BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ

BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
A. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ.
Bài 1.
1) Giải phương trình: x
3
– 8 + ln(x – 1) = 0
2) Giải bất phương trình: x
3
– 8 + ln(x – 1) > 0
Bài 2.
Giải phương trình:
4
log (3 1)
4
log [3 1]
x
x
+
+ =
Bài 3.
Giải phưong trình: sin2x – cosx = 1 + log
2
sinx ; x
(0; )
2
π
∈
Bài 4.
Giải bất phương trình: (3
x

– 9x).(
3x +
- 2) > 0
Bài 5.
Giải hệ phương trình:
1 2
2
.2 3. .2 2
2 .2 3. .8 1
x y x y
x y x y
x y
x y
− + +
+ +

+ =


+ =


Bài 6.
Giải bất phương trình:
2
sin 2
6
2
( ) 3 log 1999 0
3

x co x
+ − ≥
Bài 7.
Tìm tất cả các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình:
a
x
≥ 1 + x, nghiệm đúng
x R∀ ∈
B. CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài 8.
Chứng minh rằng: Nếu x ≥ 2 thì
( 3 2 2 ) ( 3 2 2 ) 6
x x
+ + − ≥
Bài 9.
Chứng minh rằng:
: 0x x
π
∀ < <
thì ta có
sin tan 1
2 2 2
x x x +
+ ≥
Bài 10.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
sin (1 6cos )
2 2
x x
y = +

Bài 11.
Cho x > 0 , x≠ 1, Chứng minh bất đẳng thức sau:
ln 1
1
x
x
x
<
−
Bài 12.
Cho x ≥ 0. Chứng minh:
2 3
log (1 2 ) log (3 ( 2) )
x x x
+ > +
Bài 13.
Chứng minh rằng: Với mọi số thực x, ta đều có:
2
+cosx 2+ x -
2
x
x
e ≥
THPT A Nghĩa Hưng Giáo viên: Vũ Ngọc Vinh
1
BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Bài 14.
Tìm m để hàm số : y = 3x
4
+ 4(cosm – sinm)x

3
– 3x
2
sin2m với
0
2
x
π
≤ ≤

có cực tiểu nằm trên đoạn [- sinm; cosm]
Bài 15.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x
x
+ y
y
với x, y
∈
(0; 1)
Bài 16.
Chứng minh rằng: Nếu
0 2
α
< ≤
và
(0; )
2
x
π
∈

thì
sin
( ) cos
x
x
x
α
>
C. CÁC VẤN ĐỀ KHÁC
Bài 17.
Tìm giới hạn:
2008 2009
lim
x
x
x
e
→+∞
+
Bài 18.
Cho hàm số:
1
sin( ) 0
( )
0 0
x khi x
f x
x
khi x
α


≠

=


=

Trong đó
α
là hằng số dương. Tìm tất cả các giá trị của
α
để f(x) có đạo hàm tại
mọi x.
Bài 19.
Cho dãy số (x
n
) xác định như sau:
x
1
= 2 ; x
n
=
2 2
cos[ .log log ]n
π
với n > 1. Giả sử: a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 0 và a, b, c
∈
Z.
Chứng minh rằng:

2
lim ( ) 0
n
an bn c
x
x x
+ +
→+∞
+ =
Bài 20.
Giả sử M là tập hợp tất cả các tứ diện mà hình cầu nội tiếp và hình cầu ngoại tiếp
đồng tâm, gọi bán kính hình cầu ngoại tiếp, nội tiếp lần lượt là R và r . Hãy xác định
khoảng biến thiên của tỉ số
R
r
trên tất cả các tứ diện thuộc tập M.
THPT A Nghĩa Hưng Giáo viên: Vũ Ngọc Vinh
2