chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc
giải phơng trình, bất phơng trình
Phần I: Lý thuyết
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đó
+) M đợc gọi là GTLN của hàm số trên D. KH:
)(max xfM
Dx
=
thoả mãn
f(x)
DxM ,
Tồn tại
Dx
0
sao cho M = f(x
0
)
+) m đợc gọi là GTNN của hàm số trên D. KH:
)(min xfM
Dx
=
thoả mãn
f(x)
Dxm ,
Tồn tại
Dx
0
sao cho M = f(x
0
)

2. Tính chất :
a) Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A, B là hai tập con của D (
BA
). Giả sử tồn tại
)(max xf
Ax
,
)(max xf
Bx
,
)(min xf
Ax
,
)(min xf
Bx
. Khi đó, ta có
)(max xf
Ax



)(max xf
Bx
và
)(min xf
Ax

)(min xf
Bx
CM: Giả sủ

)(max xf
Ax
= f(x
0
) với x
0

A
. Do x
0

A

( )
BABx
0
Theo định nghĩa ta có,
)(max)(
0
xfxf
Bx

hay
)(max xf
Ax



)(max xf
Bx

b) Tính chất 2: Hàm số f(x) xác định trên D và tồn tại
)(max xf
Dx
và
)(min xf
Dx
Khi đó, ta có:
( )
)(min)(max xfxf
Dx
Dx
=


và
( )
)(max)(min xfxf
Dx
Dx
=


c) Tính chất 3: Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D và f(x)

g(x) với mọi x thuộc D
Khi đó,
)(max)(max xgxf
DxDx

d) Tính chất 4: Giả sử f(x) xác định trên D và

21
DDD =
. Giả thiết tồn tại
)(max xf
i
Dx
và
)(min xf
i
Dx

với
_
,1 ni =
. Khi đó,






=

)(max),(maxmax)(max
21
xfxfxf
DxDxDx
v
{ }
)(min),(minmin)(min

21
xfxfxf
DxDxDx
=
e) Tính chất 5: Cho các hàm số f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x) cùng xác định trên D.
Đặt f(x) = f
1
(x) + f
2
(x) + + f
n
(x). Giả thiết tồn tại,
)(min),(max),(min),(max xfxfxfxf
i
Dx
i
Dx
Dx
Dx




với

ni ,1=
. Khi đó, ta có
)(max )(max)(max)(max
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx
+++
Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x
0
thuộc D sao cho
)()(max
0
xfxf
ii
Dx
=

với
ni ,1=
)(min )(min)(min)(min
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx
+++
Dấu = xảy khi và chỉ khi tồn tại x
0
thuộc D sao cho
)()(min

0
xfxf
ii
Dx
=

với
ni ,1=
f) Tính chất 6: Cho các hàm số f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x) cùng xác định trên D và f
i
(x) > 0.
Đặt f(x) = f
1
(x). f
2
(x) f
n
(x). Giả thiết tồn tại,
)(min),(max),(min),(max xfxfxfxf
i
Dx
i
Dx
Dx

Dx




với
ni ,1=
. Khi
đó, ta có
))(max)) ((max))((max()(max
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx

)(min) (min)(min)(min
21
xfxfxfxf
n
DxDxDxDx

Phần II: Bài tập
Chuyên đề 1:
Phơng pháp bất đẳng thức
I/ Lý thuyết:
Bất đẳng thức cosi: Cho
n
aaaa , ,,,
321
là các số không âm. Khi đó,

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
.
Bất đẳng thức bunhiacopski: Cho
n
aaaa , ,,,
321
và
n
bbbb , ,,,
321
là 2n số bất kì. Khi đó,
( )( )
2

2211
22
2
2
1
22
2
2
1
) (
nnnn
babababbbaaa +++++++++
(1)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
.
II/ Bài tập:
Bất đẳng thức cosi

Bài 1: (1 24) Cho hàm số
44
4
2
111 xxxy +++=
. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Hàm số có TXĐ:
[ ]
1;1=D
Với mọi
Dx
, áp dụng bất đẳng thức cosi ta có,
2
11
1.11
44
4
2
xx
xxx
++
+=
(1)
2
11
1.11
44
+
=
x

xx
(2)
2
11
1.11
44
++
+=+
x
xx
(3)
Cộng vế với vế 3 đẳng thức trên ta có,
xxxf +++ 111)(
(4) với mọi
Dx
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi dấu = ở (1), (2) và (3) cùng xảy ra. Mà dấu = ở (1), (2) và
(3) xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
áp dụng bấtt đẳng thức cosi, với mọi
Dx
, ta có:
2
11
1.11
+
=
x
xx
(5)
2
11

1.11
++
+=+
x
xx
(6)
Suy ra,
3
2
2
2
2
1111)( =
+
+

++++
xx
xxxf
(7)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi dấu = trong (5) và (6) xảy ra. Dấu = trong (5) và (6) xảy ra
khi và chỉ khi x = 0.
Từ (4) và (7 suy ra,
3)( xf
với mọi
Dx

mà f(0) = 3 và
D

0
nên
3)(max =

xf
Dx
.
Bài 2: (31 68) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
21
2
)( xx
x
xf +=
.
Hàm số có TXĐ:






=
2
1
;1D
Với mọi
Dx
, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
2

22
2
211
)21(121
22
22
xxxx
xxxx

=
+
=
Khi đó,
11
2
22
2
21
2
)(
2
2
2
=

++= x
xxx
xx
x
xf

với mọi
Dx
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
0
2
1
1
11
211
2
2
=








=
=
x
x
x
xx
Suy ra,
1)(max =

xf

Dx
Bài 3: (30 66) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
y
x
x
yxf

+

=
11
),(
trên miền
{ }
1,0,0:),( =+>>= yxyxyxD
HD: (66)
Lấy (x, y)

D. Khi đó,
x
y
y
x
y
y
x
x
yxf +=

+

=
11
),(
áp dụng bất đẳng thức cosi







+
+
yx
x
y
xy
y
x
2
2

)(2),( yxyxyxf +++

Hay
yxyxf +),(
(4)
Mặt khác

)(
1111
),( yx
yxx
x
y
y
yxf ++=

+

=
(5)
Từ (4) và (5) suy ra
yx
yxf
11
),(2 +
hay








+
yx
yxf

11
2
1
),(
(6)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số
22
2
2211
4
=
+
+
yxxyyx
vì x + y = 1 (7)
Từ (7) suy ra,
222
2
111
2
1
),( =

+
yx
yxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
yx
yx
1111
==
hay
2
1
== yx
Mà
D






2
1
;
2
1
và
2
2
1
;

2
1
=






f
. Vậy
2),(min
),(
=

yxf
Dyx
Bài 4: (18 49) Tìm các giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên miền
{ }
0:),( >>= yxyxD
a)
)(
1
),(
yxy
xyxf

+=
b)
2

)1)((
4
),(
+
+=
yyx
xyxg
c)
2
)(
1
),(
yxy
xyxh

+=
HD:
a) Lấy
Dyx ),(
tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
3
)(
1
)(3
)(
1
)(
)(
1
),(

3
=



++=

+=
yxy
yxy
yxy
yxy
yxy
xyxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = x y =
)(
1
yxy




=
=

1
2
y
x
Có

D)1,2(
và
3)1,2( =f
. Vậy
3),(mi n
),(
=

yxf
Dyx
b) Lấy
Dyx ),(
tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
1
)1)((
4
2
1
2
1
)(
)1)((
4
),(
22

+
+
+
+

+
+=
+
+=
yyx
yy
yx
yyx
xyxg
3141
)1)((
4
.
2
1
.
2
1
).(4
4
2
==
+
++

yyx
yy
yx
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

=
=

+
=
+
=
1
2
)1)((
4
2
1
2
y
x
yyx
y
yx
Có
D)1,2(
và
3)1,2( =g
. Vậy
3),(min
),(
=

yxg
Dyx
c) Lấy
Dyx ),(
tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
22
2
4
4
4
)(
1
.
2
.4
)(
1
22
),(
4
4
2
2
2
===

+

+

+=
yxy
yx
y
yxy
yxyx
yyxh
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi





=
=


=

=
3

3
2
3
2
1
3
)(
1
2
y
x
yxy
yx
y
Có
D








2
3
,3
3
3
và

22
2
3
,3
3
3
=








h
. Vậy
22),(min
),(
=

yxh
Dyx
Bài 5: (2 25) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
zyx
x
z
z
y
y

x
zyx
xyzzyxf +++








+++=
111
)1(),,(
trên miền
{ }
0,0,0:),,( >>>= zyxzyxD
HD:
Ta có,
zyx
zyxy
x
xy
x
z
xz
z
y
yzzyxf ++++++++=
111

),,(
Lấy (x,y,z) tuỳ ý thuộc D. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
x
y
x
xyz
x
z
xzy
z
y
yz 2,2,2 +++
Khi đó,
6
111111
),,(






++

++






+=+++++ z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
zyxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1=== zyx
Vì (1, 1, 1) thuộc D và f(1,1,1) = 6 nên
6),,(min =

zyxf
Dx
B i 6 : (23 57) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

+








+






+=
zyx
zyxf
1
2
1
2
1
2),,(

và giá trị lớn nhất của hàm số
xyzxzyxg 16),,( +=
,

3
),,( xyzxyxzyxh ++=
trên miền
{ }
1,0,0,0:),,( =++>>>= zyxzyxzyxD
HD: (57)
a) Lấy (x,y,z)

D tuỳ ý. áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
5
2
511111
1
2
x
yz
x
z
x
y
x
zyx
x
++++=
++
++=+
5
2
511111
1

2
y
xz
y
z
y
x
y
zyx
y
++++=
++
++=+
5
2
511111
1
2
z
xy
z
y
z
x
z
zyx
z
++++=
++
++=+

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức ta có,
125),,( zyxf
với mọi (x,y,z) thuộc D
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
3
1
1 ========= zyx
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
Mà
D






3
1
;

3
1
;
3
1
và
125
3
1
;
3
1
;
3
1
=






f
. Vậy
( )
125,,min
),,(
=

zyxf

Dzyx
b) Lấy (x,y,z)
D
với x + y + z = 1 khi đó,
)161)((161)1(16)(1),,( yzzyyzzyyzzyzyxg +++=++=
áp dụng bất đẳng thức cosi ta có,
yzzy 2+
và
yzyz 8161 +
yzyzzy 16)161)(( ++
Khi đó,
116161),,( =+ yzyzzyxg
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi












==
=

>>>
=++

=
=
4
1
2
1
0,0,0
1
116
zy
x
zyx
zyx
yz
zy
Mà
D






4
1
,
4
1
,
2

1
và
1
4
1
,
4
1
,
2
1
=






g
. Vậy
1
4
1
,
4
1
,
2
1
max

),,(
=






=

g
Dzyx
Bất đẳng thức bunhia
Bài 7: (15 45) Tìm GTLN của hàm số
111
),,(
+
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
zyxf
trên miền

{ }
1,0,0,0:),,( =++>>>= zyxzyxzyxD
HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó, ta có






+
+








+
+






+
=
1

1
1
1
1
1
1
1
1),,(
zyx
zyxf









+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1

1
3
zyx
(1)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số








+++ 1
1
,
1
1
,
1
1
zyx
và
( )
1,1,1 +++ zyx
có
( ) ( )
9111)1()1()1(
1
1

1
1
1
1
2
=+++++++








+
+
+
+
+
zyx
zyx
(2)
Mà x + y + z = 1 từ (2) suy ra
4
9
1
1
1
1
1

1









+
+
+
+
+ zyx
(3)
Kết hợp (1) và (3) suy ra
3
4
4
9
3),,( =zyxf
có
D

3
1
,
3
1
,
3
1
và
3
4
3
1
,
3
1
,
3
1
=






f
Vậy
3
4

),,(max =

zyxf
Dx
Bài 8: (34 74) Tìm GTLN của hàm số
)(),,( xzyzyxf =
trên miền
{ }
6)(2,1:),,(
222
=++=+= yxyyzxzyxD
HD: Ta có f(x,y,z) = y(z x) = z(2x + y) + (- x)(2z + y)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
)(, xz
và
( )
yzyx ++ 2,2
ta có
( )( )
[ ]
2
2
2222
)]([)2)(()2()2()2()( xzyyzxyxzyzyxxz =+++++++
Mà x
2
+ z
2
= 1 và (2x + y)

2
+ (2z + y)
2
= 2y
2
+ 4y(x + z) + 4(x
2
+ y
2
) = 16 vì y
2
+ 2y(x + z) = 6
Khi đó,
[ ]
4)(1616.1)(
2
= xzyxzy
hay f(x, y, z)
4
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

=
=
=

+
+
=

=++
=+
10
1
10
10
3
2
2
6)(2
1
2
22
z
y
x

yz
yx
x
z
zxyy
zx
Có
4
10
1
,10,
10
3
,
10
1
,10,
10
3
=

fD
. Vậy
4),,(max =

zyxf
Dx
Bài 9 Bài 36(77)
a) Tìm GTNN của hàm số
yx
yxy
y
x
x
yxf ++
+
+

+

=
1
11
),(

22
trên miền
{ }
10,10:),( <<<<= yxyxD
HD:Với moi (x, y) thuộc D ta có,
2
1
1
1
1
1
),(
22

+
+++

+++

=
yx
y
y
y
x
x
x
yxf
2
1

1
1
1
1

+
+

+

=
yxyx
(1)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số








+ yxyx
1
,
1
1
,
1
1

và
yxyx + ,1,1(
Ta có,
( ) ( )
9111)()1()1(
1
1
1
1
1
1
2
=+++++









+

+

yxyx
zyx

2

91
1
1
1
1

+
+

+
yxyx
(2)
Từ (1) và (2)
2
5
2
2
9
),( = yxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi







==
+
=

+
=

3
1
1
1
1
1
1
1
yx
yxy
yxx
Có
2
5
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
=

fD
. Vậy
2
5
),(min =

yxf
Dx
Bài8: Bài 37(83) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
zyxzyxf ++=),,(
trên miền

++=
3
4
)1()1()1(:),,( zzyyxxzyxD
HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó,
4)(3)(3
3
4
)1()1()1(
222
+++++++ zyxzyxzzyyxx
áp dụng bất đẳng thứ bunhia cho hai cặp số
( )
1,1,1
và
),,( zyx
ta có:
2222
)()(3 zyxzyx ++++
Bài 10: bài 39(85) Tìm GTNN và GTLN của hàm số
333
),,( zyxzyxf ++=
và GTLN của hàm số
4
4
4
),,( zyxzyxg ++=
trên miền
{ }
1,0,0,0:),,( =++= zyxzyxzyxD

HD:
a) Xét hàm số
333
),,( zyxzyxf ++=
trên
{ }
1,0,0,0:),,( =++= zyxzyxzyxD
Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
zzyyxx ,,
và
( )
zyx ,,
Ta có, suy ra,
2222
)(),,( zyxzyxf ++
(1) do x + y + z = 1
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho cặp số
( )
1,1,1
và
),,( zyx
Ta có,
3
1
)()(3
2222222
++++++ zyxzyxzyx
(2)
Từ (1) và (2) suy ra

9
1
),,( zyxf
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=== zyx
Có
9
1
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
=

fD
. Vậy
9
1
),,(min =

zyxf
Dx
b) Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
4
4
4
,, zyx
và (1, 1, 1)
Ta có,
( )
2
4

4
4
)(3 zyxzyx ++++
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số
( )
zyx ,,
và (1, 1, 1)
Ta có,
3)()(3
2
++++++ zyxzyxzyx
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2733),,(
2
=zyxg
hay
4
27),,( zyxg
Dấu = xảy ra dấu = ở (1) và (2) cùng xảy ra hay
3
1
=== zyx
Có
4
4
27
3
3

3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
,
3
1
==

gD
. Vậy
4
27),,(max =

zyxf
Dx

Chuyên đề 2:
Phơng pháp miền giá trị hàm số
Phơng pháp: Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trớc.
B 1: Gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) trên D.
B 2: Giải điều kiện để hệ phơng trình (ẩn x):




=
Dx
yxf
0
)(
B 3: Biến đổi đa hệ phơng trình về dạng:


0
y

B 4: Vì y
0
là giá trị bất kì trên D. Đa ra kết luận.
Bài tập:
Bài 1: (96-185) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
102
2372
)(
2
2
++
++
=
xx
xx
xf
trên toàn trục số.
TXĐ: R
Gọi y
0
là một giá trị của hàm số. Khi đó, phơng trình
0
2
2
102
2372
y
xx
xx
=

++
++
(1) có nghiệm
Vì x
2
+ 2x + 10
0
>
nên (1)
)102(2372
2
0
2
++=++ xxyxx
02310)72()2(
00
2
0
=++ yxyxy
(2) có nghiệm
TH 1: y
0
= 2 phơng trình (2) trở thành
1033
==
xx
)1(
có nghiệm
TH 2: y
0

0, khi đó phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi
0
0)2310)(2(4)72(
00
2
0
= yyy
2,
2
5
2
3
015169
000
2
0
+ yyyy
Vì y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số y = f(x), nên
2
3
)(min,
2
5
)(max ==

xfxf
Rx
Rx
Bài 2: (97 188) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1
324
2
2
+
++
=
x
xx
y
Đ/S:
51
0
y
Bài 3: (98 191) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
123
3102
2
2
++
++
=
xx
xx
y
Đ/ S:

4
1531
4
1531
0
+


y
Bài 4: (100-193) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
22
),( yxyxf +=

trên một miền
{ }
04)1(:),(
2222222
=++= yxyxyxyxD
HD: Gọi t
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D.
Khi đó, hệ phơng trình



=++
=+
)2(04)1(
)1(
2222222

0
22
yxyxyx
tyx
có nghiệm
Từ (2)
041)(3)(
222222
=++++ xyxyx
thế (1) vào đợc phơng trình
0413
2
0
2
0
=++ xtt
(3)
Để hệ cố nghiệm thì (3) có nghiệm
2
53
2
53
013
00
2
0
+


+ ttt

Khi đó, (3) có nghiệm
4
13
0
2
0
2
+
=
tt
x
thế vào (2)
4
1
0
2
0
2
++
=
tt
y
thoả mãn có nghiệm
Mà t
0
là một giá trị tuỳ ý của f(x,y) trê D nên
2
53
),(max
),(

+
=

yxf
Dyx
và
2
53
),(min
),(

=

yxf
Dyx
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
7
12
),(
22
++
++
=
yx
yx
yxf
trên miền
{ }
1:),( =+= yxyxD
HD: Gọi t

0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D.
Khi đó, hệ phơng trình





=+
=
++
++
)2(1
)1(
7
12
0
22
yx
t
yx
yx
có nghiệm
Từ (2) có x = 1 y thế vào (1)
( )
[ ]
0
22
712 tyyy ++=+
vì x

2
+ y
2
+ 7 > 0
028)12(2
00
2
0
=++ tytyt
(3)
Để hệ có nghiệm thì (3) có nghiệm
TH 1: t
0
= 0 khi đó, (3) trở thành y 2 = 0
2= y
, x = 3. phơng trình có nghiệm
TH 2: t
0


0 đợc phơng trình bậc hai, phơng trình có nghiệm
0,
20
1025
30
1025
0120600)28(8)12(
000
2
000

2
0

+


+= ttttttt
Kết hợp (3) có nghiệm khi
20
1025
30
1025
0
+


t
Vì t
0
là một giá trị bất kì của f(x,y) trên D nên
30
1025
),(max
),(
+
=

yxf
Dyx
và

30
105
),(min
),(

=

yxf
Dyx
Bài 6: (99 -192) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
22
22
4
)4(
),(
yx
yxx
yxf
+

=
trên
{ }
0:),(
22
>+= yxyxD
HD: Xét
{ }
0,0:),(
1

== yxyxD
và
{ }
0:),(
2
= yyxD
. Khi đó,
21
DDD =
Nếu
1
),( Dyx
thì f(x,y) = 0. Vậy
0),(min),(max
1
1
==


yxfyxf
Dx
Dx
Nếu
2
),( Dyx
. Khi đó, ta có
1
2
2
22

),(
2
22
+

























=

y
x
y
x
y
x
yxf
Đặt
y
x
t
2
=
, đợc hàm số
1
44
1
)2(
)(
22
22
+

=
+

=
t
t
t

tt
tF

Khi đó
)(min),(min),(max),(max
2
2
),(
),(
tFyxftFyxf
RtDyx
RtDyx


==
Gọi

là một giá trị bất kì của hàm số F(t).
Khi đó, phơng trình

=
+

1
44
2
t
t
044
2

=++

tt
(1) có nghiệm
TH 1: Với

= 0 phơng trình (1) có nghiệm t =1.
TH 2: Với


0 phơng trình (1) có nghiệm
0,2222220)4(4' ++=

Kết hợp (1) có nghiệm khi
222222 +

Suy ra,
222)(max),(max
2
),(
+==

tFyxf
RtDyx
và
222)(min),(min
2
),(
==

tFyxf
RtDyx
Vậy
{ }
222222,0max),(max),,(maxmax),(max
21
+=+=






=

yxfyxfyxf
DxDxDx

{ }
{ }
222222,0min),(min),,(minmin),(min
21
===

yxfyxfyxf
DxDxDx
Bài 7: (101-194) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
22
42
)1(

343
)(
x
xx
xf
+
++
=
HD: Gọi y
0
là một giá trị tuỳ ỳ của f(x).
Khi đó, phơng trình
0
22
42
)1(
343
y
x
xx
=
+
++
có nghiệm
03)2(2)3(
0
2
0
4
0

=++ yxyxy
(1)
Để (1) có nghiệm xét hai TH
TH 1: y
0
= 3 khi đó (1) trở thành x
2
= 0. Vậy (1) có nghiệm.
TH 2: (1) có nghiệm khi và chỉ khi hệ



=++

)2(03)2(2)3(
0
00
2
0
yyty
t
Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t

0 mà (2) có P = 1 > 0

(2) có 2 nghiệm cùng dấu
Khi đó, (2) có nghiệm

3
2
5
0
0'
0
t
S
Kết hợp hai trờng hợp (1) có nghiệm khi



3
2
5
0
t
Vậy
Bài 8: (105 201) Cho hàm số
1
)(
2
2
+
++
=
x

qpxx
xf
. Tìm p, q để
1)(min,9)(max ==


xfxf
Rx
Rx
HD: Gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x).
Khi đó, phơng trình
0
2
2
1
y
x
qpxx
=
+
++
(1) có nghiệm
Ta có, (1)
0)()1(
0
2
0
=+ qypxxy

(2)
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm, xét 2 trờng hợp
TH 1: y
0
= 1 thì (2) có nghiệm khi
0p
hoặc p = 0 và q = 1.
TH 2: y
0


1 thì (2) có nghiệm khi
0))(1(4
00
2
= qyyp

0)4()1(44
2
0
2
0
+ qpyqy
201
yyy
Ta có
21
1 yy
vì với y
0

= 1 có
qp = 0
2
Kết hợp hai trờng hợp ta có để (1) có nghiệm là
201
yyy
Khi đó, tacó
21
)(max,)(min yxfyxf
Rx
Rx
==


Theo viét ta có



=
=






=

=
=+=+

8
7
9
4
4
.
81
2
21
21
p
q
qp
yy
qyy
Vậy
Bài 9: (106 202) Cho hàm số
36
)(12
2
+
+
=
x
axx
y
tìm a nguyên khác 0 sao cho đại lợng
)(max xf
Rx
cũng

là số nguyên.
HD: Gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x).
Khi đó, phơng trình
0
2
36
)(12
y
x
axx
=
+
+
(1) có nghiệm
Từ (1) ta có
)2(03612)12(
0
2
0
=++ yaxxy
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm. Để (2) có nghiệm xét hai trờng hợp
TH 1: y
0
= 12 có (2) trở thành x = 0. Vậy (2) có nghiệm
TH 2:
12
0
y

thì (2) có nghiệm
0)12(3636'
00
2
= yya
012
2
0
2
0
ayy

2
0
2
366366 aya +++
Nhận thấy y
0
= 0 thì
aa <= 0'
2
do vậy
22
3660366 aa +++
Kết hợp hai trờng hợp để (1) có nghiệm thì
2
0
2
366366 aya +++
Vậy

2
366)(max axf
Rx
++=

. Tìm a nguyên khác 0 để
2
36 a+
= k (3) nguyên dơng.
Nếu a > 0 thoả mãn (3) thì - a cũng thoả mãn 3, xét a > 0 khi đó, (3)
))((36
22
akakak +==
Vì k + a > 0 suy ra k a > 0 và k + a và k a là số nguyên. Suy ra



=+
=
18
2
ak
ak
8
=
a
Vậy a = 8 và a = - 8 thì
Chuyên đề 3:
Phơng pháp sử dụng đạo hàm của hàm số.
Phơng pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b]

B 1: Giải phơng trình f (x) = 0 để tìm các nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, ,x
n
trong [a; b].
B 2: Tính các số f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
).
B 3: Kết luận GTLN là số lớn nhất, GTNN là số nhỏ nhất trong các giá trị trên.
Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
xxy
220
cossin +=
HD: Do
+=

++






+ xxxx
202022
sincos
2
cos
2
sin

hàm số
xxy
2020
cossin +=
tuần hoàn với chu
kì
2

=T
. Do vậy, ta chỉ cần tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 chu kì

2
;0

.
Ta có,
xxxxy sin.cos20cos.sin20'
1919
=
. Xét y = 0
















=
=
=

=
=
=

4
2
0
sincos
0cos
0sin


x
x
x
xx
x
x
Bảng biến thiên: x 0
4


2

y 0 - 0 + 0
1 1
y

9
2

1






Kết luận:
512
1
min,1max ==


yy
Rx
Rx
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
102
2372
)(
2
2
++
++
=
xx
xx
xf
.
Bài 3: Cho hàm số

1
)(
2
2
+
++
=
x
qpxx
xf
. Tìm p, q để
1)(min,9)(max ==


xfxf
Rx
Rx
Chuyên đề 4:
Phơng pháp chiều biến thiên của hàm số
Phơng pháp: Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất và bậc hai. Lập bảng biến
thiên của hàm f(x) cần tìm GTLN, GTNN trên D cho trớc.
Tính chất 1
+) Hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịc biến khi a < 0.
+) Hàm số y = ax
2
+ bx + c:
Nếu a > 0: Đồng biến khi
a
b
x

2
>
, nghịch biến khi
a
b
x
2
<
Nếu a < 0: Đồng biến khi
a
b
x
2
<
, nghịch biến khi
a
b
x
2
>
Tính chất 2:
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì - f(x) là hàm nghịch biến trên D.
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D và f(x) > 0 thì hàm
)(
1
xf
nghịch biến trên D.
Tính chất 3:
+) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm đồng biến trên D thì hàm f(x) + g(x) cũng đồng biến trên D.
+) Nếu f(x), g(x) là hai hàm đồng biến trên D và f(x) >0, g(x) > 0 trên D thì hàm f(x).g(x) cũng

đồng biến trên D.
Bài tập
Bài 1: (107 206) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
136342 ++++= xxxxy
xét trên miền
{ }
43: = xxD
.
HD: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D
Bài 2: (108 207) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1274223
22
++++= xxxxxy
trên miền
{ }
53: = xxD
Bài 3: (110-210) Tìm GTNN và GTNN của hàm số
zxyzxyzyxzyxf +++++=),,(
trên miền
{ }
1:),,(
222
=++= zyxzyxD
Bài 4: (111 211) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
3104)(
234
+= xxxxxf
trên miền
{ }
41: = xxD

Bài 5: (114 216) Tìm GTLN và GTNN của hàm số








++=
yx
yxyxf
11
)(),(
trên miền
{ }
21,31:),( = yxyxD
Bài 6: (119 227) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
31863 xxxxy +++=
trên miền
{ }
63: = xxD
Bài 7: (121 236) Cho hàm số
aaaxxxf 244)(
22
+=
xét trên miền
{ }
02: = xxD

. Tìm a để
hàm số có
2)(min =

xf
Dx
.
Bài 8: (123 234) Cho phơng trình
034)2(22
32
=+++++ mmxmx
. Khi phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
xét đại lợng A = x
1
+ x
2
+ 3x
1
x
2
. Tìm GTLN và GTNN của A.
Bài 9: (125 -240) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1)(
2
++= mxxxf
trên miền
11

x
. Biện luận
kết quả theo m.
Bài 10: (126 241) Cho hàm số
axxxf +=
2
)(
. Tìm a để
1)(min >

xf
Rx
Chuyên đề 5:
ứng dụng của GTLN và GTNN trong việc giải và biện
luận phơng trình và bất phơng trình.
Phơng pháp: Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = d(m). Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên I và so
sánh các GTLN và GTNN với a. Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình.
Bài tập:
Bài 1: (3-150-tuyển tập hàm số)
a) Tìm m để phơng trình
mxx =++ 12
2
có nghiệm.
b) Tìm m để bất phơng trình
Rxmxx >++ 12
2
HD: Xét hàm số
12
2

1'12
2
2
+
+=++=
x
x
yxxy
Xét



=
=+
<
=+=
2
1
412
0
2120'
22
2
x
xx
x
xxy
Bảng biến thiên:
a) Phơng trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi
2

1
m
.
b) Bất phơng trình f(x) > m có nghiệm với mọi m khi
mxf
Rx
>=

2
1
)(min
Bài 2: Tìm m để phơng trình
mxxxx =+++ )2)(2(22
có nghiệm.
Bài 3: Tìm m để bất phơng trình
Rxmxmx + 04
4
.
HD: Bất phơng trình
m
x
x
xfxxm
+
=+
1
4
)(4)1(
4
4

.
Có
4
24
4
3
1
0
)1(
)31(4
)(' ==
+

= x
x
x
xf
Bảng biến thiên:
VËy ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng mäi x th×
mfxf
Rx
≤=









=
∈
4
4
27
3
1
)(max