các bài toán thể tích 12 có đáp số

Chủ đề 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1/ Công thức tính thể tích của các khối đa diện:
a/ Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a. V=a
3
b/ Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược là a,b,c :V=ab
c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h: V=B.h
d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h:
1
3
V =
B.h
2/ Các công thức tính diện tích thường được sử dụng:
+Tam giác: S=
1
2
absinC=
1
2
acsinB=
1
2
bcsinA; S=
1
2
a.h
a
.
+Hình thoi:S=
1
2

d
1
.d
2
với d
1
,d
2
là độ dài hai đường chéo của hình thoi.
+Hình bình hành:S=
1
2
d
1
.d
2
sinα với α là góc giữa d
1
và d
2
. (công thức này vẫn đúng cho tứ giác lồi )
3/ Định lý hàm số côsin cho tam giác ABC: a
2
=b
2
+c
2
-2abcosA ;…
4/ Tam giác ABC vuông ở A,đường caoAH: BC
2

=AB
2
+AC
2
(pythagore) ;AB
2
=BH.BC;AC
2
=HC.BC;AH
2
=HB.HC và
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
5/ Tam giác ABC đều cạnh bằng a,đường cao h: h=
3
2
a
;diện tích S=
2
3
4
a
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a,nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy.Mặt bên ACC’A’ hợp với đáy một góc α.Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 2:Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD :
a/ Biết AB=a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α,tính thể tích khối chóp.
b/Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ,tính thể tích khối chóp.
Bài tập:

B1: Tính thể tích của :
a. Khối tứ diện đều có cạnh bằng a.
b. Khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.
c. khối 8 mặt đều có cạnh bằng a.
B2: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A
1
D bằng 2 và độ dài đường chéo
của mặt bên bằng 5.
a. Hạ
1
AK A D
⊥

( )
1
K A D
∈
. Chứng minh rằng AK=2.
b. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A
1
B
1

C
1
D
1
.
B3: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp, biết:
a. Góc giữa mặt bên và đáy bằng α.
b. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng β.
B4: Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn là 2a, đáy nhỏ là a và góc của mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
.
B5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C . Tìm tỉ số thể tích của khối tứ diện C’ABC và khối lăng trụ đã cho.
B6: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M,N lần lược là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia
khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
B7: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên các đoạn SA,SB,SC lần lược lấy ba điểm A’,B’C’ khác với S. Chứng minh rằng:
( )
( )
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
.
B8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B’,D’ lần lược là trung điểm của SB,SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại
C’. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.

B9: Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30
0
và tam giác A’BC có
diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
B10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành và
·
0
45BAD
=
. Các đường chéo AC’ và DB’ lần lược
tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0
. Hãy tính thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của nó bằng 2.
B11: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA,AB,SC vuông góc với nhau từng đôi một, SA=3,SB=SC=4.
Trang 1
a. Tính thể tích khối tứ diện S.ABC.
b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
B12: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Biết rằng AB=a,BC=b,SA=c. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
B13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=2a,AA’=a.Lấy điểm Mtrên cạnh AD sao cho MA=3MD .
a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C.
b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
B14: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với
3AB
=
,
7AD
=

. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’)
lần lược tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0
. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
B15: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A,
µ
0
, 60AC b C
= =
. Đường chéo BC’ của mặt bên
BB’C’C tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30
0
.
a. Tính độ dài đoạn AC’.
b. Tính thể tích của khối lăng trụ.
B16: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên
AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
.
a. Tính thể tích của khối lăng trụ.
b. Chứng minh mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
c. Tính tổng diện tích các mặt bên của khối lăng trụ ( tổng này được gọi là diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho)
B17: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a, nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC’A’ hợp với đáy một góc α. Tính thể tích của lăng trụ.
B18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a. Biết AB=a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Tính thể tích khối chóp.
b. Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ. Tính thể tích khối chóp
B19: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc

·
0
60 ,ACB BC a
= =
và
3SA a
=
. Gọi M là trung điểm của cạnh SB.
a. Chứng minh:
( ) ( )
SAB SBC
⊥
.
b. Tính thể tích khối tứ diện MABC.
B20: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD.
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
b. Tính thể tích khối tứ diện M.ACD.
B21: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt
bên SCD bằng
3
6
a
. Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên SCD và thể tích khối chóp S.ABCD.
B22: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng φ
( )
0 0
0 90
ϕ
< <
. Tính tan của góc

giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo φ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và φ.
B23: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=
6
2
a
.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích tam giác SBC.
B24: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC=a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao
cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
B25: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và
( )
SA ABC
⊥
,
SC a
=
. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
B26: Cho lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,
3AC a=
và hình
chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính
cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’,B’C’ . (K
A
– 2008)

B27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a và mặt phẳng (SABng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
.S BMDN
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SM, DN. (K
B
– 2008)
B28: Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
, đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên
' 2AA a
=
. Gọi M là trung điểm
của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. (K
D
– 2008)

Đáp số:
Trang 2
1/ a.
3
2
12
a
V
=
; c.
3
2
3

a
V
=
; 2/ b.
20 5 10 5V V
= ∨ =
; 3/ a.
3
1
tan
6
V a
α
=
; b.
3
2
tan
6
a
V
β
=
; 4/
3
7 3
24
a
V
=

; 5/
1
3
; 6/
1
2
; 8/
1
6
; 9/
8 3V
=
; 10/
4
3
V =

11/ a.
8V
=
; b.
6 34
17
; 12/
2 2
ac
a c+
; 13/ a.
3
4

a
V =
; b.
2
a
; 14/
3V
=
;
15/ a.
' 3AC b
=
; b.
3
6V b=
; 16/ a.
3
3
4
a
V =
; c.
( )
2
39 2 3
3
xq
a
S
= +

;
17/
3
1
sin
2
V a
α
=
; 18/ a.
3
tan
6
a
V
α
=
; b.
( )
3
2 2
4 2 tan
3 2tan 1 2tan 1
d
V
ϕ
ϕ ϕ
=
+ +
19/ b.

3
4
a
V =
; 20/ a.
2
2
a
; b.
3
12
a
V =
; 21/
3
3
6
a
; 22/
3
2
tan
6
V a
ϕ
=
23/ a.
2
2
a

; b.
3
2
2 3
,
8 4
a
V S a
= =
; 24/
3
3
24
a
V =
;
25/
·
2
0 cos
2 3
SCA
π
α α α
= < < =với và
; 26/
3
2
a
V =

;
1
cos
4
ϕ
=
27/
3
3
3
a
V
=
;
5
cos
5
ϕ
=
; 28/
3
2
2
a
V =
;
7
7
a
d

=
1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
2.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’= a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC
vuông tại C và . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác
ABC. Tính thể tích khối diện A’ABC theo a.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm
của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (IBC). ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a , SA =
a 2
. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
SB,CD. Chứng minh rằng đườngthẳng MN vng góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
5. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (Tốt nghiệp THPT 2009)
Trang 3