -99 )
Cho hm s : y = -x
3
+ax
2
-4. Tỡm m mi ng thng cú phng trỡnh y = m
vi -4 < m <0 ct th hm s ti 3 im phõn bit.
33. Tỡm giỏ tr m phng trỡnh: x
2
(m + 1)x + 3m - 5 = 0 cú hai nghim dng.
34. Cho hm s y = x
3

3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+7m + 2)x + 2(m + 2)m. Tỡm m th
hm s ct ox ti ba im cú honh ln hn 1.
35. (S Quan 99)
Cho hm s y = x
3
+ mx
2
+ 1. Tỡm m th hm s ct trc honh ti 3 im
phõn bit cú honh lp thnh cp s cng.
36. (CSP Bc Ninh 99)
Cho hm s y =
1
+
x
nmx
vi m = 2, n =1. Xột ng thng d cú h s gúc i qua
im B(-2, 2). Tỡm k ng thng ct th ti hai im phõn bit.
37. Cho hm s y =
2
1
2
+
+
x
xx
. Tỡm trờn th tt c nhng im m ta ca chỳng

l nhng s nguyờn.
38. (HTDTT I)
Số 8/462 đờng Bởi, Ba đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
25