BAI TAP mon co ban-phan ds

www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 1
1. BÀI TẬP ÁNH XẠ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
1) R
2
,R
3
và R
4
có các cơ sở chính tắc lần lược là
, ,
α β ε
. Xét f
∈
L(R
3
,R
4
) và g
∈
L(R
2
R
3
) với
,
[ ]g
α β
−
 
 
=

 
 
−
 
1 3
0 2
2 1
= A và f(u,v,w) = (u-2v+3w,3u+v-w,4w-2u-3v,5u-3v+5w),(u,v,w)
∈
R
3
.
a) Tìm một cơ sở cho Im(f) và Ker(f).Khi nào =
α
=(a,b,c,d)
∈
Im(f) ? f có đơn ánh không ?
b) Viết
,
B=[f]
β ε
và
0 ,
C=[f g]
α ε
rồi tìm biểu thức của g và f
o
g.
c)
2

'={ =(-3,2); (5,1)} '={ ( , , ), ( , , ) (2,-3,3)}
α α α β β β β
− −
1 1 2 3
1 2 2 3 2 3
là các cơ sở của R
2
và
R
3
.Viết các ma trận
', ' ', , '
D=[g] [ ] [ ]E g G g
α β α β α β
= =
d) Cho h
∈
L(R
2
R
3
) có
', '
[h] H
α β
 
 
= = −
 
 

 
4 1
2 5
3 0
. Viết
,
K=[h]
α β
rồi tìm biểu thức cho h.
2) Cho
, '
β β
như bt1 và m là tham số thực . Xét f , h
∈
L(R
3
) có :
f(u,v,w)=(u+3v-3w, 2u+v+w, (3m-1)u+(m+3)v+(2m-6)w) (u,v,w)
∈
R
3

và
'
[ ]h
β
 
 
= −
 

 
 
1 2 3
1 0 2
2 1 1
a) Viết
' , ' ',
[f] ;[f] ;[f] ;[f]
β β β β β β
?
b) Tìm m để f không song ánh. Lúc đó tìm 1 cơ sở cho Im(f) và Ker(f).
c) Viết
, ' ',
[h] ;[h] ;[h]
β β β β β
. Tìm biểu thức của h.
d) Cho m = -2 và g = 2f – 5f
2
+3Id
R
3 .Viết
'
[g] ;[g]
β β
.Tìm
-1
[f ]
β
và biểu thức của f
-1

.
3) Xác định Kerf và Imf cho các ánh xạ tuyến tính sau :
) : [ ]
( ) ( ( ), ( ), )( ))
) : ( ) ( )( )
( ) ( )
k
x k
a f Q x Q
x
b f C R C R k
x e x
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
→
−
→ ∈Ν
3
1
1 0 1a
a
) : ( ) ( )
( ) ( )
) : ( ) ( )( )
( sin cos cos )
x
c f C R C R
x t dt
d f M R C R k

a b
a x b x c x dx
c d
ϕ ϕ
∞
→
→ ∈Ν
 
+ − +
 ÷
 
∫
1
0
2
2 2
3 2 2
a
a
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 2
2. BÀI TẬP KHÔNG GIAN EUCLIDE
1) Cho không gian Euclde (V,<|>) , T
∈
L(V) và a, b
∈
V
a) Chứng minh | ||a|| - ||b|| |
≤
||a
±

b|| , ||a + b||
2
+ ||a-b||
2
= 2(||a||
2
+ ||b||
2
) , ||a + b||
2
- ||a-b||
2
= 4<a | b>.
b) Giả sử <a | c> = 0
c V∀ ∈
. Chứng minh a =
θ
c) Giả sử <a | c> = <b | c>
c V∀ ∈
.Chứng ming a = b.
d) Giả sử <T(c)| c> = 0 và <T(c)| d> = <c |T(d)>
,c d V∀ ∈
.Hãy xét <T(c+d) |(c+d)> để chứng minh T=
θ
2) Cho (V,<|>),
, & ,H K V A B V≤ ⊂
thỏa
A B
≠ ∅ ≠
.Chứng minh :

) & ) )
) & ) ) :
a V V b A A v A A c A B A B
d A V A A e A A A f A A D V D A
θ θ
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥
= = = ∅ ⊂ => ⊃
⊂ =< > ⊂< >⊂ = <=> ∃ ⊂ =
I I
) ) ( ) .g A A h A B A B
⊥⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
= ∩ ⊂ +
Nếu
θ
∈
(A
∩
B) thì
( ) .A B A B
⊥ ⊥ ⊥
∩ = +
) ( ) ) ( )
) ( ) )
) .ChöùngminhA=A
) dim dim { }
n n
n
R R
i H K H K j A B A B neáu A B

k NeáuV V thì H K H K e NeáuV V thì A A
m ChoV V A V
n Neáu H K thì H K
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥
⊥⊥
⊥
∩ = + + ⊂ ∩ ∩ ≠ ∅
= + = ∩ = =< >
= <=> ≤
< < +∞ ∩ ≠ ∅
3) V=R
4
với tích trong thông thường. Cho
&W VV
α
∈ ≤
.Tìm một cơ sở cho W và
W
⊥
.
( , )
W
Tính pr vaø d W
α α
{ }
) ( , , , ) ( , , , ) /
) ( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )
) ( , , , ) ( , , , ),
u v w t

u v w t
a vaWø u v w t R
w t u v
u v w t
b vaWø
c vaWø
α
α α α α
α α
 
− + − =

 

+ + − =
  
= − − = ∈
  
+ − − =
  
  
− + − =

 
= − − =< = − − = − = − >
= =< = −
4
1 2 3
1
2 4 3 0

2 3 6 0
4 3 1 4
6 2 5 0
3 7 9 0
1 9 5 5 1 1 1 1 5 8 1 2 3 0 7 10
3 5 5 1 1 0 2 1
{ }
( , , , ), ( , , ,
) ( , , , ) ( , , , ) /
u v w t
u v w t
d vaWø u v w t R
v u t w
t u w v
α α
α
= − − = − >
 
− + − =

 

− + − =
  
= − = ∈
  
− + − =
  
  
− + − =


 
2 3
4
2 1 9 4 3 0 7 1 0
2 8 8 0
3 5 21 22 0
2 9 3 9
5 2 18 19 0
2 0
4) Tìm a, b
∈
R để mỗi giá trị tích phân dưới đây nhỏ nhất, và tính các giá trị đó:
x
x
) ( x) x b) ( ax-b ) x c) ( a-be ) x
d) (x-asin2x-bcosx) x e) ( -ax-bcos2x) x f) (e ) x
a x a b d x d x d
d d a bx d
π π
−
−
− − − −
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 1 1
2 2 2 2 2
0 1 0
2 1

2 2 2
0 0 1
1
2
www.violet.vn/anhbay → Ơn thi cao học → Tốn 3
3. BÀI TẬP TỐN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HĨA.
1) Cho
\{ }, , , ( )
n
c F A B Q M F∈ ∈0
với B khả nghịch. Đặt
, , , .
t
P A C B AB D BA B G cA
− −
= = = =
1 1
Chứng minh rằng :
) ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) ( )
) ( ) ( )
n
P C D A G A
H K
a p x p x p x p x p x c p c x
b Nếu H BQ và K QB thì p x p x
−
= = = =
= = =
1
2) Cho f

( )L Vn∈
và c là một giá trị riêng của f trên F.
a) Xét
f
c ( )
[ ]và ( ) ( ).ChứngminhE
g
c
F x g f L Vn E
ϕ
ϕ ϕ
∈ = ∈ ⊂
và
ϕ
(c) là một giá trị riêng của g trên F.Suy ra
nếu f chéo hóa được trên F với
( ) ( ) ( ) ( ( ))
j j
k k
r r
f j g j
j j
p x x c thì g cũng chéo hóược trên F và p x x c
ϕ
= =
= − = −
∏ ∏
1 1
.
Cho ví dụ để thấy

( )
f g
c c
E E
ϕ
Ø
b) Giả sử f song ánh và
-1
f h
c
c
( ).Chứngminhc 0,E E
n
h f L V và c
− −
= ∈ ≠ =
1 1
là một trị riêng của h trên F.Suy ra
nếu f chéo hóa được trên F với
( ) ( ) ( ) ( )
j j
k k
r r
f j h j
j j
p x x c thì h cũng chéo hóược trên F và p x x c
−
= =
= − = −
∏ ∏

1
1 1
c) Phát biểu và chứng minh lại a) b) cho ma trận A(khả mghịch)
( )
n
M F∈
3) Cho f
( )L R∈
3
. Kiểm tra f có chéo hóa được trên R khơng? Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho f:
) ( , , ) , ( , , )a u v w R f u v w∀ ∈ =
3
(13u+2v-8w,6u+2v-4w,18u+3v-11w)
) ( , , ) , ( , , )b u v w R f u v w∀ ∈ =
3
(4u-2v-w,2u-2v+2w,4u-13v+2w)
) ( , , ) , ( , , )c u v w R f u v w∀ ∈ =
3
(u-2v-2w,4u+4v-4w,u-v-2w)
) ( , , ) , ( , , )d u v w R f u v w∀ ∈ =
3
(19u-5v-6w,25u-112v+4w,17u-5v-4w)
4) Cho A
( )M Q∈
3
. Kiểm tra A có chéo hóa được trên Q khơng? Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho A và
tính A
k
(k ngun k>1) bằng phép nhâ 2 ma trận:
) ) ) )a A b A c A d A

− −
       
       
= − = − = − = −
       
       
− − − − −
       
4 5 2 1 2 2 3 2 0 2 1 2
5 7 3 1 2 1 2 4 2 5 3 3
6 9 4 1 1 4 0 2 5 1 0 2
END