De thi va DA hoc ki 2 mon Toan 2010

Trờng thpt lơng tai 2
đề chính thức
đề thi học kỳ II năm học 2009- 2010
Môn thi: Toán Trung học phổ thông phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I. Phần chung cho thí sinh cả 2 ban ( 8,0 im)
Cõu I ( 4,0 im)
Cho hm s y= x
4
-mx
2
-3 ( m l tham s )
1. Kho sỏt v v th (C) ca hm s ó cho vi m = 2
2. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th (C) v trc Ox
3. Tỡm m hm s t cc i ti im x= 1
Cõu II (2,0 im )
1. Gii phng trỡnh x
2
-x +3 = 0 trờn tp s phc
2. Gii phng trỡnh ln(x-2).lnx = lnx
Cõu III (2,0 im)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a , SA ( ABCD), SA=a
2
1. Tớnh th tớch ca hỡnh chúp
2. Tỡm tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp
I. Phần dành cho thí sinh từng ban ( 2,0 im)
A. Thớ sinh ban KHTN chn cõu 4a hoc cõu 4b
Cõu IVa ( 2,0 im)
1. Tớnh tớch phõn I=
4
2

6
sin cotgx
dx
x



2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y=
2
2
1
x x
x


ti im cú
tung y=2
Cõu IVb ( 2,0 im)
Trong khụng gian vi h to Oxyz cho A(3;-2;-2), B(3;2;0),C(0;2;1),
D(-1;1;2)
1. Vit phng trỡnh mt phng (BCD). Bn im A,B,C,D cú ng phng
hay khụng?
2. Vit phng trỡnh mt cu tõm A v tip xỳc vi mt phng (BCD)
B. Thớ sinh ban KHXH chn cõu 5a hoc cõu 5b
Cõu Va ( 2,0 im)
1. Tớnh tớch phõn I=
6
0
(2 )sin3x xdx

2. Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s y= x
3
-3x
2
-2 trờn [0;3]
Cõu Vb ( 2,0 im)
Trong khụng gian vi h to Oxyz cho t din ABCD bit A(2;4;-1),
B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1)
1. Chng minh rng AB,AC, AD ụi mt vuụng gúc
2. Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD
Ht
Ch kớ ca giỏm th 1: Ch kớ ca giỏm th 2: .
H v tờn thớ sinh: .S bỏo danh:
Hng dn chm thi hc kỡ II
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +

+∞ -3 +∞
y
-4 -4
x
y
C©u Néi dung §iÓm
I 4®
1)
(2®)
Với m=2, hàm số trở thành y=x
4

-2x
2
-3
1. Tập xác định : D= R . Hàm số là hàm chẵn
2. Sự biến thiên :
a) Các giới hạn, tiệm cận :
Ta có
4
2 4
2 3
lim lim 1 ;
x x
y x
x x
→−∞ →−∞
 
= − − = +∞
 ÷
 

4
2 4
2 3
lim lim 1 ;
x x
y x
x x
→+∞ →+∞
 
= − − = +∞

 ÷
 
⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận
b) Chiều biến thiên:
y’ =4x
3
-4x , ∀ x∈ R ; y’ = 0 ⇔
1
0
1
x
x
x
= −


=


=

Trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞) , y’>0 nên hàm số đồng biến
Trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1) , y’<0 nên hàm số nghịch biến
c) Cực trị
Từ kết quả trên ta suy ra :
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=± 1 , y
CT
= y(±1) = -4
- Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ

=y(0) = -3
d) Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
- Giao với trục Ox : y=0 ⇒ x
4
-2x
2
-3 ⇔ x= ±
3
- Giao với trục Oy : x=0 ⇒ y= -3
Hàm số chẵn do đó đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối
xứng
Đồ thị ( Hình vẽ )
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
2)
(1®)
Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là : x= ±
3
Do tính đối xứng của đồ thị qua Oy nên diện tích hình phẳng cần tìm là : S=2
3
4 2
0
2 3x x dx− −
∫

( )
3
4 2
0
2 2 3x x dx= − + +
∫
=
5 3
5 3
2 3 2 3 16 3
3
2 3 2 3 3
5 3 5 3 5
0
x x
x
 
 
 ÷
− + + = − + + =
 ÷
 ÷
 
 
( Đvdt)
0.25
0.25
0.25
0.25

3)
(1®)
Ta có y’ = 4x
3
-2mx
y’’ = 12x
2
-2m
0.25
0.25
2
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=1 , điều kiện cần là :
'(1) 0
"(1) 0
y
y
=


<

4 2 0 2
12 2 0 6
m m
m
m m
− = =
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈Φ
 

− < >
 
Vậy không tồn tại m để hàm số đạt cực đại tại x=1
0.25
0.25
II 2®
1)
(1®)
Ta có ∆ = 1-12 = -11 ⇒
. 11i∆ =
Vậy phương trình có hai nghiệm là : x
1
=
1 11
2
i+
; x
2
=
1 11
2
i−
0.5
0.5
2)
(1®)
Điều kiện xác định :
0
2
2 0

x
x
x
>

⇔ >

− >

(*)
Với điều kiện (*), phương trình ⇔ lnx[ln(x-2) – 1] = 0⇔lnx=0 hoặc ln(x-2) -1 =0
• lnx =0 ⇔ lnx=ln1 ⇔x=1 ( không thoả mãn điều kiện (*))
• ln(x-2)=1 ⇔ ln(x-2)=lne ⇔ x-2=e ⇔ x=2+e ( thoả mãn điều kiện (*))
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm T = { 2+e}
0.25
0.25
0.25
0.25
III 2®
1)
(1®)
Ta có S
ABCD
=a
2
( do đáy là hình vuông cạnh a)
; SA⊥(ABCD) ⇒ đường cao của hình chóp là
SA= a
2
Vậy V

S.ABCD
=
1
3
S
ABCD
.SA
=
3
2
3
a
(đơn vị thể tích)
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
(1®)
Từ giả thiết ta có SA⊥(ABCD) ⇒ ∆SAB, ∆SAD vuông tại S
Mặt khác : SB=SD=a
3
; SC=2a ⇒ ∆SBC ⊥ tại B, ∆SDC⊥ tại D
⇒ gọi O là trung điểm SC ta có OA=OB=OC=OD=OS=a .
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R= a
0.25
0.25
0.25
0.25
IVa

2đ
1)
(1®)
Đặt u=
cotgx
⇒ u
2
=cotgx
⇒
2
4
2
sin
: 3
6
: 1
4
dx
udu
x
x u
x u
π
π

=



= =




= =


⇒ I=
4
1
4
2
3
6
2
sin cotgx
dx udu
u
x
π
π
=
∫ ∫
=
4
1
4
4
3
1
2 2 2( 3 1)

3
du u= = −
∫
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
(1®)
Ta có y= x-
2
1x −
, ∀ x≠ 1⇒ y’ = 1+
2
2
( 1)x −
, ∀ x≠ 1
0.25
0.25
3
Tung độ của tiếp điểm bằng 2 ⇒
2
2
1
x x
x
− −
−
= 2 ⇔ x=0 hoặc x=3
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M

0
(x
0
;y
0
) là :
y= y’(x
0
)(x-x
0
)+y
0
(*)
- Tại M
1
(0; 2) : Thay vào (*) ta có: y=
2
2
1 ( 0) 2 3 2
(0 1)
x x
 
+ − + = +
 
−
 
- Tại M
2
(3;2): Thay vào (*) ta có y=
2

2 3 5
1 ( 3) 2
(3 1) 2 2
x
x
 
+ − + = −
 
−
 
Vậy tại điểm có tung độ bằng 2 ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ
thị hàm số là y= 3x+2 và y=
3 5
2 2
x
−
0.25
0.25
IVb
2 đ
2)
(1®)
* Viết phương trình mặt phẳng (BCD):
- Mặt phẳng (BCD) nhận [
,BC BD
uuur uuur
] làm véc tơ pháp tuyến
Ta có:
( 3;0;1) ; BD ( 4; 1;2)BC = − = − −
uuur uuur

⇒ [
,BC BD
uuur uuur
]=
0 1 1 -3 -3 0
; ; (1;2;3)
-1 2 2 -4 -4 1
 
=
 ÷
 
Vậy mặt phẳng (BCD) có phương trình : 1(x-0)+2(y-2)+3(z-1)=0 hay
x+2y+3z-7=0
* Dễ thấy A( 3;-2;-2)
∉
(BCD) . Vậy bốn điểm ABCD không đồng
phẳng
0.25
0.25
0.25
0.25
Gọi R>0 là bán kính mặt cầu tâm A (3;-2;-2)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) ⇔ d(A; (BCD))= R
⇔
2 2 2
3 2( 2) 3( 2) 7
1 2 3
R
+ − + − −
=

+ +
⇔ R=
14
Vậy mặt cầu tâm A, bán kính R có phương trình:
(x-3)
2
+(y+2)
2
+(z+2)
2
= 14
0.25
0.25
0.25
0.25
Va
2 đ
1)
(1®)
Đặt
2
os3x
sin 3
3
du dx
u x
c
dv x
v
= −


= −


⇒
 
=
= −



⇒ I=
6
0
(2 )sin3x xdx
π
−
∫
=
6
0
os3x os3xdx
(2 )
6
3 3
0
c c
x
π
π

− − − =
∫
=
os3x sin 3
( 2).
6
3 9
0
c x
x
π
 
− −
 ÷
 
=
1 2 5
9 3 9
− + =
. Vậy I= 5/9
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
(1®)
Ta có : y’ = 3x
2
-6x ⇒ y’ = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2 ∈ [0;3]
Mặt khác : y(0) = - 2; y(2) = -4 ; y(3) = - 2

Vậy
[ ]
0;3
ax 2
x
M y
∈
= −
khi x= 0 hoặc x= 3
[ ]
0;3
4
x
Min y
∈
= −
khi x= 2
0.25
0.25
0.25
0.25
4
Vb
2 đ
1)
(1®)
Ta có
( 1;0;0)AB = −
uuur
(0;0;4)AC =

uuur
;
(0;2;0)AD =
uuur
⇒
. ( 1).0 0.0 0.(4) 0AB AC = − + + =
uuur uuur
Tương tự :
. 0AB AD =
uuur uuur
;
.AD AC
uuur uuur
=0
⇒ AB⊥AC; AB⊥AD; AC⊥AD (đpcm)
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
(1®)
Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :
x
2
+y
2
+z
2
-2ax -2by-2cz +d = 0 ( a
2

+b
2
+c
2
-d >0 )
Do A, B, C, D thuộc mặt cầu nên ta có hệ :
4 16 1 4 8 2 0
1 16 1 2 8 2 0
4 16 9 4 8 6 0
4 4 1 4 4 2 0
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + − − + + =


+ + − − + + =


+ + − − − + =


+ + − − + + =

2 4 8 21 (1)
2c+d = 2a+8b-18 (2)
2c+d = 4a+4b -9 (3)
4a+8b+6c - d = 29 (4)
c d a b+ = + −




⇔




(1)-(2) : 2a=3 ⇔ a=
3
2
(1)-(3) : 4b-12=0 ⇔ b=3
Thay vào (3) và (4) ta có hệ :
6 1 1
2 9 7
c d c
c d d
− = − =
 
⇔
 
+ = =
 
( thoả mãn a
2
+b
2
+c
2
-d>0)

Vậy phương trình mặt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-3x-6y-2z+7=0
0.25
0.25
0.25
0.25
Chó ý: C¸c c¸ch gi¶i kh¸c ®óng cho ®iÓm t¬ng øng
5