Một số bài tập về đường tròn

ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho đường tròn đường kính AB và dây EF. Gọi I, K là chân các đường vuông góc kẻ
từ A và B đến EF. Chứng minh rằng: IE = KF.
Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ cung tròn tâm D bán kính R, cung này
cắt đường tròn (O) ở B và C.
a. Tứ giác OBDC là hình gì ? Vì sao ?
b. Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.
c. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Bài 3. Cho hai dây bằng nhau và cắt nhau tại một điểm I nằm trong đường tròn. Chứng
minh rằng:
a. IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.
b. Điểm I chia hai dây AB, CD thành các đoạn tương ứng bằng nhau từng đôi một.
Bài 4. Cho đường tròn (O;5cm), điểm M cách O 3cm.
a. Tính độ dài dây lớn nhất đi qua M.
b. Tính độ dài dây nhỏ nhất đi qua M.
Bài 5. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD. Gọi H và K thứ tự là trung điểm của AB và
CD. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Biết AB > CD. CMR: MH > MK.
Bài 6. Cho điểm A cách đường thẳng xy 12cm, vẽ đường tròn (A;13cm).
a. CMR đường tròn (A) và đường thẳng xy cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b. Gọi giao điểm của (O) và xy là B, C. Tính độ dài BC.
Bài 7. Cho hình thang vuông ABCD (
µ
µ
0
90A D= =
), AB = 9cm; BC = 13cm, CD = 9cm.
a. Tính độ dài AD.
b. CMR đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 8. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).
a. Chứng minh rằng: OA

⊥
MN.
b. Vẽ đường kính NOC, chứng minh rằng MC // AO.
c. Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm; OA = 5cm.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A;AH). Kẻ các tiếp
tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a. Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b. DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC
tại D. Chứng minh rằng:
ABC
S
= BD . DC.
Bài 11. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. Đường thẳng qua A cắt hai
đường tròn thứ tự tại B và C. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại B và C của hai đường tròn
song song với nhau.
Bài 12. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Biết O’ € (O). Kẻ
đường kính O’OC của đường tròn (O).
a. CMR CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
b. Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I; đường vuông góc với AC tại C cắt
đường thẳng O’B ở K. CMR 3 điểm O, I, K thẳng hàng.
Bài 13. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn (C € (O), D € (O’)).
a. Tính số đo góc CAD.
b. Tính độ dài CD biết OA = 4,5cm; O’A = 2cm.
Bài 14. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Một đường tròn (O’) cắt một trong hai đường tròn
(O) tại A, B và cắt đường tròn còn lại tại C, D. Chứng minh rằng AB // CD.
Bài 15. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn. Từ
một điểm M trên đường tròn (M khác A, B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự tại C, D.
a. Chứng minh rằng: CD = AC + BD.

b. Chứng minh rằng: Góc COD = 90
0
.
c. Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB.
d. Xác định vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 16. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa
đường tròn. Kẻ MH vuông góc với AB Vẽ đường tròn (M;MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD
với đường tròn (M) (C, D là các tiếp điểm khác H).
a. Chứng minh rằng 3 điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.
c. Giả sử AB cắt CD tại I. Chứng minh rằng tích OH . OI không đổi.
d. Chứng minh rằng IH . IO = IA . IB.
Bài 17. Cho tam giác ABC, kẻ các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
a. 4 điểm H, K, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b. HK < BC.