De va dap an HSG Toan 7.doc

phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: toán - lớp 7
Ngày thi: 13 tháng 4 năm 2010
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1. (6 điểm): Tìm x ; y ; z biết:
a)
1 1 1 1 5

2010 10 15 21 120 8
x
=
b)
1 3 2
9 27 15
xy yz xz+ + +
= =
và biết xy + yz + zx = 11
c)
( )
( )
2
3 4 4x x + <
(
x Z
)
Bài 2. (4 điểm): Cho đa thức A(x) =

3 2
1 1
5
14 2
x x x+ + +
a) Tính giá trị của A(x) lần lợt tại x = - 3 ; x =
1
2
b) Chứng minh rằng đa thức A(x) không có nghiệm là số nguyên.
Bài 3. (7 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A; góc A bằng 30
0
, độ dài cạnh BC = 2cm.
Trên nửa mặt phẳng chứa A, bờ là đờng thẳng BC, vẽ tam giác BOC đều. Trên nửa mặt
phẳng kia vẽ tia Bx sao cho góc CBx bằng 15
0
. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA.
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên đờng thẳng CO; CH cắt AB tại E.
1) Chứng minh rằng:
a) Tam giác AOB cân.
b) Tam giác AHE vuông cân.
2) Tính góc BDC?
3) Tính độ dài AE?
Bài 4. (3 điểm): Cho đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a ; b ; c ; d là các số nguyên.
Giả sử P(7) = 2010. Chứng minh rằng P(3) không thể bằng 2005.
Hết
Họ tên thí sinh:

Số báo danh :
Chữ ký giám thị 1:.
Chữ ký giám thị 2:
phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: toán - lớp 7
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
6 điểm
a)
2 diểm
x 2 2 2 2 5

2010 20 30 42 240 8

+ + + =
ữ

0,5
x 1 1 1 1 5
2.
2010 4.5 5.6 6.7 15.16 8

+ + + + =
ữ

0,5
x 1 1 5

2
2010 4 16 8

=
ữ

0,5
x 3 5 x 5 3
2 x 2010
2010 16 8 2010 8 8
= = + =
0,5
b)
2 điểm
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
xy 1 yz 3 xz 2 xy yz zx 6 11 6 1
9 27 15 51 51 3
+ + + + + + +
= = = = =
.
(Vì
xy yz zx 11+ + =
).
0,5
Suy ra xy = 2; yz = 6; xz = 3 0,5
Suy ra
( )
2
xyz 6
xyz 36

xyz 6
=

=

=

0,5
- Nếu xyz = 6 tính đợc z = 3; x = 1; y = 2
- Nếu xyz = - 6 tính đợc z = - 3; x = -1; y = 2
0,5
c)
2 điểm
2
x 4 4 x+
.
Nếu
x 3 0 >
mà
( )
( )
2
x x 3 1 x 3 x 4 4 + Z

(không thỏa mãn)
1
Nếu
( )
( )
( )

( )
2 2
x 3 0 x 3 x 4 0 x 3 x 4 4 + + <
.
Khi đó
x 3 3 x 3
mà
{ }
x x 2; 1;0;1;2;3 Z
1
Bài 2
4 điểm
a)
1 đ
- Tính
( )
32
A 3
7
=
0,5
- Tính
1 631
A
2 112

=
ữ

0,5

b)
3 đ
- Giả sử A(x) có nghiệm nguyên x = a suy ra A(a) = 0 0,5
( )
3 2
a a
A a a 5 0
14 2
= + + + =
0,5
3 2
a 7a 14a 70 0 + + + =
0,5
Khảng định
3
a 7 a 7M M
0,5
Vì
3 2
a 7 a 7a 14a 49 + +M M
0,5
Suy ra
70 49M
vô lý. Vậy A(x) không có nghiệm là số nguyên 0,5
Bài 3
7 điểm
E
H
D
O

C
B
A
Câu 1
3 đ
a) Chứng minh tam giác AOB cân tại O 2
b) - Tính
ã
ã
0 0
AEH 45 HAE 45= =
. Suy ra tam giác AHE vuông
cân tạo H.
1
Câu 2
1,5 đ
- Tính
ã
BDC
:
Chứng minh
( )
AHC CMA c.g.c =
0,75
Suy ra
ã
ã
0
BDC BAO 15= =
0,75

Câu 3
2,5 đ
Chứng minh:
AHC CMA =
1,5
Suy ra AH = MC = 1 cm 0,5
áp dụng định lý pitago cho tam giác AHE.
2 2 2 2 2 2
AE AH HE AE 2AH AE 2 AE 2= + = = =
(cm)
0,5
Bài 4
3 điểm
Thay x = 7
( )
3 2
p 7 a.7 b.7 c.7 d = + + +
Thay x = 3
( )
3 2
p 3 a.3 b.3 c.3 d = + + +
0,5
Tính
( ) ( )
p 7 p 3 a.316 b.40 c.4 = + +
1
( ) ( )
a.316 b.40 c.4 4 a,b,c p 7 p 3 4 (1)+ + M MZ
0,5
Giả sử p(3) = 2005.

Suy ra
p(7) p(3) 2010 2005 5 p(7) p(3) = =
không chia hết
cho 4. (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn. Vậy p (3) không thể bằng 2005 0,5
Ghi chú: Làm theo cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tơng đơng đáp
án.
Điểm toàn bài bằng tổng các điểm thành phần, không làm tròn.