Chuyên đề 2 toán 8

Trờng THCS An Hoà Năm học 2008 - 2009
Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.
A.Lí thuyết:
1. các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A+B)
2
= A
2
+2AB+B
2
(A-B)
2
= A
2
-2AB+B
2
A
2
-B
2
= (A+B)(A-B)
(A+B)
3
= A
3
+3A
2
B +3AB
2
+B
3

(A-B)
3
= A
3
-3A
2
B +3AB
2
-B
3
A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-AB+B
2
)
A
3
-B
3
=(A-B)(A
2
+AB+B
2
)
2. Một số hằng đẳng thức khác:

2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 3
( ... ) ... 2 2
n n
A A A A A A A A A A+ + + = + + + + +

1 2 3 2
... 2 2 ... 2
n n
A A A A A A+ + + + +

1
... 2
n n
A A

+ +
VD: (A+B+C)
2
=A
2
+B
2
+C
2
+2AB+2AC+2BC
(A-B+C)
2
=A
2

+B
2
+C
2
-2AB+2AC-2BC

1 2 2 1
( )( . ... . )
n n n n n n
x y x y x x y x y y

= + + + +
, 0n N n
>

1 2 3 2 2 1
( )( . . ... . )
n n n n n n n
x y x y x x y x y x y y

= + + +
, 0n N n
>
, n lẻ
B. Một số ví dụ minh hoạ:
Hằng đẳng thức đáng nhớ đợc học trong chơng trình cho ta kết quả cuối cùng của
các phép nhân đa thức với đa thức:
Bài toán 1 : Cho đa thức 2x
2
-5x+3 . Viết đa thức trên dới dạng một đa thức của biến y

trong đó y= x+1.
HD : Thay x = y-1 ta đợc :
2x
2
-5x+3 = 2.( y-1)
2
-5.( y-1)+3 = 2.( y
2
-2y+1)-5y+5+3 = 2.y
2
-9.y+10.
Bài toán 2 : Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
A = (2+1).(2
2
+1).(2
4
+1).(2
8
+1).(2
16
+1)
B = 2
32
.
HD : Nhân hai vế của A với (2-1) ta đợc:
A = (2-1). (2+1).(2
2
+1).(2
4
+1).(2

8
+1).(2
16
+1).
áp dụng hằng đẳng thức A
2
-B
2
= (A+B)(A-B) nhiều lần ta đợc :
A= 2
32
-1. Vậy A <B .
Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức : C = (a+b+c)
3
+(a-b-c)
3
-6.a.(b+c)
2
.
HD : C = [a+(b+c)]
3
+[a-(b-c)]
3
- 6.a.(b+c)
2
= a
3
+3.a
2
.(b+c)+3.a.(b+c)

2
+(b+c)
3
+a
3
-3.a
2
+3.a.(b+c)
2
-(b+c)
3
- 6.a.(b+c)
2
= 2.a
Chuyên đề bồi dỡng học sinh Toán 8- Nguyễn Đức Huy
1
Trờng THCS An Hoà Năm học 2008 - 2009
Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài toán 4 : Tính
a). ( 2.x+3)
2
; ( 2.x- 3)
2
b). ( x+
4
1
)
2
; ( x -
4

1
)
2

c). ( 3.x+ 5.y)
2
; ( 3.x- 5.y)
2
d). ( 2.x
2
.y+
3
1
.x.y
2
)
2
; ( 2.x
2
.y-
3
1
.x.y
2
)
2

HD :
a). Ta có ( 2.x+3)
2

= 4.x
2
+ 12.x +9 ; ( 2.x-3)
2
= 4.x
2
- 12.x +9.
b). Ta có ( x+
4
1
)
2
= x
2
+
2
1
x+
16
1
; ( x-
4
1
)
2
= x
2
-
2
1

x+
16
1
.
c). Ta có ( 3.x+ 5.y)
2
=9.x
2
+30.x.y+25y
2
; ( 3.x- 5.y)
2
=9.x
2
-30.x.y+25y
2
.
d). Ta có ( 2.x
2
.y+
3
1
.x.y
2
)
2
= 4.x
4
.y
2

+
3
4
x
3
.y
3
+
9
1
x
2
.y
4

( 2.x
2
.y-
3
1
.x.y
2
)
2
= 4.x
4
.y
2
-
3

4
x
3
.y
3
+
9
1
x
2
.y
4
Bài toán 5 : Tính
a). ( 2.x+3)
3
; ( 2.x- 3)
3
b). ( x+
4
1
)
3
; ( x -
4
1
)
3

c). ( 3.x+ 5.y)
3

; ( 3.x- 5.y)
3
d). ( 2.x
2
.y+
3
1
.x.y
2
)
3
; ( 2.x
2
.y-
3
1
.x.y
2
)
3

HD : a). Ta có ( 2.x+3)
3
= 8.x
3
+36.x
2
.y+54.x.y
2
+27.

Ta có ( 2.x-3)
3
= 8.x
3
-36.x
2
.y+54.x.y
2
-27.
b). Ta có ( x+
4
1
)
3
= x
3
+
4
3
x
2
+
16
3
x +
64
1
.
Ta có ( x-
4

1
)
3
= x
3
-
4
3
x
2
+
16
3
x -
64
1
.
c). Ta có ( 3.x+ 5.y)
3
=27.x
3
+135.x
2
y+225.xy
2
+125.y
3
Ta có ( 3.x- 5.y)
3
=27.x

3
-135.x
2
y+225.xy
2
-125.y
3
d). Ta có ( 2.x
2
.y+
3
1
.x.y
2
)
3
= 8.x
6
.y
3
+4.x
5
.y
4
+
3
2
x
4
.y

5
+
27
1
x
3
.y
6
Ta có ( 2.x
2
.y-
3
1
.x.y
2
)
3
= 8.x
6
.y
3
- 4.x
5
.y
4
+
3
2
x
4

.y
5
-
27
1
x
3
.y
6
Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ.
c. Một số bài tập áp dụng:
Chuyên đề bồi dỡng học sinh Toán 8- Nguyễn Đức Huy
2
Trờng THCS An Hoà Năm học 2008 - 2009
Bài toán 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức sau
a). 127
2
+146.127+73
2
b). 9
8
.2
8
- (18
4
-1).(18
4
-1).
c). 100
2

-99
2
+98
2
-97
2
+ +2
2
-1
2
d).( 20
2
+18
2
+ +4
2
+2
2
)-(19
2
+17
2
+..+1
2
)
e).
22
22
75125.150125
220780

++

f).34
2
+66
2
+68.66
Bài toán 2 : Tính
a). (x+2y)
2
; (x-2y)
2
; (x+2y)
3
; (x-2y)
3
; b). (3x+y)
2
; (3x-y)
2
; (3x+y)
3
; (3x-y)
3
c).(x
2
-
3
1
).(x

4
+
3
1
.x
2
+
9
1
) d). (0,1x+y
2
).(0,01x
2
-0,1x.y
2
+y
4
)
e).3x
n-2
(x
n+2
-y
n+2
) + y
n+2
(3x
n-2
-y
n-2

). f).(a+b- c)
2
- (a+b+c)
2
Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức
a).(x
2
+2)
2
-(x+2).(x
2
+4) b). 5(x+2).(x-2)-
2
1
(6-8x)
2
+17.
c).(x
2
-1)
3
-(x
4
+x
2
+1).(x
2
-1) d).(x
4
-3x

2
+9)(x
2
+3)- (3+x
2
)
3
.
Bài toán 4 : Tìm x biết
a).(x+2).(x
2
-2x+4)-x(x
2
+2)=15 b). (x-2)
3
-(x-3)(x
2
+3x+9)+6(x+1)
2
=15.
c).6x
2
-(2x+5)(3x-2)=7 d).0,6x(x-0,5)-0,3x(2x+1,3)=0,138.
Bài toán 5 : So sánh các số sau.
a). A=2005.2007 và B = 2006
2
b).C =
yx
yx
+

và D =
22
22
yx
yx
+

d).M = (3+1)(3
2
+1)(3
4
+1)(3
8
+1)(3
16
+1) và N = 3
32
-1.
Bài toán 6 : Tính giá trị các biểu thức
a). a
3
+1+3a+3a
2
với a=9. b).x
3
+3x
2
+3x với x= 19.
c). a

3
+6+3a+3a
2
với a=29. d). a
3
+1+3a-3a
2
với a=101.
Bài toán 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a).x
2
- 4x+1 b).4x
2
+4x+11
c).3x
2
- 6x-1 d).5x
2
- 4x+7
Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a).5-8x-x
2
b). 4x-x
2
+1
Bài toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a).(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) b).x
2
-2x+y
2

-4y+6.
Bài toán 10: Chứng minh các hằng đẳng thức
a).a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b) b).(a+b+c)
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a)
c).(a
2
-b
2
)
2
+(2ab)
2
=(a
2
+b
2
) d). (a

2
+b
2
)(c
2
+d
2
)=(ac+bd)
2
+(ad-bc)
2
Bài toán 11:Hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36 tìm hai số ấy.
Bài toán 12: Hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40 tìm hai số ấy.
Bài toán 13:Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của hai số trong ba số ấy
bằng 74.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh Toán 8- Nguyễn Đức Huy
3