một số bài toán bất đẳng thức có giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.11 KB, 16 trang )
Một số bài toán về bất đẳng thức
Bài 1:
( ) ( ) ( )
cbaabc4cbba b)
cabcabcba a)
:có luônta c b, a, mọi vớirằng minh Chứng
22
222
++++
++++
Bài 2:
( )( )( )
abc8accbba
:có luônta c b, a, dong số mọi vớirằng minh Chứng
+++
Bài 3:
( )( )( )
24
S
1
18 :rằng minh Chứng .u uu uS ặt Đ
k 3; 2; 1; n với
3n2n1nn
1
u
:sau nhdịnh xác ợcĐ u , ,u,u số Dãy
k321
n
n21
<++++=
=
+++
=
Giải:
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
.18
S
1
18
1
S
6
1
3k2k1k
1
6
1
3k2k1k
1
2k1kk
1
5.4.3
1
4.3.2
1
4.3.2
1
3.2.1
1
S3 :Vậy
3n2n1n
1
2n1nn
1
3
1
3n2n1nn
3
.
3
1
3n2n1nn
1
u :có
.24
S
1
24
1
uS cóta 1 kVới
n
k
><<
+++
=
+++
++
+
+
+
=
+++
++
=
+++
=
+++
=
=
Bài 4:
( )
cba
cba3
ac
ac
cb
cb
ba
ba
:có luônta c b, a, dong số mọi vớiminh Chứng
222222222
++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
Giải:
1
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
óng§0
cbac
abab
caba
bcbc
cbba
acac
cba
ac
acb
cb
cba
ba
bac
cba3
ac
ac
cb
cb
ba
ba
cbaTB§
222
222
222222
222
222222
≥
++
−
+
++
−
+
++
−
⇔
++≤
+
+
+
+
+
+
+
+
⇔
++≤
+
+
+
+
+
+
+
+
++⇔
Bµi 5:
2ba c) 2ba b) 2ba a)
:r»ng minh Chøng .2ba Cho
884422
≥+≥+≥+
=+
Bµi 6:
1
:r»ng minh Chøng .2 Cho
2222
≥+++
=+++
dcba
dcba
Gi¶i:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )
8dcba
dcba1111dcba4
:2C
1dcba4dcbadcba4
cdbdbcadacab2dcbadcba4
cdbdbcadacab2dcba3 :cãta vÕ víi vÕCéng
; ad2ad;cd2dc;bc2cb :cã:C1
2
222222222222
2222
2
2222
22222222
2222
222222
=+++≥
++++++=+++
≥+++⇔=+++≥+++⇔
+++++++++≥+++⇔
+++++≥+++
≥+≥+≥+
Bµi 7:
2
25
b
1
b
a
1
a
:r»ng minh Chøng .1ba m·ntho¶ b a, dong sè haiCho
22
≥
++
+
=+
Gi¶i:
2
25
2
ba
4
2
2
b
1
a
1
2
2
b
1
b
a
1
a
b
1
b
222
22
=
+
+
≥
++
=
+++
≥
++
+
a
1
a
2
Bài 8:
.abc16ba
:rằng minh Chứng .1cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho
+
=++
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
abc16baab4ba :có lại
cba4bacba4cba1 Có
2
22
++
+++++=
Bài 9:
abcba
:rằng minh Chứng .4cba :mãnthoả a, b, c ngod sốba Cho
+
=++
Bài 10:
c
1
b
1
a
1
bca
ac
abc
cb
cab
ba
:thức dẳngbất minh Chứng
222
++
+
+
+
+
+
+
+
+
Bài 11:
3
4
c,b,a0 :rằng minh Chứng
2cba
2cba
:mãnthoả c b, a, sốba Cho
222
=++
=++
Giải:
( )
( )
( )
( )
3
4
c0 ;
3
4
b0 :tự ngoT
3
4
a00a4a3a2a22cbcb2
2
2
2
2
22
++
Bài 12:
[ ]
( )
( )
222
2
cba4cba1
:có luônta 0;1c b, a, mọi vớirằng minh Chứng
+++++
Giải:
( ) ( )
( )
( )
222
2
222
2
cba4cba1 :Vậy
cc;bb;aa :có lại
cba4cba1
+++++
+++++
Bài 13:
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
>
ca
b
cb
a
ba
c
2
b
ac
a
cb
c
ba
0cb,a, mọi vớirằng minh Chứng
Giải:
( )
++
++
+=
++
++
+
+
+
+
+
+
++
b
1
a
1
2
c
c
1
a
1
2
b
b
1
c
1
2
a
a
b
a
c
2
1
a
c
a
b
2
1
c
b
c
a
2
1
b
ac
a
cb
c
ba
:cóta yx2yx :thức dẳngbất dụng áp
( )
( ) ( ) ( )
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
cb
a
ca
b
ba
c
2
ba2
c22
ca2
b22
cb2
a22
ba
c22
ca
b22
cb
a22
:cóta yx2yx:thức ẳngdbất dụng áp lại
ba
c22
ca
b22
cb
a22
b
1
a
1
2
c
c
1
a
1
2
b
b
1
c
1
2
a
:cóta
yx
4
y
1
x
1
:thức dẳngbất dụng áp
Bài 14:
( )( ) ( )( ) ( )( )
4
3
b1a1
c
c1a1
b
c1b1
a
:rằng minh Chứng .1abc :mãnthoả a, b, c ngod số các Cho
333
++
+
++
+
++
=
Giải:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
4
b3
8
c1
8
a1
c1a1
b
o
4
a3
c1b164
c1b1a
.3
8
c1
8
b1
c1b1
a
d
3
3
33
+
+
+
+
++
=
++
++
+
+
+
+
++
:tự ngT
:ợcta Cosi thức dẳngbất dụng áp
4
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
3
2
abc.3
2
cba
4
3
b1a1
c
c1a1
b
c1b1
a
4
c3
8
b1
8
a1
b1a1
c
3
333
3
=
++
+
++
+
++
+
++
+
+
+
+
++
:cóta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng
Bài 15:
.
512
729
c
1
1
b
1
1
a
1
1 :rằng minh Chứng
6.cba :mãnthoả c b, a, dong thực sốba Cho
333
+
+
+
=++
Bài 16:
.
2
cba
ba
c
ca
b
cb
a
:thức dẳngbất minh Chứng dong. số cáclà cb, a, Cho
222
++
+
+
+
+
+
Giải:
thức dẳngbất ba của vế với vếCộng
c
4
ba
ba
c
;b
4
ca
ca
b
:cóta tự ngT Cosi). T(BĐ a
4
cb
cb
a
:có
2
2
2
+
+
+
+
+
+
ơ
+
+
+
Bài 17:
6accbba b)
5,31c1b1a a)
:rằng minh Chứng 1.cba :mãnthoả 0 c b, a, Cho
<+++++
<+++++
=++>
Bài 18:
22
yx
yx
:rằng minh CHứng 1.y.x y,x Cho
22
+
=>
Giải:
( )
( )
( )
22
yx
2
yx
yx
xy2yx
yx
yx
2
22
+=
+
=
+
Bài 19:
5
3
4
c, b, a :rằng minh Chứng
.1cabcab
2cba
:mãnthoả c b, a, số các Cho
222
=++
=++
Bài 20:
( )
.abba
4
ba
2
ba
2
+
+
+
+
:rằng minh Chứng 0b a, Cho
Giải:
( )
( )
( )
.abba
4
ba
2
ba
:Vậy
0
2
1
b
2
1
aab
ba
2
1
baabbaab
2
1
baab
:Xét hiệu
2
1
baab
2
1
ba
2
ba
4
ba
2
ba
:Có
2
22
2
+
+
+
+
+
=
++=+
++
++
++
+
=
+
+
+
Bài 21:
.2
ba
c
ac
b
cb
a
:rằng minh Chứng 0. c b, a, Cho
>
+
+
+
+
+
>
Giải:
.2
ba
c
ac
b
cb
a
:dợcta thức dẳngbất ba của vế với vếCộng
cba
c2
ba
c
;
cba
b2
ca
b
:tự Tong
.
cba
a2
cb
a
:Vậy
a2
cba
1
a
cb
2
1
1.
a
cb
:Cosi dụng áp
+
+
+
+
+
++
+++
+
++
+
++
=
+
+
+
6
Bµi 22:
8
11
a
:r»ng minh Chøng 1.b 1;a Cho b)
.2
1-x
x
:r»ng minh Chøng 1.x Cho a)
22
≥
−
+
−
>>
≥>
a
b
b
Gi¶i:
( )
2
1x
1
1x
1x
11x
1-x
x
a) ≥
−
+−=
−
+−
=
( ) ( )
8
1b
b
.
1a
a
.2
1a
b
.
1b
a
2
1a
b
1b
a
b)
2222
≥
−−
=
−−
≥
−
+
−
B i 22:à
4
3
z2yx
1
zy2x
1
zy2x
1
thi 4
z
1
y
1
x
1
m·ntho¶ 0 z y, x, NÕu:r»ng minh Chøng
≤
++
+
++
+
++
=++>
Gi¶i:
( ) ( )
4
3
z
3
y
3
x
3
16
1
z2yx
1
zy2x
1
zy2x
1
:dîcta vÕ víi vÕCéng
z
2
y
1
x
1
16
1
2zyx
1
z
1
y
2
x
1
16
1
z2yx
1
:tù Tong
z
1
y
1
x
2
16
1
z
1
x
1
y
1
x
1
16
1
zx
1
yx
1
4
1
zxyx
1
zy2x
1
:Cã
=
++≤
++
+
++
+
++
++≤
++
++≤
++
++=
+++
≤
+
+
+
≤
+++
=
++
Bµi 23:
14
zyx
2
zxyzxy
3
:r»ng minh Chøng 1.zyx m·ntho¶ z y, x, ngod sèba Cho
222
>
++
+
++
=++
Gi¶i:
7
zxyzxy
2
zyx
1
zx2yz2xy2
1
2
zxyzxy
2
zyx
2
zx2yz2xy2
2
zyx
2
222
222222
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
.
zxyzxy
3
( )
( )
1 8
zyx
1
2zx2yz2xy
1
.2
4
zyx
4
zyxzx2yz2xy2
4
zyx
1
2zx2yz2xy
1
:Có
222
222222
++
+
++
=
++
=
+++++
++
+
++
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3
1
zxyzxy :hay
y-x :Từ
6
zxyzxy
2
zxyzxy3zyx0zyyzxyzyx
0zx2yz2xy2z2y2x20xzzy
2
222
222
222
++
++
++++++
++++
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Bài 24:
2
5
1y4
2
+=+
yx :rằng minh Chứng .x mãnthoả y x, thực số haiCho
2
Giải:
( )
( )
2
5
4
5
4
1
1y4x
2
1
y21x
22
2
2
+
=
++
+=+
yx :Vậy
yx
:copxki -Bunhia thức dẳngbất dụng áp
Bài 25:
+++
x
y
y
x
34
x
y
y
2
2
2
2
x
:rằng minh Chứng không. khácthực số là hai y x, Cho
Giải:
2aa
x
y
y
x
=+ặt Đ
8
( )( ) ( )
dúng
:thành trỏ thức dẳngBát
01a2a02a3a
2
+
Bài 26:
[ ]
6cba
0c bad
222
++
=++
:rằng minh Chứng
:mãnthoả 2 1;- oạn thuộc thực số cáclà c b, a, Cho
Giải:
( )( )
66cbacb
2c
2bbo
2aa02aa02a1a2a1
22
2
22
=+++++
+
+
++
2
2
a :dợcta vế với vếCộng
c
tự ngT
Bài 27:
2
3
ba
c
ac
b
o
+
+
+
+
+
cb
a
:rằng minh Chứng ng.d sốba là c b, a, Cho
Giải:
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
2
3
ba
c
ac
b
9
ba
1
ac
1
cb
1
baaccb
3
ba
1
ac
1
cb
1
baaccb
2
1
3
ba
1
ac
1
cb
1
cba
ba
c
ac
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++++
+
+
+
+
+
+++++=
+
+
+
+
+
++=
+
+
+
+
+
cb
a
:Có
cb
a
Bài 28:
( )( )( )
z1y1
++
=++>
x-14z2yx
:rằng minh Chứng 1.zyx và 0z y, x, số các Cho
Giải:
( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )
(dúng) y-1y1 :minh chứng Cần
2
+
=+
+=
2
2
y1y1y1z1y1x14
y1zx2z1x14
Bài 29:
9
9
ab2c
1
ca2b
1
bc2
22
+
+
+
+
+
++>
2
a
1
:rằng minh Chứng 1. cba và 0 c b, a, Cho
Giải:
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
9
ab2c
1
ca2b
1
bc2
ab2cca2bbc2a
ab2c
1
ca2b
1
bc2
cba
ab2c
1
ca2b
1
bc2
22
222
22
2
22
+
+
+
+
+
+++++=
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
2
22
a
1
.
a
1
a
1
Bài 30:
6
ba
1
22
+
+
=+>
ab
1
:cóta 1 ba mãnthoả 0b a, mọi vớirằng minh Chứng
Bài 31:
3
ba
2
b
1
+
++
=>
a
1
:cóta 1, a.b :mãnthoả 0b a, mọi vớirằng minh Chứng
Giải:
( )
32ab
ba
2
2
ba
2
ba
ba
2
2
ba
2
ba
ba
2
ba
ba
2
b
1
=+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
++=
+
++
a
1
Bài 32:
2
3
4
4bo
2
+
+
=+
2
2
a
ba
:rằng minh Chứng .a :mãnthoả ngd số là hai b a, Cho
Giải:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
ba1
2
1
ba2ba2
2
3
ba2
2
3
ba
4a
2
3
ba
2
3
4aba
2
3
4
+
+
+=+
++
++++
+
+
copxki -Bunhia dụng áp
.
a
ba
2
10
Bài 33:
4
3
b1
1
a1
1
+
+
+
=+>
:rằng minh Chứng 1. ba :mãnthoả 0 b a, Cho
Giải:
( ) ( )
[ ]
3
4
b1a1
b1
1
a1
1
3
1
b1
1
a1
1
+++
+
+
+
=
+
+
+
.
Bài 34:
3
16
cb
44
++
=++
4
a
:rằng minh Chứng 4. ca bcab :mãnthoả thực số cáclà c b, a, Cho
Giải:
( ) ( )
( )
3
16
cb
16cabcabaccbba3cb3
accbbacb
44
2
22222244
22222244
++
=++++++
++++
4
4
4
a : Vậy
a
a :Có
Bài 35:
22
xx
1x
:rằng minh Chứng 1.x :mãnthoả Rx Cho
3
4
+
>
Giải:
( )
( )
22
1x
x2
x
1x
1xx
x21x
xx
1x
2
2
2
2
2
2
3
4
+
=
+
=
+
Bài 36:
y212x1 P :thức biểucủa nhất nhỏ nhất,lớn trị giá Tính )b
2yx1 rằng minh Chứng )a
1yx :mãnthoả 0 y x, sử ảGi
22
+++=
+
=+
Giải:
11
( )
( )( )
2yx1 Vậy
2yx2yx2yx11yx :dụng áp
1yx hayyxyx
yy1y0
xx1x0
1yx 0;y x, từ )a
2222
2
22
2
2
22
+
++=+++
+++
=+
( )
( )
2
1
yx khi212là của P nhất lớn trị giá Vậy .
2
1
yx khibằng Dấu
212y212x1
244y2x222y212x1 )b
2
==+==
++++
++++++
Bài 37:
.21xx-5
:cóta ,5x1 mãnthoả x mọi vớirằng minh Chứng
+
Giải:
( )
( )( )
( )( )
=
=
+++
1x
5x
khibằng dấu úngĐ 01xx52
41xx524421xx-521xx-5
2
Bài 38:
( ) ( ) ( )
.
cba
1
1cca
c
1bbc
b
1aab
a
:rằng minh Chứng 1.abc kiệndiều mãnthoả 0c b, a, số các Với
222
++
++
+
++
+
++
=>
Giải:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
++
++
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
=
cbb
a
1
.
1bbc
1
1bbc
cb
1bbc
b
1bbca
1
bbcabc
cb
1bbc
b
abcaab
a
1cca
c
1bbc
b
VT
2
22
2
22
2
2
22
222
1aab
a
12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
)PCM(Đ
cba
1
cbb
a
1
.
1bbc
1
1bbccbb
a
1
cba
bcb1cbb
a
1
.cba
cb;b;c;b;p
2
2
2
2
2
22
2
222
++
++
++
++
++++
++
++
++ hay
:cóta
a
1
và a :số bộ haicho copxki-Bunhia thức dẳngbất dụng á
Bài 39:
( )
64
1
baab. :rằng minh Chứng .1ba :mãnthoả b a, Cho
2
+=+
Giải:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
PCMĐ
8
1
ab21ab
: hay
4
1
ab21ab2
2
1
2
ab21ab2
ab21.ab2
:có ab2-1 và ab2:ấm khôngsố haicho Cosi dụng pá
.
8
1
ab21ab
8
1
ab2baab
8
1
baab
64
1
baab.
2
2
=
+
+++
Bài 40:
.1abba :rằng minh Chứng .baba và 0b 0;a Cho
2233
<++=+>>
Giải:
( )( )
( )
( )
( )( )
úng.Đ TBĐ b0baba1
ba
ba
1abba Vậy
ba
ba
abbabaabbaba
abbabaabbabababa Từ
33333
33
33
22
33
33
22332233
22223333
<+<<
+
<++
+
=++=++
++=++=+
Bài 41:
3
abc
cba
a
c
c
b
++
++
b
a
:rằng minh Chứng dong. sốba là c b, a, Cho
Giải:
13
minh. chøng iph¶ diÒu dîcta vÕ víi vÕCéng
c
b
:dîc tù ngt
b
a
:Cosi dông ¸p
3
3
3
3
2
2
abc
c3
b
a
a
c
a
c
abc
b3
a
c
c
b
abc
a3
cb
ba
3
c
b
b
a
≥++
≥++
¬=≥++
14
Bài 42:
6
cba
b2a3c
ca
a2c3b
bc
++
++
+
++
+
++
2cba
ab
:cóta c b, a, dong thực số mọi vớirằng, minh Chứng
Giải:
( ) ( )
( )
( ) ( )
6
cba
cba
18
1
cba
9
1
cba
18
1
cb
acab
ca
abbc
ba
acbc
9
1
b2a3c
ca
a2c3b
bc
a2
1
ba
1
cb
1
9
ac
b2a3c
ac
c2
1
ca
1
ba
1
9
bc
b2
1
cb
1
ca
1
9
ab
b2cbca
ab
c2b3a
ab
++
=+++++=
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++++
=
++
2c3ba
ab
:Vậy
2a3cb
bc
:tự Tong
Bài 43:
1abc :mãnthoả dong thực số cáclà c b, a, dó trong
a
1
:rằng minh Chứng
2
=
++
+
++
+
++
2
1
3a2c
1
3c2b
1
3b2
22222
Giải:
( )
++
+
++
+
++
++
+
++
+
++
++
++
++
++
ơ
++
++
++++++
1aac
1
1cbc
1
1bab
1
2
1
3a2c
1
3c23b2a
1
1aac
1
.
2
1
3a2c
1
1cbc
1
.
2
1
3c2
1bab
1
2
1
3b2a
1
1bab23b2ab21b;ab2b
22222
22
2
22
2222
2
2
2
b
1
b
1
:cóta tự ngt .
a Có
15
.
2
1
3a2c
1
3c23b2a
1
1
1bab
bab1
1bab
b
1bab
ab
1bab
1
bababc
b
ababccab
ab
1bab
1
1aac
1
1cbc
1
1bab
1
22222
2
++
+
++
+
++
=
++
++
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
=
++
+
++
+
++
2
b
1
:Vậy
:có lại
Bài 44:
( ) ( ) ( )
( )
cba4
b
ac
a
cb
c
222
++
+
+
+
+
+
ba
: rằng minh Chứng c. b, a, dong số các Cho
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
2
222
222
cba4
c
ba
b
ac
a
cb
.cb ++
+
+
+
+
+
++a
:copxki-Bunhia dụng áp
Bài 45:
324
xy
1
y
3
++
+
=+
3
x
1
:rằng minh Chứng
1.yx :mãnthoả dong thực số cáclà y x, Cho
Giải:
( ) ( )
324
xy
yx
yx
xy3
4
xy
xy3yx
yx
xy3yx
xy
1
y
1xy3y1yxxy3yx1
33
33
33
33
33
3
333
3
+
+
+
+
+=
++
+
+
++
=+
+
=++=+++=+=+
3
3
x
1
:Vậy
x hayyx1yx Từ
16
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 1:
( )
( )
R.x vớix P:thức biểucủa nhất nhỏtrị giá Tím
++
++
=
11xx
2xx
2
Giải:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
=++
++
+++=
++
+++
=
++
++
=
1x
0x
111xx
2
11xx
1
11xx
11xx
11
11xx
2xx
2
2
khithức dẳng dấu
1xx
xP
Bài 2:
( )
444
222
yxz1
i.z3yzxz
ddo
++
=
=++
4
2
z
P
:thức biểucủa nhất lớn trị giá mt Hãy xy
: kiệniều mãnthoả và ổi thay ngd số cáclà z y, x, sửGiả
Giải:
( )
( )
1.zyx khi PVậy
1.zyx khibằng dấu
z
1
3.3
:ợcta ntrê thức dẳngbất 3của vế với vếCộng
x 1:có x 1; :ấm khôngsố 4 cho Cosi dụng áp
z
1
1:có
z
1
1;:ấm khôngsố 4 cho Cosi dụng áp
z
1
1 :có
z
1
1; :ấm khôngsố 4 cho Cosi dụng áp
xy :Từ
z
P
max
4
44
44
42
2
4
====
====
+++++
=+++
=+++
=+++
=++=++
++=
++
=
3
1
3
P
1
12xy
z
y
z
x
.4y.3x.3
xy4yx4yyy;y;
z
y
4
z
y
4y
z
1
y;
z
1
;
z
x
4
z
x
4xxx;x;
3
z
y
z
x
xyz3yzxz
yx
z
1
P
1
yxz1
2
2
2
44
2
4
844444
2
4
8
4
4
4
4
4
2
4
4
8
4422
2
2
2222
44
4444
Bài 3:
( )
.x23x22x5x2
i,
2
++++=
xf
:thức biểucủa nhất lớn trị giá mt hãy
2
1
x :mãnthoả xcủa trị giá nhngVới
Giải:
17
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
1.x khixf :Vậy
1x khithức dẳng dấu
1x3x4 : khithức dẳng Dấu
:có 3x và 4 :am khôngsố 2 cho Cosi dụng áp
1x12x2x : khithức dẳng dấu
:có 12x và 2x :am khôngsố 2 cho Cosi dụng áp
xf
==
==
+
+
+
++++
=+=
+
=
++
+
+
=+=+
+
=
+++
++
++
++++=++++=
5
5x2
2
7x
2
3x3
x23x41x22x
2
7x
2
3x4
3x4
2
3x3
2
1x22x
1x22x
.x23x41x22xx23x22x5x2
min
2
Bài 4:
( )( )
( )
.1xyzdd
zxi
=++
++=
zyx kiệniều mãnthoả luôn dổi thay dong sốba là z y, x, ó trong
yxT thức biểucủa nhất nhỏtrị giá mT
Giải:
( )( ) ( )
( ) ( )
1yz khithức dẳng dấu
yz
1
T
:cóta T vàothay zyx :ừ
yxT
=+=
=++=++
+++=+++=++=
2yz
yz
1
zyxx1xyzT
yzzyxxyzxyxzxzx
2
Bài 5:
( ) ( )
.yx1yx
4
1
x
y
y
x
2
221616
2
10
2
10
+++
+=
ì
2
1
Q
:thức biểucủa nhất nhỏtrị giá mT
Giải:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
1y1yx1yx2
1yx1yx1
2
1
1yx1yx
2
1
2
1
yx11yx2yx
2
1
yx1yxyx
2
1
Q
yyx
2
1
yx
yyx
x
y
y
x
2
1
2
2
2244
2
222
2
222
2
22
2
44
2
224488
2
224488
16881616
1244
2
10
2
10
=++
+++
++=
+++=++
=+
=
+
2
2
16
12
x khibằng dấu hay
1 :có lại
x khibằng dấu
4
1
x khibằng dấu
18
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
1y
2
5
1y
2
5
2
5
41yx
8
1
2
1
1yx1yx
8
1
Q
1yx
8
1
1yx
2
1
2
2
2
2
22
2
22
4
22
4
22
2
44
===
=
+=++
++
2
min
2
x khiQ Vậy
x khibằng dấu
Bài 6:
( )
+++=
ì+
22
222
22
c
1
b
1
acb
ac
2
2
a
1
P
:thức biểucủa nhất nhỏ
trị giá mt b kiệndiều mãnthoả dong thực số cáclà c b, a, sửGiả
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
2
a
c5.
2
a
c5
c3
cb
4
.
4
a
.3
c
1
b
1
4
a
.3
cb4
c
1
b
1
4
a
cb2
cb
4
.
4
a
.cb
a
1
2
c
1
b
1
4
a
.cb
a
1
2
c
1
b
1
4
a
cb
c
1
b
1
4
a3
c
1
b
1
4
a
cb
c
1
b
1
acb
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
22
2
22
22
2
22
2
22
2
22
222
2
22
22
2
22
2
22
22
222
=====
==
+
+
==
+=+=
+
+
++
+++
++
+++=
+++=
2
min
2
2
242
2
2
22
b khi PVậy b khibằng dấu P
b khibằng dấu :có lại
b ;ac
a
1
khibằng dấu
a
1
:Có
a
1
a
1
P
Bài 7:
nhất nhỏtị giádạt yx b)
nhất.lớn trị giáạt yx a)
:cho sao nhtr ngphcủa nghiệmmT
x :y x,là số ẩn vớinhtr phong Cho
2
=
+
=++
d
ioi
.04y2y6xy2x2i
2
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
.2y;424
4yx23
92y91yx.04y2y6xy2x2
minmax
22
2
===+===+
++
==+=++
x khiyx 2.yx khiyx Vậy
1-yx
2y khibằng dấu x
2
19
Bài 8:
( )
nhất. nhỏtrị giádạt xy tích cho sao
2x :mãnthoả dong số cặp các Tim
2
010y4x4xy6yxy2y;x
222
=+++
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
1.y 2;x khibằng dấu
1y-x khibằng dấu
x2
2x
2
2
==+
=++=+
=++++++
=+++
2xy31xy
99x1y21xy
091xy2yxxy2y2x21y
010y4x4xy6yxy2
22
222
222
Bài 9:
( ) ( )
( )
( )
0x xf:thức biểucủa nhất nhỏtrị giá mt
++=
8x6x1xi
Giải:
( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
2
133
2
133
99t3t3txf
t12x3x4x3x
4x2x1x1x8x6x1x
2
+
=
+
===+=
=++++=
+++=++=
x khi9-là xfcủa nhất nhỏtrị giá Vậy
x0t khibằng dấu
x3xặt Đ .
xf
Bài 10:
( ) ( )
( )( )
1. n hlớn dong số là nhng y x, dó
P:thức biểucủa nhất nhỏtrị giá mT
otrong
1y1x
yxyx
2233
++
=ì
Giải:
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
2.yx khi PVậy
2yx khibằng dấu
2y khibằng dấu
2x khibằng dấu 1-x có lại
khibằng dấu
P
min
===
===
==
+
==
+
=
+
=
+
=
++
=
8
8
2
y
.
2
x
xy2
P
2
y
2
11y
1.1y
2
x
2
11x
1.
1x
y
1y
x
1y1x
xy2
1x
y
1y
x
1y1x
1yy1xx
1y1x
yxyx
22
22222233
Bài 11:
20
1cba : kiệndiều mãnthoả dong thực số cáclà c b, a, dó trong
a
:thức biểucủa nhất nhỏtrị giá mT
6
=++
+
+
+
+
+
33
6
33
6
33
ba
c
ac
b
cb
i
Giải:
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
.
18
1
ba
c
ac
b
cb
18
1
ba
c
ac
b
cb
III;II;
9
1
cba1cbacba111
IIcbacbacbacba
2
cba
ba
c
ac
b
cb
cba
ba
c
ac
b
cb
.cba2
cba
ba
c
ac
b
cb
a
.baaccb
B
min
33
6
33
6
33
33
6
33
6
33
2
222
2
222
2
222
222
2
3
2
3
2
3333
333
33
6
33
6
33
2
333
33
6
33
6
33
333
2
333
2
33
6
2
33
6
2
33
6
2
33
2
33
2
33
3
1
cba khi
a
Vậy
3
1
cba khibằng dấu
a
I Từ
III
:có lại
I
a
a
: hay
copxki. -unhia dụng áp
6
6
6
6
====
+
+
+
+
+
===
+
+
+
+
+
++=++++++
++
++
++=++
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
++
++
+
+
+
+
+
+++++
21
