Dao ham va ung dung (LT)

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠO HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG.
1. Đạo hàm
1.1 Cách tính đạo hàm bằng đònh nghóa:
B1: Cho x
0
số gia ∆x và tính ∆y = f(x
0
+ ∆x) - f(x
0
)
B2: Lập tỉ số:
x
y
∆
∆

B3: Tìm giới hạn:
x
y
0x
∆
∆
→∆
lim
1.2 Phương trình tiếp tuyến:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0

))
là:
y - y
0
= f'(x
0
)(x - x
0
)
1.3 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
1.3.1. y = c ⇒ y' = 0.
1.3.2. y = x ⇒ y' = 1.
1.3.3. y = x
n
⇒ y' = n.x
n-1
(n ≥ 2, n ∈ N).
1.3.4. y =
x
⇒ y' =
R
x
x2
1
*
+
∈∀
.
1.4 Các quy tắc tính đạo hàm:
1.4.1. (u + v -w)' = u' + v' - w'

1.4.2. (k.u)' = k.u'.
1.4.3. (u.v)' = u'.v + u.v', (u.v.w)' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'.
1.4.4.
v
vuvu
v
u
2
''
'
.
−
=


















−
=






v
v
v
1
2
'
'
1.4.5. y'
x
= y'
u
.u'
x
.
1.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u=u(x)
( )
x
x
1
−α
α

=
α
.
'
x
x
1
2
1
−=






'
( )
x2
1
x
=
'
( )
u
u
u
1
−α
α

=
α
.
.
'
'
u
u
u
1
2
'
'
−=






( )
u2
u
u
'
'
=
(sinx)' = cosx
(cosx)' = - sinx
(sinu)' = u'.cosu

(cosu)' = - u'.sinu
(tgx)' = 1 + tg
2
x =
x
2
1
cos
(cotgx)' = - (1 + cotg
2
x) =
x
2
1
sin
−
(tgu)' = u'(1 + tg
2
u) =
u
u
2
cos
'
(cotgu)' = - u'.(1 + cotg
2
u) =
u
u
2

sin
'
−
( )
e
e
x
x
=
'
( )
aa
a
x
x
ln
.
'
=
( )
eu
e
u
u
.
'
'
=
( )
aau

a
u
u
ln
..
'
'
=
( )
x
1
x
=
ln
'
( )
ax
1
x
a
ln
log
'
=
( )
u
u
u
'
'

ln
=
( )
au
u
u
a
ln
'
'
log
=
1.6 Đạo hàm cấp cao:
f
(n)
(x) = (f
(n - 1)
(x))' (n ≥ 2)
1.7 Vi phân:
dy = y'dx hay df(x) = f'(x) dx.
2. Ứng dụng của đạo hàm:
2.1. Chứng minh hàm số đồng biến, nghòch biến:
2.1.1. Đònh lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
+ Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến
trên khoảng đó.
+ Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) nghòch biến
trên khoảng đó.
2.1.2. Điểm tới hạn:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
0

thuộc khoảng
(a;b). Điểm x
0
được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f'(x) không xác
đònh hoặc bằng 0.
2.2. Tìm cực đại và cực tiểu:
2.2.1. Quy tắc I:
B1: Tìm f'(x).
B2: Tìm các điểm tới hạn (giải phương trình f'(x) = 0.)
B3: Xét dấu của đạo hàm.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò.
2.2.2. Quy tắc II:
B1: Tìm f'(x).
B2: Tìm các điểm tới hạn x
i
(i = 1, 2, 3…)(giải phương trình f'(x) = 0.)
B3: Tính f''(x)
B4: Từ dấu của f"(x
i
) suy ra tính chất cực trò của điểm x
i
theo dấu hiệu
II. (Nếu f''(x
i
) > 0 thì x
i
là điểm cực tiểu. Nếu f''(x
i
) < 0 thì x
i

là điểm cực đại.)
2.2.3. Bổ sung quy tắc xét dấu:
+ Quy tắc xét dấu nhò thức bậc nhất: "Trái trái, phải cùng"
+ Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai:
. Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt: "Trong trái,
ngoài cùng"
. Trường hợp tam thức vô nghiệm hay có nghiệm kép: "Luôn
cùng dấu với hệ số a"
2.3. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
Quy tắc tìm
[ ]
)(
max
;
xf
ba
và
[ ]
)(
min
;
xf
ba
:
B1: Tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, …, x
n

của f(x) trên đoạn [a;b]
B2: Tính f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
), f(a), f(b).
B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
M =
[ ]
)(
max
;
xf
ba
, m =
[ ]
)(
min
;
xf
ba
2.4. Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thò:
2.4.1. Tìm các khoảng lồi, lõm:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b).
+ Nếu f''(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thò của hàm số lồi
trên khoảng đó.
+ Nếu f''(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thò của hàm số lõm
trên khoảng đó.

2.4.2. Tìm điểm uốn của đồ thò:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x
0
và có
đạo hàm đến cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
điểm M
0
(x
0
, f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thò hàm số đã cho.
2.5. Tìm tiệmcận:
2.5.1. Tiệm cận đứng:
Nếu
∞=
→
)(
lim
xf
x
0
x
thì đường thẳng d có phương trình x = x
0
là một
tiệm cận của đồ thò (C).
2.5.2. Tiệm cận ngang:

Nếu
y
0
x
xf
=
∞→
)(
lim
thì đường thẳng d có phương trình y = y
0
là một
tiệm cận của đồ thò (C).
2.5.3. Tiệm cận xiên:
Đường thẳng (d): y = ax + b là một tiệm cận của đồ thò (C) khi và chi
khi:

[ ]
0baxxf
x
=+−
+ ∞→
)()(
lim
(d là tiệm cận xiên bên phải của (C))
hay
[ ]
0baxxf
x
=+−

− ∞→
)()(
lim
(d là tiệm cận xiên bên trái của (C))
hay
[ ]
0baxxf
x
=+−
∞→
)()(
lim
(d là tiệm cận xiên của (C))
(Trong đó: a =
x
xf
x
)(
lim
∞→
, b =
[ ]
axxf
x
−
∞→
)(
lim
)
* CÁCH KHÁC:

Nếu hàm số đã cho là hàm hữu tỉ (bậc tử > bậc mẫu), chia đa thức ta
được y = ax + b + P(x). Chứng minh
[ ]
0baxxf
x
=+−
∞→
)()(
lim
, thì y = ax + b là một
tiệm cận của đồ thò (C).