chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chủ đề: Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất
Chủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN
1. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b): trong đó a có thể là
∞−
, b có thể là
∞+
.
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất
thì giá trò cực đại (cực tiểu) là giá trò lớn nhất (nhỏ nhất) .
• Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghòch biến thì không
có GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 4 - x
2
;
b) y = 4x
3
– 3x
4
; c) y = x
4
+ 2x
2
– 2;
d) y =
2xx
2
++

; e) y =
x
1xx
2
++
với x > 0; g) y =
2
x +3x 1
x -1
+
với x < 1.
h)
1
y =
cosx
trên khoảng
;
3
2 2
π π
 
 ÷
 
k)
=
2
x
y
x + 4
2) Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm.

HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện 0 < x < 8
⇒
Diện tích của hình chữ nhật là S(x) = x( 8 – x).
- Tìm x
∈
(0; 8) để S(x) lớn nhất. ĐS: x = 4 cm
3) Hãy xác đònh hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm
2
.
HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện x > 0.
- Chu vi của hình chữ nhật là
48
( ) 2( )P x x
x
= +
.
- Tìm x
∈
(0;
+∞
) để P(x) nhỏ nhất. ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 4
3
m
2. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng [a; b]
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Tìm các cực trò thuộc [a; b] của hàm số. Giả sử các điểm cực trò là x
1
, x
2
,…x

n
- Tính f(x
1
), f(x
2
)….f(x
n
) và f(a), f(b), so sánh. Rồi kết luận.
• Chú ý: - Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a).
- Nếu hàm số f(x) nghòch biến trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b).
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số :
a) y= 2x
3
+ 3x
2
– 12x + 1 trên đoạn [-1; 5]; b) y = 1 + 4x + x
2
trên đoạn [-1; 3];
c) y=
4x5−
trên đoạn [-1; 1]; d) y= sin2x – x trên [
]
2
;0
π
;
e) y=
3416x4x
2

+−
trên đoạn [-1; 4]; g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [-
];
2
π
π
;
h) y = x + cos
2
x trên đoạn [0;
]
4
π
; k) y = 2x +
2
x5−
;
l) y= cos2x + x trên đoạn [
]
2
;
2
ππ
−
; m) y =
2005x12005x1 −++
;
1
Chủ đề: Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất
2) Tìm GTLN, GTNN hàm số

3 6 (3 )(6 )y x x x x= + + − − + −
. ĐS: miny =
9
3 2
2
−
, maxy
= 3.
3) Tìm GTNN hàm số
2
2 3 2 1y x x x= − − + +
. ĐS: miny = -1 tại x = -1
4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
1sinxsin
1sinx
2
++
+
x
.
HD: - Đặt t = sinx điều kiện:
-1 t 1
≤ ≤
- Đưa về tìm GTLN, GTNN trên [-1; 1]
II. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phng trình:
Ta thực hiện: - Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b].
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
2

1
) ;
1
x
a y
x x
+
=
− +

2
2
3
) .
2
x
b y
x x
+
=
− +
HD: a) - Giả sử hàm số đạt GTLN (GTNN) tại x
0
thì x
0
là

nghiệm của pt:
+
=

− +
2
1
1
x
y
x x
- Ta có pt
( )
+
= ⇔ − + + − =
− +
2
2
1
1 1 0
1
x
y yx y x y
x x
- Trường hợp y = 0 ta có phương trình là: x = - 1
- Trường hợp
y 0≠
.Ta có phương trình có nghiệm khi
3-2 3 3+2 3
3y 6y +1 0 y
3 3
2
∆ = − + ≥ ⇔ ≤ ≤
- So sánh hai trường hợp ta có: maxy =

3+2 3
3
; miny =
3-2 3
3
b) Tương tự maxy = 2; miny =
7
6
2) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=

2xcosx ++
+
sin
cosx 2
HD: - Giả sử hàm số đạt GTLN (GTNN) tại x
0
thì thì x
0
là

nghiệm của pt:
y
x cos x 2
+
=
+ +
2 cosx
sin
(1)
- Do sinx + cosx + 2

0
≠
với mọi x nên pt (1)
ysinx + (y - 1)cosx = 2(1- y) ⇔
- Phương trình có nghiệm khi y
2
+ (y – 1)
2

≥
[2(1 - y)]
2
3- 3 3+ 3
y
2 2
⇔ ≤ ≤

Ta có: maxy =
3 + 3
2
; miny =
3 - 3
2
2