Chuyên đề 2 BDHSG toán 8

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
Chuyên đề 2
Biến đổi biểu thức đại số
a biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 2 n
(a a a )+ + + =
=

+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a a 2(a a a a a a a a a a a a )
;

2. (a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
= a
3
b
3
3ab(a b);
(a b)
4
= a
4
4a
3
b + 6a
2
b
2
4ab
3
+ b
4
;

3. a
2
b
2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a
n 2
b + a
n 3
b
2
+ + ab
n 2
+ b
n 1

) ;
4. a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
ab + b
2
)
a
5
+ b
5
= (a + b)(a
4
a
3
b + a
2
b
2
ab
3
+ b
5
) ;
a
2k + 1
+ b

2k + 1
= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal
Đỉnh 1
Dòng 1 (n = 1) 1 1
Dòng 2 (n = 2) 1 2 1
Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng
hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 =
3 + 1, Khai triển (x + y)

n
thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng
trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn,
với n = 4 thì :
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
và với n = 5 thì :
(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a

2
b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3
[(x + y) z]
3
[z (x y)]
3
[z + (x y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)

2
z + 3(x + y)z
2
+ z
3
] [(x + y)
3
3(x + y)
2
z + 3(x + y)z
2
z
3
]
[z
3
3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
(x y)
3
] [z
3
+ 3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
+ (x y)
3

]
= 6(x + y)
2
z 6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4
; d) x
5
+ y
5
Lời giải
a)
x
2
+ y

2
= (x + y)
2
2xy = a
2
2b
b)
x
3
+ y
3
= (x + y)
3
3xy(x + y) = a
3
3ab
c)
x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
2x
2
y

2
= (a
2
2b)
2
2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d)
(x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x
2
y
3
+ x
3

y
2
+ y
5
= (x
5
+ y
5
) + x
2
y
2
(x + y)
Hay : (a
2
2b)(a
3
3ab) = (x
5
+ y
5
) + ab
2
x
5
+ y
5
= a
5
5a

3
b + 5ab
2
Chú ý : a
6
+ b
6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7
+ b
7
= (a
3
+ b

3
)(a
4
+ b
4
) a
3
b
3
(a + b)
= (a
2
+ b
2
)(a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a
3
+ b
3
)
Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) a
3

+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
1
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a)
a
3
+ b
3
+ c
3

3abc = (a + b)
3
+ c
3
3abc 3a
2
b 3ab
2
= (a + b + c)[(a + b)
2
(a + b)c + c
2
] 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)
2
(a + b)c + c
2
3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b)
(a + b + c)
3
a
3

b
3
c
3
= [(a + b + c)
3
a
3
] (b
3
+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a

2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b
2
=
2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(

3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y

2
+ z
2
)
Lời giải
Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y)
3
= z
3
Hay x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y) = z
3
3xyz = x
3
+ y
3
+ z
3
Do đó : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (x
3
+ y

3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3
(z
2
+ x
2
) + z
3

(x
2
+ y
2
)
Mà x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = z
2
2xy (vì x + y = z). Tơng tự :
y
2
+ z
2
= x
2
2yz ; z
2
+ x
2
= y
2
2zx.
Vì vậy : 3xyz(x
2
+ y

2
+ z
2
) = x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3
2xy)
= 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) 2xyz(x
2

+ y
2
+ z
2
)
Suy ra : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (đpcm)
Bài tập
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;
b) x
4
+ 6x
3
+ 7x

2
6x + 1 ;
c) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2
;
d) 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x
8
+ x
4
+ 1;
b) x
10
+ x
5
+ 1 ;
c) x
12
+ 1 ;
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
b) (x + y + z)
5
x
5
y
5
z

5
.
4. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
6. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b)

2
.
7. Chứng minh rằng nếu (x y)
2
+ (y z)
2
+ (z x)
2
=
= (x + y 2z)
2
+ (y + z 2x)
2
+ (z + x 2y)
2
thì x = y = z.
8. a) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
và x, y khác 0 thì
a b
x y
=

.
2
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
b) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
và x, y, z khác 0 thì
a b c
x y z
= =
.
9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x

2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x
5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2

) ;
c) 10(x
7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
10. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)

2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2
.
11. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c
2
+ d
2
+ (c + d)

2
.
Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
12. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9

+ c
1945
.
13. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3
3a
2
+ 5a 17 = 0 và b
3
3b
2
+ 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
14. Cho a
3
3ab
2
= 19 và b
3
3a
2
b = 98. Hãy tính : E = a
2
+ b
2
.
15. Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2

= a
2
+ b
2
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8

; g) x
2008
+ y
2008
.
B biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 5.
a) Chứng minh rằng phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A
cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1.
Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+

là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản. Suy ra n + 5
phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k {1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là :
29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Ví dụ 6. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Lời giải

3
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
Ta có :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
a b 0
b c 0

c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a
ộ
=-
ờ
ờ
=-
ờ
ờ
=-
ở
đpcm.
Từ đó suy ra :
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a
+ + = + + =
-

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +

2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức :
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
Lời giải

Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;

a b a b P
+ -
+ = =


3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +
=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1

.
P a b
=
Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào
giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx + C
4
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
với :
1 1 1
A

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)

+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -


(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.
Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai

nghiệm.
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1
B x
x
= +
; c)
4
4
1
C x
x

= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
b)
3
3

3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + = + - + = - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
;
c)
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + = + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
D = 7.18 3 = 123.
Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải
5
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
Ta có :
2 2

2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ù ù
ù ù
- = =-
ớ ớ
ù ù
ù ù
- = =
ù ù
ù ù
ợ ợ
. Vậy

2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
Bài tập
16. Cho phân thức
3 2
3 2
n 2n 1
P
n 2n 2n 1
+ -
=
+ + +
.
a) Rút gọn P ;
b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu a) tại n luôn là
một phân số tối giản.
17. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :
12n 1
;
30n 2
+
+

3
4 2

n 2n
;
n 3n 1
+
+ +

2
2n 1
2n 1
+
-
.
b) Chứng minh rằng phân số
7 2
8
n n 1
n n 1
+ +
+ +
không tối giản với mọi số nguyên dơng n.
c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho
2
n 5
n 1
+
+
là phân số cha tối giản.
18. Tính các tổng sau :
a)
2 2 2

3 5 2n 1
A
(1.2) (2.3) [n(n 1)]
+
= + + +
+
;
b)
n
2 4
2
1 1 1 1
B 1
2 1 2 1 2 1
2 1
= + + + + +
+ + +
+
;
c)
1 1 1 1
C
1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4)
= + + +
+ +
;
d)
1 1 1
D
1.3 2.4 n.(n 2)

= + + +
+
;
e)
1 1 1 1
E
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1)
= + + + +
- +
;
f)
2 n
1.2! 2.3! n.(n 1)!
F
2 2 2
+
= + + +
(k! = 1.2.3k)
19. Tính các tích sau :
6
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
a)
2 2 2 2
1 1 1 1
G 1 1 1 1
2 3 4 n
ổ ửổ ửổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= - - - -

ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ ố ứ
;
b)
2 2 2 2
2 2 2 2
1 3 5 (2n 1)
H . . . .
2 1 4 1 6 1 (2n) 1
-
=
- - - -
;
c)
1 1 1
I 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 n
ổ ửổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - - -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứ ố ứ
+ + + + + +

;
d)
1 1 1 1
K 1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 n(n 2)
ổ ử
ổ ửổ ửổ ử
ữ
ữ ữ ữ
ỗ
ỗ ỗ ỗ
= + + + +
ữ
ữ ữ ữ
ỗ
ỗ ỗ ỗ
ữ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ
ỗ
ố ứố ứố ứ
ố + ứ
.
20. Tính :
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 3 5 2007
4 4 4 4

L
1 1 1 1
2 4 6 2008
4 4 4 4
ổ ửổ ửổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
+ + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ ố ứ
=
ổ ửổ ửổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
+ + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ ố ứ
.
21. Tính
1999 1999 1999 1999
1 1 1 1
1 2 3 1000
M
1000 1000 1000 1000

1 1 1 1
1 2 3 1999
ổ ửổ ửổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
+ + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ ố ứ
=
ổ ửổ ửổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
+ + + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ ố ứ
22. Thực hiện các phép tính :
a)
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;
b)

1 1 1
B
a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b)
= + +
- - - - - -
;
c)
2 2 2
a b c
C
(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
= + +
- - - - - -
;
d)
3 3 3
a b c
C
(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
= + +
- - - - - -
23. Rút gọn :
2 2 2 2 2
2
(a b c )(a b c) (bc ca ab)
A
(a b c) (ab bc ca)
+ + + + + + +
=
+ + - + +

.
24. Rút gọn :
3 3 4 2 2 4
3 3 4 2 2 4
(a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b
B :
(2a b) (2a b) 4a 7a b 3b
+ - - + +
=
+ - - + +
.
25. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau với x = 1,76 và y = 0,12 :
2 2 4 2 2
2 2 2 2
x y x y y 2 4x 4x y y 4 x 1
: :
2y x x xy 2y x y xy x 2x y 2
ộ ự
ổ ử
- + + - + + - +
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
-
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ

ỗ
- - - + + + + +
ố ứ
ở ỷ
.
7
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
(Trích đề thi HSG toàn quốc 1963)
26. Rút gọn :
3 2
2 2 2 2 3
a 1 2(a 1) 4(a 1) a 36a 144a 36a 144
a 2a 1 a 4 a a 2 a 3a 2 a 27
ộ ự
- - + - - +
ờ ỳ
+ - +
ờ ỳ
- + - + - - + +
ở ỷ
.
27. Thực hiện các phép tính :
a)
2 2 2
x yz y zx z xy
y z z x x y
1 1 1
x y z
- - -
+ +

+ + +
+ + +
;
b)
2 2 2
a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)
a b a c b c b a c a c b
(b c) (c a) (a b)
1 1 1
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + + + + +
+ + +
- - - - - -
+ +
- - -
+ + +
- - - - - -
;
c)
3 3 3
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
a b 2c b c 2a c a 2b
(a b) (c a)(c b) (b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a)
a b a ab b b c b bc c c a c ca a
+ - + - + -
+ +
- - - - - - - - -
+ + +
- + + - + + - + +
.

28. a) Biết a 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức :
3a 2b 3b a
P
2a 5 b 5
- -
= +
+ -
;
b) Biết 2a b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức :
5a b 3b 3a
Q
3a 7 2b 7
- -
= -
+ -
;
c) Biết 10a
2
3b
2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2
0, hãy tính :
2a b 5b a
R
3a b 3a b
- -
= +

- +
.
29. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
A
a b c b c a c a b
= + +
+ - + - + -
;
b)
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
B
a b c b c a c a b
= + +
- - - - - -
;
c)
a b b c c a c a b
C
c a b a b b c c a
ổ ửổ ử
- - -
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + + +
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
- - -
.
30. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của biểu thức :
a b c
1 1 1
b c a
ổ ửổ ửổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ
.
31. Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn điều kiện
a b b c c a
c a b
+ + +

= =
. Tính giá trị của
biểu thức :
b c a
1 1 1
a b c
ổ ửổ ửổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứố ứố ứ
.
32. a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng :
8
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
ổ ử
ữ
ỗ
+ + = + +
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
.
b) Tính D
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 3 4 5 2007 2008 2009
= + + + + + + + + + + + +
33. Đơn giản các biểu thức sau :
a)
3 4 4 4 3 3 5 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
b)
3 3
3 3 3 3
3

3 3 3 3
a(2b a ) b(2a b )
B a
a b a b
ộ ự ộ ự
- -
ờ ỳ ờ ỳ
= + -
ờ ỳ ờ ỳ
+ +
ở ỷ ở ỷ
.
34. a) Chứng minh rằng nếu abc = 1 thì
1 1 1
1
1 a ab 1 b bc 1 c ca
+ + =
+ + + + + +
.
b) Cho abcd = 1, hãy tính :
a b c d
1 a ab abc 1 b bc bcd 1 c cd cda 1 d da dab
+ + +
+ + + + + + + + + + + +
35. Chứng minh rằng nếu
1 1 1
2
a b c
+ + =
và a + b + c = abc thì

2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
.
(Trích đề thi HSG toàn quốc 1970)
36. Cho
x y z
0
a b c
+ + =
và
a b c
2
x y z
+ + =
. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
2 2 2
a b c
x y z
+ +
.
37. Cho
a b c a b c
b c a c a b
+ + = + +
. CMR tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau.
38. Rút gọn biểu thức :

2 2 2
2 2 2 (a b) (b c) (c a)
a b b c c a (a b)(b c)(c a)
- + - + -
+ + +
- - - - - -
.
39. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức :
a b c b c a c a b
0.
ab bc ca
+ - + - + -
- - =
Chứng
minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.
40. Rút gọn biểu thức :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
B (ab bc ca) abc
a b c a b c
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + + + - + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.

41. Cho a, b, c khác nhau đôi một và
1 1 1
0.
a b c
+ + =
Rút gọn các biểu thức :
a)
2 2 2
1 1 1
M
a 2bc b 2ca c 2ab
= + +
+ + +
;
b)
2 2 2
bc ca ab
N
a 2bc b 2ca c 2ab
= + +
+ + +
;
9
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
c)
2 2 2
2 2 2
a b c
P
a 2bc b 2ca c 2ab

= + +
+ + +
42. Xác định a, b, c sao cho :
a)
2 2
1 a bx c
x(x 1) x x 1
+
= +
+ +
; b)
2
1 a b
x 4 x 2 x 2
= +
- - +
;
c)
2 2
1 a b c
(x 1) (x 2) x 1 (x 1) x 2
= + +
+ + + + +
.
43. Rút gọn biểu thức :
2 2 2 2
2 2 2 2
3 1 7 1 11 1 2007 1
A . . .
5 1 9 1 13 1 2009 1

- - - -
=
- - - -
44. Rút gọn biểu thức :
n 1 n 2 n 3 2 1 1 1 1
:
1 2 3 n 2 n 1 2 3 n
ổ ử ổ ử
- - -
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + + + + + + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- -
.
45. Rút gọn biểu thức :
1 1 1 1

A
1(2n 1) 3(2n 3) (2n 3).3 (2n 1).1
1 1 1
B
1
3 5 2n 1
+ + + +
- - - -

=
+ + + +
-
.
46. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện abc = 1 và
1 1 1
a b c
a b c
+ + = + +
. Chứng minh
rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
47. Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2008 và
1 1 1 1
x y z 2008
+ + =
. Chứng minh rằng
tồn tại ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2008.
48. Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thỏa mãn
a b c
0
b c c a a b
+ + =
- - -
. Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c
0
(b c) (c a) (a b)
+ + =
- - -

.
49. Cho
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
+ + =
+ + +
.
50. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và
a b c
0
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng
ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 0.
51. Cho x
2

4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x
5
+
5
1
x
và B = x
7
+
7
1
x
.
52. Cho
2
x
2008.
x x 1
=
- +
Tính
2
4 2
x
M
x x 1
=
+ +
và
2

4 2
x
N
x x 1
=
- +
.
53. Cho dãy số a
1
, a
2
, a
3
, sao cho :
1
2
1
a 1
a
a 1
-
=
+
;
2
3
2
a 1
a
a 1

-
=
+
; ;
n 1
n
n 1
a 1
a
a 1
-
-
-
=
+
.
10
Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số
a) Chứng minh rằng a
1
= a
5
.
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a
101
= 108.
11