dạo chơi bất đẳng thức

DẠO CHƠI
BẤT ĐẲNG THỨC
*
1. Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm
GTNN của A=x
2
+y
2
HD:
 x
2
+m
2
≥2mx và y
2
+m
2
≥2ym (m>0)
 Suy ra x
2
+y
2
+2m
2
≥2m(x+y)=2m
 Suy ra A=x
2
+y
2
≥2m−2m
2

 Dấu “=” xảy ra khi x=y=m tức là
x=y=m=1/2
 Vậy GTNN củaA là ½ khi x=y=1/2
2. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm
GTNN của A=x
2
+y
2
+z
2
HD:
 x
2
+m
2
≥2mx , y
2
+m
2
≥2ym ,
z
2
+m
2
≥2mz (m>0)
 Suy ra x
2
+y
2
+z

2
+3m
2
≥2m(x+y+z)=2m
 Suy ra A=x
2
+y
2
+z
2
≥2m−3m
2
 Dấu “=” xảy ra khi x=y=m tức là
x=y=z=m=1/3
 Vậy GTNN củaA là 1/3 khi x=y=1/3
3. Cho x,y là 2 số dương thỏa x+y =1. Tìm
GTNN của A=4x
2
+y
2
HD:
 4x
2
+m
2
≥4mx và y
2
+n
2
≥2yn

(m>0,n>0)
 Suy ra 4x
2
+y
2
+m
2
+n
2
≥4mx+2ny
 Ta chọn m,n sao cho 4m=2n (n=2m)
 Suy ra
A=4x
2
+y
2
≥4m(x+y)−m
2
−n
2
=4m−5m
2
 Dấu “=” xảy ra khi 2x=m và y=n=2m
tức là
5
1 2
2 2
m m
x y m= + = + =

2 4
,
5 5
m n⇒ = =
 Vậy GTNN của A là :
2
8 4 4
4 5 5.
5 25 5
m m− = − =
khi
1 4
,
5 5
x y= =
4. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm
GTNN của A=4x
2
+y
2
+z
2
HD:
 4x
2
+m
2
≥4mx, y
2
+n

2
≥2yn, z
2
+p
2
≥2pz
(m>0,n>0,p>0)
 Suy ra 4x
2
+y
2
+z
2
+m
2
+n
2
+p
2
≥4mx+2ny+2pz
 Ta chọn m,n,p sao cho 4m=2n=2p
(n=p=2m)
 Suy ra
A=4x
2
+y
2
+z
2
≥4m(x+y+z)−m

2
−n
2
−p
2
=4m−9m
2
 Dấu “=” xảy ra khi 2x=m và y=z=2m
tức là
9
1 4
2 2
m m
x y z m= + + = + =

2 4
,
9 9
m n p⇒ = = =
 Vậy GTNN của A là :
2
8 4 4
4 9 9.
9 81 9
m m− = − =
khi
1 4
,
9 9
x y z= = =

5. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Cho
3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của
A=a
2
x
2
+b
2
y
2
+c
2
z
2
HD:

2 2 2
a x m 2amx+ ≥
,
2 2 2
b y n 2bny+ ≥
,
2 2 2
c z p 2cpz+ ≥
( )
m 0,n 0,p 0> > >
 Suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a x b y c z m n p
2amx 2bny 2cpz

+ + + + +
≥ + +
 Ta chọn m,n,p sao cho
am bn cp= =
 Suy ra
2 2 2 2 2 2
A a x b y c z= + +
( )
2 2 2
2am x y z m n p≥ + + − − −
2 2
2 2 2
1 1 1
2am a m
a b c
 
= − + +
 ÷
 
 Đặt
2 2 2
1 1 1
M
a b c
= + +
2 2
2A am Ma m⇒ ≥ −
Dấu “=” xảy ra khi
2 2
, ,

1
1
m n p
x y z
a b c
m n p
x y z
a b c
m am am
amM
a b c
= = =
= + + = + +
⇒ = + + =
 Vậy :
2
1 1
,m x
aM a M
= =
2
1 1
,n y
bM b M
= =
2
1 1
,p z
cM c M
= =

 Vậy GTNN của A là :
2
2 1 1
A M
M M M
= − =
6. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Tìm
GTNN của A=x
3
+y
3
+z
3
.
HD:
 m>0

3 3 3 3 3 3 3 2
3 3x m m m m x m x+ + ≥ =

3 3 3 3 3 3 2
3
3 3y m m m m y m y+ + ≥ =
3 3 3 3 3 3 3 2
3 3z m m m m z m z+ + ≥ =
Suy ra
3 3 3 3
2 2
x y z 6m
3m (x ) 3y z m

+ + +
≥ + + + =
 Suy ra
2 3
A 3m 6m≥ −
 Dấu “=” xảy ra khi
1
3
x y z m= = = =
 Vậy GTNN của A là :
3
1 1
3
3 9
A
 
= =
 ÷
 
7. Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1. Cho
3 số dương a,b,c. Tìm GTNN của
A=a
3
x
3
+b
3
y
3
+c

3
z
3
.
HD:
 m>0, n>0, p>0

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2
3 3a x m m m m a x m ax+ + ≥ =

3 3 3 3 3 3 3 3 2
3
3 3b y n n n n b y n by+ + ≥ =
3 3 3 3 3 3 3 3 2
3
3 3c z p p p p c z p cz+ + ≥ =
Suy ra
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2
a x y z 2m 2 2
3m 3 3
b c n p
ax n by p cz
+ + + + +
≥ + +
 Chọn m,n,p sao cho m
2
a=n
2
b=p

2
c
 Suy ra
2 3 3 3
A 3m ( ) 2( )a x y z m n p≥ + + − + +
2 3 3 3
A 3m 2( )a m n p⇒ ≥ − + +
 Dấu “=” xảy ra khi
, ,
m n p
x y z
a b c
= = =
1
m n p
x y z
a b c
⇒ = + + = + +
1
m m a m a
a
b b c c
⇒ = + +
1 1 1
1 m a
a a b b c c
 
⇒ = + +
 ÷
 

 Đặt
1 1 1
M
a a b b c c
= + +
ta được:
1 m aM=
1 1
,m x
M a Ma a
⇒ = =
1 1
,
1 1
,
n y
M b Mb b
p z
M c Mc c
= =
= =
 Vậy GTNN của A là :
3 3 3
1 1 1
A
M a a M b b M c c
= + +
3 2
1 1 1 1 1
A

M M
a a b b c c
 
= + + =
 ÷
 
8. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC=a,
CA=b, AB=c. Điểm M ở miền trong hoặc
trên cạnh của tam giác ABC. Gọi
x=d(M,BC), y=d(M,CA), z=d(M,AB). Chứng
minh ax+by+cz không thay đổi. Tìm GTNN,
GTLN của f=x+y+z.
HD:
 Diện tích ABC bằng tổng diện tích
các tam giác MBC, MCA, MAB suy ra
ax by cz 2 2 ( )( )( )S p p a p b p c+ + = = − − −
 Đặt
1 1 1 1 1 1
min , , , max , ,t T
a b c a b c
   
= =
 ÷  ÷
   
 Ta có :
1 1 1
f x y z ax by cz
a b c
= + + = + +
( ) 2f tax tby tcz t ax by cz St≥ + + = + + =

Xét dấu “=” xảy ra :
• Nếu t=1/a thì chọn y=z=0 và x=2S/a (M
trùng với điểm A)
• Nếu t=1/b thì chọn x=z=0 và y=2S/b (M
trùng với điểm B)
• Nếu t=1/c thì chọn x=y=0 và z=2S/c (M
trùng với điểm C)
Giá trị nhỏ nhất của f là 2St
 Tương tự, giá trị lớn nhất của f là
2ST.
9. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Tìm GTLN
của A=x
n
+y
n
+z
n
(n>1)
HD:
 Do 0≤x≤1 và n>1 nên x
n
≤x
 Tương tự với x,y,z.
 A≤x+y+z=1
 Dấu “=” xảy ra khi x=1 hoặc y=1
hoặc z=1
 A lớn nhất là 1.
10. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0,
c>0. Tìm GTLN của A=ax
n

+by
n
+cz
n
(n>1)
HD:
 Gọi T là max(a,b,c)
 Do 0≤x≤1 và n>1 nên ax
n
≤ax≤Tx
 Tương tự với x,y,z.
 A≤T(x+y+z)=T
 Dấu “=” xảy ra khi (T=a,x=1,y=z=0),
(T=b,y=1,x=z=0), (T=c,z=1,x=y=0)
Tóm tắt kết quả 10 bài BĐT 1-10
 Xét GTNN và GTLN của:
q q q
f ax by cz= + +
(q nguyên dương và n>1)
trong đó
x,y,z là các số dương thay đổi
thỏa
x y z 1+ + =

a,b,c là các hằng số dương.
 Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) bằng
cách xét từng phần và áp dụng BĐT Côsi:
q 1 1
ax (q 1)m
q q

q q q
q ax m qx am
− −
+ − ≥ =
q 1 1
by (q 1)
q
q q q
q
n q by n qy bn
− −
+ − ≥ =
q 1 1
cz (q 1)p
q q q
q q
q cz p qz cp
− −
+ − ≥ =
Ta chọn m,n,p dương sao cho:
1 1 1q q n
am bn cp t
− − −
= = =
Suy ra các giá trị m,n,p là
1 1 1
1 1 1
, ,
q q q
t t t

m n p
a b c
− − −
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
Cộng vế các BĐT trên để có:
( 1)( )f qt q m n p≥ − − + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q
q
q
t t
ax m x
a
a
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷

 
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q
q
q
t t
by n y
b
b
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷
 
1
1
( 1)
1
1
1
q q
q

q
q
t t
cz p z
c
c
−
−
−
 
= = ⇒ =
 ÷
 
1
( 1)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
q q
q q q
x y z t
a b c
−
− − −
 
 ÷
= + + = + +
 ÷
 

1 1 1
1 1 1
1 1 1
q q q
M
a b c
− − −
= + +
( 1)
1
q q
t
M
−
 
=
 ÷
 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
, ,
q q q
x y z
Ma Mb Mc
− − −
= = =
1 1 1
1
1 1 1

1 1 1 1 1
q q
q q q
f
M M
a b c
−
− − −
 
 ÷
= + + =
 ÷
 
 Trường hợp riêng
n 1, f ax by cz= = + +
thì
( , , )f Max a b c≤
và
( , , )f Min a b c≥
 Với GTLN ta có:
( , , )f ax by cz Max a b c≤ + + ≤
Bây giờ chúng ta mở rộng từng bước khi 0<q<1
11. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0,
c>0. Tìm GTNN, GTLN của
f a x b y c z= + +
HD:

( , , )
f a x b y c z ax by cz
Min a b c

= + + ≥ + +
≥
 Suy ra GTNN của f là Min(a,b,c)
(xem lại các bài trước).
 Dùng BĐT Bunhiacopski:
2 2 2 2 2 2
f a b c x y z a b c≤ + + + + = + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi
y
x z
a b c
= =
GTLN của f là
2 2 2
a b c+ +
Nếu không dùng BĐT Bunhiacopski thì giải thế
nào?
12. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0,
c>0. Tìm GTNN, GTLN của
f a x b y c z= + +
(chúng ta thử giải bằng phương pháp chọn tham
số)
HD:

( , , )
f a x b y c z ax by cz
Min a b c
= + + ≥ + +
≥
 Suy ra GTNN của f là Min(a,b,c)

(xem lại các bài trước).

( )
2
a a
a x xm x m
m m
= ≤ +

( )
2
b b
b y yn y n
n n
= ≤ +

( )
2
c c
c z zp z p
p p
= ≤ +

2 2 2
2 2 2
c p
ax by cz a m b n
f
m n p
≤ + + + + +

 Ta chọn:

2 2 2
a b c
t
m n p
= = =
2
a b c
t
m n p
⇒ = = =
2 2 2
2
4
a b c
t
m n p
⇒ = = =
 Khi đó :
2
a m b n c p
f t
+ +
≤ +
 Dấu đẳng thức xảy ra khi
, , 1x m y n z p m n p= = = ⇒ = + +
 Mà
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2

4
a b c a b c
t a b c
m n p m n p
+ +
= = = = = + +
+ +
2 2 2
2t a b c⇒ = + +
 Tính m,n,p:
2 2
2 2 2 2
4
a a
x m
t a b c
= = =
+ +
2 2
2 2 2 2
4
b b
y n
t a b c
= = =
+ +
2 2
2 2 2 2
4
c c

z p
t a b c
= = =
+ +
 GTLN của f là:
2 2 2
f a x b y c z a b c= + + = + +
13. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0,
c>0. Tìm GTNN, GTLN của
3
3
3
f a x b y c z= + +
.
HD:
 GTNN của f vẫn là Min(a,b,c)
 Với GTLN, chúng ta giải như bài
trước với chú ý ban đầu là:
3 3
3 2 3 2
( 2 )
. .
3
a a x m
a x x m m
m m
+
= ≤
 Kết quả : GTLN của f là
2

3
( )a a b b c c+ +
Ở bài 11 chúng ta có nói đến BĐT Bunhiacopski,
nhân đây, sử dụng kiến thức THPT ta nêu một cách
chứng minh “ngắn gọn” của nó:
14. Cho 2 dãy số (a
n
) và (b
n
) bất kỳ. Chứng minh
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2

.
n n
n n
a b a b a b
a a a b b b
+ + +
≤ + + + + + +
HD:
 Chứng minh cho n=3, mở rộng cho
n≥2
 Đặt
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a a b b b= =
r r

( )

. . . cos , .a b a b a b a b= ≤
urr r r r r r r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a b a b a b
a a a b b b
+ +
≤ + + + +
 Dấu đẳng thức xảy ra khi
( )
cos , 1a b = ±
r r
tức là
1 2 3 1 2 3
: : : :a a a b b b=
15. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x+y+z=1. Cho a>0, b>0,
c>0. Tìm GTNN, GTLN của
3
3 2 2 2
3
f a x b y c z= + +
.
HD:

3 2 3 2
3 3
(2 )
3

a a x m
a x x m
m m
+
= ≤

2 2
3 3
3 3
(2 )
3
b b y n
b y y n
n n
+
= ≤

3
2 2
3
3 3
(2 )
3
c c z p
c z z p
p p
+
= ≤
 Suy ra :
3 3

3
(2 ) (2 ) (2 )
3 3 3
a x m b y n c z p
f
m n p
+ + +
≤ + +
 Ta chọn:
3 3
3
2 2 2
3 3 3
a b c
t
m n p
= = =
3 3
3
3
2
t a b c
m n p
⇒ = = =
3 3 3 3 3 3 3
27
8
t a b c a b c
m n p m n p
+ +

⇒ = = = =
+ +
 Khi đó:
3 3
3
( )
3 3 3
am bn cp
f t x y z
m n p
≤ + + + + +
3 2 3 2 2
3
3
a m b n c p
f t
+ +
⇒ ≤ +
 Dấu đẳng thức xảy ra khi:
, , 1x m y n z p m n p= = = ⇒ + + =
3 3 3 3
3 3 3
27
8
t a b c
a b c
m n p
+ +
⇒ = = + +
+ +

3 3 3 3
3
2
t
a b c⇒ = + +
 Suy ra:
3
3
3 3 3
2
3
a a
x m
t a b c
 
= = =
 ÷
+ +
 
3
3 3 3
b
y n
a b c
= =
+ +
3
3 3 3
c
z p

a b c
= =
+ +
3 3 3 3
f a b c= + +
Chúng ta thử nhìn lại một số BĐT đã ra thi TSĐH
16. (B-2009) Cho các số thực không âm x, y thay
đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2 2
S 4x 3y 4y 3x 25xy= + + +
HD:
 Nhận xét: vai trò giống nhau (đối
xứng) của x và y. S có dạng f(xy).

3 3 2 2
12( ) 16 34S x y x y xy= + + +
2 2 2 2
12( )( ) 16 34S x y x y xy x y xy⇒ = + + − + +
2 2 2
12( )(( ) 3 ) 16 34S x y x y xy x y xy⇒ = + + − + +
2
1 191
4
4 16
S xy
 
⇒ = − +
 ÷

 
 Với x≥0, y≥0 và x+y=1 suy ra
2
1
0
2 4
x y
xy
+
 
≤ ≤ =
 ÷
 

 Suy ra
1 1 3
4
4 4 4
xy− ≤ − ≤
2
1 191 25
0 4
4 16 2
xy
 
⇒ ≤ − + ≤
 ÷
 
 GTLN của S là
25

2
(khi
1
2
x y= =
)
và GTNN của S là 0 (khi x=0, y=1)
17. (A-2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay
đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +
HD:
2 2 2
2 2 2
x x xyz y y xyz z z xyz
P
y y z z z z x x x x y y
≥ + +
+ + +
2
2 2
2 2 2

y y
x x z z
P
y y z z z z x x x x y y
≥ + +
+ + +
Đặt:
1
( 2 4 )
9
2
1
2 ( 2 4 )
9
2
1
(4 2 )
9
x x a b c
a y y z z
b z z x x y y a b c
c x x y y
z z a b c

= − + +


= +



 
= + ⇒ = − +
 
 
= +
 

= + −


Suy ra:
2 2 4 2 4 4 2
9
a b c a b c a b c
P
a b c
− + + − + + −
 
≥ + +
 ÷
 
2
6 4
9
b a c c a b
P
a c b a b c
 
   
≥ − + + + + + +

 ÷
   
   
 
( )
2
6 4.3 3 2
9
P
≥ − + + =
Dầu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Đây là một bài toán hay nhưng chưa hẳn là khó!
18. (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và
thoả mãn
3
( ) 4 2x y xy+ + ≥
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
A 3 x y x y – 2 x y 1= + + + +
HD:

3
( ) 4 2x y xy+ + ≥
mà
2
( ) 4x y xy+ >=
suy ra
3 2

( ) ( ) 2 1x y x y x y+ + + ≥ ⇒ + ≥

( ) ( )
4 4 2 2 2 2
A 3 x y x y – 2 x y 1= + + + +
( ) ( )
4 4 4 4 2 2 2 2
3
A x y x y 2x y – 2 x y 1
2
= + + + + + +
( ) ( ) ( )
2
4 4 2 2 2 2
3 3
A x y x y – 2 x y 1
2 2
= + + + + +
Mà:
( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 4 4
2 ( )x y x y x y x y x y
+ = + − ≥ + − +
⇒
( )
2
4 4 2 2
1
2

x y x y+ ≥ +
⇒
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
A x y x y – 2 x y 1
4 2
= + + + + +
( ) ( )
2
2 2 2 2
9
A x y – 2 x y 1
4
= + + +
Đặt
( )
2
2
2 2
( ) 1
,
2 2
x y
t x y t
+
= + ≥ ≥
2
9

A f(t)= – 2 1
4
t t= +
.
9 9
f (t)= – 2 1 0
2 2
t
′
≥ − >
1 9
( )
2 16
Min A f
 
= =
 ÷
 
Bài toán trên sử dụng “tinh vi” các kỹ thuật biến
đổi:
2 2
2
2 2
2
2
( )
2
( ) 4
a b ab
a b

a b
a b ab
+ ≥
+
+ ≥
+ ≥
19. (B-2007) Cho x,y,z là 3 số thực dương hay
đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷
 ÷  ÷
 
   
HD:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +

 ÷
 ÷  ÷
 
   
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
P
yz zx xy
= + + + + +
2 2 2 2 2 2
2
x y z x y z
P
xyz
+ + + +
= +
( )
2 2 2
1 1
2
P x y z
xyz
 
= + + +
 ÷
 
( )
2 2 2
1 1 1

1
2
P x y z
xyz xyz
 
= + + + +
 ÷
 
2 2 2
3
3
2 2 2
1 1 9
9
2 2
P x y z
x y z
≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
GTNN của P là
9
2
20. (D-2007) Cho a≥b> 0. Chứng minh rằng :
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   

+ ≤ +
 ÷  ÷
   
HD:
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   
⇔
1 1
ln 2 ln 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   
⇔
ln(4 1) ln2 ln(4 1) ln 2
a b
a b
a b

+ − + −
≤
⇔
ln(4 1) ln(4 1)
a b
a b
+ +
≤
Đặt
ln(4 1)
( )
x
f x
x
+
=
,
2
4 ln4
ln(4 1)
4 1
( )
x
x
x
x
f x
x
− +
+

′
=
2
4 (ln4 ln(4 1)) ln(4 1)
( ) 0
(4 1)
x x x x
x
f x
x
− + − +
′
= <
+
Vậy f nghịch biến trên R
+
0<b≤a ⇒ f(a)≤f(b) . Bài toán được chứng minh
Bài luyện tập thêm: Chứng minh
1)
sin ( 0)x x x< >
2)
1 ( 0)
x
e x x> + >
3)
ln( 1) ( 0)x x x+ < >
sin 1 0
x
x x e x< < − ∀ >
ln( 1) 1 0

x
x x e x+ < < − ∀ >
21. (A-2006) Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi
và thoả mãn điều kiện
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + −
Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
HD:
Xét
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + −
Đặt
1 1
,u v
x y
= =
Ta được
2 2
1 1 1 1 1
x y y x xy
+ = + −
2 2

u v u v uv⇒ + = + −
( )
2
2
3( )
( ) 3
4
u v
u v u v uv
+
⇒ + − + = ≤
( )
2
4( ) 0 0 4u v u v u v⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤

3 3 2 2
3 3 3 3
( )( )x y x y x y xy
A
x y x y
+ + + −
= =
2 2
3 3 2 2
( )( ) 2x y x y xy x y xy
A
x y x y
+ + + +
⇒ = =
2

2 2
1 1 2
( ) 16A u v
xy
x y
⇒ = + + = + ≤
Dấu đẳng thức xảy ra khi u=v=2 tức là
1
2
x y= =
22. (B-2006) Cho x , y là các số thực thay đổi
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 .A x y x y y= − + + + + + −
HD:
( 1; ), ( 1; ), (2;2 )u x y v x y u v y= + = − + + =
r r r r
2 2A u v y u v y= + + − ≥ + + −
r r r r
2
2 1 2A y y≥ + + −
(dấu đẳng thức xảy ra khi 2 véc tơ cùng hướng, x=0)
Đặt
2
2
2 1 2 ( 2)
( )
2 1 2 ( 2)
y y y
h y

y y y

+ + − ≥

=

+ − + ≤


Khảo sát
2
( ) 2 1 2 ( 2)f y y y y= + + − ≥
f đồng biến nên
( ) (2) 2 5f y f≥ =
Khảo sát
2
( ) 2 1 2 ( 2)g y y y y= + − + ≤
2
2
2 1
( )
1
y y
g y
y
− +
′
=
+
2

0, 2
3
( ) 0 2
3
1 2
y y
g y y
y y
≥ ≤


′
≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤

+ ≤


3
( ) 0
3
g y y
′
< ⇔ <
Suy ra
3
( ) 2 3
3
g y g
 
≥ = +

 ÷
 ÷
 
( ( )) (2 5;2 3) 2 3Min h y Min= + = +
( ) 2 3Min A = +
khi x=0,
3
3
y =
23. (A-2005) Cho x,y,z là các số dương thoả
mãn
1 1 1
4.
x y z
+ + =
Chứng minh rằng
1 1 1
1.
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
HD: Với a>0 và b>0
4 1 1
( )( ) 4
a b
a b a b ab
a b ab a b
+
+ + ≥ ⇒ ≤ = +
+

1 1 1 1 1 1
2 8 4( ) 8 16 16x y z x y z x y z
≤ + ≤ + +
+ + +
1 1 1 1
2 16 8 16x y z x y z
≤ + +
+ +
1 1 1 1
2 16 16 8x y z x y z
≤ + +
+ +
Cộng vế các BĐT suy ra:
+ +
+ + + + + +
≤ + + =
1 1 1
2x y z x 2y z x y 2z
1 1 1
1
4x 4y 4z
24. (B-2005) Chứng minh rằng với mọi x
∈
¡
, ta
có:
12 15 20
3 4 5 .
5 4 3
x x x

x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     

Khi nào đẳng thức xảy ra?.
HD:
12 15 12 15
2 . 2.3
5 4 5 4
x x x
x
     
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
15 20 15 20
2 . 2.5
4 3 4 3
x x x
x
     
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
20 12 20 12
2 . 2.4
3 5 3 5
x x x

x
     
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
Cộng vế rồi chia 2 vế cho 2:
12 15 20
3 4 5 .
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=0
25. (D-2005) Cho các số dương x,y,z thoả mãn
xyz=1. Chứng minh rằng :
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3.
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
Khi nào đẳng thức xảy ra?
HD:
3 3 2

1 3 3
3
x y xy xyz
z
xy xy xyz
+ +
≥ = =
3 3
1
3
y z
x
yz
+ +
≥
3 3
1
3
z x
y
zx
+ +
≥
+ + + +
+ +
+ +
≥ + +
≥ =
3 3 3 3
3 3

3
1 x y 1 y z
1 z x
xy yz zx
3x 3y 3z
3 27xyz 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
26. (A-2003) Cho x,y,z là ba số dương và x+y+z
1≤
. Chứng minh rằng
.82
111
2
2
2
2
2
2
≥+++++
z
z
y
y
x
x
HD:
1 1 1
; , ; , ;u x v y t z
x y z
 

   
= = =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
r r r
u v t u v t+ + ≥ + +
r r r r r r
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1
1 1 1
( )
A x y z
x y z
x y z
x y z
= + + + + +
 
≥ + + + + +
 ÷
 
( )
2
2
2
2 2

1 1 1
1 1 1
81( ) 80( )
B x y z
x y z
x y z x y z
x y z
 
= + + + + +
 ÷
 
 
= + + + + + − + +
 ÷
 
2
1 1 1
18( ) 80( )B x y z x y z
x y z
 
>= + + + + − + +
 ÷
 
2
3
3
1
18.9 80( )B xyz x y z
xyz
>= − + +

2
162 80( ) 162 80 82B x y z>= − + + ≥ − =
82A ≥
27. Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 3
3 3
3 3
3
2 2 2
4( ) 4( )
4( ) 2
p x y y z
x y z
z x
y z x
= + + + +
 
+ + + +
 ÷
 
HD:
3 3 3 3
3
3
4( ) 8 2x y x y xy+ ≥ =
3 3
3
4( ) 2y z yz+ ≥

3 3
3
4( ) 2z x zx+ ≥
2 2 2
2 2 2 2
x y z
p xy yz zx
y z x
 
≥ + + + + +
 ÷
 
3
3
1
6 12p xyz
xyz
 
≥ + ≥
 ÷
 ÷
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
PHẦN NÀY CHÚNG TA NGHIÊN CỨU
MỘT VÀI PHÁN ĐOÁN
KHI GIẢI TOÁN BĐT
*
(tài liệu biên soạn có tham khảo sách Những viên
kim cương trong BĐT Toán học, của thầy Trần
Phương)

A. Sự đối xứng các biến tham gia trong BĐT giúp
ta dự đoán cực trị thường đạt khi các biến bằng
nhau.
28. Cho x>0. Tìm GTNN của
1
f x
x
= +
(xem x và 1/x là 2 biến của f)
HD:
1
2 . 2, 2 1f x f x
x
≥ = = ⇔ =
Vậy GTNN của f là 2
29. Cho x>0. Tìm GTNN của
2
1
f x
x
= +
HD:
3
2 2
3
1 1 3
3 . .
2 2 2 2
4
x x x x

f
x x
= + + ≥ =
3
2
3
3 1
2
2
4
x
f x
x
= ⇔ = ⇔ =
Vậy GTNN của f là
3
3
4
30. Cho n nguyên và n≥2. Cho biến x>0. Tìm
GTNN của
1
n
f x
x
= +
HD:
1

n
x x x

f
n n n x
= + + + +
(n lần
x
n
)
1
1
1 1
( 1)
n
n
n
n n
x n
f n
n x
n
+
+
+
 
≥ + ≥
 ÷
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
1
n

n
x
x n
n x
+
= ⇔ =
GTNN của f là
1
1
n n
n
n
+
+
B. Khi cho các biến ban đầu bằng nhau mà không
thỏa điều kiện bài toán hay xảy ra mâu thuẫn thì
chúng ta phải dự đoán phương án khác, giá trị đặc
biệt có thể là “biên”trong tập hợp điều kiện của
biến.
31. Cho x≥2. Tìm GTNN của
1
f x
x
= +
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=2
Với x≥2 :
1 1
( ) (2) 2 0
2
f x f x

x
≥ ⇔ + − − ≥
2
2 5 2 0x x⇔ − + ≥
( 2)(2 1) 0x x⇔ − − ≥
(đúng với mọi x≥2)
Vậy GTNN của f là
5
2
khi x=2
32. Cho x>3. Tìm GTNN của
2
1
f x
x
= +
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=3
Với x≥3:
2
1 1
( ) (3) 3 0
9
f x f x
x
≥ ⇔ + − − ≥
3 2
9 28 9 0x x⇔ − + ≥
2
( 3)(9 3) 0x x x⇔ − − − ≥
(đúng với mọi x≥3)

Vậy GTNN của f là
28
9
khi x=3
33. Cho sốnguyên n≥2. Cho
1n
x k n
+
≥ >
. Tìm
GTNN của
1
n
f x
x
= +
HD: Dự đoán GTNN đạt được tại x=k.
Với x≥k:
1 1
( ) ( ) 0
n n
f x f k x k
x k
≥ ⇔ + − − ≥
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1 1
0
n n n n
x k
x k x x k x k k

− − − −
  
⇔ − + − + + + + ≥
 ÷ ÷
  
1 2 3 2 1
1 1 1 1 1
( ) 1 0
n n n n
x k
xk x x k x k k
− − − −
 
 
⇔ − − + + + + ≥
 ÷
 
 
 
1 2 3 2 1
( ) 1 1 1 1
0
n n n n
x k
xk
xk x x k x k k
− − − −
 
−
 

⇔ − + + + + ≥
 ÷
 
 
 
Ta có:
1 2 3 2 1
1 2
1
1 1
1 1 1 1

n n n n
n
n
n n
x x k x k k
n n
n xk
k
n
− − − −
+
−
+ −
+ + + +
≤ < = <
Suy ra f(x)≥f(k) đúng với mọi
1n
x k n

+
≥ >
GTNN của f là
1
n
k
k
+
khi x=k.
C. Có thể chứng minh kết quả trên bằng BĐT
Côsi? Với dự đoán “chọn tham số” hay “chọn
điểm rơi”
Dự đoán x=k và dùng Côsi cho n+1 số trong đó n số
x
m
(với m>0) và số
1
n
x
như sau:
1

n
x x nx
f x
m m x m
= + + + + −
(n số
x
m

)
1
1
( 1) 1
n
n
n
x n
f n x
m x m
+
   
≥ + + −
 ÷  ÷
   
Ta chọn m sao cho:
1 1
1
n n
n
x k
m x k
x
m x
+ +
=


⇒ = =


=


1
( 1) 1
1
( 1) 1
n
n n n
n
f n x
k k
+
+ +
 
≥ + + −
 ÷
 
Vì
1n
x k n
+
≥ >
nên
1n
n k
+
<
suy ra:
1

( 1) 1
1 ( )
n n n
n n
f k k f k
k k k
+
+
 
≥ + − = + =
 ÷
 
34. Cho a>0, b>0 và a+b≤1. Tìm GTNN của
1
f ab
ab
= +
HD:
2
1
2 4
a b
ab
+
 
≤ ≤
 ÷
 
. Đặt
1

x ab,0
4
x= < ≤
và
1
f x
x
= +
Ta chọn m>0 sao cho:
2
1
1
4
1
16
x
m x
x
m x

=


⇒ = =


=


1 1 15 17

16 15 2 16 . 15 8
4 4
f x x x x
x x
= + − ≥ − = − =
f đạt nhỏ nhất là
17
4
khi x=
1
4
35. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤
3
2
. Tìm GTNN
của
1 1 1
f a b c
a b c
= + + + + +
HD: Ta có thể phạm sai lầm:
3 3
3 3
1 1
3 3 6 . 6f abc abc
abc abc
≥ + ≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 nhưng khi đó
a+b+c=3>
3

2
(vô lý với gt)
Giải lại:
3
1
3 2
a b c
x abc
+ +
= ≤ ≤
Ta có:
3
3
1 1
3 3 3f abc x
x
abc
 
≥ + = +
 ÷
 
Dự đoán f đạt nhỏ nhất khi x=
1
2
(ứng với a=b=c=
1
2
). Ta chọn m>0 sao cho:
2
1

1
2
1
4
x
m x
x
m x

=


⇒ = =


=


1 1 9 15
3 4 3 3.2 4 . 9 12
2 2
f x x x x
x x
 
≥ + − ≥ − = − =
 ÷
 
Vậy GTNN của f là
15
2

khi a=b=c=
1
2
36. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤
3
2
. Tìm GTNN
của
2 2 2
2 2 2
1 1 1
f a b c
a b c
= + + + + +
HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c
1
2
3
3
1
3 2
a b c
abc
+ +
 
≤ ≤
 ÷
 
. Xét
2

2
1
a
a
+
, chọn m>0 sao
cho:
4
2
2
1
1
2
16
1
a
m
a
a
ma

=


⇒ = =


=



Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là
2
1
16a
và số a
2
:
16
2 2 2
17
2 2 2
1 1 1
16. 17
16 16
a a a
a a a
 
+ = + ≥
 ÷
 
15
17
2
32
2
17
1 17
2
a
a

a
−
⇒ + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2
15
17
2
32
2
17
1 17
2
b
b
b
−
+ ≥
,
15
17
2
32
2
17
1 17
2
c
c
c
−

+ ≥
Suy ra:
1
15 15 15 15 15 15
3
17 17 17 17 17 17
32 32
17 17
17 17
.3
2 2
f a b c a b c
− − − − − −
   
≥ + + ≥
 ÷  ÷
   
( )
15
5
17
17
32 32
17 17
3 17 3 17 3 17
.2
2
2 2
f abc
−

≥ ≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2
GTNN của f là
3 17
2
Chúng ta cũng có thể sử dụng BĐT véc tơ
u v t u v t+ + ≥ + +
r r r r r r
Với
1 1 1
; , ; , ;u a v b t c
a b c
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
r r r
Ta có :
( )
2
2
1 1 1
f a b c
a b c
 
≥ + + + + +
 ÷
 
2
3

2
3
1
3 ( )
( )
f abc
abc
≥ +
Chúng ta giải tiếp như các bài trước với
( )
2
2
3
1
3 4
a b c
x abc
+ +
 
= ≤ ≤
 ÷
 
1 1 15 1 15
3 3 3 2 .
16 16 16 16
x
f x x
x x x x x
≥ + = + + ≥ +
1 15 1 15 3 17

3 3
2 16 2 4 2
f
x
≥ + ≥ + =
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2
GTNN của f là
3 17
2
37. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c≤
3
2
. Tìm GTNN
của
2 2 2
2 2 2
1 1 1
f a b c
b c a
= + + + + +
HD: Chúng ta dự đoán GTNN xảy ra tại a=b=c
1
2
3
3
1
3 2
a b c
abc
+ +

 
≤ ≤
 ÷
 
Xét
2
2
1
a
b
+
, chọn m>0 sao cho:
2 2
2
2
1
1
2
16
1
a b
m
a b
a
mb

= =


⇒ = =



=


Ta dùng BĐT Côsi cho 17 số, trong đó 16 số là
2
1
16b
và số a
2
:
16
2 2 2
17
2 2 2
1 1 1
16. 17
16 16
a a a
b b b
 
+ = + ≥
 ÷
 
1 16
17 17
2
32
2

17
1 17
2
a b
a
b
−
⇒ + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=1/2
1 16
17 17
2
32
2
17
1 17
2
b c
b
c
−
⇒ + ≥
1 16
17 17
2
32
2
17
1 17
2

c a
c
a
−
⇒ + ≥
Suy ra:
1 16 1 16 1 16
17 17 17 17 17 17
32
17
17
2
f a b b c c a
− − −
 
≥ + +
 ÷
 
( )
15
5
17
17
32 32
17 17
3 17 3 17 3 17
2
2
2 2
f abc

−
≥ ≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2
GTNN của f là
3 17
2
38. Cho a>0, b>0, c>0 và
2 2 2
1a b c+ + =
. Tìm
GTNN của
1
f a b c
abc
= + + +
HD: Dự đoán:
1
a b c
3
= = =
và
1
.
a b c
m abc
= = =

2
1
9m

a bc
= =
Mặt khác
2 2 2 2
3
1
1 3 ( )
3 3
a b c abc abc= + + ≥ ⇒ ≤
4
1 8 1 8
4
9 9 9 9
f a b c abc
abc abc abc abc
= + + + + ≥ +
4 4 3 3 3.8
8 4 3
3 9
3
f abc≥ + ≥ + =
GTNN của f là
4 3
khi
1
a b c
3
= = =
39. Cho x>0, y>0 và
1x y+ =

. Tìm GTNN của
1 1
x y
f
x y
= +
− −
HD:

( )
x y x y
f y x x y
y x y x
= + = + + + − +
( )
2 2f x y x y x y≥ + − + = +
(1)
Mặt khác
1 1 1 1
( )
y x
f x y
y x x y
− −
= + = + − +
(2)
(1) và (2) cho ta:
2
4
4

1 1 2 2
2
2
f
x y xy
x y
≥ + ≥ ≥
+
 
 ÷
 
2 2 2 2f f≥ ⇒ ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
x y= =
40. Cho x>0, y>0, z>0. Tìm GTNN của
x y z y z z x x y
f
y z z x x y x y z
+ + +
= + + + + +
+ + +
HD:
4 4 4
3
4
x y z y z z x x y
f
y z z x x y x y z

y z z x x y
x y z
+ + +
= + + + + + +
+ + +
 
+ + +
+ + +
 ÷
 
6
6 . . . . .
4 4 4
3
4
x y z y z z x x y
f
y z z x x y x y z
y z z x x y
x y z
+ + +
≥ +
+ + +
 
+ + +
+ + +
 ÷
 
3
3

4
y z z x x y
f
x x y y z z
 
≥ + + + + + +
 ÷
 
6
3 9 15
3 .6 . . . . . 3
4 2 2
y z z x x y
f
x x y y z z
≥ + = + =
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z
GTNN của f là
15
2
41. Cho 4 số dương x,y,z,t. Tìm GTNN của
x y z t
f
y z t z t x t x y x y z
y z t z t x t x y x y z
x y z t
= + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + +

HD:
9 9 9 9
8
9
x y z t
f
y z t z t x t x y x y z
y z t z t x t x y x y z
x y z t
y z t z t x t x y x y z
x y z t
= + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + +
 
+ + + + + + + +
+ + + +
 ÷
 
8 4
1 8
8.
9
9
y z t z t x t
f
x x x y y y z
x y x y z
z z t t t


≥ + + + + + + + +



+ + + +
÷

8 8 8 32 40
.12
3 9 3 3 3
f ≥ + = + =
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t.
GTNN của f là
40
3
42. Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của
1 1
4 4
x y
f
y x
 
 
= + +
 ÷
 ÷
 
 
HD:

4
5
5
4
1
4 4 4
xy
x x y
y y y
+
+ = ≥
4
5
5
4
1
4 4 4
x y
y x y
x x x
+
+ = ≥
( )
5
5
25
25
16 16
xy
f

xy
≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y, GTNN của f là
25
16
43. Cho x>0, y>0, z>0. Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1
3 3 3
x y z
f
y z x
 
  
= + + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
HD:
2 3
5
5
2 2 3
1
3 3 3
x y
x x y
y y y
+

+ = ≥
2 3
5
5
2 2 3
1
3 3 3
y z
y y z
z z z
+
+ = ≥
5 2 3
2 2 3 5
1
3 3 3
z z x z x
x x x
+
+ = ≥
( )
5
5
125
125
27 27
xyz
f
xy
≥ =

Dấu đẳng thức khi x=y=z, GTNN của f là
125
27
44. Cho x>0. Tìm GTNN của
1
f x
x
= +
HD:
3
3
1 1 1 3
3
4
2 2 4
x
f x x
x
x x x
= + = + + ≥ =
Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
1 1
2 4
x x
x
= ⇔ =
GTNN của f là
3
3

4
45. Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của
2
3
3
x x y
f
x y x
 
+
= +
 ÷
+
 
HD: Dự đoán x=y. Đặt
3
x y
t
x
+
=
thì
2
1
f t
t
= +
Dự đoán
2
3

3
1
2
2
t
t m
m t
t

=

⇒ = =


=

2 2
3
1 1 3
2 2
4
t t
f t
t t
= + = + + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi t=
3
2
, tức là x=y
GTNN của f là

3
3
4
46. Cho a>0, b>0, c>0. Tìm GTNN của
4 4 4
a b c b c c a a b
f
b c c a a b a b c
+ + +
= + + + + +
+ + +
HD: Đặt
4
a
x
b c
=
+
,
4
b
y
c a
=
+
,
4
c
z
a b

=
+
Dự đoán
4
1
2
a b c x y z= = ⇒ = = =
2 2 2
1 1 1
f x y z
x y z
= + + + + +
2 2 2
1 1 1 1
1
2 2
x x
x
x kx k x
 
+ = + + + −
 ÷
 
3
2 2
1 1 1 1
3 1
4
x
x k k x

 
+ ≥ + −
 ÷
 

với
4
2 3
1 2
2 8
2
x
k
kx x
= ⇒ = =
3
2 2 2
4
4 4 4
1 1 1 1 3 1 1
3 1 1
8 8 2 8 2 2 2 8
x
x x x
   
+ ≥ + − = + −
 ÷  ÷
   
Tương tự với y và z, suy ra
2 2 2

4
4
9 1 1 1 1
1
2 2 2 8
f
x y z
 
 
≥ + − + +
 ÷
 ÷
 
 
6
3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 ( )( )( )
3 3
a b b c c a
x y z x y z abc
+ + +
+ + ≥ =
6
2 2 2
1 1 1 8
3 3 2
ab bc ca
x y z abc
+ + ≥ =

Suy ra
4 4
4
9 1 3
1 3 2 3 2
2 2 2 8 2
f
 
≥ + − = +
 ÷
 
GTNN của f là
4
3
3 2
2
+
khi a=b=c
D. Phán đoán để biến đổi từ “Tích” sang “Tổng”
47. Cho a>0, b>0 và a+b=2. Tìm GTLN của
2 2f a b= + + +
HD: Dự đoán a=b=1
( )
1
2 2 (2 ).3 (2 ).3
3
f a b a b= + + + = + + +
1 2 3 2 3 6
2 3
2 2

3 3
a b
f
+ + + +
 
≤ + = =
 ÷
 
GTLN của f là
2 3
khi a=b=1
48. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN
của
f a b b c c a= + + + + +
HD: Dự đoán a=b=c=1
( ) ( )
( )
1
2 2 ( )2
2
1 2 2 2
3 2
2
2
f a b b c c a
a b b c c a
= + + + + +
+ + + + + + + +
 
≤ =

 ÷
 
GTLN của f là
3 2
khi a=b=c=1
49. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3. Tìm GTLN
của
3 3 3
f a b b c c a= + + + + +
HD: Dự đoán a=b=c=1
( )
3 3 3
3
3
3 3
1
( )2.2 ( )2.2 ( )2.2
4
1 4 4 4 6
3 2
3
4 4
f a b b c c a
a b b c c a
= + + + + +
+ + + + + + + +
 
≤ = =
 ÷
 

GTLN của f là
3
3 2
khi a=b=c=1
50. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3, n là số
nguyên và n≥2 . Tìm GTLN của
n n n
f a b b c c a= + + + + +
HD: Dự đoán a=b=c=1
(
)
1 1 1
3 3
1
1
1
1
( )2 ( )2 ( )2
2
1 2( 1) 2( 1) 2( 1)
2
6 6( 1)
3 2
2
n n n
n
n
n
n
n

n
n
n
f a b b c c a
a b n b c n c a n
n
n
n
− − −
−
−
−
= + + + + +
+ + − + + + − + + + −
 
≤
 ÷
 
+ −
= =
GTLN của f là
3 2
n
khi a=b=c=1
51. Cho a>0, b>0, c>0 và a+b+c=3 . Tìm GTLN
của
3 3 3
( ) ( ) ( )f a b c b c a c a b= + + + + +
HD: a=b=c=1
( )

3 3 3
3
1
2.2 ( ) 2.2 ( ) 2.2 ( )
4
f a b c b c a c a b= + + + + +
3
3
3
1 2 2 2 2 2
3
4
6
3 2
4
a b c b c a c a b
f
+ + + + + + + + + +
 
≤
 ÷
 
= =
GTLN của f là
3
3 2
khi a=b=c=1
52. Cho a>0, b>0, c>0 và
2 2 2
3a b c+ + =

. Tìm
GTLN của
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
) ) )f a b c b c a c a b= + + + + +
HD: Dự đoán a=b=c=1
( )
3
3 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2
6
6
3
2 2 2 2 2 2
3 3
1
( ) 2 ( ) .2
4
1 6 2 2 2 1 3 1
6 3
4 4
a b c a b c a b c
a b c a b c
+ = + = +
   
+ + + + + +
≤ =
 ÷  ÷
   
Tương tự với 2 số hạng còn lại, suy ra
2 2 2

3
3 3
1 5 5 5 3 6
3 2
3
4 4
a b c
f
 
+ + +
≤ = =
 ÷
 
GTLN của f là
3
3 2
khi a=b=c=1
53. Cho a≥2, b≥3, c≥4. Tìm GTLN của
3
4
2 3 4a b c
f
a b c
− − −
= + +
HD:
2( 2)
2 1 1 2 2 1
.
2

2 2 2 2
a
a a
a a a
−
− + −
 
= ≤ =
 ÷
 
3
3
3 3 3
3 3
3 3
. ( 3)
3
3 4 4 1 4
2 2
2 2
.
9 9 3 3 9
b
b
b
b b b
 
−
+ + −
 ÷

−
= ≤ =
 ÷
 ÷
 
4
4
4 4 4
4 4 4
. . ( 4)
4 27 27 4 4 1 27
3 3 3
.
64 64 4 4 64
c
c c
c c c
−
− + −
 
= ≤ =
 ÷
 
3
4
3 3
1 4 27
2 2 3 9 4 64
f ≤ + +
GTLN của f là

3
4
3 3
1 4 27
2 2 3 9 4 64
+ +
Khi a=4, b=9/2, c=16/3
54. Chứng minh:
2 2
1 1 2
2 2
+ + − <
HD:
2
1 1
2 2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 4
+ +
 
+ = + < = +
 ÷
 ÷
 
2
1 1
2 2 2
2
1 1 1 1

2 2 2 4
− +
 
− = − < = −
 ÷
 ÷
 
2 2
1 1 2
2 2
⇒ + + − <
55. Giải:
3 3
3 3
1 1 2
3 3
x x
+ + − =
HD:
3
3 3 3
3
3
1 2
3
1 1 1.1 1
3 3 3 9
x
x x x
+ +

 
+ = + ≤ = +
 ÷
 ÷
 
3
3 3 3
3
3
1 2
3
1 1 1.1 1
3 3 3 9
x
x x x
− +
 
− = − ≤ = −
 ÷
 ÷
 
3 3
3 3
1 1 2
3 3
x x
⇒ + + − ≤
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi x=0
56. Chứng minh
1 1 2

n n
n n
n n
n n
+ + − <
HD:
2
1 1
1 1 .1.1 1 1
n
n n n
n
n
n
n
n n n
n
n n n n
+ + −
 
+ = + < = +
 ÷
 ÷
 
2
1 1
1 1 .1.1 1 1
n
n n n
n

n
n
n
n n n
n
n n n n
− + −
 
− = − < = −
 ÷
 ÷
 
1 1 2
n n
n n
n n
n n
⇒ + + − <
57. Chứng minh
3
2 1 3 1 1
1 1
2 3
n
n
S n
n
+ + +
= + + + + < +
HD:

2
1
1
1 1 1
.1.1 1 1
k
k
k
k
k k
k
k k k k
+
+ −
+ +
 
= < = +
 ÷
 
Suy ra
2 2 2
1 1 1
1 1
2 3
S n
n
< + − + + + +
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)

S n
n n
< + + + +
−
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 3 1
S n n n
n n n
< + − + − + + − = + − > +
−
58. Cho 0≤a≤b≤1. Chứng minh
1 1
(1 )(1 )
2
a b
a b
≥ + − −
+
HD:
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
2 2( )
a b
a b a b
a b a b
− + −
≥ + − − ⇔ − − ≤
+ +
(1)

Mà
1 1 2(1 ) 1
2( ) 2( )
a b a a
a b a b a b
− + − − −
≤ =
+ + +
Để CM (1) ta CM:

1
(1 )(1 ) (1 )( ) 1
a
a b b a b
a b
−
≥ − − ⇔ − + ≤
+
Ta có:
2
2
1 (1 )
(1 )( ) 1
2 4
b a b a
b a b
− + + +
 
− + ≤ ≤ ≤
 ÷

 
59. Cho 0≤a≤b≤c≤1. Chứng minh
1 1
(1 )(1 )(1 )
3
a b c
a b c
≥ + − − −
+ +
HD:
1 1
(1 )(1 )(1 )
3
a b c
a b c
≥ + − − −
+ +
1 1
(1 )(1 )(1 )
3
a b c
a b c
⇔ − − − ≤ −
+ +
1 1 1
(1 )(1 )(1 )
3( )
a b c
a b c
a b c

− + − + −
⇔ − − − ≤
+ +
(1)
Mà
1 1 1 3(1 ) 1
3( ) 3( )
a b c a a
a b c a b c a b c
− + − + − − −
≥ =
+ + + + + +
Để CM (1) ta CM:
1
(1 )(1 )(1 )
a
a b c
a b c
−
≥ − − −
+ +
1
(1 )(1 )b c
a b c
⇔ ≥ − −
+ +
(1 )(1 )( ) 1b c a b c⇔ − − + + ≤
Ta có:

3

3
1 1
(1 )(1 )( )
3
2
1
3
b c a b c
b c a b c
a
− + − + + +
 
− − + + ≤
 ÷
 
+
 
= ≤
 ÷
 
E. Phán đoán sự “hạ bậc cho kết quả cùng bậc với
bậc ở vế phải”
→
cần thêm các đại lượng tương
ứng vào vế trái
60. Chứng minh
2 2 2
x y z xy yz zx+ + ≥ + +
HD:

2 2 2 2
2 2
2 , 2 ,
2
x y xy y z yz
z x zx
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra kết quả cần CM.
61. Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì
2 2 2
x y z x y z+ + ≥ + +
HD:

2 2
2
1 2 , 1 2 ,
1 2
x x y y
z z
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
2 2 2
( ) ( ) 3x y z x y z x y z+ + ≥ + + + + + −
Và
3
3 3x y z xyz+ + ≥ =
. Suy ra kết quả cần CM.
62. Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì

3 3 3 2 2 2
x y z x y z+ + ≥ + +
HD:

3 2 3 2
3 2
2 , 2 ,
2
x x x y y y
z z z
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra

3 3 3 2 2 2 2 2 2
( ) ( )x y z x y z x y z x y z+ + ≥ + + + + + − + +
Do kết quả bài trước
2 2 2
x y z x y z+ + ≥ + +
Suy ra điều cần CM.
63. Chứng minh với x,y,z>0 và xyz=1 thì
4 4 4 3 3 3
x y z x y z+ + ≥ + +
HD:
4 2 3 4 2 3
4 2 3
2 , 2 ,
2
x x x y y y
z z z

+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra

4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2
( ) ( )x y z x y z x y z x y z+ + ≥ + + + + + − + +
Do kết quả bài trước
3 3 3 2 2 2
x y z x y z+ + ≥ + +
Suy ra điều cần CM.
F. Phán đoán sự “cùng bậc ở 2 vế”
→
cần thêm
các đại lượng cùng bậc tương ứng vào vế trái
64. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3
a b c
b c a
+ + ≥
HD:
3
3 3
a b c abc
b c a bca
+ + ≥ =
65. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a

+ + ≥ + +
HD:
2 2
2 2
2
2
2 2
1 , 1 ,
2
1
a a b b
b b c c
c c
a a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
2 2 2
2 2 2
3
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
 
+ + ≥ + + + + + −
 ÷
 
Do kết quả bài trước
3
a b c
b c a

+ + ≥
Suy ra điều cần CM.
66. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
HD:
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
2 2
, ,
2
a a a b b b
b b b c c c
c c c
a a a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c a b c
b c a b c a b c a b c a
 
 
+ + ≥ + + + + + − + +

 ÷
 ÷
 
 

Do kết quả bài trước
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
Suy ra điều cần CM.
67. *Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
HD:
3 3 2 2
( )( ) ( )a b a b a b ab a b ab+ = + + − ≥ +
3 3
1 1
( ) ( )
c
a b abc a b ab abc abc a b c
≤ =
+ + + + + +
⇒
3 3

1
( )
a
b c abc abc a b c
≤
+ + + +
⇒
3 3
1
( )
b
c a abc abc a b c
≤
+ + + +
⇒
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
Một bài toán đẹp.
68. *Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3
2( )
1 1 1 2
a b c a b c
b c a
abc
+ +
   

+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
   
HD: Đưa về dạng tương đương
3
2( )a b c b c a a b c
b c a a b c
abc
+ +
   
+ + + + + ≥
 ÷  ÷
   
*
2
3
3
3
3
a a b a a
b b c bc
abc
+ + ≥ =
3
3b b c b
c c a
abc
+ + ≥
và
3

3c c a c
a a b
abc
+ + ≥
⇒
3
a b c a b c
b c a
abc
+ +
+ + ≥
*Tương tự
3
b c a a b c
a b c
abc
+ +
+ + ≥
*Cộng vế, suy ra kết quả cần CM.
Một bài toán đẹp
69. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
HD:
2 2
2
2 , 2 ,

2
a b
b a c b
b c
c
a c
a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
70. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
HD:
3 2 3 2
2 2
3 2
2
2 2
, ,
2
a a b b

a b
b b c c
c c
c
a a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra

3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( )
a b c a b c a b c
a b c
b c a b c a b c a
 
+ + ≥ + + + + + − + +
 ÷
 
Do kết quả bài trước
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
Suy ra điều cần CM.
71. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3
a b c
a b c

ba ca ab
+ + ≥ + +
HD:
3 3
3
3 , 3 ,
3
a b
b c a c a b
bc ca
c
a b c
ab
+ + ≥ + + ≥
+ + ≥
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
72. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
HD:
3 3
2 2
3
2
2 , 2 ,
2

a b
ab a bc b
b c
c
ca c
a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra

3 3 3
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a b c
a b c a b c ab bc ca
b c a
+ + ≥ + + + + + − + +
Mà
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
nên bài toán được CM.
73. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
4 4 4 3 3 3
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
HD:
4 3 4 3
2 2

2 2
4 3
2
2
2 2
, ,
2
a a b b
a b
b b c c
c c
c
a a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
( )
4 4 4 3 3 3 3 3 3
2 2 2
2 2 2
a b c a b c a b c
a b c
b c a b c a b c a
 
+ + ≥ + + + + + − + +
 ÷
 
Do kết quà bài trước:
3 3 3
2 2 2

a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
Suy ra kết quả cần CM.
74. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b b c c a
+ + ≥ + +
HD:
3 3 3 2 3 3 3 2
3 3 3 2
1 1 1 3 1 1 1 3
, ,
1 1 1 3
a a b a b b b c b c
c c a c a
+ + ≥ + + ≥
+ + ≥
Cộng các vế suy ra kết quả cần CM.
75. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
4 4 4 3 3 3
1 1 1a b c
b b c a b c
+ + ≥ + +
HD:
4 2 3 4 2 3
4 2 3
1 2 1 2

, ,
1 2
a b
b ab b c bc c
c
a ca a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c
b b c a b c a b c ab bc ca
   
+ + ≥ + + + + + − + +
 ÷  ÷
   
Do kết quả bài trước
3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b b c c a
+ + ≥ + +
Suy ra kết quả cần CM.
76. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
2 2 2
5 5 5 4 4 4
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
HD:
2 2

5 3 4 5 3 4
2
5 3 4
1 2 1 2
, ,
1 2
a a b b
b b b c c c
c c
a a a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Suy ra
2 2 2
5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3
1 1 1a b c a b c a b c
b c a b c a b c a a b c
 
 
+ + ≥ + + + + + − + +
 ÷
 ÷
 
 
Do kết quả bài trước
4 4 4 3 3 3
1 1 1a b c
b b c a b c
+ + ≥ + +
Nên bài toán được CM.

77. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
2 2 2
5 5 5 3 3 3
1 1 1a b c
b c a a b c
+ + ≥ + +
HD:
Sử dụng kết quả 2 bài trước
2 2 2
5 5 5 4 4 4
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
và
4 4 4 3 3 3
1 1 1a b c
b b c a b c
+ + ≥ + +
Suy ra điều cần CM.
78. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
2 2 2
1 1 1a b c
b c a a b c
+ + ≥ + +
HD:
2 2
2
1 2 1 2
, ,
1 2

a b
b a b c b c
c
a c a
+ ≥ + ≥
+ ≥
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
79. Cho a>0, b>0. Chứng minh
1 3
1 1 2
a b
a b b a
+ + ≥
+ + +
HD:
1
1 1
a b
M
a b b a
= + +
+ + +
1
1 1
a b
A
a b b a
= + +
+ + +
1

1 1
b a
B
a b b a
= + +
+ + +
A+B=3
1 1
3
1 1
a a b b
M A
a b b a
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
(Côsi cho 3 số)
1 1
3
1 1
b a b a
M B
a b b a
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
Vậy M+A≥A+B ⇒ M≥B và M+B≥A+B ⇒ M≥A
Suy ra
3
2 2

A B
M
+
≥ =
80. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
HD:
c a b
M
a b b c c a
= + +
+ + +
a b c
A
a b b c c a
= + +
+ + +
c
b c a
B
a b b c a
= + +
+ + +
A+B=3
3

a c a b b c
M A
a b c b c a
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
(Côsi cho 3 số)
3
b c a c b a
M B
a b c b c a
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
Vậy M+A≥A+B ⇒ M≥B và M+B≥A+B ⇒ M≥A
Suy ra
3
2 2
A B
M
+
≥ =
81. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
( )
3 3 3
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2( )
3
a b c

a b c
a b c abc
+ +
 
+ + + + ≥ +
 ÷
 
HD:
Triển khai và rút gọn, bài toán thành
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2a a b b c c a b c
b c a c a b bc ca ab
+ + + + + ≥ + +
BĐT đúng vì:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
, ,
a a a b b b c c c
b c bc a c ca a b ab
+ ≥ + ≥ + ≥
82. *Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng
minh
( ) ( ) ( )
4 4 4
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
f ab bc ca
a a b c b b c a c c a b

+ − + − + −
= + + ≥ + +
+ − + − + −
HD:
Xét một số hạng của vế trái, tương tự cho 2 số hạng
còn lại rồi cộng vế.
( )
4
2
2 2 2
( ) 2( )
( )
2( ) 4 4 4
b c a
a a b c b c a
a a b c
a b c bc ba ca
+ −
+ + − ≥ + −
+ −
= + + + − −
( )
4
2 2 2
2 2 5 4 3
( )
b c a
a b c ab bc ac
a a b c
+ −

≥ + + − + −
+ −
( )
4
2 2 2
2 2 3 5 4
( )
c a b
a b c ab bc ac
b b c a
+ −
≥ + + − − +
+ −
( )
4
2 2 2
2 2 4 3 5
( )
a b c
a b c ab bc ac
c c a b
+ −
≥ + + + − −
+ −
Cộng vế
2 2 2
5( ) 4( )f a b c ab bc ac≥ + + − + +
5( ) 4( )f ab bc ca ab bc ac ab bc ca≥ + + − + + = + +
83. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3 2 2 2

a b c ab bc ca+ + ≥ + +
HD:
3 3 3 2
2a b b ab+ + ≥
3 3 3 2
2b c c bc+ + ≥
3 3 3 2
2c a a ca+ + ≥
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
84. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3 2 2 2
a b c ba cb ac+ + ≥ + +
HD:
Chứng minh tương tự bài trên
85. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
4 4 4 3 3 3
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
HD:
4 4 4 4 3
4b b b a ab+ + + ≥
4 4 4 4 3
4c c c b bc+ + + ≥
4 4 4 4 3
4a a a c ca+ + + ≥
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
86. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a+ + ≥ + +
HD:
Chứng minh tương tự bài trên

87. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
5 5 5 3 2 3 2 3 2
a b c a b b c c a+ + ≥ + +
HD:
5 5 5 5 5 3 2
5a a a b b a b
+ + + + ≥
5 5 5 5 5 3 2
5b b b c c b c+ + + + ≥
5 5 5 5 5 3 2
5c c c a a c a+ + + + ≥
Cộng vế suy ra kết quả cần CM.
88. Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k là các số nguyên
dương. Chứng minh
n k n k n k n k n k n k
a b c a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
HD:
( )
( ) ( )
( )
n k n k n k n n k k n k n k
na kb n k a b n k a b
+ + + + +
+ ≥ + = +
( )
n k n k n k
nb kc n k b c
+ +

+ ≥ +
( )
n k n k n k
nc ka n k c a
+ +
+ ≥ +
Suy ra
( )( ) ( )( )
n k n k n k n k n k n k
n k a b c n k a b b c c a
+ + +
+ + + ≥ + + +
Suy ra
n k n k n k n k n k n k
a b c a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
89. Cho a>0, b>0. Chứng minh
4
4 4
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
HD:
4 4.3 3
4 4
4

3 4 4
2 2 2
a b a b a b
a a a
+ + +
     
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
4 4.3 3
4 4
4
3 4 4
2 2 2
a b a b a b
b b b
+ + +
     
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
Suy ra
4 3
4 4
6 4( )
2 2
a b a b
a b a b
+ +
   

+ + ≥ +
 ÷  ÷
   
⇒
4
4 4
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
90. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
2
2 2 2
3 3
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 
HD:
2
2
2 .
3 3
a b c a b c
a a
+ + + +
 

+ ≥
 ÷
 
2
2
2 .
3 3
a b c a b c
b b
+ + + +
 
+ ≥
 ÷
 
2
2
2 .
3 3
a b c a b c
c c
+ + + +
 
+ ≥
 ÷
 
Suy ra
2
2 2 2
3 2( )
3 3

a b c a b c
a b c a b c
+ + + +
 
+ + + ≥ + +
 ÷
 
⇒
2 2
2 2 2
2
3 3 3
a b c a b c a b c+ + + + + +
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
⇒
2
2 2 2
3 3
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 
91. Cho a>0, b>0. nnguyên,n≥2. Chứng minh
2 2
n
n n

a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
HD:
( 1) 1
( 1)
2 2 2
n n n n
n n
n
a b a b a b
a n n a na
− −
+ + +
     
+ − ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
( 1) 1
( 1)
2 2 2
n n n n
n n
n
a b a b a b
b n n b nb
− −
+ + +

     
+ − ≥ =
 ÷  ÷  ÷
     
Suy ra
1
2( 1) ( )
2 2
n n
n n
a b a b
a b n n a b
−
+ +
   
+ + − ≥ +
 ÷  ÷
   
⇒
2 2
n
n n
a b a b
+ +
 
≥
 ÷
 
92. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3

n
n n n
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 
HD:
1
( 1) .
3 3
n n
n
a b c a b c
a n na
−
+ + + +
   
+ − ≥
 ÷  ÷
   
1
( 1) .
3 3
n n
n
a b c a b c
b n nb
−
+ + + +

   
+ − ≥
 ÷  ÷
   
1
( 1) .
3 3
n n
n
a b c a b c
c n nc
−
+ + + +
   
+ − ≥
 ÷  ÷
   
Suy ra
1
3( 1) ( ).
3 3
n n
n n n
a b c a b c
a b c n n a b c
−
+ + + +
   
+ + + − ≥ + +
 ÷  ÷

   
⇒
( 1) .
3 3 3
n n
n n n
a b c a b c a b c
n n
+ + + + + +
   
+ − ≥
 ÷  ÷
   
⇒
3 3
n
n n n
a b c a b c+ + + +
 
≥
 ÷
 