Dao ham va ung dung

Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những
quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về tính đạo hàm của
những hàm số đơn giản hơn.
Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ bài này,ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm một khoảng hoặc
hợp của nhiều khoảng.
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
ĐỊNH LÍ 1
Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và
cũng có đạo hàm trên J,
a) ;
b) .
Ghi chú. Các công thức có thể viết gọn là và
Chứng minh
a) Tại mỗi điểm ,ta có
*
* .
Vậy .
b) Kết luận này được chứng minh tương tự
Nhận xét
Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J
thì trên J ta có
.
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .
Giải
Trên khoảng ta có
Vậy
a) Tính nếu .
b) Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng
minh rằng với mọi x thuộc R,ta có .
2. Đạo hàm của tích hai hàm số
Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm

của hai hàm số đó.
Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không?
Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó.
ĐỊNH LÍ 2
Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J
thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và ;
Đặc biệt,nếu k là hằng số thì
Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là và
Chứng minh
Đặt . Ta sẽ tìm đạo hàm của f tại một điểm x tùy ý thuộc J.
Khi biến số nhận số gia =u(x + \Delta x)-u(x) \Rightarrow u(x + \Delta x)=u(x) + \Delta u [/ct]
Tương tự, do nên

Ta sẽ sử dụng các đẳng thức trên để tính đạo hàm của hàm số f.
* .
*
.
Để ý rằng
,

.
Ta có kết quả: .
Khi (hằng số) thì nên ta có .
Cách tính đạo hàm như sau đúng hay sai,tại sao?
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau :
a) ;
b) .
Giải
a)
b) .

a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u,v và w có đạo hàm trên J
thì hàm số f xác định bởi (với mọi ) cũng có đạo hàm trên J và

.
b) Áp dụng ,tính đạo hàm của hàm số tại điểm .
3. Đạo hàm của thương hai hàm số
Sử dụng định nghĩa,ta cũng chứng minh được định lí về đạo hàm của thương hai hàm số
ĐỊNH LÍ 3.
Nếu hai hàm cố và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số
cũng có đạo hàm trên J và
Ghi chú. Công thức trên có thể viết gọn là
Chứng minh hệ quả dưới đây

HỆ QUẢ
a) Trên ta có
b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có
Ghi chú. Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là .
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ,nếu :
a) (a là hằng số)
b) .
Giải
a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có
.
b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có

Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho sau đây
Đạo hàm của hàm số bằng
(A) ;
(B) ;
(C) ;

(D)
4. Đạo hàm của hàm số hợp
a) Khái niệm của hàm số hợp
Ví dụ 4. Cho hai hàm số và ,trong đó và .
Nếu trong , ta thay biến số u bởi u(x) thì được
Đặt .Rõ ràng là một hàm số biến số x.
Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u.
Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số được cho bởi biểu
thức)
Cho hai hàm số và .
Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x),ta được biểu thức với biến x.
Khi đó,hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là
hàm số trung gian.
Trong định nghĩa trên,tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của x sao cho biểu thức
có nghĩa
CHo và .Hãy tìm hàm số hợp và tập xác định của nó.
b) Các tính đạo hàm của hàm số hợp

ĐỊNH LÍ 4
a) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm
thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm và .
b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J
thì hàm số hợp có đạo hàm trên J và .
Ghi chú. Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là
Ví dụ 5. Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó
như sau:
Ta có .
Do và .
Vậy .
Tổng quát ta xét hàm số (với và ).

Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian .
Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp
(còn viết là ) như sau :
;

.
Ghi chú . Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là
Tương tự,ta xét hàm số .
a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hơp của hàm số f và hàm số trung gian .
b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số
cũng có đạo hàm trên J và
HỆ QUẢ 2
Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi
thì hàm số có đạo hàm trên J,và
Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là
Ví dụ 6 .

GHI NHỚ

a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây )
b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây )



c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ):
Các dạng bài liên quan:
Trắc nghiệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân Đạo hàm và ứng dụng
Một số bài tập
Baì 70950
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68518
Tìm đạo hàm cấp n của
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C.
D.
< Click để xem đáp án
Baì 68517
Tính đạo hàm cấp n của :
Chọn một đáp án dưới đây
A.
B.
C.
D.
< Click để xem đáp án
Baì 68149
Cho hàm số . Biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu?
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68148
Vi phân của hàm số: bằng biểu thức nào sau đây?
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.

< Click để xem đáp án
Baì 68147
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68146
Cho hàm số . , ta có
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68145
Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng:
Chọn một đáp án dưới đây
A. Vì f(0) = 0 nên
B. Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại
C. Vì nên
D. Vì
< Click để xem đáp án
Baì 68144
Cho hàm số: . Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68143
Cho hàm số: .
Chọn mệnh đề đúng:

Chọn một đáp án dưới đây
A. Vì 2 là hằng số nên
B. Với thì
C. Với x>2 thì
D. Hàm số không có đạo hàm tại điểm
. Đạo hàm cấp hai
Xét hàm số . Hàm số này có đạo hàm .
Hiển nhiên, cũng là một hàm số có đạo hàm và đạo hàm của nó là

Ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của hàm số ban đầu.
Một cách tổng quát,ta có định nghĩa sau đây
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f có đạo hàm .Nếu cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2
của hàm f và kí hiệu là ,tức là
.
còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f.Đạo hàm cấp hai của hàm số còn được kí hiệu là
Ví dụ 1.Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau
a) b) .
Giải
a) .
b) .
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số
a) ; b)
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Ta đã biết : Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình thì vận tốc tại thời điểm của chất
điểm đó là .
Bây giờ nếu nhận một số gia thì nhận một số gia là .Khi càng
nhỏ ( khác 0) thì càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm .
Trong cơ học,giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời
điểm (hay gia tốc tại thời điểm ) của chât điểm đó,va được kí hiệu là .

Vậy .
Do đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như sau :
Gia tốc (tức thời) tại thời điểm của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình bằng
đạo hàm cấp hai của hàm số tại thời điểm ,tức là
.
Gia tốc tại thời điểm đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó.
Ví dụ 2.
Một chất điểm chuyển động có phương trình .
(Phương trình này gọi là phương trình dao động điều hòa).
Khi đó,vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
.
Gia tốc tức thời tại thời điểm t là

.
Phương trình chuyển động của một chất điểm là (S tính bằng mét (m),t tính bằng giây
(s) ).Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm .
3. Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số f còn được kí hiệu lần lượt là và .
Nếu là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số kí hiệu f, kí hiệu
là .
Tương tự, đạo hàm cấp n của một hàm số được định nghĩa bằng quy nạp như sau :
Cho hàm số f có đạo hàm cấp (với là .

Nếu là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là
.
Nói cách khác .
Đạo hàm cấp n của hàm số còn được kí hiệu là
Ví dụ 3
a) Đối với hàm số ,ta có :
[/ct] với mọi .

b) Đối với hàm số ,ta có :
Quan sát ví dụ 3b) và cho biết khẳng định sau đúng hay sai : Nếu thì .
Các dạng bài liên quan:
Trắc nghiệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân Đạo hàm và ứng dụng
Một số bài tập
Baì 70950
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68518
Tìm đạo hàm cấp n của
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C.
D.
< Click để xem đáp án
Baì 68517
Tính đạo hàm cấp n của :
Chọn một đáp án dưới đây
A.
B.
C.
D.
< Click để xem đáp án
Baì 68149
Cho hàm số . Biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu?
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.

C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68148
Vi phân của hàm số: bằng biểu thức nào sau đây?
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68147
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68146
Cho hàm số . , ta có
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68145
Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng:
Chọn một đáp án dưới đây
A. Vì f(0) = 0 nên
B. Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại
C. Vì nên
D. Vì
< Click để xem đáp án
Baì 68144
Cho hàm số: . Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là:

Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68143
Cho hàm số: .
Chọn mệnh đề đúng:
Chọn một đáp án dưới đây
A. Vì 2 là hằng số nên
B. Với thì
C. Với x>2 thì
D. Hàm số không có đạo hàm tại điểm