Chuyên đề 2 - LTĐH Toán Phần Phương trình và bất phương trình biên soạn theo CT chuẩn

CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[1]
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ, VÔ TỶ
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[2]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[3]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[4]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[5]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[6]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[7]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[8]
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[9]

C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA CĂN THỨC
DẠNG 1: HỆ PT ĐỐI XỨNG
Lưu ý: Khi đặt nhớ điều kiện của nó. VD:
*
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[10]
DẠNG 2: HỆ PT ĐẲNG CẤP
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[11]
DẠNG 3: HỆ PT KHÔNG CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[12]
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
*
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[13]
C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
*
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[14]
D. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
THAM SỐ
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ
II. SƠ LƯỢC VỀ PP TAM THỨC BẬC 2

CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[15]
E. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình
* Phương pháp
 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :
A B C D  
, ta thường bình
phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau

 
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C      
và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C 
ta được phương trình :
3
3 . .A B A B C C  
Ví dụ 1:
3 1 2 2 4 3x x x x     
Bình phương hai vế ta có :
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x     
Thử lại x=1 thỏa
 Nhận xét : Nếu phương trình :
       

f x g x h x k x  
Mà có :
       
f x h x g x k x  
, thì ta biến đổi phương trình về dạng :
       
f x h x k x g x  
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[16]
Ví dụ 2:
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x

      

2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm
0
x
như vậy phương trình luôn

đưa về được dạng tích
 
 
0
0x x A x 
ta có thể giải phương trình
 
0A x 
hoặc chứng
minh
 
0A x 
vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh
gía
 
0A x 
vô nghiệm
Ví dụ 3:
Giải phương trình sau :
 
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x         
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :
2 2
12 5 3 5x x x    
Bài 2. Giải phương trình :
2 3
3
1 1x x x   

2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng
A B C 
, mà :
A B C

 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của
x
. Ta có thể giải như sau :
A B
C A B
A B


   

, khi đĩ ta có hệ:
2
A B C
A C
A B



 

  


 


b) Ví dụ 4: Giải phương trình sau :
2 2
2 9 2 1 4x x x x x      
3. Phương trình biến đổi về tích
 Sử dụng đẳng thức
   
1 1 1 0u v uv u v      
   
0au bv ab vu u b v a      
2 2
A B
Ví dụ 5: Giải phương trình :
2
3
3 3
1 2 1 3 2x x x x      
Giải:
   
3 3
0
1 1 2 1 0
1
x
pt x x
x



      

 

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình :
2 2
3 3
3 3
1x x x x x    
Bài 2. Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x      
Bài 3. Giải phương trình :
4
3 4
3
x
x x
x
  

CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[17]
 Dùng hằng đẳng thức
Biến đổi phương trình về dạng :
k k
A B
Ví dụ 6. Giải phương trình :

3 3x x x  
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt
 
t f x
và chú ý điều
kiện của
t
nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến
t
quan trọng hơn
ta có thể giải được phương trình đó theo
t
thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung
những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn
 
t f x
thường là những phương trình dễ .
Ví dụ 7: Giải phương trình:
2 2
1 1 2x x x x     
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5x x x   
Bài 2. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :
 



2
2004 1 1x x x   
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6x x   
Bài 4. Giải phương trình :
2 4 2
3
2 1x x x x   
Bài 5. Giải phương trình sau :
2
1
2 3 1x x x x
x
   
Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản,
đôi khi phương trình đối với
t
lại quá khó giải.
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình:
2 2
0u uv v
 
  
(1) bằng cách
Xét
0v 
phương trình trở thành :
2
0

u u
v v
 
   
  
   
   
0v 
thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

       
. .a A x bB x c A x B x 

2 2
u v mu nv
 
  
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương
trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng :
       
. .a A x bB x c A x B x 
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[18]
Như vậy phương trình
   
Q x P x



có thể giải bằng phương pháp trên nếu
     
     
.P x A x B x
Q x aA x bB x




 


Xuất phát từ đẳng thức :
 
 
3 2
1 1 1x x x x    
     
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1x x x x x x x x x          
   
4 2 2
1 2 1 2 1x x x x x     
   
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x     
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
2 4
4 2 2 4 1x x x   

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai
2
0at bt c  
giải “ nghiệm đẹp”
Ví dụ 8: Giải phương trình :
 
3
3 2
3 2 2 6 0x x x x    
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình :
 
2 3
2 2 5 1x x  
Bài 2. giải phương trình sau :
2 3
2 5 1 7 1x x x   
b).Phương trình dạng :
2 2
u v mu nv
 
  
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình
phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Ví dụ 9. Giải phương trình :
2 2 4 2
3 1 1x x x x    
Bài tập áp dụng:
Bài 1. giải phương trình :
2 2

5 14 9 20 5 1x x x x x      
Bài 2.Giải phương trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x     
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phương trình tích
   
1 1 1 2 0x x x     
,
   
2 3 2 3 2 0x x x x     
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó
của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện
qua các ví dụ sau .
Ví dụ 10. Giải phương trình :


2 2 2
3 2 1 2 2x x x x     
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình:
2
2 2 4 4 2 9 16x x x    
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[19]
Bài 2. Giải phương trình :
 
2 2

1 2 3 1x x x x    
Bài 3. Giải phương trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x      
Bài 4. Giải phương trình:
2
2 2 4 4 2 9 16x x x    
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ
mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức
       
3
3 3 3
3a b c a b c a b b c c a        
, Ta có
     
3
3 3 3
0a b c a b c a b a c b c         
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
2 2
3 3
3
7 1 8 8 1 2x x x x x       
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0x x x x       
Ví dụ 11. Giải phương trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x        
Bài 1. Giải phương trình sau :

2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
Đặt
   
,u x v x
 
 
và tìm mối quan hệ giữa
 
x

và
 
x

từ đó tìm được hệ theo u,v
Ví dụ12. Giải phương trình:


3 3
3 3
25 25 30x x x x   
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
x x

x x
 
 
 
Bài 2. Giải phương trình:
4
4
1
2 1
2
x x   
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6x x   
5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải pt bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau:
 
 
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x

  


  



việc giải hệ này thì
đơn giản .
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt
 
y f x
sao cho (2) luôn đúng,
2 1y x  
, khi đó ta có phương trình :
 
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x        
Vậy để giải phương trình :
2
2 2x x x  
ta đặt lại như trên và đưa về hệ
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[20]
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
 
 
2
2
x ay b
y ax b
 
 


  


  


, ta sẽ xây dựng được
phương trình dạng sau : đặt
y ax b
 
  
, khi đó ta có phương trình :
 
2
a
x ax b b

 
 
    
Tương tự cho bậc cao hơn :
 
n
n
a
x ax b b

 
 
    

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :
 
' '
n
n
x p a x b
  
   
v đặt
n
y ax b
 
  
để đưa về hệ , chú ý về dấu của

???
Việc chọn
;
 
thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :
 
' '
n
n
x p a x b
  
   
là
chọn được.
Ví dụ 13. Giải phương trình:

2
2 2 2 1x x x  
Bài 1. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5x x x   
 Dạng hệ gần đối xứng
Ta xt hệ sau :
2
2
(2 3) 2 1
(1)
(2 3) 3 1
x y x
y x

   


  


đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng
ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :
Ví dụ 14 . Giải phương trình:
2
4 5 13 3 1 0x x x    
Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay
;
 
bằng cách viết lại phương trình

ta viết lại phương trình như sau:
2
(2 3) 3 1 4x x x     
khi đó đặt
3 1 2 3x y   
, nếu đặt
2 3 3 1y x  
thì chúng ta không thu được hệ như
mong muốn , ta thấy dấu của

cùng dấu với dấu trước căn.
Một cách tổng quát .
Xét hệ:
( ) . . (1)
( ) '. ' (2)
f x A x B y m
f y A x m
  


 

để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’,
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược
 
y g x
thay vào (1) ta được phương trình
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa
hệ phải giải được.
Một số phương trình được xây dựng từ hệ.

III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1. Dùng hằng đẳng thức :
 Từ những đánh giá bình phương :
2 2
0A B 
, ta xây dựng phương trình dạng
2 2
0A B 
Từ phương trình
   
2 2
5 1 2 9 5 2 1 0x x x x       
ta khai triển ra có phương trình :
 
2
4 1 2 1 4 5 1 9 5x x x x x      
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[21]
2. Dùng bất đẳng thức
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:
A m
B m





nếu dấu bằng ỏ (1) và
(2) cùng dạt được tại

0
x
thì
0
x
là nghiệm của phương trình
A B
Ta có :
1 1 2x x   
Dấu bằng khi và chỉ khi
0x 
và
1
1 2
1
x
x
  

, dấu bằng khi
và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình:
1
1 2008 1 2008 1
1
x x x
x
     

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :
 

( )
A f x
B f x







khi đó:
 
 
A f x
A B
B f x



 




 Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có
nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh
giá được
Ví dụ 15. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
2 2
9

1
x x
x
  

Bài tập áp dụng:
Bài 1. giải phương trình:
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0x x x x     
Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2 4
13 9 16x x x x   
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu
 Dựa vào kết quả : “ Nếu
 
y f t
là hàm đơn điệu thì
   
f x f t x t  
” ta có thể xây
dựng được những phương trình vô tỉ
Xuất phát từ hàm đơn điệu :
 
3 2
2 1y f x x x   
mọi
0x 
ta xây dựng phương trình :

 
   
3
3 2 2
3 1 2 1 2 3 1 (3 1) 1f x f x x x x x         
, Rút gọn ta được phương trình
 
3 2
2 3 1 2 3 1 3 1x x x x x     
Từ phương trình
 
 
1 3 1f x f x  
thì bài toán sẽ khó hơn
   
3 2
2 7 5 4 2 3 1 3 1x x x x x     
Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
Đặt
3 1y x 
khi đó ta có hệ :
3 2 3
2
2 7 5 4 2
3 1
x x x y
x y

   



 


cộng hai phương trình ta được:
   
3 2
2 1 1x x  
=
3 2
2y y
Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên?
Ví dụ 16. Giải phương trình :
 




2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x       
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[22]
Bài 1. Giải phương trình
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4x x x x x     
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1. Một số kiến thức cơ bản:
 Nếu

1x 
thì có một số t với
;
2 2
t
 
 
 

 
 
sao cho :
sin t x
và một số y với
 
0;y


sao cho
cosx y
 Nếu
0 1x 
thì có một số t với
0;
2
t

 

 

 
sao cho :
sin t x
và một số y với
0;
2
y

 

 
 
sao cho
cosx y
 Với mỗi số thực x có
;
2 2
t
 
 
 
 
 
sao cho :
tanx t
 Nếu :
x
,
y
là hai số thực thỏa:

2 2
1x y 
, thì có một số t với
0 2t

 
, sao cho
sin , cosx t y t 
Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :
 Nếu :
1x 
thì đặt
sin t x
với
;
2 2
t
 
 
 

 
 
hoặc
cosx y
với
 
0;y



 Nếu
0 1x 
thì đặt
sin t x
, với
0;
2
t

 

 
 
hoặc
cosx y
, với
0;
2
y

 

 
 
 Nếu :
x
,
y
là hai số thực thỏa:
2 2

1x y 
, thì đặt
sin , cosx t y t 
với
0 2t

 
 Nếu
x a
, ta có thể đặt :
sin
a
x
t

, với
;
2 2
t
 
 
 
 
 
, tương tự cho trường hợp
khác
 x là số thực bất kỳ thi đặt :
tan , ;
2 2
x t t

 
 
  
 
 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện
 
x f t
thì phải đảm bảo với mỗi
x
có duy nhất
một
t
, và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ công thức PT lượng giác đơn giản:
cos3 sint t
, ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ.
Chú ý :
3
cos3 4cos 3cost t t 
ta có phương trình vô tỉ:
3 2
4 3 1x x x  
(1)
Nếu thay
x
bằng
1

x
ta lại có phương trình :
2 2 2
4 3 1x x x  
(2)
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[23]
Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó:
3 2 2
4 12 9 1 2x x x x x    
(3)
Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ?
Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình
vô tỉ theo kiểu lượng giác .
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải phương trình sau :
   
2
3 3
2
2 1
1 1 1 1
3
3
x
x x x

 
      

 
 
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
 
    
 
HD:
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x



2)


2 2
1 1 1 2 1x x x    
Đs:
1

2
x 
Bài 3 . Giải phương trình sau:
3
6 1 2x x 
Bài 4. .Giải phương trình
2
2
1
1
1
x
x
 

 

 
Bài 5 .Giải phương trình :
 
 
2
2
2
2
2
1
1
1
2

2 1
x
x
x
x
x x


  

Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau:
11,
12,
13,
14,
15,
16,
17,
18,
19,
20,
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN PT & BẤT PT
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
[24]