DE THI HOC KYØ II TOAN 7

ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC KỲ II TOÁN 7
ĐỀ THAM KHẢO.
Bài 1: Cho các đa thức:
f(x) = x
3
– 2x
2
+ 3x – 1; g(x) = x
3
+ x + 1; h(x) = 2x
2
+ 1
a) Tính f(x) – g(x) + h(x)
b) Tìm x sao cho f(x) – g(x) + h(x) = 0
Hướng dẫn:
a/Tính f(x) – g(x) + h(x)
f(x) = x
3
– 2x
2
+ 3x – 1
– g(x) = – x
3
– x – 1
f(x) +(– g(x) ) = – 2x
2
+ 2x – 2
h(x) = 2x
2
+ 1
f(x) +(– g(x) ) + h(x) = 2x – 1

Vậy f(x) – g(x) + h(x) = 2x – 1
b/Tìm x sao cho f(x) – g(x) + h(x) = 0
Ta có: f(x) – g(x) + h(x) = 0 khi:
2x – 1 = 0
⇒
2x = 1
1
2
x⇒ =
Vậy khi
1
2
x =
thì f(x) – g(x) + h(x) = 0
Bài 2: Cho đa thức f(x) = −5x
3
+ 6x
4
− x
2
+ 8x
3
− 9x
4
+ 15 − 7x
2
.
a) Thu gọn đa thức trên và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần.
b) Tính f(1); f(-1)
Hướng dẫn:

a) Thu gọn đa thức trên và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần.
f(x) = −5x
3
+ 6x
4
− x
2
+ 8x
3
− 9x
4
+ 15 − 7x
2
.
f(x) = −3x
4
+ 3x
3
− 8x
2


+ 15
b/Tính f(1); f(-1)
f(x) = −3x
4
+ 3x
3
− 8x
2

+ 15
f(1) = −3.1
4
+ 3.1
3
− 8.1
2


+ 15
f(1) = −3 + 3 − 8

+ 15
f(1) = −7
f(x) = −3x
4
+ 3x
3
− 8x
2


+ 15
f(−1) = −3.(−1)
4
+ 3.(−1)
3
− 8.(−1)

2


+ 15
f(−1) = −3 −3 − 8

+ 15
f(−1) = 1
Bài 3. Cho M = x
2
- 2xy + y
2
N = y
2
+ 2xy + x
2
+ 1
Tính: M + N; M − N
Hướng dẫn:
a/ M + N = (x
2
– 2xy + y
2
) + (y
2
+ 2xy + x
2
+ 1)
M + N = x
2

+ x
2
+ y
2
+ y
2
– 2xy + 2xy + 1
M + N = 2x
2
+ 2y
2
+ 1
b/ M − N = x
2
– 2xy + y
2
– y
2
– 2xy – x
2
– 1
M − N = x
2
– 2xy + y
2
– y
2
– 2xy – x
2
– 1

M − N = x
2
– x
2
+ y
2
– y
2
– 2xy – 2xy – 1
M − N = – 4xy – 1
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trôm- Bến Tre
1
Bài 4: Rút gọn đa thức: P = x
2
y –
2
1
x + x –2 x
2
y + y
3
.
Tính giá trị của đa thức P tại x = –2, y = –3
Hướng dẫn:
a/Rút gọn đa thức: P = x
2
y –
2
1
x + x – 2 x

2
y + y
3
.
P = x
2
y –
2
1
x + x –2 x
2
y + y
3
.
P = x
2
y –2 x
2
y –
2
1
x + x + y
3
.
P = – x
2
y +
2
1
x + y

3
.
b/Tính giá trị của đa thức P tại x = –2, y = –3
P = – x
2
y +
2
1
x + y
3
.
P = – (–2)
2
.(–3) +
2
1
.(–2) + (–3)
3
P = – 4.(–3) +
2
1
.(–2) + (–27)

P = 12 –2 –27

P = –17

Bài 5: Thực hiện phép tính:
1 5 1 5
15 : 25 :

4 7 4 7
A
   
= − − −
 ÷  ÷
   
Hướng dẫn:
1 5 1 5
15 : 25 :
4 7 4 7
61 5 101 5
: :
4 7 4 7
61 101 5
:
4 4 7
61 101 5
:
4 7
40 7
4 5
14
A
A
A
A
A
A
   
= − − −

 ÷  ÷
   
   
= − − −
 ÷  ÷
   
   
= − −
 ÷  ÷
   
−
   
= −
 ÷  ÷
   
−
   
= × −
 ÷  ÷
   
=
Bài 6: Cho 2 đa thức:
M(x) = 2x
4
– 6x + 3x
3
+
2
1
x

2
+ 2x
5
N(x) = -
2
1
x
2
– 3x
3
+ x
5
+ 6x – 2x
4
a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo luỷ thừa giảm dần của biến và tìm bậc của mỗi
đa thức.
b) Tính M(x) + N(x) ; M(x) – N(x).
c) Chứng tỏ: x = 0 là nghiệm của của M(x) + N(x);
x = 1 là nghiệm của M(x) – N(x)
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trôm- Bến Tre
2
Hướng dẫn:
a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo luỷ thừa giảm dần của biến và tìm bậc của mỗi
đa thức.
M(x) = 2x
4
– 6x + 3x
3
+
2

1
x
2
+ 2x
5
M(x) = 2x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+
2
1
x
2
– 6x Đa thức bậc 5
N(x) = -
2
1
x
2
– 3x
3
+ x
5
+ 6x – 2x
4
N(x) = x
5

– 2x
4
– 3x
3
–
2
1
x
2
+ 6x Đa thức bậc 5
b) Tính M(x) + N(x) ; M(x) – N(x).
M(x) = 2x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+
2
1
x
2
– 6x
N(x) = x
5
– 2x
4
– 3x
3
–

2
1
x
2
+ 6x

M(x) +N(x) = 3x
5
– 6x
Vậy M(x) +N(x) = 3x
5
– 6x
Tính M(x) – N(x).
M(x) = 2x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+
2
1
x
2
– 6x
– N(x) = –x
5
+ 2x
4
+ 3x

3
+
2
1
x
2
– 6x

M(x) +(–N(x)) = x
5
+ 4x
4
+ 6x
3
+ x
2
– 12x
Vậy M(x) – N(x) = x
5
+ 4x
4
+ 6x
3
+ x
2
– 12x
c) Chứng tỏ: x = 0 là nghiệm của của M(x) + N(x);
Ta đặt: P(x) = M(x) +N(x) = 3x
5
– 6x

Ta có: P(x) = 3x
5
– 6x
P(0) = 3.0
5
– 6.0 = 0
Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức P(x) = M(x) +N(x) = 3x
5
– 6x
Tương tự: Ta đặt: Q(x) = M(x) – N(x) = x
5
+ 4x
4
+ 6x
3
+ x
2
– 12x
Ta có: Q(x) = x
5
+ 4x
4
+ 6x
3
+ x
2
– 12x
Q(x) = 1
5
+ 4.1

4
+ 6.1
3
+ 1
2
– 12.1
Q(x) = 1 + 4 + 6 + 1 – 12
Q(x) = 0
Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức Q(x) = M(x) – N(x) = x
5
+ 4x
4
+ 6x
3
+ x
2
– 12x
Bài 7:
Cho 2 đa thức
M= 3,5x
2
y
2
– 2xy
2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + 3 xy
2
.

N= 2x
2
y + 3,2xy + xy
2
– 4xy
2
- 1,2x
4
.
a. Thu gọn đa thức M và N.
b. Tìm bậc của đa thức M và N.
c. Tính M + N , M – N.
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trôm- Bến Tre
3
Hướng dẫn:
a) Thu gọn đa thức M và N.
M= 3,5x
2
y
2
– 2xy
2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + 3 xy
2
.
M= 3,5x
2
y

2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + xy
2
Đa thức bậc 4
N= 2x
2
y + 3,2xy + xy
2
– 4xy
2
- 1,2x
4
.
N= –2x
2
y + 3,2xy + xy
2
– 1,2x
4
. Đa thức bậc 4
b) Tính M + N , M – N.
M + N = (3,5x
2
y
2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + xy

2
) + (–2x
2
y + 3,2xy + xy
2
– 1,2x
4
)
M + N = 3,5x
2
y
2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + xy
2
–2x
2
y + 3,2xy + xy
2
– 1,2x
4
M + N = 3,5x
2
y
2
+ 2xy
2
– 0,5x
2

y + 5,2xy – 1,2x
4
M – N = (3,5x
2
y
2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + xy
2
) – (–2x
2
y + 3,2xy + xy
2
– 1,2x
4
)
M – N = 3,5x
2
y
2
+ 1,5x
2
y + 2 xy + xy
2
+2x
2
y – 3,2xy – xy
2
+1,2x

4
M – N = 3,5x
2
y
2
+ 3,5x
2
y – 1,2xy + 1,2x
4
Bài 8:
Tìm m, biết rằng đa thức P(x) = mx
2
– 2mx –3 có một nghiệm là x = –1.
Hướng dẫn:
Vì x = – 1 là nghiệm của đa thức P(x) = mx
2
– 2mx –3 do đó:
P(–1) = m(–1)
2
– 2m(–1) –3 = 0
Ta có: m(–1)
2
– 2m(–1) –3 = 0
m + 2m –3 = 0
3m –3 = 0
3.m = –3
m = –1
Bài 8:
Cho các biểu thức:
A = 2,5x

3
y
2
, B =
1
4
xy
−
.Hãy tính giá trò của hai biểu thức trên tại
1x =
và y = -1
Hướng dẫn:
Tính giá trò biểu thức A.
Ta có:
1x =

⇒
x = 1 hoặc x = -1
*Tại x = 1 và y = –1
A = 2,5.1
3
.1
2
= 2,5
*Tại x = –1 và y = –1
A = 2,5.(–1)
3
.(–1)
2
= –2,5

Bài 9:
Cho -ax
5
y với x, y là các biến.
a/Tìm hệ số, bậc của đơn thức trên.
b/Tính giá trò của đơn thức trên khi y = -1 và
1x =
.
c/Khi a =
3
4
, x =1, y = –1 thì biểu thức trên có giá trò là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/ Hệ số là –a, bậc của đơn thức là 6.
b/ Ta có:
1 1 1 hoặc x x x= ⇒ = = −
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
4
Khi x = –1, y = –1
Ta có: –ax
5
y = –a(–1)
5
.(–1) = –a.
Khi x = 1, y = –1
Ta có: –ax
5
y = –a(1)
5
.(–1) = a.

Khi a =
3
4
, x = 1, y = –1
Ta có: –ax
5
y = –
3
4
.(1)
5
.(–1) =
3
4
Bài 10:
Viết các đơn thức sau đây dưới dạng thu gọn:
2 2
2
.( 3 )
3
xy z x y− −
Hướng dẫn:
Ta có:
2 2 3 3 3 3
2 3
.( 3 )
3 3
xy z x y x y z x y z
−
− − = − =

Bài 11:
1) Hãy sắp xếp các đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng:
( )
3
7 4 5 5 7 4 3 6 2
1
9 , 2 , , , , ,4; 0,5, , 2
2
x y x y xy x y x y x y xy− − − −
Hướng dẫn:
Nhóm 1: -9x
7
y
4
, x
7
y
4
.
Nhóm 2: -2x
5
y, x
5
y.
Nhóm 3:
1
2
−
; 4; -0,5.
Nhóm 4: x

3
y
6
,
( ) ( )
3 3
2 2 3 3 2 3 3 6
2 vì 2 2 8xy xy x y x y
×
= =
Nhóm 5: xy.
Bài 12:
Cho đơn thức: A = 5x
2
y, B = –10x
2
y, C = 15x
2
y.
a/ Tính A + B.
b/ Tính A.B.
c/ Tính B – A.
d/ Tính A + B + C.
e/ Tính A – C – B.
Hướng dẫn:
a/ A + B = 5x
2
y +(–10x
2
y )= –5x

2
y.
b/ A.B = 5x
2
y .(–10x
2
y ) = –50x
4
y
2

c/ B – A = –10x
2
y – 5x
2
y = –15x
2
y.
d/ A + B + C = 5x
2
y + (–10x
2
y ) + 15x
2
y = 10x
2
y.
e/ A – C – B = 5x
2
y – (–10x

2
y ) – 15x
2
y = 0
Bài 13:
Cho hai đơn thức: M = ax
3
y
2
,N = bx
3
y
2
Tính M + N và M – N với a, b là hằng số.
Hướng dẫn:
M + N = ax
3
y
2
+ bx
3
y
2
= (a + b)x
3
y
2
M - N = ax
3
y

2
– bx
3
y
2
= (a – b)x
3
y
2
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
5
Bài 14:
Tìm đơn thức M biết:
a/ 2M + 3x
2
y
3
= x
2
y
3
b/
3 2 3 2
1 3
4 4
x y z M x y z
−
− =
Hướng dẫn:
a/ 2M + 3x

2
y
3
= x
2
y
3
2M = x
2
y
3
– 3x
2
y
3

2. M = –2x
2
y

2
2
2
2
x y
M x y
−
= = −
b/
3 2 3 2

1 3
4 4
x y z M x y z
−
− =
b/
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
1 3
4 4
1 3
4 4
M x y z x y z
M x y z x y z
M x y z
−
= −
= +
=
Bài 15:
Xác đònh hằng số a để tổng các đơn thức axy
3
, -3axy
3
,7xy
3
bằng 5xy
3
.

Hướng dẫn:
Ta có: axy
3
+(–3axy
3
) + 7xy
3
= 5xy
3
axy
3
+(–3axy
3
) = 5xy
3
– 7xy
3

–2axy
3
= – 2xy
3

3
3
2
1
2
xy
a

xy
−
= =
−
Bài 16:
Tìm đa thức B biết rằng:
B – (xy + x
2
– y
2
) = x
2
+ y
2
Hướng dẫn:
B = (x
2
+ y
2
) + (xy + x
2
– y
2
)
B = x
2
+ y
2
+ xy + x
2

– y
2
B = 2x
2
+ xy
Bài 17:
Tìm đa thức A biết rằng:
A + (x
2
+ y
2
) = 5x
2
+3y
2
– xy
Hướng dẫn:
A = (5x
2
+3y
2
– xy) – (x
2
+ y
2
)
A = 5x
2
+3y
2

– xy – x
2
– y
2
A = 4x
2
+ 2y
2
– xy
Bài 18:
Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/B(x) = 4x –
2
3
b/C(x) = (x +2).(x – 3)
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
6
c/D(x) = 2x
2
+1
Hướng dẫn:
a/B(x) = 4x –
2
3

1
6
x⇒ =
Ta có: B(x) = 4x –
2

3
= 0 khi:
4x –
2
3
= 0
1
6
x⇒ =
b/C(x) = (x +2).(x – 3)
Ta có: C(x) = (x +2).(x – 3) = 0 khi:
(x +2).(x – 3) = 0
⇒
x = – 2 hoặc x = 3.
c/D(x) = 2x
2
+1
Ta có: 2x
2

≥
0 và 1 > 0
Vậy D(x) = 2x
2
+1
≥
0 với mọi
(Tập hợp số thực)x R∈
⇒
D(x) vô nghiệm.

Bài tập 19 .
Em Nam đã thống kê điểm kiểm tra các môn học trong tháng 9 của mình được ghi lại trong bảng
sau:
3 4 5 7 5 4 5 6 8 9 4 3
4 5 6 5 6 3 5 9 7 3 2 2
a/ Dấu hiệâu ở đây là gì? Có bao nhiêu giá trò khác nhau của đấu hiệu?
b/ Lập bảng tần số và rút ra nhận xét.
Hướng dẫn:
Dấu hiệâu ở đây là điểm kiểm tra các môn học trong tháng 9.
Bảng tần số.
x 2 3 4 5 6 7 8 9
n 2 4 4 6 3 2 1 2 N=24
Nhận xét.
Điểm thấp nhất là 2.
Điểm cao nhất là 9.
Điểm từ 3 đến 5 chiếm tỉ lệ cao 14/24.
Nam học yếu.
Từ bảng tần số trên ta vẽ được biểu đồ đoạn thẳng.
n
6

3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
Nhận xét.
-Điểm thấp nhất là 2 (2/24).
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
7
-Điểm cao nhất là 9 (2/24).

-Điểm từ 3 đến 5 chiếm tỉ lệ cao (14/24).
-Xếp loại học tập Nam trong tháng 9 yếu.
Bài tập 20
Điểm kiểm tra toán một tiết của học sinh lớp 7C được ghi lại ở bảng sau:
3 6 6 7 7 2 9 6
4 7 5 8 10 9 8 7
7 7 6 6 5 8 2 8
8 8 2 4 7 7 6 8
5 6 6 3 8 8 4 7
a/ Có tất cả bao nhiêu bạn làm bài kiểm tra?
b/ Tìm các giá trò khác nhau của dấu hiệu và tần số tương ứng?
c/ Hãy lập bảng tần số dạng dọc và tính số trung bình cộng.
d/ Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
Hướng dẫn:
Điểm số (x) Tần số (n) Các tích x.n
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
2
3
3
8

9
9
2
1
6
6
12
15
48
63
72
18
10
250
6,25
40
X = =
N=40 Tổng
250
n
8
5
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-Nhận xét.
Điểm thấp nhất là 2 điểm có 3 HS.
Điểm cao nhất là 10 điểm có 1 HS.

Đa số HS đạt điểm từ 6 đến 8 (26/40).
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
8
BÀI 43/125 SGK.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA<OB. Lấy các điểm
C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA; OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng Minh
rằng:
a/ AD = BC
b/
EAB ECD=V V
c/ OE là phân giác của góc xOy.
B x
A
2

1
E
O
2
1

1 2

C D y
Hướng dẫn:
a/ Chứng minh: AD = BC.
Xét
và OBC ODAV V
Ta có:
µ

( )
chung
( )
OB OD gt
O OBC ODA
OC OA gt
=


⇒ =


=

V V
(c-g-c)
Suy ra AD = BC (cạnh tương ứng)
b/ Chứng minh:
EAB ECD
=
V V
.
Ta có:
AB = OB – OA
CD = OD – OC
Mà OB = OD (gt), OA = OC (gt)
Suy ra AB = CD (1)
Mặt khác:
¶
µ

¶
µ
¶
µ
¶
¶
0
2 1
0
2 1 2 2
1 1
180 (kề bù)
180 (kề bù) (2)
mà A ( )
A A
C C A C
C OBC ODA

= −


= − ⇒ =


= =


V V
µ
µ

( ) (3)B D OBC ODA= =V V
Từ (1), (2), (3) suy ra
EAB ECD=V V
(g- c- g)
c/ OE là phân giác của góc xOy.
Xét
và OAE OCEV V
Ta có:
( )
cạnh chung
( EAB= ECD)
OA OC gt
OE OAE OCE
EA EC
=


⇒ =


=

V V
V V
(c-c-c)
Suy ra
µ
¶
1 2
O O=

(góc tương ứng)
Vậy OE là phân giác của góc xOy.
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
9
Bài tập 21.
Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự các điểm
D, E, F sao cho AD= BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
Hướng dẫn:
A
D
F
B E C
Tam giác ABC đều.
Suy ra: AB = BC = CA
Mà AD = BE = CF (gt)
Nên DB = EC = FA
Do đó:
DBE ECF FAD= =V V V
(c-g-c).
Suy ra: DE = EF = FD
Vậy tam giác DEF đều.
Bài tập 22.
Cho tam giác ABC cân tại A. lấy điểm D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD =
AE
a/ Chứng minh rằng: BE = CD.
b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD, chứng minh IB = IC.
Hướng dẫn:
A
a/ Xét
ADCV

và
AEBV
D E Ta có:
I AD = AE (gt)
B C Â chung
AB = AC (
ABCV
cân)
Suy ra
ADCV
=
AEBV
(c-g-c)
Do đó BE = CD (cạnh tương ứng).
b/ Ta có
ADCV
=
AEBV
(c m t)
Suy ra:
·
·
ABE ACD=
(góc tương ứng).
Mà
·
·
ABC ACB=
(
ABCV

cân tại A)
Do đó
·
·
IBC ICB=
.
Vậy
IBCV
cân tại I.
Suy ra IB = IC (cạnh tương ứng).
Bài tập 56/131 SGK.
Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:
a/ 9cm, 15cm, 12cm
b/ 5dm, 13dm, 12dm
c/ 7m, 7m, 10m
Hướng dẫn:
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
10
Ta có:
a/ 9
2
= 81; 15
2
= 225; 12
2
= 144
Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông.
b/ 5
2
= 25; 13

2
= 169; 12
2
= 144
Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông.
c/ 7
2
= 49; 10
2
= 100; 12
2
= 144
Ta thấy 100
≠
49 + 49 nên tam giác có ba cạnh đã cho không là tam giác vuông.
Bài tập 60/113 SGK.
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC
( )H BC∈
. Cho biết AB = 13cm,
AH = 12cm, HC = 16cm. Tính độ dài AC, BC.
Hướng dẫn:
A
13 12
B H 16 C
Xét tam giác AHC vuông tại H.
p dụng đònh lý Py-Ta-Go ta có:
2 2 2
2 2 2
2
12 16

12, 16
144 256 400
20
AC AH HC
AC
AH HC
AC
AC

= +
⇒ = +

= =

⇒ = + =
⇒ =
Tương tự áp dụng đònh lý Py-Ta-Go cho tam giác ABH.
Xét tam giác ABH vuông tại H .
p dụng đònh lý Py-Ta-Go ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
13 12
12, 13
13 12
169 144
25
5

AB BH HA
BH
AH AB
BH
BH
BH
BH

= +
⇒ = +

= =

⇒ − =
⇒ − =
⇒ =
⇒ =
Ta có H nằm giữa B và C
Do đó: BH +HC = BC
Mà BH = 5cm, HC = 16
Ta tính được BC = 21cm.
Bài tập 65/137 SGK.
Cho tam giác ABC cân tại A ( Â < 90
0
). Vẽ BH
⊥
AC (H
∈
AC), CK
⊥

AB (K
∈
AB).
a/ Chứng minh rằng AH = AK.
b/ Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn:
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
11
A
AB = AC, Â < 90
0
BH
⊥
AC (H
∈
AC)
K H GT CK
⊥
AB (K
∈
AB)
I KL a) AH = AK
B C b) AI là phân giác góc A
a) Chứng minh
=
V VABH ACK

Xét
và ABH ACKV V
Ta có:

·
·
µ
0
=90 (BH AC, CK AB)
( cân tại A)
A góc chung
AHB AKC
AB AC ABC ABH ACK

= ⊥ ⊥

= ⇒ =



V V V
(cạnh huyền,góc nhọn)
Suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)
b) Chứng minh AI là phân giác góc A.
Xét
và AKI AHIV V
Ta có:
·
·
0
=90 (BH AC, CK AB)
( )
AI cạnh chung
AKI AHI

AK AH cmt AKI AHI

= ⊥ ⊥

= ⇒ =



V V
(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra
·
·
KAI HAI=
(góc tương ứng)
Vậy AI là phân giác góc A.
Bài tập 23.
Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho
AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD.Chứng minh rằng:
a/ BE = CD.
b/
KBD KCE=V V
.
c/ AK là tia phân giác của góc A.
d/
KBCV
là tam giác cân
Hướng dẫn:
A

ABCV
cân tại A
GT AD = AE
D E KL a/ BE = CD.
K b/
KBD KCE=V V
.
B C c/ AK là . . . .
d/
KBCV
cân
a/ Chứng minh.BE = CD.
DBC ECB=V V
(c.g.c)
Xét tam giác DBC và tam giác ECB.
Ta có:
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
12
·
µ
·
·
µ
·
µ
µ
·
·
·
·

( )
( )
DBK B EBC
ECK C DCB
B C ABCcan
EBC DCB KBD KCE
DBK ECK

= −


= −

=


= =

⇒ =
V
V V
( )
( )
DB AB AD
DB AC AE
DB EC
AB AC gt
AD AE gt
= −



= −

⇒ =

=


=

(1)
µ
µ
B C=
(
ABCV
cân tại A) (2)
BC (cạnh chung) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
DBC ECB
=
V V
(c.g.c)
Suy ra BE = CD (cạnh tương ứng).
b/
KBD KCE
=
V V
.
Xét tam giác KBD và tam giác KCA.

Ta có:


(1)
DB = EC (cmt) (2)
·
·
BDC CEB=
(
DBC ECB=V V
cmt) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
KBD KCE
=
V V
(g.c.g).
c/ AK là tia phân giác của góc A.

ADK AEK=V V
(c.c.c)
Suy ra
·
·
DAK EAK=
(góc tương ứng)
Vậy AK là phân giác góc A.
d/
KBCV
cân.
Ta có

KBD KCE
=
V V
(cm câu b).
Suy ra KB = KC (cạnh tương ứng).
Vậy
KBCV
cân tại I.
Bài tập 24.
Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm. Kẻ AH vuông góc với BC (H
∈
BC).
a/ Chứng minh rằng: HB = HC và
·
·
BAH CAH=
.
b/ Kẻ HD vuông góc với AB (H
∈
BC), HE vuông góc với AC (E
∈
AC)
Chứng minh
HDEV
cân.
c/ Tính độ dài AH.
d/ Chứng minh AH là phân giác góc DHE.

GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
13

Hướng dẫn:
A
ABCV
cân tại A
AH
⊥
BC (H
∈
BC)
HD
⊥
AB (D
∈
AB)
D E GT HE
⊥
AC (E
∈
AC)
AB = AC = 5, BC = 6
B H C
KL a/ HB = HC và
·
·
BAH CAH=
.
b/
HDEV
cân.
c/ Tính độ dài AH

d/AH là phân giác góc DHE.

a/HB = HC và
·
·
BAH CAH=
Xét
V V và AHB AHC
Ta có:
·
·
µ
µ

= = ⊥

= ⇒


=

V V V
V
0
90 ( )
( ABC cân taiï A) ABH= ACH (cạnh huyền-góc nhọn)
( ABC cân taiï A)
AHB AHC AH BC
AB AC
B C

Suy ra HB = HC (cạnh tương ứng).
Suy ra
·
·
BAH CAH=
(góc tương ứng).
b/ Chứng minh
HDEV
cân
Xét
V V và HBD HCE
Ta có:
·
·
µ
µ

= = ⊥ ⊥

= ⇒


=

V V
V
0
90 ( ; )
(cmt) = (cạnh huyền-góc nhọn)
( ABC cân taiï A)

HDB HEC HD AB HE AC
HB HC HBD HCE
B C
Ta có
BHD CHE
=
V V
(cmt)
Suy ra HD = HE (cạnh tương ứng).
Vậy
HDEV
cân tại H.
c/ Tính độ dài AH
Ta có HB = HC (cmt)
Suy ra HB = HC =
2
BC
, mà BC = 6
Vậy HB = HC = 3
Tam giác AHC vuông tại H.
p dụng đònh lý Py-ta-go
Ta có:
AC
2
= AH
2
+ HC
2
Mà AC = 5(gt), HC = 3 (cmt).
Suy ra 5

2
= AH
2
+ 3
2
5
2
- 3
2
= AH
2
25 – 9 = AH
2
16 = AH
2

4 = AH
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
14
Vậy AH = 4 cm
d/AH là phân giác góc DHE
Xét
V V và AHD AHE
Ta có:
·
·

= = ⊥ ⊥

⇒




V V
0
90 ( ; )
(cạnh chung) AHD= AHE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
HD = HE (cmt)
ADH AEH HD AB HE AC
AH
Suy ra
·
·
AHD AHE=
(góc tương ứng)
Vậy AH là phân giác của góc DHE.
Bài tập25
Cho tam giác ABC vơí
µ
0
100A =
,
µ
0
40B =
.
a/ Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
b/ Tam giác ABC là tam giác gì?
B
40

0
GT
µ
0
100A =


µ
0
40B =
100
0
KL a/Tìm cạnh lớn
A C b/
ABCV
?
Hướng dẫn:
a/ Trong tam giác ABC ta có:
Góc A là góc tù, vậy cạnh lớn nhất là cạnh BC.
b/Tam giác ABC là tam giác gì?
Xét tam giác ABC ta có:
µ µ
µ
µ µ
µ
0
0
0 0
180
40

100 , 40
A B C
C
A B

+ + =

⇒ =

= =


Do đó
µ
µ
0
40B C= =
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài tập 5/56 SGK.
Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường khác nhau AD, BD, CD. Biết rằng
ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng và góc ACD là góc tù. Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần
nhất? Hãy giải thích.
D (Trường)

1



2

·
0
90ACD >

A B C
(Hạnh) (Nguyên) (Trang)
Hướng dẫn:
Xét
DBCV
ta có:
µ
µ
0
2
0
90
90 ( )
DBC
B
C gt


⇒ <

>


V
Do đó
µ

µ
2
C B>
DB DC
⇒ >
(1)
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
15
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác).
Ta lại có:
µ
µ
0
1
90B C> >
(góc ngoài của
DBCV
)
Suy ra
µ
µ
1
B A>
.
Xét
DABV
ta có:
µ
µ
1

( )
DAB
AD DB
B A cmt


⇒ >

>


V
(2)
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra DA > DB > DC
(tính chất bắt cầu)
Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.
Bài 18/63 SGK.
a/ 2cm, 3cm, 4cm.
Ta có 4cm < 2cm + 3cm
Do đó vẽ được tam giác.
b/ 2cm, 3,5cm, 1cm.
Ta có 3,5cm > 2cm + 1cm
Do đó không vẽ được tam giác.
c/ 2,2cm, 2cm, 4,2cm.
Ta có 4,2cm = 2cm + 2,2cm
Do đó không vẽ được tam giác.
Bài tập 25/67 SGK.
B
M

3 G
A 4 C
Theo đònh lý Py-ta-go ta có:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
Mà AB = 3 cm, AC = 4 cm
Suy ra BC
2
= 5
2

⇒
BC = 5.
Bài tập 28 SGK
D
E I F
a/
)( . . )DEI DFI c c c=V V

b/ Từ a/ ta có:
·
·
DIE DIF=
Ta lại có:
·
·

0
180DIE DIF+ =
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
16
Nên
·
·
0
90DIE DIF= =
Vậy các góc đó là góc vuông.
c/
1 10
5 .
2 2
IE FE cm= = =
Tam giác DIE vuông tại I, áp dụng đònh lý Py-ta-go ta có:
DI
2
= DE
2
– IE
2
= 13
2
– 5
2
= 12
2
Vậy DI = 12.
Bài tập 40/73 SGK.

a / ∆ ABD = ∆ ACD (c - g - c )
b / Từ a) suy ra BD = CD , Do đó ∆ BCD cân tạiD , Suy ra
·
DBC
=
·
DCB
Tam giác ABC cân tại A.
Suy ra Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc AM
Điểm I nằm trong tam giác ABC và cách đều ba cạnh của tam giác
đó nên I nằm trong góc A và cách đều hai tia AB , AC .
Vậy I thuộc tia phân giác góc A hay I ∈ AM . Kết luận : A , G , I
cùng thuộc một đường thẳng.
HẾT
GV: Nguyễn Văn Tương - Trường THCS Phước Long - Giồng Trơm- Bến Tre
17
B
•
G
A
C
M