Phần 3: Các trường hợp ước lượng khoảng pdf

3.1 Mô tả phương pháp
Giả sử tổng thể có tham số chưa biết. Ta tìm
khoảng chứa sao cho
cho trước.
θ
( )
1 2
,G G
θ
( )
1 2
1P G G
θ α
< < = −
Là độ tin cậy của ước lượng
1
α
−
Là độ dài của khoảng tin cậy
2 1
G G−
Ưu điểm: làm tăng độ chính xác của ước lượng,
đánh giá được mức độ tin cậy của ước lượng
Hạn chế: chứa đựng khả năng mắc sai lầm bằng
α

3.2 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình

Giả sử trung bình của tổng thể chưa biết.
Ta tìm khoảng chứa sao cho:

Với là độ tin cậy cho trước
( )
E X
µ
=
( )
1 2
,m m
µ
( )
1 2
1P m m
µ α
< < = −
1
α
−
Trường hợp 1: Biết và

( )
2
D X
δ
=
30n ≥
( hoặc n<30 nhưng X có phân phối chuẩn )
+) Lập thống kê: ta có
( )
X

U n
µ
σ
−
=
( )
0,1U N∈

+) Chọn và tìm thoả:

1 2 1 2
, :
α α α α α
+ =
1 2`
,u u
α α
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 1 2 1 1
, 1P U u P U u P u U u
α α α α
α α α
− − −
< = > = ⇒ − < < = −
Thay U vào ta có:
2 1
1 1
X u X u
n n

α α
σ σ
µ
− −
− < < +
Trong thực tế ta thường chỉ sử dụng một số
trường hợp đặc biệt sau:
. Khoảng tin cậy đối xứng: chọn
1 2
, 1
2 2
α α
α α γ
= = = −
Ta có:
X u X u
n n
γ γ
σ σ
µ
− < < +
hay
( )
,X X
ε ε
− +
X
Là trung bình mẫu cụ thể
ε
độ chính xác của ước lượng

. Khoảng tin cậy bên phải (ước lượng giá tối thiểu)

1 2 1 1 1
, 0, ;u u x u
n
α α
σ
α α α
− −
 
= = = − = −∞ ⇒ −∞ +
 ÷
 
Là khoảng tin cậy bên phải của
µ
. Khoảng tin cậy bên phải (ước lượng giá tối thiểu)

. Khoảng tin cậy bên trái (ước lượng giá tối đa)
2 1 1 1 1
, 0, ;u u x u
n
α α
σ
α α α
− −
 
= = = = +∞ ⇒ − +∞
 ÷
 

Là khoảng tin cậy bên trái của
µ
. Xác định cỡ mẫu
Nếu yêu cầu một chất lượng với cho
trước thì ta chọn cỡ mẫu phù hợp:
1
α
−
ε
2
2
2
n u
γ
σ
ε
=

Ví dụ: Khối lượng sản phẩm là ĐLNN có phân
phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn . Cân thử 25
sản phẩm ta thu được kết quả sau:
1
σ
=
X (khối lượng) 18 19 20 21
(số lượng) 3 5 15 2
i
N
- Hãy ước lượng trung bình khối lượng của sản
phẩm với độ tin cậy 95%

- Nếu yêu cầu độ chính xác là 0,1 giữ nguyên
độ tin cậy 95% thì cỡ mẫu là bao nhiêu mới phù
hợp?

18
19
20
21
3
5
15
2
54
95
300
42
25 491
i
x
i
n
i i
x n
∑
1
1 491
19,64
25
k
i i

i
x n x kg
n
=
= = =
∑
0,975
1 0,95 0,05
1 0,975
2
1,96u u
γ
α α
α
γ
− = ⇔ =
⇒ = − =
= =
1
.1,96 0,39
25
u
n
γ
σ
ε
= = ≈
1 2
19,25 20,03x x x x
ε ε

= − = = + =
Vậy khoảng tin cậy là (19,25;20,03)
Để độ chính xác 0,1 và giữ nguyên độ tin cậy 95%
thì cỡ mẫu là
2
2
2 2
1
1,96 384
0,1
n u
γ
σ
ε
= = ≈

Trường hợp 2: Chưa biết và
2
σ
30n ≥
Ta dùng ước lượng của thay cho chưa biết
(vì )
2
σ
'
1
;
S
x u
n

α
−
 
−∞ +
 ÷
 
'2
S
( )
'2 2
E S
σ
=
. Khoảng tin cậy đối xứng:
( )
'
, ;
S
x x u
n
γ
ε ε ε
− + =
. Khoảng tin cậy bên phải:
. Khoảng tin cậy bên trái:
'
1
;
S
x u

n
α
−
 
− +∞
 ÷
 
. Xác định cỡ mẫu:
2
2
2
'S
n u
γ
ε
=

Ví dụ: Người ta nghiên cứu ở một trường đại học
xem trong một tháng sinh viên tiêu hết bao nhiêu
tiền gọi điện thoại. Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 59
sinh viên thu được kết quả sau:
14 127 95 30 40 27 40 79 36 58 14 47
95 15 27 111 95 63 127 95 30 79 27 14
30 147 79 36 27 14 47 85 36 40 47 15
58 79 26 15 26 30 58 40 30 85 26 36
26 36 63 40 36 26 111 58 85 26 47
Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% cho số tiền gọi
điện thoại trung bình hàng tháng của một sinh viên.

14

15
26
27
30
36
40
47
58
63
79
85
95
111
127
147
4
3
6
4
5
6
5
4
4
2
4
3
4
2
2

1
56
45
156
108
150
216
200
188
232
126
316
255
380
222
254
147
784
675
4056
2916
4500
7776
8000
8836
13456
7938
24964
21675
36100

24642
32258
21609
59 3051 220185
i
x
i
n
2
i i
n x
∑
i i
x n
( )
1
2
' 2
1
2
'
0,975
59
1 3051
51,7
59
1
1
220185
51,7 33,52

58
1 0,95 0,05
1 0,975
2
1,96
33,52
1,96 8,56
59
k
i i
i
k
i i
i
n
x n x
n
S n x x
n
S
u u
γ
α α
α
γ
ε
=
=
=
= = =

= −
−
= − =
− = ⇔ =
= − =
= =
= =
∑
∑
(43,14;60,26)

Trường hợp 3: Chưa biết phương sai
n<30 và X có phân phối chuẩn.
( )
2
D X
σ
=
( )
1
'
n
X
T n T
S
µ
−
−
= ∈
Chọn lập thống kê:

. Khoảng tin cậy đối xứng:
' '
1 1
; ; 1
2
n n
S S
x t x t
n n
γ γ
α
γ
− −
 
− + = −
 ÷
 
. Ước lượng giá trị tối thiểu:
'
1
1
;
n
S
x t
n
α
−
−
 

− +∞
 ÷
 
. Ước lượng giá trị tối đa:
'
1
1
;
n
S
x t
n
α
−
−
 
−∞ +
 ÷
 

. Phương pháp mẫu kép: Xác định kích thước
mẫu tối thiểu n sao cho với độ tin cậy cho
trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá
trị cho trước
1
α
−
0
I
-Trước hết điều tra một mẫu kích thước

( )
( )
2
'2
1 1 2
1
1
W = X , , ,
1
m
m i
i
X X S X X
m
=
⇒ = −
−
∑
2 :m ≥
-Lập mẫu thứ hai kích thước n-m:
( )
2
' '2
1 1
2 1 0
2
1 1
0
2 2

2 4
W , , ;
m m
m n
S S
X X I t n t
I
n
α α
− −
+
− −
 
 
 
= = ⇒ ≥
 ÷
 
 
 
n: Là kích thước mẫu cần tìm

Ví dụ: Theo dõi mức xăng hao phí X cho một ô tô
đi từ A đến B thu được bảng số liệu sau:
Mức hao phí 19,0-19,5 19,5-20,0 20,0-20,5 20,5-21,0
Số lần đi 2 10 8 5
Với độ tin cậy 95%. Hãy tính mức xăng hao phí
trung bình tối thiểu khi đi từ A đến B, biết X có
phân phối chuẩn.
Đây là bài toán ước lượng khoảng của kỳ vọng

(giá trị tối thiểu ) T.Hợp3

X (lít)
19,0-19,5 19,25 2 -1 -2 2
19,5-20,0 19,75 10 0 0 0
20,0-20,5 20,25 8 1 8 8
20,5-21,0 20,75 5 2 10 20
n=25 16 30
i
x
i
n
i
u
i i
n u
2
i i
n u
∑
1 24
1 0,95
1,711
n
t t
α
−
−
= =
(Tra bảng student)

0
19,75; 0,5x h= =
( )
2
2
2
0,5 1 1
19,75 .16 20,07 0,5 .30 .16 0,1976
25 25 25
x S
 
 
= + = ⇒ = − =
 
 ÷
 
 
 
'2 '
25
.0,1976 0,2058 0,45
24
S S= = ⇒ =
( )
19,92
µ
< < +∞

Ví dụ: Phỏng vấn 5 gia đình có con học đại học về
chi phí hàng tháng cho nhu cầu sinh hoạt được các số

liệu sau: 150 ngàn, 250 ngàn, 200 ngàn, 300
ngàn,180 ngàn. Hỏi phải phỏng vấn bao nhiêu gia
đình để với độ tin cậy 95% sai số của việc ước lượng
chi phí trung bình hàng tháng không vượt quá 30
ngàn. Giả thiết chi phí hàng tháng là ĐLNN phân
phối chuẩn.
X: Chi phí sinh hoạt hàng tháng
( )
2
,X N
µ σ
∈
Vậy chi phí trung bình chính là giá trị . Đây là
bài toán xác định kích thước mẫu tối thiểu của phân
phối chuẩn khi chưa biết phương sai
µ

Theo phương pháp mẫu kép, n=5 ta có
( )
'2 4
0 0,975
2
2
216; 3530; 2.30 60; 2,776
4.3530
2,776 31
60
x S I t
n
= = = = =

 
⇒ ≥ =
 
 
Như vậy phải phỏng vấn thêm 31-5=26 gia đình nữa

3.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ ( xác suất )
Giả sử tổng thể được chia ra làm hai loại phần
tử. Tỷ lệ phần tử có tính chất A là p chưa biết. Ước
lượng tỷ lệ là chỉ ra khoảng chứa p sao cho:
( )
1 2
,f f
( )
1 2
1P f p f
α
< < = −
Chọn mẫu với kích thước n khá lớn.
Gọi X là số phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu
nhiên một mẫu. X có phân phối không- một
là số phần tử có tính chất A trong lần lấy thứ i
i
X
Ta có:
( ) ( )
( )
1
;
p p

E X p D X
n
−
= =
X
Là tần suất ước lượng điểm của
( )
p E X=

Chọn thống kê
( )
( )
( )
0,1
1
f p n
U N
p p
−
= ∈
−
f là tỷ lệ các phần tử của mẫu có tính chất A
Ta xác định được khoảng tin cậy:
( ) ( )
( )
1 2
1
, , ;
f f
f f f f u

n
γ
ε ε ε
−
= − + =
là phân vị chuẩn mức và
u
γ
1
2
α
−
( )
1
n
u
f f
γ
ε
=
−
ε
là sai số

. Ước lượng giá trị tối
thiểu:
( )
1
1f f
f u p

n
α
−
−
− < < +∞
. Ước lượng giá trị tối đa:
( )
1
1f f
p f u
n
α
−
−
−∞ < < +
. Kích thước mẫu:
( )
2
2
1
2
1f f
n u
α
ε
−
−
=
.Khoảng tin cậy đối xứng:
( ) ( )

1 1
;
f f f f
f u f u
n n
γ γ
 
− −
 ÷
− +
 ÷
 

Ví dụ: Điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng
trong 100 gia đình thấy 60 gia đình có nhu cầu
loại hàng hoá nói trên. Với độ tin cậy
hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tỷ lệ gia đình
có nhu cầu loại hàng hoá đó.
1 0,95
α
− =
Đây là bài toán ước lượng khoảng của xác suất,
áp dụng
( ) ( )
1 1
;
f f f f
f u f u
n n
γ γ

 
− −
 ÷
− +
 ÷
 
1
2
1,96u u
γ α
−
= =
(Tra bảng laplace)
( )
60
0,6;1 0,4 0,504 0,696
100
f f p= = − = ⇒ < <
Tỷ lệ từ 50,4% đến 69,6%, độ tin cậy
0,95

Ví dụ: Kiểm tra 100 sản phẩm trong lô hàng
thấy có 20 phế phẩm
-Hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm có độ tin cậy 99%
-Nếu độ chính xác thì độ tin cậy của ước
lượng là bao nhiêu?
-Nếu muốn có độ tin cậy 99% và độ chính xác
0,04 thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?
0,04
ε

=

( )
( )
0,995
1 2
20
1 99% 1 0,995; 100, 0,2
2 100
100
0,1 ;
0,2.0,8 0,4
2,58 0,1
10
100
0,1; 0,3
n f
f p
U N
pq
u
f f f f
α
α
ε
ε ε
− = ⇒ − = = = =
−
= ∈
= = =

= − = = + =
Khoảng tin cậy là (0,1 ; 0,3 )
( )
0,04 100
1 1 0,84
2
0,2.0,8
1
1 0,68
n
u
f f
γ
ε α
γ
α
= = = ⇒ = − =
−
⇒ − =
Độ tin cậy là 68%