Chương 3: Phương pháp D’Alembert ppsx

CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP D’ALEMBERT
§1 . Nguyên lý D’Alembert
§2. Các đặc trưng hình học
khối lượng của cơ hệ và vật
rắn
§3. Thu gọn hệ lực quán tính
§4. Định lý động lượng và mô
men động lượng

§1 . Nguyên lý D’Alembert
1. Lực quán tính
2. Nguyên lý D’Alembert đối với chất điểm
3. Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ

§1 . Nguyên lý D’Alembert
1. Lực quán tính.
•
Định nghĩa
•
Ý nghĩa vật lý của lực quán tính
•
Lực quán tính là lực không có thật trong hệ quy
chiếu quán tính.
•
Nếu xét trong hệ quy chiếu tương đối, chuyển
động tịnh tiến cùng với điểm thì lực quán tính
D’Alembert là lực quán tính theo
wmF
qt



−=
wmF
qt


−=
w


§1 . Nguyên lý D’Alembert
2. Nguyên lý D’Alembert đối với chất điểm
•
Nguyên lý. Tại mỗi thời điểm các lực thật sự và
các lực quán tính tác dụng lên chất điểm tạo
thành hệ lực cân bằng
•
C h ứ n g m i n h
0),( ≅
qt
FF

( )
00
=+⇒=−+⇒=
qt
FFwmFFwm





0),( ≅
qt
FF


§1 . Nguyên lý D’Alembert
3.Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ
–
Nguyên lý
–
Hệ phương trình tĩnh động
4. Ví dụ

§1 . Nguyên lý D’Alembert
3.Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ
3.1. Nguyên lý. Tại mỗi thời điểm, các lực trong, lực
ngoài và các lực quán tính tác dụng lên các chất điểm
của cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng
3.2. Hệ phương trình “tĩnh động”
•
Cộng các hệ thức
•
Nhân hai vế của các hệ thức tương ứng với
( )
0,, ≅
qt
k
i

k
e
k
FFF

0=++
qt
k
i
k
e
k
FFF

0=++
qt
k
i
k
e
k
FFF

k
r


§1 . Nguyên lý D’Alembert
3.2. Hệ phương trình “tĩnh động”
∑

=++= 0)(
qt
k
i
k
e
k
FFFR

∑
=++×=
0)(
0
qt
k
i
k
e
kk
FFFrM



∑
=+
0)(
qt
k
e
k

FF

∑
== 0
i
k
i
FR

∑
=×=
0
0
i
kk
i
FrM



∑
=+×
0)(
qt
k
e
kk
FFr



k
r

k
M
O
∑
=
e
k
e
FR

∑
=
qt
k
qt
FR

∑
=×=
0
0
qt
kk
qt
FrM




∑
×=
e
kk
e
FrM



0
,0=+
qte
RR

.0
00
=+
qte
MM

1
r

N
r

1
M
N

M

§2. Các đặc trưng hình học khối lượng
1. Khối tâm của cơ hệ
1.1. Định nghĩa
1.2. Khối tâm của các vật đồng chất và đối
xứng
2. Mô men quán tính của vật rắn
2.1. Định nghĩa
2.2. Mô men quán tính của một số vật rắn đồng
chất
2.3. Các tính chất của mô men quán tính
2.4. Các trục quán tính chính

§2. Các đặc trưng hình học khối lượng
1. Khối tâm của cơ hệ
1.1. Định nghĩa
1.2. Khối tâm và trọng tâm
1
r

O
2
r

k
r

N
r


C
r

x
y
z
∑
∑
∑
==
Mm
m
rm
r
k
k
kk
C
,


,,,
∑
∑
∑
∑
∑
∑
===

k
kk
C
k
kk
C
k
kk
C
m
zm
z
m
ym
y
m
xm
x
G
k
kk
k
kk
C
r
p
rp
gm
rgm
r




===
∑
∑
∑
∑
,
∫
∫
∫
∫
==
V
V
V
V
C
dV
dVr
dm
dmr
r
ρ
ρ



§2. Các đặc trưng hình học khối lượng

1. Khối tâm của cơ hệ
1.3. Khối tâm của một số vật đồng chất và đối xứng
Khối tâm của các vật đồng chất có tâm, trục hoặc mặt
phẳng đối xứng sẽ nằm tại tâm, trục hoặc mặt phẳng
đối xứng đó.
O
r

r

−
,
∫
∫
∫
∫
==
V
V
V
V
C
dV
dVr
dm
dmr
r
ρ
ρ




§2. Các đặc trưng hình học khối lượng
2. Mô men quán tính
2.1. Định nghĩa
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng
chất
2.3. Sự biến đổi mô men quán tính khi thay
đổi trục
2.4. Các trục quán tính chính và elipsoit
quán tính

2. Mô men quán tính
2.1. Định nghĩa
Mô men quán tính đối với trục
Mô men quán tính đối với điểm O
Tích quán tính
x
y
z
k
M
k
ρ
O
∑
=
2
kkzz
mJ

ρ
)(
22
kkkzz
yxmJ
∑
+=
)(
22
kkkxx
zymJ
∑
+=
)(
22
kkkyy
xzmJ
∑
+=
222
kkk
yx +=
ρ
)(
2222
0 kkkkkk
zyxmrmJ
∑ ∑
++==
kkkyxxy

yxmJJ
∑
==
kkkzyyz
zymJJ
∑
==
kkkzxxz
zxmJJ
∑
==

2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của
một số vật đồng chất
2.2.1. Thanh đồng chất
x
∆
x
x
z
O
l
333
3
233
0
3
0
222

ml
l
mll
x
dxxxxxmJ
l
l
kkkzz
===
===∆=∆=
∑ ∑
∫
ρ
ρ
ρρ

2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.2.Vòng tròn đồng chất
2.2.3.a Đĩa tròn đồng chất
k
m∆
22
mRRmJ
kzz
=∆=
∑
[ ]
∑∑
∑∑

∆+∆=−∆+
=∆=∆=
).(02)(
23222
2
kkkkkkk
kkkzz
rrrrrrr
rmJJ
πρρπ
∫
===
R
R
zz
R
r
drrJ
0
4
0
4
3
2
1
4
2
2
πρ
πρ

ρπ
2
2
2
mR
J
R
m
zz
=⇒=
π
ρ
kk
rr ∆+
k
r

2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.2.b Đĩa tròn đồng chất
Suy ra
x
y
x
∑∑
==⇒
=
22
;
,0

kkyykkxx
k
xmJymJ
z
yyxxkkkzz
JJyxmJ
+=+=
∑
)(
22
2
4
1
2
mR
J
JJ
zz
yyxx
===

2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.4. Trụ tròn đồng chất
a)
z
x
y
k
h

∆
,
2
1
2
1
2
2
∑
∑∑
∆=
∆=∆=
RV
RmJJ
k
kzkzz
ρ
kk
hRV
hR
m
∆=∆=
2
2
,
π
π
ρ
∑
∆

=
2
2
2
2
R
hR
hRm
J
k
zz
π
π
2
2/
2/
2
2
1
2
mRdz
h
mR
J
h
h
zz
==
∫
−

2. Mô men quán tính
2.2. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
2.2.4. Trụ tròn đồng chất
b)
y
′
x
y
C
C
′
h
hhm
h
Rhm
hmJJ
h
RhmRm
J
kkk
kkkyCCyk
kk
kyC
22
22
.
4
;
44

∆
+
∆
=∆+∆=∆
∆
=
∆
=∆
′′
′′
( )








+=+=
∫
−
34
4
4
3
2
2/
2/
22

h
hR
h
m
dzzR
h
m
J
h
h
Cy








+=
34
2
2
h
R
m
J
Cy

3. Các định lý về mô men quán tính

3.1. Mô men quán tính của vật đối với hai trục song song
Định lý 1 (Steiner)
Chứng minh
Vì
Suy ra
d
z
z
′
C
2
MdJJ
zCzz
+=
′
k
M
k
M
′
k
ρ
k
ρ
′
x
′
y
′
α

)cos2(
222
αρρρ
ddmmJ
kkkkkzz
′
−+
′
==
∑∑
,
2
zCkk
Jm
′
=
′
∑
ρ
,
22
Mddm
k
=
∑
0cos2cos2
=
′
=
′

∑∑
kkkk
mddm
ρααρ
0
=
′
∑
kk
m
ρ
2
MdJJ
zCzz
+=
′

3. Các định lý về mô men quán tính
3.1. Mô men quán tính của vật đối với hai trục cắt nhau
Định lý 2
Chứng minh
.coscos2coscos2coscos2
coscoscos
222
γβγαβα
γβα
yzxzxy
zzyyxxll
JJJ
JJJJ

−−−
−++=
x
y
z
k
M
k
r

k
H
L
l
e

∑
=
2
kkll
mJ
ρ
k
ρ
2222
22222
)coscoscos(
).(
γβα
ρ

kkkkkk
lkkkkk
zyxzyx
errOHr
++−++=
=−=−=

.coscos2
coscos2coscos2
)coscoscos(
2222222222
βγ
γαβα
γβαρ
kk
kkkk
kkkkkkk
yz
zxyx
zyxzyx
−
−−−
−++−++=

3. Các định lý về mô men quán tính
Chú ý rằng







+=−
+=−
+=−
⇒
=++
αβγ
γαβ
βγα
γβα
222
222
222
222
coscoscos1
coscoscos1
coscoscos1
1coscoscos
.coscos2
coscos2coscos2
)coscoscos(
2222222222
βγ
γαβα
γβαρ
kk
kkkk
kkkkkkk
yz

zxyx
zyxzyx
−
−−−
−++−++=
.coscos2coscos2
coscos2)cos(cos
)cos(cos)cos(cos
222
2222222
βγγα
βαβα
αγγβρ
kkkk
kkk
kkk
yzzx
yxz
yx
−−
−−+
++++=

3. Các định lý về mô men quán tính
Thay vào biểu thức tính
Hay là
[
]
.coscos2coscos2coscos2
cos)(cos)(cos)(

222222222
βγγαβα
γβα
kkkkkk
kkkkkkkll
yzzxyx
yxxzzymJ
−−−
++++++=
∑
.coscos2coscos2coscos2
cos)(cos)(cos)(
2222222222
βγγαβα
γβαρ
kkkkkk
kkkkkkk
yzzxyx
yxxzzy
−−−
++++++=
ll
J
.coscos2coscos2coscos2
coscoscos
222
γβγαβα
γβα
yzxzxy
zzyyxxll

JJJ
JJJJ
−−−
−++=

4. Các trục quán tính chính
4.1. Các định nghĩa
•
Định nghĩa trục quán tính chính
•
Định nghĩa trục quán tính chính trung tâm
4.2. Giải thích hình học sự phân bố mô men quán tính
Đặt
Thay vào biểu thức của
0: ==
yzxzzz
JJJ
L
x
y
z
N
ll
J
ON
1
=
ON
z
ON

y
ON
x
===
γβα
cos,cos,cos
ll
J
)222(
222
yzJxzJxyJzJyJxJJJ
yzxzxyzzyyxxllll
−−−++=
1222
222
=−−−++
yzJxzJxyJzJyJxJ
yzxzxyzzyyxx
Z
X
Y

4. Các trục quán tính chính
Ý nghĩa: Mặt bậc hai
biểu thị sự phân bố mô men quán tính đối với trục L.
Hệ trục Oxyz là trục quán tính chính OXYZ
1222
222
=−−−++
yzJxzJxyJzJyJxJ

yzxzxyzzyyxx
( )
2
1
ON
J
ll
=
1
222
=++
ZJYJXJ
zzyyxx
X
Y
Z
O

§3.Thu gọn hệ lực quán tính
1. Vectơ chính của hệ lực quán tính
2. Mô men chính của hệ lực quán tính
3. Ví dụ
1. Phản lực ổ trục của vật quay

§3.Thu gọn hệ lực quán tính
1. Vectơ chính của hệ lực quán tính
1.1. Định nghĩa
1.2. Biểu thức vectơ chính của các lực quán tính
Như vậy, vectơ chính của hệ lực quán tính của
mọi vật chuyển động

∑
=
qt
k
qt
FR

Ckk
qt
k
qt
wMwmFR


−=−==
∑∑
C
qt
k
qt
wMFR


−==
∑