Từ một bất đẳng thức đơn giản

từ một bất đẳng thức đơn giản
Ngời viết : Đỗ Đờng Hiếu
Giáo viên trờng THPT Hà Văn Mao
Bá Thớc Thanh Hóa
Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu
ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập
đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức
này.
Bài toán: Với hai số dơng x và y ta có:

)
11
(
4
11
yxyx
+
+
(1)
Đẳng thức xảy ra khi x=y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đa ra hai cách chứng minh
phổ biến nhất.
Cách 1. Với hai số dơng x và y ta có:

)( yx
+
2

0
(x + y)
2

)
11
(
4
11
4
yxyx
xy
+
+

Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng ta có

yx
+
,2 xy


xy
yxyx
21
.
1
2
11
=+
Từ đó:
)( yx
+

(
)
11
(
4
11
4)
11
yxyxyx
+
+
+
Và đẳng thức xảy ra khi x=y.
Cho các số dơng a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

)
11
(
4
11
);
11
(
4
11
);
11
(
4
11

acaccbcbbaba
+
+
+
+
+
+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đợc:
Bài toán 1. Cho ba số dơng a, b, c, ta có:

)
111
(
2
1111
cbaaccbba
++
+
+
+
+
+
(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
* áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta đợc:

)
111
(
2

1
2
1
2
1
2
1
accbbabacacbcba
+
+
+
+
+

++
+
++
+
++
(3)
* Kết hợp (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dơng:

)
111
(
4
1
2
1

2
1
2
1
cbabacacbcba
++
++
+
++
+
++
(4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu thêm giả thiết
4
111
=++
cba
thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại
học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dơng:

accbbabacacbcba 3
1
3
1
3
1
2
1

2
1
2
1
+
+
+
+
+

++
+
++
+
++
(5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

cbaacbbaacbba
++
=
++++

++
+
+
2
2
)2()3(
4

2
1
3
1

acbbaccbbaccb
++
=
++++

++
+
+
2
2
)2()3(
4
2
1
3
1

baccbaaccbaac
++
=
++++

++
+
+

2
2
)2()3(
4
2
1
3
1
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
cba
cbaac
baccb
acbba
==





++=+
++=+
++=+
23
23
23
Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa
mãn đẳng thức sau:

2

.
2
.
2
.4
1
2
.
2
1
2
2
.
2
1
2
2
.
2
1
2
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A

tg
C
tg
A
tg
C
tg
B
tg
C
tg
B
tg
A
tg
=
+
+
+
+
+
Giải: Đặt
tgx
=
2
,
2
,
2
C

tgz
B
tgy
A
==
thế thì x, y, z dơng và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:

xyzxy
z
zx
y
yz
x
4
1
111
=
+
+
+
+
+
Ta có:

xyzxyz
zxyzxy
zyxzxxy
zy
yzzx

yx
yzxy
zx
xyzx
z
yzxy
z
zxyz
y
zxxy
y
yzzx
x
yzxy
x
xyzxyzxy
z
zxyzzxxy
y
yzzxyzxy
x
xy
z
zx
y
yz
x
4
1
4

111
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
)()()()()()(111
=
++
=








++=

+
+
+
+
+
+
+
+
=
=








+
+
+
+

+
+
+
+








+
+
+


+++
+
+++
+
+++
=
+
+
+
+
+

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0,
y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

111
+
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
Q
Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và







++=

+

+

=
cbac
c
b
b
a
a
Q
411
3
111
Theo bất đẳng thức (1) ta có:

3
1
3
8
3
3
816444
)
11
(
=
=
++
+
+

++
Q
cbacbacba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:





=
==






=
==






=++
=+
=
1
2

1
3
2
3
6
z
yx
c
ba
cba
cba
ba
Vậy :
3
1
=
MaxQ
đạt đợc khi





=
==
1
2
1
z
yx

Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

tx
xz
xz
zy
zy
y
yt
x
A
+

+
+

+
+

+
+

=
11
Với x, y, z, t là các số dơng.
Giải : Ta có:

04
)(4
4

4
)(
4
)(
4
11
)(
11
)(
4
4)1()1()1()1
1
(
=
+++
+++
=
=
+++
++
+++
+







+

+
+
++






+
+
+
+=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=+
+

++

+

++
+

++
+

=
tzyz
tzyx
tzyx
zt
tzyx
yx
txzy
zt
xzyt
yx
tx
tz
xz
xy
zy
zt
yt
yx
tx
xz
xz

zy
zy
yt
y
tx
A
Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tơng
tự:
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh các bất đẳng thức:







+
+
+
+
+

++
+
++
+
++

+
+
+
+
+

++
+
++
+
++
bcabcabacacbcba
accbbabacacbcba
2
1
2
1
2
1
2
1
32
1
32
1
32

1
/2
4
1
.
111
)(32
1
)(32
1
)(32
1
/1
Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn điều kiện abc
= ab + bc + ca thì:

96
17
32
1
32
1
32
1
<
++
+
++
+
++

bacacbcba
Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y
1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

xy
xy
yx
A 4
21
22
++
+
=
Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b,
AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

bac
ca
acb
bc
cba
ab
T
222
++
+
++
+

++
=
Bài 5.Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b,c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh
rằng:







++

+

+

cbacpbpap
111
2
111
***********************************